Tính chất cơ bản của các hàm mũ và hyperbolic
Tính chất cơ bản của hàm mũ
Xét hàm số mũ dạng f(x) =a x với 01 và nghịch biến trênRkhi00.Khi đóa f (x) >b⇔(a−1)(f(x)−log a b)>0.
Tính chất cơ bản của hàm hyperbolic
Trong phần này, ta trình bày một số tính chất của các hàm mũ đặc biệt, đó là các hàm hyperbolic sinh bởie ±x
Tính chất 1.3(Hàm sin hyperbolic) Hàm sin hyperbolic sinhx= e x −e −x
2 là hàm số lẻ trênR và sinhx≥0, ∀x≥0, sinhx 0 cho mọi x > 0 Điều này chứng tỏ rằng hàm số y = sinhx - tanhx là hàm lồi trên khoảng (0; +∞), từ đó dẫn đến bất đẳng thức.
(sinhA−tanhA) + (sinhB−tanhB) + (sinhC−tanhC)
Suy ra sinhA+sinhB+sinhC−tanhA−tanhB−tanhC≥3 sinhπ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giácABC đều.
Bài toán 2.30 Chứng minh rằng trong tam giácABC ta luôn có sinh 2 A
Lời giải Ta có công thức sinh 2 x
2 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với coshA+coshB+coshC−3≥ A 2 +B 2 +C 2
Xét hàm sốy=2 coshx−x 2 , ∀x≥0 Ta có y 0 =2 sinhx−2x,y 00 =2 coshx−1≥
0, ∀x≥0.Suy ray(x)>y(0) +y 0 (0).(x−0), ∀x>0nên2 coshx−x 2 >2, ∀x>0. Lần lượt thay x bởi A, B,C vào bất đẳng thức trên ta được rồi cộng từng vế các bất đẳng thức đó, ta được
Suy ra coshA+coshB+coshC−3> A 2 +B 2 +C 2
Bài toán 2.31 Chứng minh bất đẳng thức ln sinhx x > 1
Lời giải Để chứng minh bất đẳng thức (2.13) có thể sử dụng bất đẳng thức của các đại lượng trung bình Ta có
LM(e x ,e −x ) = sinhx x , GM(e x ,e −x ) =1, IM(e x ,e −x ) =e x cothx−1 (2.14)Lấy logarit hai vé của (2.14), ta có bất đẳng thức (2.13).
Các dạng toán cực trị sinh bởi hàm mũ và hyperbolic
2.2.1 Các dạng toán cực trị cơ bản
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các khái niệm cơ bản liên quan đến cực trị của hàm số Theo định nghĩa, một điểm x₀ được xem là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x₀, với f(x) < f(x₀) cho mọi x thuộc (a;b) \ {x₀} Giá trị f(x₀) lúc này được gọi là giá trị cực đại Ngược lại, x₀ được gọi là điểm cực tiểu nếu trong khoảng (a;b), f(x) > f(x₀) cho mọi x thuộc (a;b) \ {x₀}, và f(x₀) là giá trị cực tiểu Cả điểm cực đại và điểm cực tiểu đều được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và cực tiểu được gọi là cực trị Định lý 2.4 nêu rằng nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀ và có đạo hàm tại x₀, thì f'(x₀) = 0 Định lý 2.5 chỉ ra rằng nếu hàm f liên tục trên khoảng (a;b) chứa x₀ và có đạo hàm trên (a;x₀) và (x₀;b), thì: a) nếu f'(x₀) < 0 với mọi x ∈ (a;x₀) và f'(x₀) > 0 với mọi x ∈ (x₀;b), hàm f đạt cực tiểu tại x₀; b) nếu f'(x₀) > 0 với mọi x ∈ (a;x₀) và f'(x₀) < 0 với mọi x ∈ (x₀;b), hàm f đạt cực đại tại x₀ Định lý 2.6 cho biết nếu hàm f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa x₀, f'(x₀) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x₀, thì: a) nếu f''(x₀) < 0, hàm f đạt cực đại tại x₀; b) nếu f''(x₀) > 0, hàm f đạt cực tiểu tại x₀.
Bài toán 2.32 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Sử dụng bất đẳng thức
3 và (2.15) dễ dàng suy ra bất đẳng thức
Từ đó suy ra M≥0 và minM =0 khix=0.
Bài toán 2.33 Tìm giá trị nhỏ nhất của
LM(e x ;e −x ) = sinhx x , GM(e x ;e −x ) =1, AM(e x ;e −x ) =coshx, LM
Từ đây, ta có chứng minh bất đẳng thức sinhx x
Dấu đẳng thức không xảy ra xảy ra nên không có giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 2.34 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức
IM(e x ;e −x ) =e x cothx−1 ,GM(e x ;e −x ) =1, AM(e x ;e −x ) =coshx (2.18)
Vậy nên ta có điều phải chứng minh Do đóminM =1 khix=0.
Bài toán 2.35 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức e x cothx−1 ≤coshx, x∈R.IM(e x ;e −x ) =e x cothx−1 ,GM(e x ;e −x ) =1, AM(e x ;e −x ) =coshx (2.19)Vậy nên ta có điều phải chứng minh Do đóminM =0 khix=0.
Bài toán 2.36 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức e (x cothx−1)/2 < sinhx x < coshx+3 coshx/3
Chú ý (2.19), áp dụng bất đẳng thức LM ≤ M 1/3 đối với cặp đối số, ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.37 Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức cosh 2 x+1≤2e 2(x cothx−1) , x∈R.
AM(e x ,e −x ) =coshx, GM(e x ,e −x ) =1, IM(e x ,e −x ) =e x cothx−1 Áp dụng bất đẳng thức
AM 2 +GM 2 ≤2IM 2 đối với cặp đối số, ta có ngay điều phải chứng minh Từ đó suy ra
Bài toán 2.38 Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải Với p=0 hoặcx=0,dễ thấy rằng bất đẳng thức trở thành đẳng thức Giả sử p 6=0(p+1>0)vàx6=0.Khi đó ta có00 từ (2.22) suy ra p(p+1)sinh 2x≤2 sinh(p+1)x+2(p 2 −1)sinhx, ∀p>−1, ∀x∈R (2.23)
Bài toán 2.39 Xét phương trìnhx 2 −ax− 1
√2 =0 có các nghiệmx 1 vàx 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(a) = (x 1 −x 2 ) 2 + x 1 −x 2 + 1 x 1 − 1 x 2
√2 0.Khi đó f (a) = (x 2 +x 0 ) 2 + x 2 +x 0 + 1 x 0 + 1 x 2
Sử dụng bất đẳng thức 1 x 0 + 1 x 2 ≥ 4 x 0 +x 2 vớix 0 >0,x 2 >0,ta được f(a)≥(x 2 +x 0 ) 2 + x 0 +x 2 + 4
Bài toán 2.40 Cho hàm số f(x) =e −x 2 −x Gọi M 2 là giá trị lớn nhất của |f 00 (x)| trên trục thực, tức
Lời giải Ta có f 0 (x) = (−2x+1)e −x 2 +x và f 00 (x) =e −x 2 (4x 2 −1).
Nhận xét rằng|f(x)| ≤1, ∀x∈R và dấu đẳng thức xảy ra khix=0.
, ∀x∈R.Dấu đẳng thức xảy ra khi x= 1
2. Áp dụng bất đẳng thức Landau, ta có maxx∈ R
|f 00 (x)| Vậy nên giá trị minM 2 = e 1/2
4 không đạt được, ta thu được đpcm.
Bài toán 2.41 Cho hàm số f(x) =e −x 2 +2x Gọi M 2 là giá trị lớn nhất của |f 00 (x)| trên trục thực, tức
Lời giải Ta có f 0 (x) =2(1−x)e −x 2 +2x và f 00 (x) −x 2 +2x (2x 2 −4x+1).
Nhận xét rằng|f(x)| ≤1, ∀x∈R và dấu đẳng thức xảy ra khix=1.
=√ 2e 1/2 , ∀x ∈R.Dấu đẳng thức xảy ra khix= 2+√
2 Áp dụng bất đẳng thức Landau, ta có maxx∈ R
2 không đạt được, ta thu được đpcm.
Bài toán 2.42 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) f(x) =ln x−x; b) f(x) =e 2x −x.
Lời giải a) Tập xác định:D= (0;+∞).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1)và nghịch biến trên khoảng(1;+∞). b) Tập xác định:D=R.Ta có f 0 (x) 2x −1, f 0 (x) =0⇔e 2x = 1
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−ln √
2)và đồng biến trên khoảng (−ln √
Bài toán 2.43 Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x ln x.
Ta có f 0 (x) = lnx−1 ln 2 x ≥0 ⇔ln x≥1,⇔x≥e.
Vậy hàm số chỉ có duy nhất một cực tiểux ct =e; y ct =e.
Chú ý. x→1lim + f(x) = +∞vì tử số→1, mẫu số→0 + , x→1lim − f(x) =−∞vì tử số→1, mẫu số→0 − , x→0lim + f(x) =0 vì tử số→0, mẫu số → −∞.
Từ bảng biến thiên có thể hỏi thêm:
1) Phương trình x ln x =m Có hai nghiệm khi nào ?; Đáp số:m>e
2) Phương trình x ln x =m Vô nghiệm khi nào ?; Đáp số: 0≤m logx x
Bài toán 2.45 Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) =e x ln x, x∈R +
Ta có f 0 (x) =e x 1 x +lnx.e x =e x (1 x +lnx)và e x >0, ∀x∈R +
Xéth(x) = 1 x +lnx; x>0,khi đó h 0 (x) =−1 x 2 +1 x = x−1 x 2 =0,suy rax=1.
Từ bảng biến thiên suy ra h(x)≥ 1 Vậy nên f(x)>0 ∀x> 0, suy ra hàm số đã cho không có cực trị.
Bài toán 2.46 Tìm cực trị của hàm số f(x) =x.e −3x trênR.
Lời giải Ta có f 0 (x) =e −3x +x.e −3x (−3) =e −3x (1−3x) =0nên x= 1
Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu xct = 1
Chú ý. Để tính lim x→∓∞f(x) =0,ta sử dụng quy tắc H’Lôpital.
Bài toán 2.47 Tìm cực trị của hàm số f(x) = e x +e −x
2 >0, ∀x∈R nên x=0 là hoành độ điểm cực tiểu của hàm số.
Cách 2: Lập bảng biến thiên.
KL: Hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu x ct =0; y ct =1.
Chú ý có thể sử dụng quy tắc 1, quy tắc 2 đều giải được.
Bài toán 2.48 Tìm cực trị của hàm số f(x) =|x|.e −|x−1| trênR.
−x.e x−1 khi: x≤0 x.e x−1 khi: 00,∀x>x 0 Áp dụng với hàm số f(x) x −1−x−x 2
2 Khi đó lim x→+∞f(x) =−∞và lim x→+∞f(x) +∞ Do vậy f có ít nhất một nghiệm thực Ta chứng minh f có nghiệm duy nhất.
Theo nhận xét trên thì phương trình có một nghiệm duy nhất.
Bài toán 3.14 Giải phương trình4 |x| +2 |x| =4x+2.
Lời giải Theo bất đẳng thức Bernoulli t α +α−1>αt ∀t >1,α >1 t α +α−11,0 1 thì a x +a −x ≥b x +b −x , ∀x∈R.
Nếu x=0thì ta có đẳng thức Áp dụng vào bài toán đã cho, ta có
Do vậy 4[4 x +4 −x ]≥ 2 x +2 −x +3(3 x +3 −x ) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx=0.
Bài toán 3.16 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII - 2006) Giải phương trình
Phương trình trở thành f(u) = f (v), f 0 (t) =3.ln 3+1>0, ∀t∈Rnên f(t)đồng biến trên R Vậy nên f(u) = f(v)⇔u =v.
Vậy nên2x 3 −x+2=x 3 +2x+1⇔x 3 −3x+1=0. Đặtg(x) =x 3 −3x+1.Ta cóg(x)liên tục trênRvàg(1) =−10. Đặt x=2 cosα;α ∈(0;π)thì phương trìnhx 3 −3x+1=0trở thành:
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x 1 =2 cos2π
Bài toán 3.17 Tìm nghiệm nguyên dươnga vàb thỏa mãn phương trìnha b =b a
Lời giải Ta thấy (a,b) = (n,n),n∈N ∗ là nghiệm.
Xét trường hợp a6=b.Giả sử a