Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 2(tt) potx

Mô hình Ising tt • Số biến spin ô:  Số cấu hình spin khác nhau của hệ: • Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định hàm của tất cả các biến spin.. Lưu ý: 1 mô tả tương tác giữa các spi

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.1 Mô hình Ising

• c: vector bán kính kẻ từ gốc tọa đến tâm của ô

cơ sở  đặc trưng vị trí của ô;

• kích thước dài của mạng tinh thể: L(Å)

 thể tích mạng: L d ;

•số ô cơ sở: L d (kích thước ô cơ sở: 1 Å);

• spin toàn phần (sau khi lấy trung bình) của các

hạt trong ô cơ sở có vector bán kính c: σ c;

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.1 Mô hình Ising (tt)

• Số biến spin ô:

 Số cấu hình spin khác nhau của hệ:

• Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định (hàm của tất cả các biến spin)

: lấy theo tất cả các ô lân cận của ô c cho trước;

: lấy theo tất cả các ô

I: tích phân trao đổi; I > 0: hệ sắt từ, I < 0: hệ phản sắt từ.

S1: tương tác giữa các spin thuộc các ô khác nhau trong hệ thông

qua I.

S2: thế năng tương tác của các spin với từ trường ngoài h.

Lưu ý: (1) mô tả tương tác giữa các spin thuộc các ô cơ sở khác nhau,

không xét đến tương tác spin của các hạt trong cùng một ô

2.3 Một số mô hình đơn giản

 bất biến đối với mọi phép quay hệ (hay quay tất cả spin) một góc bất kỳ

Mô hình Heisenberg thích hợp để mô tả các hệ đẳng hướng

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.3 Mô hình XY

• Là mô hình trung gian giữa mô hình Ising và mô hình Heisenberg

• Mỗi biến spin σ c là một vector hai thành phần:

σ c = (σ 1c , σ 2c)

• Hamiltonian có cùng dạng (3) với Hamiltonian Heisenberg

Mô hình XY dùng để mô tả các hệ từ có spin định hướng chủ yếu trên một mặt phẳng

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.4 Số chiều của không gian và số thành phần của spin

Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các chỉ số tới hạn):

1) Số chiều không gian d:

Lưu ý: d và n có thể bằng nhau nhưng thông thường thì khác nhau.

• Khối sắt từ đẳng hướng  mô hình Heisenberg  d=n=3;

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.5 Phân bố thống kê của các biến spin

• Giả sử vector spin ô σ C có n thành phần σ ic (i=1,2,…,n)

• (4)  xác suất của một cấu hình spin

P    Z e  T

(4)

ˆ H[ ] 

ˆ H[ ]/

c ,c

i

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.5 Phân bố thống kê của các biến spin (tt)

• Giả sử A là một đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ và là hàm của các biến

spin

• Trị trung bình của A

 : trung bình thống kê được tính theo hàm phân bố P[σ].

• Năng lượng tự do cho một đơn vị thể tích

2.3 Một số mô hình đơn giản

2.3.5 Phân bố thống kê của các biến spin (tt)

• Một số đại lượng nhiệt động tính theo năng lượng tự do:

 Entropy:

 Nhiệt dung:

 Độ từ hóa:

 Độ cảm từ:

• Nếu các đại lượng nhiệt động biến thiên theo T-T c , h, k theo các quy luật ở chương I

 mô hình và tính toán lý thuyết cho kết quả phù hợp với thực nghiệm

giải tích >< phân kỳ ?

,

f S

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.1 Hamiltonian cụm

• Hamiltonian ô:

 Không cho phép mô tả tương tác giữa các spin bên trong cùng một ô cơ sở;

 Các tham số của Hamiltonian ô (tích phân trao đổi, …) đã tổng hợp và bao

hàm những hiệu ứng về biến diễn của hệ trên những khoảng cách r nhỏ hơn kích thước của một ô cơ sở (r ≤ 1 );

 Chỉ cho thông tin về biến diễn spin trên những khoảng cách lớn hơn kích

thước ô cơ sở (r ≤ 1 );

 Hamiltonian ô có độ phân giải 1

• Thực nghiệm cho thấy những miền có kích thước lớn (ở đó hầu hết các spin định hướng song song) quyết định các tính chất tới hạn của hệ

 Nhu cầu: từ các ô cơ sở ban đầu lập các cụm lớn hơn (blocks, clusters)

o A

o A

o A

• Chia hệ L d ô cơ sở ban đầu thành các cụm kích thước b chứa b d ô cơ sở ban đầu,

Trường hợp d = 2:

8×8 ô cơ sở ban đầu

16 cụm mới, mỗi cụm chứa 4

ô cơ sở ban đầu (b = 2).

Spin σ x: trung bình số học của tất cả spin ô trong cụm

: lấy tổng theo các ô thuộc cụm x.

b = 1: spin cụm ≡ spin ô.

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

Giả sử có thể đưa kết quả thu được về dạng

 hamiltonian cụm cần tìm trong không gian tọa độ

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.1 Hamiltonian cụm (tt)

• Độ phân giải của hamiltonian cụm kém hơn b lần so với độ phân giải của

hamiltonian ô

• Nếu không quan tâm đến các tương tác spin trên khoảng cách r < b :

hamiltonian cụm tương đương hamiltonian ô (hàm phân bố ứng với chúng cho cùng giá trị trung bình)

• Trong các hiện tượng tới hạn, người ta thường quan tâm các dao động spin với

bước sóng λ lớn (λ >> hằng số mạng).

oA

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.1 Hamiltonian cụm (tt)

Hamiltonian cụm trong không gian vector sóng k ?

 thay thế các biến spin ô bởi các ảnh Fourier σ k của chúng

k

 

- H /

e T

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.1 Hamiltonian cụm (tt)

KGTĐ và KGXL nghịch đảo nhau

 nếu spin cụm σ x mô tả các hiệu ứng trên những khoảng cách r ≥ b thì ảnh

Fourier của nó σ k chỉ cho thông tin về biến diễn spin đối với k thỏa k < Λ (Λ = 2π/b).

Khi lập hamiltonian cụm từ hamiltonian ô trong không gian vector sóng, ta chỉ quan

tâm đến các biến σ k có vector sóng k < Λ.

oA

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.1 Hamiltonian cụm (tt)

Hàm phân bố P [σk ] cho các biến σ k  P’ [σk ] cho các biến σ k với k < Λ.

• Quy tắc xác suất thống kê:

P (q1,q2): hàm phân bố thống kê của các đại lượng ngẫu nhiên q1,q2

 hàm phân bố P’ (q 1 ) cho biến q1 (không quan tâm tới biến q2):

• Áp dụng: do chỉ quan tâm đến các biến σ k với k < Λ nên ta lấy tích phân hàm

phân bố P [σk ] theo σik với k > Λ

 hàm phân bố thống kê cho các đại

lượng σik có vector sóng k nằm bên

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.1 Hamiltonian cụm (tt)

• Spin cụm:

• Định nghĩa một spin cụm khác tương đương với σ x về mặt định tính

 Mô tả cấu hình spin trên những khoảng cách r ≥ b ~ Λ-1 (thông tin về các σik với

k < Λ)

x -

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.2 Phép biến đổi Kadanoff

• Thu nhận hamiltonian cụm từ hamiltonian ô (phép biến đổi (3) hoặc (6)): phép biến đổi Kadanoff

 Mô tả quá trình này bởi toán tử Kb:

ˆ H[ ] /   T  KbH[ ] /   T

(8)

1  1

K

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.2 Phép biến đổi Kadanoff (tt)

• Mở rộng: xây dựng hamiltonian cụm mới H”[σ] với mỗi cụm có kích thước dài gấp

s lần kích thước dài của cụm vừa thu được.

 Định nghĩa spin cụm mới:

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.2 Phép biến đổi Kadanoff (tt)

Thay cho phép biến đổi (11), ta có thể làm tương tự biến đổi (6) để thu được H”[σ] trong không gian vector sóng k.

• Không gian tọa độ: khoảng cách r mà

biến diễn spin được mô tả tăng từ b lên sb.

• Không gian vector sóng:

k ,k

2.4 Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff

2.4.2 Phép biến đổi Kadanoff (tt)

Phép biến đổi Kadanoff thỏa:

• Mô hình GL có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các hiện tượng tới hạn và đặc biệt trong lý thuyết siêu dẫn.

• Giả thuyết của mô hình: hamiltonian cụm có thể viết dưới dạng khai triển theo các lũy thừa của spin cụm và đạo hàm của nó

 : hệ số không chứa σ và phụ thuộc vào T, h;

 h σ: tương tác của hệ với từ trường ngoài.

 spin cụm:







2.5.1 Mô hình Ginzburg - Landau

2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau

2.4.1 Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng

• Sử dụng phép biến đổi Fourier (2) đưa H về dạng phiếm hàm của σ k:

H[ ] / x x x

x

x

2.4.1 Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)

2.4.1 Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)

2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau

Hamiltonian GL trong không gian xung lượng:

Hàm phân bố cho các spin cụm:

2.4.1 Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)

2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau

(6)

(7)

Sử dụng định nghĩa khác của spin cụm

x -d

2.4.2 Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm

2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau

• Không xét số hạng gradient: bỏ qua

• Thay (8) vào phân bố ngẫu nhiên (5) cho tất cả các spin cụm:

• Nhận xét:

 (8) là tổng của các số hạng độc lập với nhau

 (10) là tích của các hàm phân bố thống kê cho các spin cụm σ x

2.4.2 Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm (tt)

2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau

Việc bỏ qua số hạng thứ tư trong (7) dẫn đến: phân bố thống kê cho tất cả các spin cụm tách thành tích của các hàm phân bố thống kê cho từng cụm riêng rẽ:

• Mỗi cụm độc lập với các cụm còn lại (có L d /b d cụm spin không tương tác với nhau);

• Mỗi cụm có hamiltonian hiệu dụng là b d U(σx ): năng lượng tự do của cụm x với spin trung bình là σ x ; đây là khai triển theo các lũy thừa của σ x (theo (9))

2.4.2 Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm (tt)

2.5 Hamiltonian Ginzburg - Landau

 Các spin khác biệt càng lớn  H/T càng lớn  xác suất e-H/T càng nhỏ

Lưu ý: trên thực tế, tương tác giữa các spin cụm không chỉ được mô tả bởi số hạng gradient mà còn các số hạng bậc cao hơn

 Hamiltonian GL vẫn là mô hình đơn giản