Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 3 (tt) pptx

Lý thuyết các hiện tượng tới hạnkhông gian con trong không gian tham số bao gồm các điểm μ thỏa *lim Rs Hình 3.1... Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn• Xét hệ sắt từ nhiệt độ

Trang 1

3.3 Điểm bất động

3.3.1 Định nghĩa điểm bất động

• Hệ VL bất biến đối với phép biến đổi đối xứng  các đặc trưng quan trọng

• Tại điểm tới hạn: trạng thái hệ có bất biến đối với Rs?

• Định nghĩa điểm bất động (fixed point) μ*

* *

Rs    

(1)

μ* thỏa (1) với một giá trị nào đó của s  với mọi s, ngay cả s  VCL

• Phương trình (1) có nghiệm hay không?

 Chưa có gì bảo đảm đối với những giá trị λ s = s a bất kỳ

• Ở đây, ta chỉ trình bày hình thức luận của phương pháp RG dưới dạng tổng quát, chưa đi vào chi tiết về số nghiệm và những tính chất nghiệm của (1)

• Giả sử (1) có ít nhất một nghiệm và ta sẽ chỉ xét một điểm bất động μ* trong số đó

với giá trị a xác định.

Trang 2

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

không gian con trong không gian tham số bao gồm các điểm μ thỏa

*lim Rs

Hình 3.1

Trang 4

1 2( , , ,  , )

Trang 5

3.3 Điểm bất động

• Nhắc lại: trong VL nguyên tử, vector riệng của toán tử mô tả phép quay một góc α

tùy ý quanh trục n [U n(α) = exp(i/ħ αnL)] là các hàm cầu Y lm(θ,φ) – hệ vector cơ sở

Trang 6

• Thay δμ vào phương trình (5)

(14)

(15)

j j j

• Đặt t  j t sj y j



j j j

t

    e

Trang 7

    e

• Nếu có một hoặc vài yjbằng không thì sẽ có một tập hợp liên tục các điểm bất động;

ta chỉ xét một tập hợp các giá trị tjứng với yj = 0 (một trong số các điểm bất động)

t

    e

 Phép biến đổi Rs L chuyển các “hình chiếu” tj của δμ thành các “hình

Trang 8

• RG như một công cụ toán học liên quan như thế nào đến vật lý của các hiện tượngtới hạn?

Trang 9

3.4 Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

• Xét hệ sắt từ nhiệt độ T trong từ trường h xác định.

• Cấu hình spin được mô tả bởi hàm phân bố

[ ]/

H[σ] là Hamiltonian cụm (không nhất thiết phải có dạng Ginzburg Landau).

• Mỗi hàm phân bố  một điểm của không gian tham số được mô tả bởi μ = μ(T,h)

• Tại điểm tới hạn hệ sắt từ: T = T c, h=0

 P được mô tả bởi μ(T c,0)

Trang 10

 μ(T c ,0) nằm trên mặt tới hạn của điểm bất động μ*

*lim Rs ( C, 0)

  h  

(3)

 Giả thiết mô tả mối liên hệ giữa nhóm RG và các hiện tượng tới hạn được gợi

ý bởi giả thuyết scaling

Trang 11

• Nhấn mạnh:

tưởng tượng bất biến đối với các phép co – dãn Rs)

 μ(T = T C , h = 0): đối tượng vật lý cho ta hàm phân bố P[σ] của cấu hình spin tại

điểm tới hạn

• Sự phân kỳ của độ dài tương quan

 tại T = TC, việc co dãn hệ không ảnh hưởng đến ξ;

 ξ bất biến đối với các phép biến đổi R s;

Mặt khác theo GT scaling tại điểm tới hạn ξ là độ dài duy nhất đáng kể và biến

thiên kỳ dị của các đại lượng VL khác tại đây là do ξ

 trạng thái của hệ tại điểm tới hạn bất biến đối với Rs

C

T T

   

Trang 12

[ ]/ T

P eH hay cần biết H[σ].

• P hoặc H được mô tả bởi điểm μ(T,h) trong không gian tham số.

• Từ (2)

*lim Rs ( C, 0)

  h   

 P hoặc H bất biến đối với Rs

Trang 13

• Giả sử quan sát mẫu sắt từ bằng kính hiển vi độ phân giải b.

 có thể thấy tất cả chi tiết về cấu hình spin ở những kích thước r ≥ b.

• Tác dụng của Rs : giảm hệ số khuếch đại của kính hiển vi s lần.

• Giả thiết (2): nếu ta giảm độ khuếch đại k của kính hiển vi một cách đáng kể (từ k1 xuống k2 với k2/k1<<1) thì việc tiếp tục giảm k không thay đổi những gì quan sát được

trước đó

Giả thiết (2) có cơ sở vật lý quan trọng là giả thuyết scaling

Giả thuyết scaling đã phản ánh tốt tính phổ quát của các hiện tượng tới hạn

 RG có làm được điều tương tự?

*lim Rs ( C , 0)

  h   

Giải thích định tính hệ thức (2):

Trang 14

 khai triển của Hamiltonian chỉ chứa các lũy thừa bậc chẵn của σx

 thay cho không gian tham số μ = (u1, u2, u3, …; c, v1, v2, …; w1, w2, …), chỉ xétmột không gian con gồm các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn

Lưu ý: điểm Rs μ sẽ không chạy ra ngoài không gian con đã chọn.

• Xét những điểm μ(T) có T gần T C

 μ(T) là hàm trơn (smooth) và μ(T C) nằm trên mặt tới hạn;

 khi (T - T C ) đủ nhỏ, μ(T) phải nằm gần mặt tới hạn;

 khi s tăng, điểm R s μ(T) sẽ chạy về phía điểm bất động μ*

 với s đủ lớn, R s μ(T) có thể nằm rất gần μ*; nhưng do μ(T) không thuộc mặt tới

hạn nên s ∞, R s μ(T) chạy ra xa điểm bất động μ*.

Trang 15

Việc Rs μ(T) chạy khỏi μ ra sao phụ thuộc vào y j > 0

trong biểu thức

3.4.1 Trường hợp h = 0 (tt)

j

j j j

Trang 16

j t s

t  '

Trang 17

• Do t1(T) là hàm trơn (smooth function) của T và t1(T C) = 0

 khai triển t1(T) thành chuỗi

       e 

(11)

Trang 18

1( ) T ( / ) s O s ( )

mô tả dáng điệu tới hạn của hệ: cho ta biết điểm Rs μ(T) với T gần T C chạy về phía

μ* thế nào và chạy khỏi μ* ra sao khi s tăng

Trang 19

Việc đưa ξ vào (9) hay việc giả sử rằng trong các thông số y j chỉ có y1 > 0 còn các

y j khác đều âm thực ra được gợi ý bởi giả thuyết scaling (ở gần T C chỉ có ξ là

thang đo độ dài đáng kể duy nhất)

L ưu ý:

- Hình thức luận Nhóm TCH vừa được trình bầy ở trên rất tổng quát

- Từ hình thức luận RG tổng quát (không cần chọn dạng cụ thể của H) có thể thu

Trang 20

• Mối liên hệ giữa các hàm tương quan tính theo phân bố P (mô tả bởi điểm μ(T)) và theo phân bố P’ (mô tả bởi điểm μ’(T) = Rsμ(T)) (3.2.3)

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

• Số hạng mô tả tương tác giữa các spin cụm và từ trường ngoài

(23)

• Xem h như một thành phần mới của vector μ trong không gian tham số.

• Muốn biết quy luật biến đổi μ thành μ’ = R s μ, phải lập quy luật biến đổi h

2 (

2 / ) 2 (

where s

h

s h h

h y

Trang 25

Trang 26

• Độ từ hóa m là hàm của μ(T,h) trong không gian tham số

Trang 27

• Thu scaling law 4: Xét T=Tc và từ trường h khác không nhưng đủ nhỏ Đặt

( )

, (

h

y a

h

y a

T T

at h

yh

Trang 28

( )

0 ,

m h

,

~ ) 0 ,

m C  C

2

) 2



2 / ) 2 (

~

~ )

0 ,

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	782,22 KB