Mởt số khĂi niằm
ành nghắa 1.1.1 Cho X l khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng K vợi iºm gốc θ H m k.k : X → R ữủc gồi l chuân trản X náu
(ii) kλxk = |λ|kxk vợi mồi x ∈ X v λ ∈ K
(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk vợi mồi x, y ∈ X
Khi õ c°p (X, k.k) ữủc gồi l khổng gian ành chuân.
Không gian x²t là một không gian metric với khoảng cách d(x, y) = kx - yk Khoảng cách xác định những chuẩn gợi là khoảng cách sinh bởi chuẩn Nếu X là không gian chuẩn với khoảng cách sinh bởi chuẩn, thì được gọi là không gian Banach Cho X là không gian tuyến tính và trọn vẹn số thực.
R Mởt tẵch vổ hữợng trong X l mởt Ănh xÔ h., i : X ì X → R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(i) hx, yi = hy, xi , vợi mồi x, y ∈ X ;
(ii) hx + y, zi = hx, z i + hy, zi , vợi mồi x, y, z ∈ X ;
(iii) hλx, yi = λ hx, yi , vợi mồi x, y ∈ X ; λ ∈ R ;
(iv) hx, xi > 0 , vợi mồi x 6= 0 ; hx, xi = 0 ↔ x = 0
Khổng gian tuyán tẵnh X cũng vợi tẵch vổ hữợng h., i ữủc gồi l khổng gian tiãn Hilbert.
Chuân cừa phƯn tỷ x ∈ X , kẵ hiằu |x| v ữủc xĂc ành:
Khổng gian tiãn Hilbert Ưy ừ vợi metric sinh bði chuân xĂc ành bði(1.1) ữủc gồi l khổng gian Hilbert.
CĂc khổng gian h m
ành nghắa 1.2.1 L p (Ω), 1 ≤ p < ∞ , Ω ∈ R N l khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m khÊ tẵch Lebesgue bêc p trản Ω vợi chuân ữủc ành nghắa nhữ sau: kuk L p (Ω) := (
L p (Ω) l khổng gian Banach phÊn xÔ khi 1 < p < +∞. ành nghắa 1.2.2 L ∞ (Ω) l khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m o ữủc v bà ch°n hƯu khưp trản Ω vợi chuân kuk L ∞ (Ω) := ess sup x∈Ω
|u(x)|. ành nghắa 1.2.3 GiÊ sỷ σ : Ω → R l h m o ữủc Lebesgue, khổng Ơm v thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: khi miãn Ω bà ch°n,
(H α ) σ ∈ L 1 loc (Ω) v vợi α ∈ (0, 2), lim inf x→z |x−z| −α σ(x) > 0 vợi mồi z ∈ Ω, v khi miãn Ω khổng bà ch°n.
(H α,β ∞ ) σ thọa mÂn iãu kiằn (H α ) v lim inf |x|→∞ |x| −β σ(x) > 0 vợi β > 2
Khi õ ta ành nghắa khổng gian D 0 1 (Ω, σ) l bờ sung ừ cừa khổng gian
D 1 0 (Ω, σ) l khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng
Kẵ hiằu D − 1(Ω, σ) l khổng gian ối ngău cừa D 1 0 (Ω, σ) GiÊ sỷ N ≥
Số mụ 2 ∗ α l số mụ giợi hÔn trong ph²p nhúng Sobolev liản quan án khổng gian D 0 1 (Ω, σ).
Trong luên vôn n y ta sỷ dửng cĂc khổng gian h m phử thuởc thới gian sau: ành nghắa 1.2.4 GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach.
C([a, b]; X ) l khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m u : [a, b] →
X liản tửc tứ [a, b] v o X vợi chuân
L p (a, b; X ) khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m u : (a, b) → X sao cho
Bờ ã 1.2.5 GiÊ sỷ rơng Ω l miãn bà ch°n trản R N , N ≥ 2 , v σ thọa mÂn iãu kiằn (H α ) Khi õ:
(ii) Ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) , → L p (Ω) l compact náu p ∈ [1, 2 ∗ α ).
Bờ ã 1.2.6 GiÊ sỷ rơng Ω l miãn khổng bà ch°n trản R N , N ≥ 2 , v σ thọa mÂn iãu kiằn (H α,β ∞ ) Khi õ:
(i) Ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) , → L p (Ω) l liản tửc vợi mồi p ∈ [2 ∗ β , 2 ∗ α ];
(ii) Ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) , → L p (Ω) l compact náu p ∈ (2 ∗ β , 2 ∗ α ).
Ta ành nghắa khổng gian Sobolev cõ trồng D 0 2 (Ω, σ) l bao õng cừa khổng gian C 0 ∞ (Ω) vợi chuân kuk D 2
2 õ l mởt khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng tữỡng ựng l
Kát quÊ sau suy ra trỹc tiáp tứ ành nghắa cừa khổng gian D 0 1 (Ω, σ ), D 2 0 (Ω, σ) v ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) , → L 2 (Ω) khi σ thọa mÂn (H α )
Mằnh ã 1.2.7 GiÊ sỷ Ω l mởt miãn bà ch°n trong R N (N ≥ 2) , v σ thọa mÂn (H α ) Khi õ ph²p nhúng D 0 2 (Ω, σ) , → D 0 1 (Ω, σ ) l liản tửc.
Chựng minh Vợi bĐt kẳ h m u ∈ C 0 ∞ (Ω), ta cõ
M°t khĂc ta cõ ||u|| L 2 (Ω) ≤ C ||u|| D 1 0 (Ω,σ) , ð õ C ởc lêp vợi u , vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Têp hút to n cửc
Mởt số khĂi niằm
GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach, ta cõ cĂc ành nghắa sau: ành nghắa 1.3.1 Mởt nỷa nhõm ( liản tửc) trản X l mởt hồ cĂc Ănh xÔ S(t) : X → X, t ≥ 0 , thọa mÂn
(iii) S(t)u 0 liản tửc ối vợi (t, u 0 ) ∈ [0; +∞) ì X ành nghắa 1.3.2 Quÿ Ôo cừa S(t) trản I ⊂ R l mởt Ănh xÔ u : I → X thọa mÂn: u(t + s) = S(t).u(s), vợi mồi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I
Náu I = R v u o = z ∈ X , thẳ u gồi l quÿ Ôo Ưy ừ xuyản qua z v kẵ hiằu l γ(z)
Quÿ Ôo Ưy ừ γ = {u(t) sao cho t ∈ R } gồi l quÿ Ôo tuƯn ho n náu τ > 0 sao cho: u(t + τ ) = u(t), vợi mồi t ∈ R
PhƯn tỷ u 0 ∈ X gồi l iºm cố ành( iºm dứng, iºm cƠn bơng) cừa hằ ởng lỹc (X, S (t)) náu:
S(t) u 0 =u 0 , vợi mồi t ≥ 0 ành nghắa 1.3.3 CĂc khĂi niằm bĐt bián:
(i) Têp Y ⊂ X ữủc gồi l bĐt bián dữỡng náu S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ 0 (ii) Têp Y ⊂ X ữủc gồi l bĐt bián Ơm náu S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0
(iii) Têp Y ⊂ X ữủc gồi l bĐt bián náu S(t)Y = Y, ∀t ≥ 0
Bài viết này giới thiệu về các khái niệm và tình trạng tiêu hao của nỷa nhõm Cụ thể, hằng lượng (X, S(t)) liên quan đến tiêu hao iºm, tức là tưởng tượng tiêu hao và chọn lựa, khi tồn tại một tập B 0 ⊂ X hút các iºm (tưởng tượng hút các tập bà ch°n) của X.
Náu hằ ởng lỹc (X, S(t)) l tiảu hao bà ch°n thẳ tỗn tÔi mởt têp
B 0 là một tập con của X, với điều kiện tồn tại T = T(B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B 0 khi t ≥ T Tập B 0 được xem như là một tập hợp thỏa mãn điều kiện với hệ thống lực (X, S(t)) Nhóm S(t) được coi là tiêu hao, nếu tồn tại một tập con B 0 ⊂ X hút các điểm trong X.
Náu S(t) là một tập hợp con B₀ của X, sao cho mọi tập hợp B chọn đều nằm trong B₀ Tồn tại một thời gian T = T(B) ≥ 0, đảm bảo rằng S(t)B luôn nằm trong B₀ cho mọi t ≥ T Tập B₀ được coi là một tập hợp hợp lý cho nhóm S(t).
Dạ thầy mởt nỷa nhõm tiểu hao bà chơn thẳ tiểu hao im Dẫu ngữủc lôi nõi chung khổng úng, những nõ úng ối vợi các nỷa nhõm trong khổng gian hỳu hôn chiãu.
Bộ không gian Banach được định nghĩa là một không gian hoàn chỉnh với một chuẩn Nhóm S(t) được gọi là compact tiệm cận khi tồn tại một t > 0, và S(t) có thể được biểu diễn dưới dạng dữ liệu.
S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), (1.2) ð õ S (1) (t) v S (2) (t) thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
(i) vợi bĐt kẳ têp bà ch°n B ⊂ X r B (t) = sup y∈B
(ii) vợi bĐt kẳ têp bà ch°n B trong X tỗn tÔi t 0 sao cho têp hủp
S (2) (t)B] (1.3) l compact trong X ,ð Ơy [γ] l bao õng cừa têp γ
Mởt hằ ng lỹc gồi l compact và tiằm cên v ta cõ thº lĐy S (1) (t) ≡ 0 trong biºu diạn (1.2) Ró r ng rơng bĐt kẳ hằ ng lỹc tiảu hao hỳu hÔn chiãu n o cụng l compact.
Dạ d ng thĐy rơng iãu kiằn (1.3) ữủc thọa mÂn náu tỗn tÔi mởt têp compact K trong X sao cho vợi bĐt kẳ têp bà ch°n B ⊂ X Tồn tÔi t 0 (B) sao cho S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t 0 (B) Nõi riảng, mởt hằ tiảu hao l compact náu nõ cõ mởt têp hĐp thử compact.
Bờ ã sau Ơy rĐt hỳu ẵch khi chựng minh tẵnh compact tiằm cên.
Bờ ã 1.3.7 Nỷa nhõm S(t) l compact tiằm cên náu tỗn tÔi mởt têp compact K sao cho t→+∞ lim dist(S(t)B, K ) = 0, vợi mồi têp B bà ch°n trong X
Chựng minh Vẳ K l têp compact nản vợi mồi t > 0 v u ∈ X , tỗn tÔi ph¦n tû v := S (2) (t)u ∈ K sao cho dist(S(t)u, K ) = ||S(t)u − S (2) (t)u||.
Do õ náu °t S (1) (t)u = S(t)u − S (2) (t)u , dạ thĐy sỹ phƠn tẵch (1.2) thọa mÂn tĐt cÊ cĂc yảu cƯu trong ành nghắa cừa tẵnh compact tiằm cên.
Náu X l mởt khổng gian Banach lỗi ãu v nỷa nhõm S(t) cõ mởt têp hĐp thử bà ch°n B , thẳ ba iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng:
(i) Nỷa nhõm S (t) l compact tiằm cên;
(ii) Nỷa nhõm S(t) thuởc lợp AK , tực l vợi mồi dÂy bà ch°n {x k } trong X v mồi dÂy t k → ∞, {S(t k )x k } ∞ k=1 l compact tữỡng ối trong
(iii) Tỗn tÔi mởt têp compact K ⊂ X sao cho dist(S(t)B, K ) → 0khi t → ∞.
Têp hút to n cửc
Têp hút to n cửc là công cụ quan trọng trong việc tối ưu hóa hiệu suất và giảm thiểu hao hụt năng lượng Để mở một têp con khác rộng A của X, cần thực hiện quy trình mở têp hút to n cửc một cách chính xác nhằm đạt được hiệu quả cao nhất cho nhóm S(t).
(i) A l mởt têp õng v bà ch°n;
(ii) A l bĐt bián, tực l S (t)A = A vợi mồi t > 0 ;
(iii) A hút mồi têp con bà ch°n B cừa X , tực l t→∞ lim dist(S(t)B, A) = 0, ð â dist(E, F ) = sup a∈E inf b∈F d(a, b) l nûa kho£ng c¡ch Hausdorff giỳa hai têp con E v F cừa X
CĂc tẵnh chĐt sau Ơy cừa têp hút to n cửc l hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành nghắa.
Mằnh ã 1.3.9 GiÊ sỷ S(t) cõ têp hút to n cửc A Khi õ:
(i) Náu B l mởt têp con bà ch°n bĐt bián cừa X thẳ B ⊂ A (tẵnh cỹc ¤i) ;
(ii) Náu B l mởt têp con õng hút cĂc têp bà ch°n cừa X thẳ A ⊂ B (tẵnh cỹc tiºu) ;
Kát quÊ sau Ơy nõi vã cĐu trúc cừa têp hút to n cửc. ành lþ 1.3.10 [13]
Giá sỉ nỷa nhóm S(t) có thể hút toàn cục A Khi ẩm mồi quỳ Ôo Ưy từ bà chọn (nơi riêng lẻ các điểm dừng và các quỳ Ôo tuần hoàn, nếu có) sẽ nơm trản A Hơn nữa, nếu S(t) lớn hơn ánh trản A thì A là hợp của tất cả các quỳ Ôo ấy từ bà chọn.
Các tác động của lực "trạng tiếp hút tôn cực" sẽ quyết định các dạng hình thành trên các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một khoảng thời gian nhất định, bắt đầu mở một quỹ đạo mới có cấu trúc giống như một quỹ đạo đã trải qua trạng tiếp hút trong một khoảng thời gian dài Giả sử rằng lực (X, S(t)) có tác động mạnh mẽ.
A Cho trữợc mởt quÿ Ôo u(t) = S(t)u 0 , mởt sai số > 0 v mởt khoÊng thới gian T > 0 Khi õ tỗn tÔi mởt thới iºm τ = τ (, T ) v mởt iºm v 0 ∈ A sao cho
Để đảm bảo rằng độ lệch giữa u(τ + t) và S(t)v 0 không vượt quá vợi mồi trong khoảng thời gian từ 0 đến T, cần phải điều chỉnh quÿ Ôo trản têp hút to n cửc A Điều này cho thấy rằng mối quan hệ trực tiếp giữa u(t) và các yếu tố khác trong không gian thời gian cần được xem xét kỹ lưỡng.
Cho trữợc mởt quÿ Ôo u(t) , tỗn tÔi mởt dÂy cĂc sai số { n } ∞ n=1 vợi n → 0, mởt dÂy tông cĂc thới iºm {t n } ∞ n=1 vợi t n+1 − t n → ∞ khi n → ∞, v mởt dÂy cĂc iºm {v n } ∞ n=1 vợi v n ∈ A sao cho
||u(t) − S(t − t n )v n || ≤ n vợi mồi t n ≤ t ≤ t n+1 Hỡn nỳa, bữợc nhÊy ||v n+1 − S (t n+1 − t n )v n || dƯn tợi 0 khi n → ∞
Sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc
Kát quÊ sau Ơy l ành lẵ cỡ bÊn vã sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc. ành lþ 1.3.13 [14].
GiÊ sỷ S(t) l nỷa nhõm liản tửc trản khổng gian Banach X GiÊ sỷ
S(t) là một tập hợp compact nằm trong không gian X Nếu B là một tập hợp mở và S(t) nằm trong A = ω(B), thì A là một tập hợp compact khác rộng hơn và chứa S(t) Hơn nữa, tập hợp A cũng là liên thông trong không gian X.
Hằ quÊ sau Ơy thữớng ữủc dũng º chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc ối vợi phữỡng trẳnh parabolic trong miãn bà ch°n ð chữỡng sau.
Náu nỷa nhõm S(t) l tiảu hao v B l mởt têp hĐp thử compact thẳ
S (t) cõ mởt têp hút to n cửc compact liản thổng A = ω(B)
Bầu trời là một yếu tố quan trọng trong việc tạo nên sự hấp dẫn của thiên nhiên, với ánh sáng và màu sắc đa dạng Nó không chỉ ảnh hưởng đến tâm trạng con người mà còn tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời trong cuộc sống hàng ngày Sự thay đổi của bầu trời qua các thời điểm trong ngày mang lại cảm giác tươi mới và đầy cảm hứng.
Giá trị ngẫu nhiên {S(t)} t≥0 là một nhánh nhỏ trong không gian L r (Ω) và giá trị ngẫu nhiên rời {S(t)} t≥0 có một tập hợp thử và chọn trong L r (Ω) Khi xác định kỷ luật > 0 và kỷ luật tập con B ⊂ L r (Ω), tồn tại hai hướng số dữ liệu T = T (B).
M = M () sao cho mes(Ω(|S (t)u 0 | ≥ M )) ≤ , vợi mồi u 0 ∈ B v t ≥ T , trong õ mes(e) kẵ hiằu ở o Lebesgue cừa e ⊂ Ω v Ω(|S(t)u 0 | ≥ M ) := {x ∈ Ω||(S (t)u 0 )(x)| ≥ M } ành nghắa 1.3.16 [15].
GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach Nỷa nhõm {S(t)} t≥0 trản X ữủc gồi l liản tửc mÔnh - yáu trản X náu: vợi bĐt kẳ {x n } ∞ n=1 ⊂ X, x n → x, t n ≥ 0, t n → t ta câ
Kát quÊ sau dũng º chựng minh mởt nỷa nhõm l liản tửc mÔnh - yáu.
Giới thiệu về không gian Banach X, Y và không gian đối ngẫu X∗, Y∗, ta xác định rằng X là một không gian con của Y, với phép chiếu từ X sang Y là liên tục và phép chiếu từ Y∗ sang X∗ cũng là liên tục Hệ thống {S(t)} t≥0 là một nửa nhóm chuyển X và Y, trong đó sự phát triển của S(t) là liên tục hoặc liên tục yếu trong Y Khi {S(t)} t≥0 là liên tục mạnh trong X, nếu {S(t)} t≥0 biến thành một tập con compact trong X trên R+, thì nó có các tập con bị chặn trong X.
Nỷa nhõm {S(t)} t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) trong không gian X nếu tồn tại một tập B của X và một khoảng thời gian tB > 0, sao cho tồn tại một hàm số dữ dượng tB và một không gian con hữu hạn của X, để tập {P S(t)x | x ∈ B, t ≥ tB} và chọn v.
|(I − P )S(t)x| ≤ vợi bĐt kẳ t ≥ t B v x ∈ B, trong õ P : X → X 1 l ph²p chiáu chẵnh tưc.
Các ảnh lẵ sau thường chứng minh tính trơn của tiếp xúc tôn cực, thực sự chứng minh sự tồn tại của tiếp xúc tôn cực trong các không gian "trơn hơn" không gian chứa đại kiện ban Ưu.
Giá trị sỹ {S(t)} t≥0 là một nhánh nhóm liên tục mạnh - yếu trần L q (Ω), liên tục hoặc liên tục yếu trần L r (Ω) với r ≤ q, và có một tập hợp hội tụ mạnh trong L r (Ω) Khi {S(t)} t≥0 có tập hợp hội tụ mạnh trong L q (Ω) thì cũng hội tụ trong L r (Ω).
(i) {S(t)} t≥0 cõ mởt têp hĐp thử bà ch°n trong L q (Ω) ;
(ii) vợi bĐt kẳ > 0 v bĐt kẳ mởt têp con bà ch°n B cừa L q (Ω) , tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng M = M (, B) v T = T (, B) sao cho
|S(t)u 0 | q < , (1.4) vợi bĐt kẳ u 0 ∈ B v t ≥ T ành lþ 1.3.20 [15].
GiÊ sỷ X l khổng gian Banach v {S (t)} t≥0 l mởt nỷa nhõm liản tửc mÔnh - yáu trản X Khi õ {S(t)} t≥0 cõ mởt têp hút to n cửc trong
X náu cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn:
(i) {S(t)} t≥0 cõ mởt têp hĐp thử bà ch°n trong X ,
(ii) {S(t)} t≥0 thọa mÂn iãu kiằn (C ) trong X
Têp hút ãu
Têp hút ãu cừa quĂ trẳnh ỡn trà
ành nghắa 1.4.1 GiÊ sỷ ε l mởt khổng gian Banach phÊn xÔ.
(i) Mởt h m ϕ ∈ L 2 loc ( R ; ε) ữủc gồi l bà ch°n tành tián náu
(ii) Mởt h m ϕ ∈ L 2 loc ( R ; ε) ữủc gồi l compact tành tián náu bao âng cõa {ϕ( + h)|h ∈ R } l compact trong L 2 loc ( R ; ε).
(iii) Mởt h m ϕ ∈ L 2 loc ( R ; ε) ữủc gồi l chuân tưc tành tián náu vợi bĐt kẳ > 0 , tỗn tÔi η > 0 sao cho sup t∈ R
Kẵ hiằu L 2 b ( R ; ε), L 2 c ( R ; ε), L 2 n ( R ; ε) tữỡng ựng l têp tĐt cÊ cĂc h m bà ch°n tành tián, compact tành tián v chuân tưc tành tián trong L 2 loc ( R ; ε).
Gồi H ω (g) l bao õng cừa têp {g( + h)|h ∈ R } trong L 2 b ( R ; L 2 (Ω)) vợi tổpổ yáu Kát quÊ sau ữủc chựng minh trong [8].
(i) Vợi mồi σ ∈ H ω (g), ||σ|| 2 L 2 b ≤ ||g|| 2 L 2 b ; (ii) Nhõm chuyºn dàch {T (h)} l liản tửc yáu trản H ω (g) ;
Tác động của tấm hút ẩm trong không gian kín là rất quan trọng trong quá trình liền mạch của vật liệu Phương pháp sử dụng tấm hút ẩm có thể cải thiện khả năng kiểm soát độ ẩm và duy trì chất lượng không khí trong môi trường sống Việc áp dụng tấm hút ẩm trong các tình huống cụ thể giúp tối ưu hóa hiệu quả sử dụng và bảo vệ sức khỏe con người.
Giả sử Σ là một tập tham số và X, Y là hai không gian Banach, với Y nhúng liên tục vào X Hồ {U σ (t, τ) | t ≥ τ, τ ∈ R}, σ ∈ Σ được gọi là hồ các quá trình trong X Đối với mỗi σ ∈ Σ, {U σ (t, τ) | t ≥ τ, τ ∈ R} là một quá trình, nghĩa là, một hồ các ảnh xô phụ thuộc vào hai tham số t và τ trong X.
Trong không gian biểu thức, ký hiệu U σ (τ, τ) = Id thể hiện sự đồng nhất với τ thuộc R Tập B(X) được định nghĩa là tập hợp tất cả các tập con của X Một tập B0 thuộc B(Y) được gọi là tập (X, Y) - hút nếu tồn tại t0 = t0(τ, B) ≥ τ sao cho với mọi t ≥ t0, hợp của U σ (t, τ)B nằm trong B0 Tập P ⊂ Y được gọi là tính chất (X, Y) - hút nếu lim t→+∞ sup σ∈Σ dist Y (U σ (t, τ)B, P) = 0 Tập A Σ ⊂ Y được định nghĩa là tập (X, Y) - hút liên quan đến các quá trình {U σ (t, τ)} σ ∈ Σ và nếu tồn tại tập M có tính chất (X, Y) - hút, thì A Σ thuộc M.
GiÊ sỷ {U σ (t, τ )} σ∈Σ l hồ cĂc quĂ trẳnh trản X thoÊ mÂn:
(i) U σ (t + h, τ + h) = U T (h)σ (t, τ ) , trong õ {T (h)|h ≥ 0} l mởt hồ cĂc toĂn tỷ trản Σ v thọa mÂn T (h)Σ = Σ vợi mồi h ∈ R + ;
(ii) Σ l têp compact yáu v {U σ (t, τ )} σ∈Σ l (X ì Σ, Y ) - liản tửc yáu, nghắa l , vợi mồi t ≥ τ cho trữợc, τ ∈ R , Ănh xÔ (u, τ ) 7→ U σ (t, τ )u l liản tửc yáu tứ X ì Σ v o Y ;
(iii) {U σ (t, τ )} σ∈Σ l (X, Y ) - compact tiằm cên ãu, nghắa l , nõ cõ mởt têp cõ tẵnh chĐt (X, Y ) - hút ãu v compact.
Khi õ hồ {U σ (t, τ )} σ ∈ Σ cõ mởt têp (X, Y ) - hút ãu A Σ compact trong Y v hút mồi têp bà ch°n trong X theo tổpổ trong Y Hỡn nỳa
A Σ = ω τ,Σ (B 0 ) = ∩ t≥τ ∪ σ∈Σ ∪ s≥t U σ (s, τ )B 0 , trong õ B 0 l têp (X, Y ) - hĐp thử bà ch°n cừa {U σ (t, τ )} σ∈Σ
Têp hút ãu cừa nỷa quĂ trẳnh a trà
Kẵ hiằu R d = {(t, τ) : τ ≤ t} chỉ ra rằng giê sỷ X là không gian metric Ưy, trong khi P(X) là tập hợp tất cả các tập con không rộng của không gian X Hơn nữa, Σ được xác định là không gian metric compact Định nghĩa 1.4.6 nhấn mạnh rằng U: R d → P(X) được gọi là nửa quá trình a trà (MSP) nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i) U (τ, τ, ) = Id (Ănh xÔ ỗng nhĐt) ;
Nõ ữủc gồi l nỷa quĂ trẳnh a trà ng°t náu U (t, τ, x) = U (t, s, U (s, τ, x)).
Ta x²t hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ v ành nghắa Ănh xÔ
U Σ : R d × X → P (X ) b(i U Σ (t, τ, x) = ∪ σ∈Σ U σ (t, τ, x) là một hàm liên quan đến quá trình a trà Đối với B ⊂ X, có thể hiểu rằng γ T,σ τ (B) = ∪ t≥T U σ (t, τ, B) Định nghĩa 1.4.7 cho biết rằng họ quá trình a trà {U σ } σ∈Σ được gọi là một họ compact nếu tồn tại B ∈ B(X) và τ ∈ R sao cho với mỗi T = T (B) > τ, γ T,Σ τ (B) = ∪ σ∈Σ γ T,σ τ (B) ∈ B(X).
Trong không gian metric X, ta có tập hợp {ξ n }, với ξ n thuộc U σ n (t n , τ, B) và σ n thuộc Σ, khi t n tiến tới vô cùng, l tiãn compact trong X Định nghĩa 1.4.8 chỉ ra rằng hồ nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ được gọi là tiảu hao iºm náu tỗn tÔi B 0 thuộc B(X), sao cho với mọi x thuộc X, khoảng cách dist(U Σ (t, 0, x), B 0) tiến tới 0 khi t tiến tới vô cùng Định nghĩa 1.4.9 khẳng định rằng X và Y là hai không gian metric.
F : X → Y ữủc gồi l ω - nỷa liản tửc trản ( ω − u.s.c ) tÔi x 0 náu vợi bĐt kẳ > 0 tỗn tÔi δ > 0 sao cho
F l ω − u.s.c náu nõ l ω − u.s.c vợi x ∈ D(F ) = {y ∈ X : F (x) 6= ∅} ành nghắa 1.4.10 Mởt têp A ữủc gồi l têp hút to n cửc ãu ối vợi hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ náu:
(i) A l nỷa bĐt bián Ơm, tực l , A ⊂ U Σ (t, 0, A) ;
(ii) A cõ tẵnh chĐt hút ãu, tực l , dist(U Σ (t, τ, B), A) → 0, khi t → ∞ , vợi mồi B ∈ B(X ) v τ ∈ R ;
(iii) Vợi bĐt kẳ têp õng cõ tẵnh chĐt hút ãu Y , ta cõ A ⊂ Y (tẵnh tèi thiºu). ành lỵ 1.4.11 GiÊ sỷ F ( R , Z) l khổng gian cĂc h m vợi giĂ trà trong
Z, trong õ Z l mởt khổng gian tổpổ, v Σ ⊂ F ( R , Z ) l mởt khổng gian metric compact GiÊ sỷ rơng hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(i) Cõ mởt toĂn tỷ dàch chuyºn liản tửc T (s)σ(t) = σ(t + s), s ∈ R trản Σ sao cho T (h)Σ ⊂ Σ , v vợi bĐt kẳ (t, τ ) ∈ R d , σ ∈ Σ, s ∈ R , x ∈ X , ta câ
(ii) {U σ } σ∈Σ l nỷa compact trản tiằm cên ãu ;
(iv) nh xÔ (x, σ) 7→ U σ (t, 0, x) cõ giĂ trà õng v l ω - nỷa liản tửc.
Khi õ hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ cõ têp hút to n cửc ãu compact A Hỡn nỳa, náu Σ l mởt khổng gian liản thổng, Ănh xÔ
(x, σ) 7→ U σ (t, 0, x) l nỷa liản tửc trản vợi giĂ trà liản thổng, v têp hút to n cửc ãu A ữủc chựa trong mởt têp con bà ch°n liản thổng cừa X , thẳ A l têp liản thổng.
Mởt số bĐt ¯ng thực thữớng dũng
Chúng ta nhưc lÔi mởt số bĐt ¯ng thực thữớng dũng:
Bờ ã 1.5.1 (BĐt ¯ng thực Holder)
GiÊ sỷ Ω l mởt miãn trong R N Náu p v p 0 l hai số liản hủp, tực l p, p 0 > 1 v 1 p + p 1 0 = 1 , thẳ f g ∈ L 1 (Ω) vợi mồi f ∈ L p (Ω), g ∈ L p 0 (Ω) v
Bờ ã 1.5.2 ( BĐt ¯ng thực Young)
Cho a, b > 0 , p v p 0 l hai số liản hủp Khi õ: ab ≤ a p p + b p 0 p 0 °c biằt, náu p = p 0 = 2 thẳ ta cõ bĐt ¯ng thực Cauchy.
Bờ ã 1.5.3 [13] ( BĐt ¯ng thực Gronwall)
GiÊ sỷ x(t) l mởt h m liản tửc tuyằt ối trản [0; T ] v thọa mÂn dx dt ≤ g(t)x + h(t), vợi hƯu khưp t, trong õ g(t) v h(t) l cĂc h m khÊ tẵch trản [0; T ] Khi õ x(t) ≤ x(0)e G(t) +
Nõi riảng, náu a v b l cĂc hơng số v dx dt ≤ ax + b, thẳ x(t) ≤ (x(0) + b a )e at − b a
Bờ ã 1.5.4 [14] ( BĐt ¯ng thực Gronwall ãu)
Náu x, a, b l ba h m dữỡng thọa mÂn: dx dt ≤ ax + b, trong â Z t+r t x(s)ds ≤ X,
Mởt số bờ ã quan trồng
Bờ ã đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại của toán phi tuyến trong chữỡng sau Bờ ã ưu tiên là một trường hợp đặc biệt của bờ ã compact Aubin - Lions.
GiÊ sỷ X , → H , → Y , trong õ X, Y, H l ba khổng gian Banach vợi
X l ph£n x¤ v ph²p nhóng X trong H l compact Gi£ sû {u n } l d¢y bà ch°n trong L 2 (0, T ; X ) v { du dt n } bà ch°n trong L p (0, T ; Y ), p > 1 Khi õ tỗn tÔi mởt dÂy con cừa {u n } hởi tử mÔnh trong L 2 (0, T ; H )
GiÊ sỷ O l têp mð bà ch°n trong R n v g j l dÂy trong L p (O) thọa m¢n:
Têp hút ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm
Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc mở lớp bề mặt toán parabolic suy biến tĩnh trong trường hợp khổng ổn định, đặc biệt khi ngoại lực tác động vào có sự biến đổi theo thời gian và không gian.
Trong không gian Ω ⊂ R^N với N ≥ 2, chúng ta xem xét sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho bài toán, đồng thời xác định sự tồn tại của tập hút yếu trong L^2(Ω) Ngoài ra, trong trường hợp nghiệm tuyến tính và duy nhất, chỉ có thể xác định được tính chất của tập hút yếu Nội dung của chương 2 được trình bày chi tiết trong các tài liệu [2].
Ta nghiên cứu bài toán parabolic suy biến tại miền tĩnh trong không gian Ω ⊂ R^N, với N ≥ 2 Bài toán này tập trung vào sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, đồng thời xem xét sự hội tụ của nghiệm trong không gian L²(Ω).
GiÊ sỷ Ω l miãn bà ch°n, Ω ⊂ R N vợi N ≥ 2 , x²t b i toĂn
(2.1) trong õ p ≥ 2 v u τ ∈ L 2 (Ω) cho trữợc v hằ số ρ , số hÔng phi tuyán f v ngoÔi lỹc g thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(H1) H m ρ : Ω → R o ữủc, khổng Ơm thọa mÂn ρ ∈ L 1 loc (Ω) v vợi mồi α ∈ (0, 2), lim x→z inf |x − z| −α ρ(x) > 0 vợi mội z ∈ Ω ;
(H2) f : R → R l mởt h m liản tửc thọa mÂn
|f (u)| ≤ C 1 |u| q−1 + C 2 , (2.2) uf (u) ≥ C 3 |u| q − C 4 , (2.3) vợi q ≥ 2 n o õ, trong õ C i l cĂc hơng số dữỡng;
(H3) g ∈ L 2 b ( R ; L 2 (Ω)), trong õ L 2 b ( R ; L 2 (Ω)) l têp tĐt cÊ cĂc h m bà ch°n tành tián trong L 2 loc ( R ; L 2 (Ω)) Ta ành nghắa khổng gian V l tĐt cÊ cĂc h m ω ∈ L p (Ω) thọa mÂn ω| ∂Ω = 0 v ∂x ∂ i
Dạ thĐy rơng náu u ∈ L p (Ω) v ξ ∈ V , thẳ a(u, ξ) xĂc ành.
Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu
V ∗ = L 2 (0, T ; H −1 (Ω)) + L p 0 (Ω T ). ð õ p 0 l số mụ liản hủp cừa p , tực l 1 p + p 1 0 = 1 ành nghắa 2.2.1 H m u(x, t) ữủc gồi l nghiằm yáu cừa B i toĂn (2.1) trản khoÊng (τ, T ) náu u ∈ L p (τ, T ; V ) ∩ L q (Q τ,T ), Q τ,T = (τ, T ) × Ω, du dt ∈ L p 0 (τ, T ; V ∗ ) + L q 0 (Q τ,T ), u| t=τ = u τ h¦u kh p nìi trong Ω v
(g(t), ϕ)dt, vợi mồi h m thỷ ϕ ∈ L p (τ, T ; V ) ∩ L q (Q τ,T ) ành lỵ 2.2.2 Náu iãu kiằn (H 1 ) − (H 3 ) thọa mÂn vợi τ, T ∈ R , T > τ bĐt kẳ cho trữợc thẳ B i toĂn (2.1) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm yáu trản khoÊng
Chứng minh rằng sự tồn tại của một số yếu tố có thể ảnh hưởng đến trật tự ổn định trong môi trường Chúng ta cần chứng minh các yếu tố lưỡng tiễn có thể dẫn đến sự thay đổi trong cấu trúc tổng thể Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu các phương trình liên quan để hiểu rõ hơn về các yếu tố này.
Sỷ dửng giÊ thiát (2.2) v bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ
(2.6) Vẳ Ω l miãn bà ch°n kát hủp vợi Bờ ã 1.5.1 vã bĐt ¯ng thực Holder v Bờ ã 1.5.2 vã bĐt ¯ng thực Young ta cõ tỗn tÔi C 5 > 0 sao cho
2 ||g(t)|| 2 L 2 (Ω) ≤ C (1 + ||g(t)|| 2 L 2 (Ω) ). p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, ta ữủc
Vêy u l nghiằm yáu cừa B i toĂn (2.1)
Sỹ tỗn tÔi têp hút ãu trong L 2 (Ω)
Khi hiểu D τ,σ (u τ) là tập hợp các nghiệm yếu tố n cửc, tức là các nghiệm yếu xác ảnh với mồi t ≥ τ, có thể được biểu diễn qua B toán (2.1) với ngôi lực g σ thay cho g dự kiến ban đầu u(τ) = u τ Đặc biệt, Σ = H ω (g), và khi rã r ng T (s)Σ = Σ, trong đó T (s)σ = σ( + s), với s ∈ R và ảnh xô n y liản tửc Đối với mỗi σ = g σ ∈ Σ, ta có thể thành nghĩa ảnh xô.
Bờ ã 2.3.1 U σ (t, τ, u τ ) l mởt nỷa quĂ trẳnh a trà ng°t Hỡn nỳa,
U σ (t + s, τ + s, u τ ) = U T(s)σ (t, τ, u τ ) vợi mồi u τ ∈ L 2 (Ω), s ∈ R , t ≥ τ Chựng minh Cho trữợc z ∈ U σ (t, τ, u τ ) ta cƯn chựng minh z ∈ U σ (t, s, U σ (s, τ, u τ )) L§y y(.) ∈ D τ,σ (U τ ) sao cho y(τ ) = u τ v y(t) = z Ró r ng, y(s) ∈ U σ (s, τ, u τ ) Khi õ náu ta ành nghắa z(t) = y(t) vợi t ≥ s ta cõ z(s) = y(s) v hiºn nhiản l z(.) ∈ D s,σ (y(s)) Tứ õ ta ữủc z(t) ∈ U σ (t, s, U σ (s, τ, u τ ))
Ngữủc lÔi, náu giÊ sỷ z ∈ U σ (t, s, U σ (s, τ, u τ )) thẳ tỗn tÔi y ∈ U σ (s, τ, u τ ) , vợi τ ≤ s ≤ t sao cho z ∈ U σ (t, s, y) Do õ, tỗn tÔi u(.) ∈ D τ,σ (u τ ) v v(.) ∈ D s,σ (y) sao cho y = u(s) v z = v(t) V ta cõ v(s) = y, s ≥ τ Vẳ vêy, v(s) = u(s), ∀s ≥ τ Khi õ v(.) ∈ D τ,σ (u τ )
GiÊ sỷ z ∈ U σ (t + s, τ + s, u τ ) Khi õ tỗn tÔi u(.) ∈ D τ+s,σ (u τ ) sao cho z = u(t + s) v v(.) = u( + s) ∈ D τ,T (s)σ (u τ ) , sao cho z = v(t) ∈ D τ,T (s)σ (u τ ).
Ngữủc lÔi, náu z ∈ U τ,T (s)σ (u τ ) , khi õ cõ z ∈ D T (s)σ (t, τ, u τ ) sao cho z = u(t) v v(.) = u(−s + ) ∈ D τ+s,σ (u τ ) sao cho z = v(t + s) ∈ U σ (t + s, τ + s, u τ ).
Bờ ã 2.3.2 GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn v cho trữợc {u n } ⊂ D τ,σ n (η) là một dÂy tũy ỵ nghiằm cừa B i toĂn (2.1) với u n (τ ) → η yáu trong L 2 (Ω), σ n → σ trong Σ Khi õ vợi bĐt kẳ T > τ và t n → t 0, t n , t 0 ∈ (τ, T ], tồn tÔi mởt dÂy con u n (t n ) → u(t 0 ) trong L 2 (Ω) Trong õ, u(.) ∈ D τ,σ (η) là một nghiằm yáu cừa B i toĂn (2.1) thọa mÂn u(τ ) = η.
Sỷ dửng giÊ thiát (2.2) v bĐt ¯ng thực Cauchy, ta ữủc
Do â theo b§t ¯ng thùc Gronwall suy ra {u n } bà ch°n trong L ∞ (τ, T ; L 2 (Ω)) LĐy tẵch phƠn (2.8) trản [τ, T ] , ta cõ
Tứ (2.9) suy ra {f (u n )} bà ch°n trong L q 0 (Q τ,T )
M°t kh¡c du n dt = a(u n , ) − f (u n ) + g v ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau
|hg, vi| ≤ ||g|| L q 0 (Q τ,T ) ||v|| L q (Q τ,T ) , vợi mồi v ∈ L p (τ, T ; V )∩ L q (Q τ,T ) , khi õ { du dt n } bà ch°n trong khổng gian
L p 0 (τ, T ; V ∗ ) + L q 0 (Q τ,T ) Kát hủp iãu n y vợi (2.10) v sỷ dửng Mằnh ã 2.4 trong [2] ta thu ữủc {u n } l tiãn compact trong L p (Q τ,T ) Do õ, u n → u trong L p (Q τ,T ) , khi â u ∈ L 2 (τ, T ; L 2 (Ω))
BƠy giớ ta x²t t n → t 0 , vợi t n , t 0 ∈ (τ, T ] Ta s³ chựng minh u n (t n ) → u(t 0 ) trong L 2 (Ω)
Vẳ u n (t n ) * u(t 0 ) trong L 2 (Ω) , nản n→∞ lim inf ||u n (t n )|| L 2 (Ω) ≥ ||u(t 0 )|| L 2 (Ω)
Náu ta chựng minh ữủc lim sup n→∞ ||u n (t n )|| L 2 (Ω) ≤ lim inf n→∞ ||u(t 0 )|| L 2 (Ω) thẳ u n (t n ) → u(t 0 ) trong L 2 (Ω)
(g σ (v), u n (v))dv, vợi mồi t ≤ s, t, s ∈ [τ, T ] , trong õ σ = g σ v hơng số K > 0 khổng phử thuởc v o n Do õ, h m
(g σ (v), u n (v))dv, l liản tửc v khổng tông trản [τ, T ] Hỡn nỳa, vẳ u n (t) → u(t) trong
L 2 (Ω) h¦u kh p t ∈ (τ, T ), u n → u trong L 2 (τ, T ; L 2 (Ω)) v g σ n * g σ trong L 2 (τ, T ; L 2 (Ω)) , ta câ J n (t) → J(t) h¦u kh p t ∈ (τ, T )
Tiáp theo ta chựng minh lim sup n→∞ J n (t n ) ≤ J (t 0 ) Thêt vêy, °t τ < t m < t 0 sao cho J n (t m ) → J (t m ) khi n → ∞ GiÊ sỷ t m < t n Vẳ J n khổng tông, ta cõ
Vợi bĐt kẳ > 0 tỗn tÔi t m v n 0 (t m ) sao cho J n (t n ) ≤ , vợi mồi n ≥ n 0
Vẳ vêy, n→∞ lim sup J n (t n ) = lim n→∞ sup ||u n (t)|| 2 L 2 (Ω) − Kt − 2
Do â, lim n→∞ sup ||u n (t n )|| L 2 (Ω) ≤ ||u(t 0 )|| L 2 (Ω) ành lỵ 2.3.3 [1] GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn Khi õ hồ nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ cõ mởt têp hút to n cửc ãu compact
Chựng minh Tứ (2.7), ta cõ
Do õ hẳnh cƯu B 0 = {u ∈ L 2 (Ω) : ||u|| ≤ √ R 2 + } l têp hĐp thử cừa Ănh xÔ (t, u) 7→ U Σ (t, 0, u) , nghắa l vợi bĐt kẳ B ∈ B(L 2 (Ω)) tỗn tÔi
Ta ành nghắa têp K = U Σ (1, 0, B 0 ) Tứ Bờ ã vã sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc trong L 2 (Ω) , ta cõ K l compact.
Hỡn nỳa, vẳ B 0 l têp hĐp thử, ta cõ
Khi xem xét mồi dây {ξ n} ∈ U σ n (t n, τ, B 0), với σ n ∈ Σ và t n → +∞, ta nhận thấy rằng B là một không gian compact trong B(L 2 (Σ)) Do đó, ánh xạ U σ có giá trị compact với mọi σ ∈ Σ Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng ánh xạ (σ, x) 7→ U σ (t, τ, x) là liên tục với mọi t ≥ τ ≥ 0 cố định Giả sử rằng u 0 ∈ L 2 (Ω), t ≥ τ ≥ 0, σ 0 ∈ Σ, > 0, δ n → 0, u n ∈ B δ n (u 0), σ n → σ 0, và v ξ n ∈ U σ n (t, τ, u n) sao cho {ξ n} ∉ B (U σ 0 (t, τ, u 0)) Theo đó, với sự tồn tại của tập hợp hút toàn cục trong L 2 (Ω), ta có ξ n → ξ ∈ U σ 0 (t, τ, u 0) (trong một chuỗi con), điều này chứng minh rằng tồn tại một mẫu thuẫn Sự tồn tại của tập hợp hút toàn cục đã được chứng minh là compact, kết hợp với ánh xạ và tập hợp hút này, ta có quá trình đạt được sự hội tụ.
Tẵnh trỡn cừa têp hút ãu trong trữớng hủp duy nhĐt nghiằm v p = 2
Têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hút ãu
Ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc g thọa mÂn iãu kiằn:
(H 3 1 )g ∈ L 2 n ( R ; L 2 (Ω)), trong õ L 2 n ( R ; L 2 (Ω)) l têp cĂc h m chuân tưc tành tián trong L 2 loc ( R ; L 2 (Ω)).
Náu g ∈ L 2 n ( R ; L 2 (Ω)), thẳ vợi bĐt kẳ τ ∈ R , γ→+∞ lim sup t≥τ
Z t τ e −γ(t−τ) ||ϕ|| 2 L 2 (Ω) ds = 0, vợi mồi ϕ ∈ Σ º ch¿ ra hồ cĂc quĂ trẳnh {U σ (t, τ )} σ∈Σ l (L 2 (Ω), L q (Ω)) - compact tiằm cên ãu, ta sỷ dửng kát quÊ sau.
Bờ ã 2.4.4 [6] Gồi {U σ (t, τ )} σ∈Σ l hồ cĂc quĂ trẳnh trản L 2 (Ω) v l
(L 2 (Ω), L 2 (Ω))- compact tiằm cên ãu (ối vợi σ ∈ Σ ) Khi õ {U σ (t, τ )} σ∈Σ l (L 2 (Ω), L q (Ω)) - compact tiằm cên ãu, 2 ≤ q < ∞ ,náu
1 {U σ (t, τ )} σ∈Σ cõ mởt têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hĐp thử ãu B 0 ;
2 Vợi bĐt kẳ > 0, τ ∈ R v bĐt kẳ têp con bà ch°n B ⊂ L 2 (Ω) , tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng M = M (, B) v T = T (, B, τ ) , sao cho
B¥y gií ta chùng minh ành lỵ 2.4.5 [1] Vợi cĂc iãu kiằn (H 1) , (H 2 1 ) v (H 3 1 ) , hồ cĂc quĂ trẳnh {U σ (t, τ )} σ∈Σ cõ mởt têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hút ãu A q , compact trong
L q (Ω) v hút mồi têp con cừa L 2 (Ω) trong tổpổ cừa L q (Ω) Hỡn nỳa
A q = ω τ,Σ (B 0 ), trong õ B 0 l têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hĐp thử ãu.
Chựng minh Theo Bờ ã 2.4.4 v ành lẵ 3.9 trong [7], ta ch¿ cƯn chựng minh: vợi mồi > 0, τ ∈ R v bĐt kẳ têp con bà ch°n B ⊂ L 2 (Ω) , tỗn tÔi hai hơng số dữỡng T = T (B, , τ ) v M = M (B, ) , sao cho
NhƠn phữỡng trẳnh (2.11) vợi |(u − M ) + | q−1 v sỷ dửng bĐt ¯ng thực trản, ta thu ữủc
Theo Mằnh ã 2.4.2, tỗn tÔi ρ q > 0 v T B > τ sao cho
Z t k e −λ(t−s) ||σ|| 2 L 2 (Ω) , (2.18) trong õ λ = C 1 M 2 q−2 q Theo Bờ ã 2.4.3, ta cõ q
2 q+2 , vợi σ ∈ Σ, M ≥ M 1 vợi mồi M 1 (2.19) °t T ! = λ 1 ln( 2 q+3 ρ q ) + k , khi â
L°p lÔi cĂc bữợc trản, lĐy |(u+M ) − | q−2 (u+M ) − thay cho |(u−M ) + | q−1 , tỗn tÔi M 2 v T 2 sao cho
Têp (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω)) - hút ãu
º chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa têp (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω)) - hút ãu, ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc g thọa mÂn iãu kiằn mÔnh hỡn sau:
Trữợc tiản, ta chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 2.4.6 Dữợi cĂc iãu kiằn (H 1) , (H 2 1 ) v (H 3 2 ) ,vợi mồi têp con bà ch°n B ⊂ L 2 (Ω) v τ ∈ R , tỗn tÔi hơng số dữỡng T = T (B, τ ) ≥ τ sao cho
|| d dt (U σ (t, τ )u τ )| t=s || 2 L 2 (Ω) ≤ C vợi bĐt kẳ u τ ∈ B, s ≥ T, σ ∈ Σ, trong õ C ởc lêp vợi B v σ
Chựng minh °t u(t) = U σ (t, τ )u τ sau õ lĐy Ôo h m (2.11) vợi ngoÔi lỹc σ(t) theo thới gian t v °t v = u t , ta ữủc
||u t || 2 L 2 (Ω) ≤ C, vợi t ừ lợn p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall ãu, ta ữủc
|u t | 2 dx ≤ C, khi t ừ lợn, trong õ C ởc lêp vợi B v σ ành lỵ 2.4.7 [1] Vợi cĂc iãu kiằn (H 1) , (H 2 1 ) v (H 3 2 ) , hồ cĂc quĂ trẳnh {U σ (t, τ )} σ∈Σ sinh bði b i toĂn (2.11) cõ mởt têp (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ) ∩
L q (Ω)) - hút ãu A , compact trong D 0 1 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω) v hút mồi têp con bà ch°n cừa L 2 (Ω) theo tổpổ cừa D 1 0 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω) Hỡn nỳa,
A = ω τ,Σ (B 0 ), trong õ B 0 l mởt têp (L 2 (Ω), D 0 1 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω)) - hĐp thử ãu.
Để chứng minh rằng B 0 l têp (L 2 (Ω), D 0 1 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω)) là một tập hợp compact, chúng ta cần chỉ ra rằng với bất kỳ chuỗi {U σ n (t n , τ n )U τ n} trong D 0 1 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω), ta có thể tìm được một chuỗi con hội tụ Theo định lý (2.4.5), chỉ cần chứng minh rằng {U σ n (t n , τ n )u τ n} là một dãy Cauchy trong D 0 1 (Ω, ρ) Đồng thời, cũng cần xác nhận rằng {U σ n (t n , τ n )u τ n} là dãy Cauchy trong L 2 (Ω) Khi hiểu rằng u n (t n) = U σ n (t n , τ n )u τ n, ta có thể tiếp tục thực hiện các bước cần thiết để hoàn thành chứng minh.
Theo Bờ ã (2.4.6) , ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Kát luên cừa luên vôn
Trong luên vôn n y, chúng tổi  trẳnh b y mởt số nởi dung chẵnh sau ¥y:
1 Trẳnh b y mởt số kián thực vã khổng gian h m, têp hút to n cửc v sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc, số chiãu fractal cừa têp hút to n cửc, têp hút ãu trong quĂ trẳnh ỡn trà v têp hút ãu trong nỷa quĂ trẳnh a trà.
2 Ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu, sỹ tỗn tÔi têp hút ãu v mởt số kát quÊ vã têp hút ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm.
C.T Anh, N.D Binh, and L.T Thuy (2012) explore uniform global attractors for a specific class of non-autonomous degenerate parabolic equations in their invited paper published in the International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations, Volume 4, Issues 1/2, pages 35-55, as part of a special issue focusing on degenerate and singular parabolic and elliptic equations.
[2] C.T.Anh, N.M.Chuong and T.D.Ke (2010),Global attractors for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equa- tion, J Math Anal Appl 363, 444-453
[3] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000), Up- per semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized large diffusion and nonlinear boundary conditions, J Differential Equations 168, 533-559
[4] C T Anh and L T Thuy (2012), Global attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations on R N , Bull Pol Acad. Math Sci., accepted for publication.
[5] C.T Anh and N.V Quang (2011) , Uniform attractors for non- autonomous parabolic equation involving Grushin operator, ActaMath.Vietnm 36, no 1, 19-33.