Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 3 doc

Khó khăn của bài toán về các hiện tượng tới hạn 1 cm3 sắt từ  1023 nguyên tử  1023 bậc tự do;  Tìm hàm sóng của hệ bằng phương pháp giải phương trình Schrodinger: vô vọng!. Vật lý hiệ

Chương 3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa Renormalization group method

3.1 Đặt vấn đề

3.1.1 Khó khăn của bài toán về các hiện tượng tới hạn

1 cm3 sắt từ  1023 nguyên tử  1023 bậc tự do;

 Tìm hàm sóng của hệ bằng phương pháp giải phương trình Schrodinger: vô vọng!

Vật lý hiện đại (lý thuyết trường lượng tử tương đối tính, hiệu ứng Kondo, …) và bài toán về các hiện tượng tới hạn gặp cùng một khó khăn: số bậc tự do quá lớn

 Giải quyết?  Giảm số bậc tự do

3.1 Đặt vấn đề

3.1.2 Extensive & Intensive

• Trong cùng điều kiện nhiệt độ, áp suất, chất lỏng 1020 nguyên tử và chất lỏng 1023

nguyên tử có cùng giá trị mật độ năng lượng: tính đồng nhất của một số hệ vĩ mô

 cho phép tái lập tính chất toàn hệ đồng nhất nếu biết tính chất một phần nào đó

• Giảm thể tích và số bậc tự do đến mức nào để bảo đảm phần được xét có thể đại diện cho toàn hệ?

 Giảm đến độ dài tương quan ξ – kích thước cực tiểu của miền mà tính chất của nó

cũng chính là tính chất của toàn hệ vĩ mô

• Ưu điểm: ở điều kiện bình thường ξ có độ lớn cỡ vài lần khoảng cách giữa các

nguyên tử  số bậc tự do không lớn  có thể sử dụng các phương pháp gần đúng

• Nhược điểm: không thể áp dụng cho bài toán về các hiện tượng tới hạn!

 Số bậc tự trong miền kích thước ξ vô cùng lớn

C

T T

3.1 Đặt vấn đề

3.1.3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (RG)

• Ý tưởng RG: tương tự lý thuyết thủy động lực:

 Phương pháp thủy động lực:

 Thay vì xét các bậc tư do vi mô, đưa ra bậc tự do mới là trị trung bình của

các bậc tự do ban đầu (VD: mật độ ρ(x),…);

 viết phương trình cho bậc tự do mới;

 bỏ qua tất cả thăng giáng vi mô và cho rằng hàm ρ(x) chỉ chứa thăng giáng

vĩ mô

 Bậc tự do mới ở các điểm vĩ mô cách nhau đủ xa;

 Số bậc tự do mới (bậc tự do thủy động lực học) giảm đáng kể so với

số bậc tự do vi mô ban đầu

 Phương pháp RG: thay thế các bậc tự do ban đầu bởi một số lượng nhỏ hơn các bậc tự do hiệu dụng Việc giảm số bậc tự do tiến hành tuần tự, từng bước

3.1 Đặt vấn đề

3.1.3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)

• Xét mạng tinh thể sắt từ phẳng có 8 x 8 = 64 ô cơ sở

 Số bậc tự do ban đầu: 64;

Mỗi ô có kích thước dài là b và có một spin ô (trung bình của spin tất cả các hạt trong ô);

 Khoảng cách giữa hai spin ô lân cận là b (H.1)

• Các bước giảm số bậc tự do:

 Bước 1: 4 ô  1 cụm kích thước 2b

1 spin cụm ≡ trung bình 4 spin ô (H.2)



1 bậc tự do mới

 16 bậc tự do hiệu dụng (giảm 4 lần)

3.1 Đặt vấn đề

3.1.3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)

 Bước 2: co cụm kích thước 2b về kích thước b

 không làm thay đổi số bậc tự do nhờ bước 1

 khoảng cách giữa hai bậc tự do hiệu dụng là 2b (H.3)

Hai bước dãn và co

 giảm số bậc tự do 4 lần; tăng khoảng cách giữa các bậc tự do 2 lần

• Thực hiện tuần tự các bước dãn và co đến khi khoảng cách giữa các bậc tự do

hiệu dụng có giá trị khoảng ξ;

• Ở mỗi giai đoạn, lập tương tác hiệu dụng giữa các bậc tự do mới ≡ lập phương

trình chuyển động cho mật độ ρ(x) trong thủy động lực học

H.3

3.1 Đặt vấn đề

3.1.3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)

Ưu điểm của phương pháp RG:

• đơn giản hóa việc tính toán đối với những hệ có số bậc tự do lớn trong miền kích

thước ξ vô cùng lớn (đã trình bày).

• Motivation: kinh nghiệm ứng dụng các phép biến đổi đối xứng trong Vật lý

 việc khảo sát các phép biến đổi đối xứng (quay, tịnh tiến, …) rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực Vật lý

 nhiều khái niệm quan trọng (số lượng tử, bậc suy biến, tích phân chuyển

động, …) đều liên quan đến các tính chất đối xứng của hệ

VD: đối xứng quay  bảo tòan môment, các số lượng từ l, m.

 hy vọng: sự bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng của hệ vĩ mô ở gần điểm tới hạn sẽ giúp thu được các chỉ số tới hạn tổng quát

 phép biến đổi liên quan đến tính đối xứng của hệ ở gần điểm tới hạn: phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (Keneth Wilson, 1971-1972)

 phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa: tổ hợp của phép biến đổi Kadanoff và phép biến đổi kích thước (ch2)

3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ

• Để dễ hình dung RG, xét hệ sắt từ đựợc mô tả bằng Hamiltonian Ginzburg –

Landau (tuy rằng không bắt buộc):

 kích thước dài: L  thể tích hệ: L d

 kích thước cụm: b  thể tích cụm: b d

 spin cụm: σ x

• Hamiltonian GL của hệ (khi không có từ trường ngoài: h=0)

2

'

x

2





• Viết lại Hamiltonian GL trong trường hợp spin chỉ có một thành phần (n=1) và không xét năng lượng tự do (bỏ qua số hạng chứa a 0)

2

'

x

2





3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ (tt)

• 1 spin cụm  1 biến ngẫu nhiên

1 tập hợp spin cụm  1 cấu hình spin

• Hàm phân bố

(3)

• Mô tả hàm phân bố bằng ba thông số (u 2 ,u 4 ,c) – các thành phần của vector

~

P eH

2 4

( , u u c , )

  

(4)

•  điểm trong không gian tham số

 Mô tả hàm phân bố (3) bằng một điểm của không gian tham số

 Phép biến đổi

được xem là phép chuyển thành trong cùng không gian tham số

 

P eH  P  eH 

  

 

3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ (tt)

Làm thế nào mô tả toán học các ý tưởng VL của RG (việc co dãn các cụm spin)?

• Định nghĩa phép biến đổi Rs

(5)

• Rs chuyển P thành P’ qua hai bước:

 Bước 1:

Rs      ( s  1)

(6)

Phép bến đổi Kadanoff: chia hệ thành các cụm mới có kích thước dài gấp s

lần kích thước ban đầu

Spin cụm mới:

KsH [ ]   H  [ ] 

x

d s

 Số bậc tự do giảm s d lần



3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ (tt)

 Bước 2:

(8)

Phép biến đổi kích thước (phép biến thang) co kích thước dài của hệ s lần

Spin cụm mới:

1

x  x   s x

(9)

 Số bậc tự do hiệu dụng không thay đổi so với bước 1

d

d

L sb

x s x

    

1

2

a

3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ (tt)

(10)

• Hamiltonian thu được sau hai bước:

(11)

x x

s

  





• Hàm phân bố mới:

P  eH 

• Viết gộp trong phép biến đổi Rs:

x

P  H    H        s     d  

• Giả sử đưa H’ về dạng GL tương tự biểu thức (2):

2

'

x

2





Các thông số (u’ 2 , u’ 4 ,c ) xác định vector trong không gian tham số

Tập hợp các phép biến đổi Rs (s ≥ 1) (mỗi phép biến đổi gồn hai bước trên) tạo

thành nhóm tái chuẩn hóa.

Đây chỉ là nửa nhóm vì phép biến đổi ngược Rs-1 không tồn tại

  

3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ (tt)

• Tính chất của toán tử Rs:

(do KsKs’= Kss’)

• Để thỏa (14), λ s phải phụ thuộc vào s theo dạng

λ s = s a (a không phụ thuộc s )

3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian tọa độ (tt)

Sau phép biến đổi Rs , liệu H’ sẽ có dạng GL như H?

 Không có gì bảo đảm chắc chắn vì nhóm tái chuẩn hóa chỉ là nửa nhóm

• Nói chung, sau phép biến đổi Kadanoff, H” sẽ chứa các lũy thừa bậc cao hơn của biến spin

 Hamiltonian GL ở biểu thức (2) chưa đủ tổng quát

 việc sử dụng không gian tham số với ba thành phần (u 2 ,u 4 ,c) chưa tương xứng.

• Để tăng tính tổng quát, chọn H có dạng như sau:

x 2

y

4

y

2

4

d

b

b





















H

(16)

• Khi đó:

1 2 3 4 1 2

( , u u u u , , , ; , , c v v , )

  

(17)

3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian xung lượng

• Thay thế các spin cụm bởi ảnh Fourier của chúng

 Bước 1: thực hiện phép biến đổi Kadanoff trong không gian xung lượng (khử

đi các spin cụm σq với Λ/s < q < Λ)

 Bước 2 : thay thế σk bởi λ s s d/2σsk

• Phép biến đổi Rs trong không gian xung lượng:

(18)

/ 2

q q

~

d

s s





   





3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian xung lượng (tt)

Thay thế

/ 2

d

• Phép biến thang

1

x  x   s x

 L  sL b  ,  sb  , x   s x

• Spin cụm trong biểu diễn xung lượng:

/ 2 kx

x

     

x / 2 / 2 k x

x x

/ 2

k

s

s

d

s

 

























3.2 Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa

3.2.3 Trong không gian xung lượng (tt)

Lưu ý:

• Rs chỉ là một phép biến đổi đối xứng và về mặt nào đó cũng giống phép quay, phép tịnh tiến (không làm thay đổi nội dung vật lý)

• Trị trung bình tính theo hai phép P và P’ phải liên hệ với nhau

x P s x P

      (19)

2

x x y P s x /s (x y) /s P

      



• Hàm tương quan trong không gian xung lượng

2 k

(k, )

P

(21)

CMR:

2

k

P

G   s   s G s 





(22)