Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert
Sỹ hởi tử yáu, hởi tử mÔnh
ành nghắa 1.1.1 (xem [1]) Mởt dÂy {x k } ⊂ H ữủc gồi l hởi tử mÔnh (hởi tử yáu) tợi x ∗ ∈ H , kỵ hiằu x k → x ∗ (tữỡng ựng x k * x ∗ ), náu kx k − x ∗ k → 0 (tữỡng ựng hu, x k − x ∗ i → 0 vợi mồi u ∈ H ) khi k → ∞
Mở một dây {x_k} ⊂ H, với x_k tiến gần đến x* trong không gian H, cho thấy rằng x_k sẽ hội tụ đến x* Nếu C là một tập không rỗng và C ⊂ H, thì ánh nghĩa 1.1.2 (xem [2]) xác định rằng hàm S: C → H được gọi là ánh xạ.
0, náu {x k } l mởt dÂy trong C sao cho x k * x ¯ v (I − S)(x k ) → 0 , thẳ
Theo ành nghắa cừa chuân, ta cõ tẵnh chĐt sau
Bờ ã 1.1.3 (xem [1]) Vợi mội x, y ∈ H , ta cõ
(i) kx − yk 2 = kxk 2 − kyk 2 − 2 hx − y, yi
(ii) ktx + (1 − t) yk 2 = tkxk 2 + (1 − t) kyk 2 − t (1 − t) kx − y k 2 , ∀t ∈ [0, 1]
ToĂn tỷ chiáu trong khổng gian Hilbert
Hẳnh chiáu cừa mởt iºm x ∈ H trản C , kỵ hiằu P C (x) , l mởt iºm thuởc
C v gƯn iºm x nhĐt, ữủc xĂc ành bði
P C (x) = argmin {kx − yk : y ∈ C} (1.1) Ph²p chiáu xĂc ành bði (1.1) cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
Mằnh ã 1.1.4 ([5], ành lỵ 3.14, Mằnh ã 4.8) Cho C l mởt têp con, lỗi, õng, khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ
(b) hẳnh chiáu P C (x) cừa x trản C luổn tỗn tÔi v duy nhĐt;
(c) kP C (x) − P C (y)k 2 ≤ hP C (x) − P C (y), x − yi, ∀x, y ∈ H (tẵnh ỗng bực); (d) kP C (x) − P C (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (tẵnh khổng giÂn).
Mằnh ã 1.1.5 ([11], Mằnh ã 4.1) Cho C l mởt têp con, lỗi, õng, khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ
(b) kP C (x) − P C (y)k 2 ≤ kx − yk 2 − kP C (x) − x + y − P C (y)k 2 , ∀x, y ∈ H; (c) kx − P C (x − y)k 2 ≤ kyk, ∀x, y ∈ H;
(d) kz − P C (x − y)k 2 ≤ kx − zk 2 − 2hx − z, yi + 5kyk 2 , ∀x, z ∈ C, y ∈ H.
Nõn phĂp tuyán
GiÊ sỷ C l têp con, lỗi, khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H v x 0 ∈ C Khi õ têp
N C (x 0 ) = {ω ∈ H| hω, x − x 0 i ≤ 0, ∀x ∈ C} ữủc gồi l nõn phĂp tuyán ngo i cừa C tÔi x 0 v têp −N C (x 0 ) ữủc gồi l nõn phĂp tuyán trong cừa C tÔi x 0
Náu f : H → R ∪ {+∞} l h m lỗi chẵnh thữớng trản H , w ∈ H ữủc gồi l dữợi Ôo h m cừa h m f tÔi x náu f (y) ≥ hw, y − xi + f (x), ∀y ∈ H.
Têp tĐt cÊ cĂc dữợi Ôo h m cừa h m f tÔi x ữủc gồi l dữợi vi phƠn cừa f tÔi x v kỵ hiằu l ∂f (x) H m f ữủc gồi l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x náu
∂f (x) 6= ∅, v f l khÊ dữợi vi phƠn trản têp lỗi, õng C ⊂ H náu ∂f (x) 6= ∅ , vợi mồi x ∈ C
Tứ khái niệm liên quan đến tối ưu hóa hàm mục tiêu trong không gian H, với H → R ∪ {+∞} là hàm lỗi Khi tìm kiếm giá trị cực tiểu, ta có thể xác định x₀ ∈ argmin f(x) với mọi x ∈ C, từ đó đưa ra kết quả tối ưu trong bối cảnh nghiên cứu.
1.1.4 nh xÔ khổng giÂn v toĂn tỷ ỡn iằu ành nghắa 1.1.7 (xem [2]) Mởt Ănh xÔ S : C → H , ữủc gồi l
(a) khổng giÂn, náu kS(x) − S(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C;
(b) tỹa khổng giÂn, náu Fix (S) 6= ∅ v kS(x) − x ∗ k ≤ kx − x ∗ k ∀(x, x ∗ ) ∈ C ×Fix (S);
(c) tỹa co, náu Fix (S) 6= ∅ v tỗn tÔi β ∈ (0, 1) thọa mÂn kS (x) − x ∗ k ≤ βkx − x ∗ k ∀(x, x ∗ ) ∈ C ×Fix (S);
(d) nỷa co, náu Fix (S) 6= ∅ v tỗn tÔi β ∈ [0, 1) thọa mÂn kS(x) − x ∗ k 2 ≤ kx − x ∗ k 2 + βkx − S(x)k 2 ∀(x, x ∗ ) ∈ C ×Fix (S);
(e) õng yáu trản C náu {x k } ⊂ C, x k * x v S(x k ) * w thẳ w = S (x); (f) liản tửc yáu náu x n * x , thẳ S(x n ) * S(x) ành nghắa 1.1.8 (xem [2]) H m f : H → R ∪ {±∞} ữủc gồi l
(a) nỷa liản tửc dữợi tÔi x ∈ C náu vợi mồi dÂy {x k } ⊂ C hởi tử mÔnh án x thẳ lim inf k→∞ f (x k ) ≥ f (x)
(b) nỷa liản tửc trản tÔi x ∈ C náu vợi mồi dÂy {x k } ⊂ C hởi tử mÔnh án x thẳ lim sup k→∞ f (x k ) ≤ f (x)
H m f l nỷa liản tửc dữợi (nỷa liản tửc trản) trản C náu f nỷa liản tửc dữợi (nỷa liản tửc trản) tÔi mồi x ∈ C ành nghắa 1.1.9 (xem [2]) Mởt Ănh xÔ F : C → H ữủc gồi l
(a) γ -ỡn iằu mÔnh trản C , náu hF (x) − F (y), x − yi ≥ γkx − yk 2 ∀x, y ∈ C ;
(b) ỡn iằu trản C , náu hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C ;
(c) giÊ ỡn iằu trản C , náu hF (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hF (x), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C ;
(d) β -ỡn iằu mÔnh ngữủc trản C , náu hF (x) − F (y), x − y i ≥ βkF (x) − F (y)k 2 ∀x, y ∈ C;
(e) para-ỡn iằu trản C , náu F ỡn iằu trản C v hF (x) − F (y), x − yi = 0 ⇒ F (x) = F (y) ∀x, y ∈ C ;
(f) para-ỡn iằu ch°t trản S ⊂ C , náu F giÊ ỡn iằu trản C v
(g) L -liản tửc Lipschitz trản C , náu kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C.
Theo ành nghắa 1.1.9, náu F l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh ngữủc thẳ F l
L-liản tửc Lipschitz vợi hơng số L = β 1 v ỡn iằu trản C , v ta cõ quan hằ
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các hàm số và tính chất của chúng trong không gian R Hàm F: C → R được xác định bởi F(x) = x^2, trong đó C là tập hợp các số thực Chúng ta sẽ xem xét những đặc điểm nổi bật của hàm này và cách nó tương tác với các yếu tố khác trong không gian.
Ta nhưc lÔi mởt số bờ ã cỡ bÊn ữủc sỷ dửng º chựng minh sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn trong chữỡng sau.
Bờ ã 1.1.10 ([17], Bờ ã 3.1) Cho A : H → H l toĂn tỷ β -ỡn iằu mÔnh v L -liản tửc Lipschitz, λ ∈ (0, 1] v à ∈ (0, 2β L 2 ) Khi õ vợi mồi x ∈ H , Ănh xÔ T (x) = x − λàA(x) thọa mÂn bĐt ¯ng thực kT (x) − T (y)k ≤ (1 − λτ )kx − yk ∀x, y ∈ H, vợi τ = 1 − p 1 − à(2β − àL 2 ) ∈ (0, 1]
Bờ ã 1.1.11 ([10], Bờ ã 2.1) Cho {λ n } v {β n } l dÂy khổng Ơm thọa mÂn
(i) Tỗn tÔi dÂy con {β n k } ⊂ {β n } thọa mÂn lim k→∞ β n k = 0.
(ii) Náu {λ n } v {β n } thọa mÂn β n+1 − β n < θλ n , ∀θ > 0 , thẳ {β n } thọa mÂn lim n→∞ β n = 0.
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn v mởt số b i toĂn liản quan 11
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
Cho C là tập con, lỗi, khác rộng trong không gian Hilbert thực H và ánh xạ F: C → H Biến toán bất đồng thực biến phân xác định bởi miền ràng buộc C và ánh xạ giá trị F, kỵ hiểu VI(F, C), là biến toán.
Têp nghiằm cừa b i toĂn VI (F, C) ữủc kỵ hiằu l S (F,C) Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn VI (F, C) ữủc suy ra tứ tẵnh liản tửc cừa F v iãu kiằn têp C l compact.
Trong trường hợp tập hợp compact của không gian Brouwer, có thể áp dụng định lý tồn tại nghiệm cho bài toán VI (F, C) Điều này cho thấy rằng tồn tại nghiệm cho bài toán này dựa vào tính liên tục và điều kiện Lipschitz của hàm số F.
Mằnh ã 1.2.1 (xem [4]) Náu F : C → H l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh trản
C v L -liản tửc Lipschitz trản C thẳ b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VI (F, C ) cõ nghiằm duy nhĐt.
Chựng minh Chồn 0 < à < 2β L 2 v x²t Ănh xÔ T : C → C ữủc xĂc ành bði
Khi õ, vợi mồi x, y ∈ C , ta cõ: kT (x) − T (y)k 2 =kP C (x − àF (x)) − P C (y − àF (y))k 2
=kx − yk 2 − 2àhF (x) − F (y), x − yi + à 2 kF (x) − F (y)k 2
Do F l Ănh xÔ liản tửc Lipschitz v ỡn iằu mÔnh trản C , nản kT (x) − T (y)k 2 ≤kx − yk 2 − 2àβkx − yk 2 + à 2 L 2 kx − yk 2
=ρkx − yk, trong õ, ρ = p (1 − à(2β + àL 2 ) ∈ [0, 1) Vêy T : C → C l Ănh xÔ co Theo nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach, tỗn tÔi duy nhĐt x ∗ ∈ C sao cho T (x ∗ ) = x ∗ Do â, x ∗ ∈ S (F,C)
Mởt b i toĂn thỹc tá ữủc mổ tÊ dữợi dÔng bĐt ¯ng thực bián phƠn
Mô hình kinh tế là một phần quan trọng trong lĩnh vực kinh tế, giúp mô phỏng hành vi của các tác nhân kinh tế Một số mô hình kinh tế được xây dựng để khảo sát các điều kiện cần thiết cho nguồn cung và cầu của một loại hàng hóa nhất định, những mô hình này thực chất là mô hình của nền kinh tế Khái niệm về nền kinh tế có thể biểu thị mối quan hệ giữa giá cả và nguồn cung, đồng thời vượt qua các loại hàng hóa Do đó, hầu hết các mô hình nền kinh tế hiện nay đều có thể viết dưới dạng bài toán tối ưu hóa thực biến phân Để minh họa cho khía cạnh này, ta có thể xem xét một trong những mô hình kinh tế tiêu biểu do Walras đề xuất.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm về trữ lượng và phân phối trong toán học Đầu tiên, chúng ta xem xét một hệ thống gồm n biến ngẫu nhiên, trong đó mỗi biến được ký hiệu là \(X_i\) với \(i = 1, 2, \ldots, n\) Mỗi biến ngẫu nhiên này sẽ được mô tả bằng một hàm phân phối xác suất tương ứng Đặc biệt, chúng ta sẽ phân tích cách thức mà giá trị của từng biến ngẫu nhiên ảnh hưởng đến toàn bộ hệ thống, thông qua một hàm mục tiêu \(d_i\), thể hiện mối quan hệ giữa các biến Cuối cùng, chúng ta sẽ tập trung vào việc tối ưu hóa hàm mục tiêu này để tìm ra giá trị tối ưu cho các biến ngẫu nhiên trong hệ thống.
X j=1 d ij (p), trong õ d ij (p) l ch¿ nhu cƯu ối vợi m°t h ng thự i cừa Ôi lỵ thự j
Tữỡng tỹ ta cõ lữủng cung cừa m°t h ng thự i cho tĐt cÊ cĂc Ôi lỵ, kỵ hiằu l s i phử thuởc v o giĂ cừa tĐt cÊ cĂc m°t h ng, tực l s i (p) = m
X j=1 s ij (p), trong õ s ij (p) l lữủng cung cừa m°t h ng thự i cho Ôi lỵ thự j vợi v²c-tỡ gi¡ p
Ta có thể tường hợp lưỡng cứu đối với một hệ thống thành mở vắc-tơ cơ sở n -chiều với các thành phần {d1, d2, , dn} và lưỡng cung đối với một hệ thống thành mở vắc-tơ cơ sở n -chiều s với các thành phần {s1, s2, , sn} Điều kiện cần bậc cửa thà trướng yêu cầu lưỡng cung của mỗi một hệ phải bậc lưỡng cứu của một hệ vắc-tơ giáp * , tương ứng với hàm phương trình sau: s(p*) = d(p*).
Hàm phương trình trần có thể biểu diễn dưới dạng vecto x ≡ p và F(x) ≡ s(p) − d(p) Cần chú ý rằng ràng buộc bi toán giải hàm phương trình chữa từ tường quát sẽ đảm bảo bi toán đang xét, trong đó p* ≤ 0.
Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày bài toán bù phi tuyến cho bài toán cân bằng thị trường Xét trường hợp hợp các hàm cứu được cho trường hợp các hàm cung Khi đó, thay vào điều kiện cân bằng thị trường, ta xét điều kiện cân bằng sau: với mỗi một hàm thực i, i = 1, 2, , n.
Trong mô hình kinh tế, điều kiện cân bằng thị trường được thể hiện qua phương trình s(p∗) − d(p∗) = 0 khi p∗ > 0, và s(p∗) − d(p∗) ≥ 0 khi p∗ = 0 Nếu giá của một hàng hóa trong trạng thái cân bằng vượt quá mức cung, thì sẽ có tình trạng thặng dư với s(p∗) − d(p∗) > 0, dẫn đến việc ngừng hoạt động của thị trường Hơn nữa, hàm cung và hàm cầu phản ánh sự biến động giá cả của các hàng hóa Trong trường hợp này, mô hình toán học có thể được diễn đạt qua hệ phương trình phi tuyến để xác định p∗ ∈ Rn+ thỏa mãn điều kiện s(p∗) − d(p∗) ≥ 0 và s(p∗) − d(p∗), p∗ = 0.
Hơn nữa, ta biết rằng bài toán bù phi tuyến mở một trường hợp hợp tác của bài toán thực biến phân Do đó, ta có thể viết lại bài toán bù phi tuyến dựa trên bài toán thực biến phân như sau: tìm điểm p* ∈ R^n+ thỏa mãn hs(p*) - d(p*) ≥ 0 với mọi p ∈ R^n+.
Mởt số b i toĂn liản quan
Sau Ơy l mởt số b i toĂn liản quan án bĐt ¯ng thực bián phƠn VI (F, C)
B i toĂn giÊi phữỡng trẳnh toĂn tỷ
Trong không gian R^n, nếu H = R^n và C = R^n với hàm F: R^n → R^n, thì điểm x^* ∈ R^n là nghiệm của bài toán biến phân VI (F, C) khi x^* là nghiệm của phương trình toán tỷ F(x^*) = 0.
Chựng minh Náu F (x ∗ ) = 0 thẳ bĐt ¯ng thực (1.2) xÊy ra dĐu bơng Do â, ta câ x ∗ ∈ S (F,C)
Ngữủc lÔi, náu x ∗ ∈ S (F,C) thẳ hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 vợi mồi x ∈ R n Chồn x = x ∗ − F (x ∗ ), ta ữủc hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 hay − kF (x ∗ )k 2 ≥ 0 Do õ
Cho C l têp con, lỗi, õng v khĂc rộng cừa H , F : C → R l h m lỗi v nỷa liản tửc dữợi B i toĂn tối ữu, kỵ hiằu OP (F, C) , l b i toĂn
Tẳm x ∗ ∈ C sao cho F (x ∗ ) ≤ F (y) vợi mồi y ∈ C
Vẵ dử 1.2.3 Cho f l h m số khÊ vi trản [a, b] ⊂ R Tẳm x ∗ ∈ [a, b] sao cho f (x ∗ ) = min x∈[a,b] f (x).
Trong cÊ ba trữớng hủp ta ãu cõ f 0 (x ∗ )(x − x ∗ ) ≥ 0 Ơy l mởt bĐt ¯ng thực bián phƠn.
Cho C ⊂ H l mởt mởt têp lỗi, õng, khĂc rộng v Ănh xÔ ỡn trà F : C → C Khi õ b i toĂn iºm bĐt ởng, kỵ hiằu l FP (F, C) , l b i toĂn
Mối liản hằ giỳa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn v b i toĂn iºm bĐt ởng ữủc nảu trong mằnh ã dữợi Ơy.
Mành ã 1.2.4 (xem [8]) cho thấy rằng giám sát C là một tệp con trong không gian Hilbert thực H Khi x* là nghiệm của bài toán VI (F, C) với mọi λ > 0, x* được xác định bởi P_C(I - λF): C → C, tức là x* = P_C(x* - λF(x*)) Để chứng minh, ta có T(x) = P_C(x - λF(x)) Theo định nghĩa nghiệm của Mành ã 1.2.4, ta có x* ∈ Fix(T) nếu và chỉ nếu x* = T(x*).
Nhên x²t 1.2.5 B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn cụng cõ thº ữa vã b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng x ∗ = F (x ∗ ), (1.5) ð ¥y
F (x) = x − g(x) + P C [g(x) − ρ(A(x) − T (x))], (1.6) vợi ρ l mởt tham số dữỡng.
Tứ nhên x²t n y, ta xƠy dỹng thuêt toĂn sau Ơy º tẳm nghiằm cừa b i to¡n VI (F, C)
Mởt phữỡng phĂp l°p giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn
Thuêt toĂn 1.2.6 (xem [12]) Cho H l khổng gian Hilbert thỹc, x 0 ∈ H DÂy l°p {x k+1 } ữủc xĂc ành nhữ sau x k+1 = x k − g(x k ) + P C [g(x k ) − ρ(A(x k ) − T (x k ))], k = 0, 1, 2, (1.7) trong õ ρ > 0 l hơng số.
Mởt số trữớng hủp °c biằt
1 Náu g(x) = x ∈ C thẳ dÂy l°p (1.7) cõ dÔng x 0 ∈ H, x k+1 = P C [ρ(A(x k ) − T (x k ))], k = 0, 1, 2, (1.8)
2 Náu T (x) = 0 thẳ dÂy l°p (1.7) cõ dÔng x 0 ∈ H, x k+1 = x k − g(x k ) + P C [g(x k ) − ρA(x k )], k = 0, 1, 2,
3 Náu T (x) = 0 v g = I , Ănh xÔ ỡn và trong khổng gian Hilbert thỹc H , thẳ dÂy l°p (1.7) cõ dÔng x 0 ∈ H, x k+1 = P C [x k − ρA(x k )], k = 0, 1, 2, (1.10) ành lþ 1.2.7 (xem [12]) Cho c¡c ¡nh x¤ A, g : H −→ H l ¡nh x¤ ìn iằu mÔnh v liản tửc Lipschitz, tữỡng ựng Náu Ănh xÔ T : C → C l liản tửc Lipchitz thẳ x k+1 → x ∗ trản H, vợi ρ − α + γ(k − 1)) β 2 − γ 2
< p α + γ(k − 1) 2 − (β 2 − γ 2 )k(2 − k)) β 2 − γ 2 , k < 1 α > γ(1 − k) + q (β 2 − γ 2 )k(2 − k) v γ(1 − k) < α, trong õ {x k+1 } l dÂy l°p xĂc ành bði (1.7) v x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hA(x ∗ ), g(x) − g(x ∗ )i ≥ hT (x ∗ ), g(x) − g(x ∗ )i ∀g(x) ∈ C (1.11) º chựng minh ành lỵ n y, ta cƯn bờ ã sau Ơy.
Bờ ã 1.2.8 đề cập đến việc xác định một tệp con lỗi trong không gian Hilbert H Đối với x ∗ thuộc H, điều này liên quan đến việc giải phương trình g(x ∗ ) = P C [g(x ∗ ) − ρ(A(x ∗ ) − T (x ∗ ))], trong đó ρ > 0 là hằng số và P C là phép chiếu vào miền C.
Chứng minh theo Bờ ã 1.2.8 cho thấy rằng nghiệm x* của bài toán tối ưu hóa có thể được mô tả bằng phương trình (1.11) Từ đó, kết hợp với các phương trình (1.12) và (1.6), ta có thể xác định được sự thay đổi của giá trị hàm mục tiêu trong quá trình tối ưu hóa, cụ thể là kxk - x* = kxk - x* - (g(xk) - g(x*)).
(1.13) Vẳ A l Ănh xÔ ỡn iằu mÔnh v g l Ănh xÔ liản tửc Lipschitz nản x k − x ∗ − (g(x k ) − g(x ∗ ))
Tứ (1.13), (1.14), (1.15) v Ăp dửng tẵnh liản tửc Lipschitz cừa T , ta ữủc x k+1 − x ∗ ≤ {(2 p 1 − 2δ + σ 2 ) + ργ + p 1 − 2αρ + ρ 2 β 2 } x k − x ∗
GiĂ trà cỹc tiºu cừa t(ρ) l ρ ¯ = α/β 2 vợi t(ρ) = p 1 − α 2 /β 2 Ta s³ ch¿ ra θ < 1 Thêt vêy, cho ρ = ¯ ρ, k + ργ + t( ¯ ρ) < 1 k²o theo k < 1 v α > γ(1 − k) + q (β 2 − γ 2 )k(2 − k)
Bài toán tối ưu trong không gian có một nghiệm duy nhất x* được xác định khi bậc của đa thức là nhỏ hơn 1 Dãy lặp x(n+1) được xây dựng từ nghiệm x* và được sử dụng để tìm nghiệm chính xác của bài toán tối ưu thực biến phân.
Chú ỵ 1.2.9 Ta cõ cĂc trữớng hủp °c biằt sau Ơy:
1 Náu g(x) = x ∈ C thẳ b i toĂn (1.11) tữỡng ữỡng vợi b i toĂn tẳm phƯn tû x ∗ ∈ C sao cho hA(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ hT (x ∗ ), x − x ∗ i ∀x ∈ C (1.16)
2 Náu T (x) = 0 thẳ b i toĂn (1.11) tữỡng ữỡng vợi b i toĂn tẳm phƯn tỷ x ∗ ∈ C sao cho g(x ∗ ) ∈ C v thọa mÂn hA(x ∗ ), g(x) − g(x ∗ )i ≥ 0 ∀g(x) ∈ C (1.17)
3 Náu T (x) = 0 v g = I , Ănh xÔ ỡn và trong khổng gian Hilbert thỹc H , thẳ b i toĂn (1.11) tữỡng ữỡng vợi b i toĂn tẳm phƯn tỷ x ∗ ∈ C sao cho hA(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.18) Ơy chẵnh l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (1.2) vợi Ănh xÔ giĂ F ữủc thay bði A
Nhên x²t 1.2.10 (xem [12]) 1 Náu g = I , Ănh xÔ ỗng nhĐt Trong trữớng hủp n y k = 0 v (1.6) trð th nh
Do õ, Ănh xÔ F (x) cõ mởt iºm bĐt ởng, l nghiằm cừa b i toĂn (1.16).
2 Náu g = I , Ănh xÔ ỗng nhĐt v T (x) = 0 Trong trữớng hủp n y, k = 0 , γ = 0 v (1.6) trð th nh
F (x) = P C [x − ρAx], vợi θ = t(ρ) < 1 vợi 0 < ρ < 2α/β 2 Do õ Ănh xÔ F (x) cõ mởt iºm bĐt ởng, õ l nghiằm cừa b i toĂn (1.18).
3 Náu T (x) ≡ 0 , thẳ γ = 0 v (1.6) trð th nh
Do õ Ănh xÔ F (x) cõ mởt iºm bĐt ởng, õ l nghiằm cừa b i toĂn (1.17). Sau Ơy l mởt vẵ dử minh hồa.
Vẵ dử 1.2.11 X²t b i toĂn cỹc trà cõ r ng buởc ϕ(x ∗ ) = min x∈C ϕ(x), (1.19) vợi h m ϕ : R 3 → R xĂc ành bði ϕ(x) = (x 1 − 1) 2 + (x 2 − 2) 2 + (x 3 − 3) 2 v
C = {x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 : x 1 + 2x 2 − x 3 ≤ 2} l têp con khĂc rộng lỗi õng trong khổng gian Euclid R 3 Khi õ, ta cõ gradient
5ϕ(x) = 2x − a vợi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) T ∈ R 3 v a = (2, 4, 6) T ∈ R 3 iãu kiằn tối ữu cho b i toĂn (1.19) l bĐt ¯ng thực bián phƠn: h5ϕ(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.20)Nghiằm úng cừa b i toĂn (1.19) l iºm x ∗ = (1, 2, 3) T ∈ C ⊂ R 3
Sỷ dửng phữỡng phĂp l°p (1.10) º tẳm nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn (1.20) cụng chẵnh l nghiằm cừa b i toĂn (1.19) vợi A(x) = 5ϕ(x) cõ tẵnh chĐt
2-ỡn iằu mÔnh v 2 -liản tửc Lipschitz trản C
Kát quÊ tẵnh toĂn trản MATLAB ữủc cho trong cĂc BÊng 1.11.3.
Nhên x²t 1.2.12 và Tứ BÊng 1.11.3 cho thấy sự khác biệt trong việc chọn lựa tham số Để đạt được kết quả tốt nhất cho nghiằm úng, ta cần chú ý đến các yếu tố ảnh hưởng và điều chỉnh chúng một cách phù hợp Việc này sẽ giúp tối ưu hóa quá trình tính toán sau 1000 bước l°p.
BÊng 1.1: BÊng tẵnh toĂn vợi x 0 = (5, 5, 5) T ∈ R 3 , chồn à = 1/(k + 2) k (sè l¦n l°p) x k Sai sè ( kx k − x ∗ k ) Time
BÊng 1.2: BÊng tẵnh toĂn vợi x 0 = (−20, −60, −10) T ∈ R 3 , à = 1/(k + 2) k (sè l¦n l°p) x k Sai sè ( kx k − x ∗ k ) Time
BÊng 1.3: BÊng tẵnh toĂn vợi x 0 = (−20, −60, −10) T ∈ R 3 , à = 1/(k + 4) k (sè l¦n l°p) x k Sai sè ( kx k − x ∗ k ) Time
Mởt phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
2.1.1 B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
Trong không gian Hilbert thực H, x²t Ănh xÔ F, G : C → H Biến toán bất động thực biến phân hai cặp, kỵ hiằu l BVI (F, G, C) là biến toán tầm x ∗ ∈ S (G,C) thỏa mãn hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ S (G,C) Ở đây, S (G,C) là tập nghiệm biến toán bất động thực biến phân tầm y ∗ ∈ C thỏa mãn hG(y ∗ ), x − y ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C.
Ta kỵ hiể u têp nghiằm cừa b i toĂn BVI (F, G, C) l Ω B i toĂn BVI (F, G, C) Â ữủc nhiãu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu trong thới gian gƯn Ơy, °c biằt l viằc xƠy dỹng mởt số thuêt toĂn giÊi dỹa trản tẵnh ỡn iằu cừa cĂc Ănh xÔ gi¡ F v G.
2.1.2 Mởt số b i toĂn liản quan
Thống nhất trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu hai cấp là rất quan trọng, giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả Người ta thường quan tâm đến các thuật toán giải quyết những bài toán này, nhằm tối ưu hóa các yêu cầu cụ thể Bài toán tối ưu hai cấp thường bao gồm việc xác định các biến quyết định và các ràng buộc, từ đó tìm ra giải pháp tối ưu Việc áp dụng các mô hình toán học cho bài toán tối ưu hai cấp giúp nâng cao khả năng phân tích và đưa ra quyết định chính xác hơn.
Trong thời gian gần đây, có nhiều tác giả đưa ra thuật toán tầm nghiêm nhằm biện toán bất đẳng thức biến phân hai cấp dữ dội các trường hợp riêng, nhất là trong trường hợp f, g là hai hàm lỗi và khê vi Biện toán BVI (F, G, C) với F = ∇f và G = ∇g cần được xem xét trong bối cảnh của biện toán cực tiểu hai cấp.
Trường hợp hàm F(x) = x với mọi x ∈ C, bài toán biên độ thực biến phân hai cấp BVI (F, G, C) có dạng bài toán tầm chuẩn nhỏ nhất của tập nghiệm biên độ thực biến phân sau tầm x* ∈ C sao cho x* = PS(G, C)(0).
Thuật toán ôm mạnh tổng cường giải bài toán (2.2) được giới thiệu trong bài báo [19] với giải thiết tập rỗng C ⊆ H và tập lỗi, không, khác rộng và ảnh số G : C → H là α -đơn hình ngữ cảnh với S (G,C) 6= ∅ Thuật toán được trình bày bởi những yếu tố sau:
Khi õ, dÂy {x k } hởi tử mÔnh án x ∗ = P S (G,C) (0) dữợi mởt số iãu kiằn °t lản tham số.
Ta nhưc lÔi mởt số bờ ã ữủc dũng º chựng minh sỹ hởi tử cừa cĂc dÂy l°p trong Thuêt toĂn 2.2.2.
Kỵ hiằu Fix (S) l têp iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ S , tực l
Trong không gian Hilbert thực H, cho C là tập con lỗi, và S: C → H là ánh xạ không gian Nếu Fix(S) khác rỗng, thì (I - S) là ánh xạ đơn nhất trên H Với mọi y ∈ H, tồn tại một dãy {x_k} thuộc C sao cho y là hình ảnh của x̄ ∈ C qua ánh xạ (I - S), tức là (I - S)(x̄) = y.
Bờ ã 2.1.2 (xem [16], Bờ ã 2.5) GiÊ sỷ {a n } l dÂy số thỹc khổng Ơm thọa m¢n a n+1 ≤ (1 − γ n )a n + δ n , ∀n ≥ 0, vợi {γ n } ⊂ (0, 1) v {δ n } l mởt dÂy trong R thọa mÂn
2.1.3 Thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn hai c§p
Thuêt toĂn Ôo h m tông cữớng [9] l mởt trong nhỳng phữỡng phĂp hỳu hiằu giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vợi Ănh xÔ giĂ ỡn iằu v liản tửc
Lipschitz là một khái niệm quan trọng trong phân tích toán học, đặc biệt trong việc xây dựng các thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Tác giả đã áp dụng các phương pháp toán học để phát triển các dây lặp nhằm cải thiện hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán phức tạp này.
Thuêt toĂn 2.1.3 ([3], Thuêt toĂn 2.2) Cho k = 0, x 0 ∈ H, 0 < λ ≤ 2β L 2 1 , cĂc dÂy số dữỡng {δ k }, {λ k }, {α k } , {β k }, {γ k } v { k } thọa mÂn
P k=0 k < ∞, 0 < lim inf k→∞ β k < lim sup k→∞ β k < 1, k + β k + γ k = 1, ∀k ≥ 0, lim k→∞ k = 0,
Bữợc 1 Náu x k ∈ Ω thẳ dứng Ngữủc lÔi, tẵnh y k = P C (x k − λ k G(x k )) v z k = P C (x k − λ k G(y k ))
Tẳm h k thọa mÂn kh k − lim j→∞ x k,j k ≤ k v °t x k+1 = α k x k + (1 − α k )h k
Bữợc 3 Ngữủc lÔi, thay k bði k + 1 v quay lÔi Bữợc 1.
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1.3 ữủc kh¯ng ành trong ành lỵ sau Cho C là tập con, lỗi, õng, khĂc rộng của không gian Hilbert thực H GiÊ sỷ Ănh xÔ F : C → H l β -ỡn iằu mÔnh v.
Lipschitz trản C là một hàm từ không gian C đến không gian H, có tính chất Lipschitz Khi đó, các dãy {x_k}, {y_k} và {z_k} được xác định theo thuật toán 2.1.3, nhằm tìm nghiệm x* duy nhất của bài toán BVI (F, G, C).
Hìn núa, ta câ x ∗ = lim k→∞ P S (G,C) (x k ).
Phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
Trong nghiên cứu này, chúng tôi trình bày phương pháp toán chiếu trong giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI (F, G, C), dựa trên cỡ số khít hẹp giữa phương pháp tính toán và hình thức tối ưu hóa không gian Phương pháp này bao gồm hai bước chính.
Bữợc 1 Sỷ dửng thuêt toĂn chiáu Ôo h m giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VI (G, C ) v tẵnh dÂy l°p x k+1 = P C (x k − λG(x k )) (k = 0, 1, ) vợi λ > 0 v x 0 ∈ C
Bữợc 2 Sỷ dửng Nguyản lỵ iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ co Banach tẳm iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa Ănh xÔ co T λ = I − λàF vợi I l Ănh xÔ ỗng nhĐt, à ∈ (0, 2β
L 2 ) v λ ∈ (0, 1] GiÊ thiát 2.2.1 GiÊ sỷ Ănh xÔ F v G thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(C1) G l Ănh xÔ η -ỡn iằu mÔnh ngữủc trản H ;
(C2) F l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh v L -liản tửc Lipschitz trản C ;
(C3) Têp nghiằm Ω cừa b i toĂn BVI (F, G, C) khĂc rộng.
Khi õ, cĂc dÂy l°p cừa thuêt toĂn ữủc trẳnh b y chi tiát nhữ sau.
Thuêt toĂn 2.2.2 (xem [4]) Chồn x 0 ∈ C, k = 0 , dÂy số dữỡng {α k }, λ, à thọa mÂn
Bữợc l°p thự k, (k = 0, 1, 2, ) , cõ x k , thỹc hiằn cĂc bữợc sau:
Náu x k+1 = x k , thẳ thuêt toĂn dứng, x k l nghiằm cừa b i toĂnBVI (F, G, C ) Ngữủc lÔi, chuyºn sang Bữợc l°p thự k vợi k ữủc thay bði k + 1
Trong trữớng hủp F (x) = 0 vợi mồi x ∈ C , dÂy l°p {x k } trong Thuêt toĂn 2.2.2 ữủc xĂc ành thổng qua dÂy l°p x k+1 = P C (x k − λG(x k ))
Sỹ hởi tử mÔnh cừa Thuêt toĂn 2.2.2 ữủc phĂt biºu thổng qua ành lỵ Cho C là một têp con, lỗi, õng, khĂc rộng cừa mởt khổng gian Hilbert thỹc H GiÊ sỷ Ănh xÔ F : C → H v G : H → H thọa mÂn cĂc giÊ thiát (C1)(C3) Khi õ, cĂc dÂy {x k } v {y k } xĂc ành bði Thuêt toĂn 2.2.2 hởi tử mÔnh tợi nghiằm duy nhĐt x ∗ ∈ Ω.
Chựng minh Tứ cĂc iãu kiằn (2.3) cừa Thuêt toĂn 2.2.2, ta xƠy dỹng Ănh x¤ S k : H → H nh÷ sau
Theo giả thuyết, trong không gian Hilbert, việc sử dụng tính chất khổng giãn của phép chiếu cũng như các điều kiện nhất định (2.3) cho phép chúng ta thiết lập bất đẳng thức sau: với mọi x, y thuộc H, ta có kP_C(x − λG(x)) − P_C(y − λG(y))k² ≤ kx − λG(x) − y + λG(y)k².
Kát hủp (2.4) vợi Bờ ã 1.1.10, ta ữủc kS k (x) − S k (y)k =kP C (x − λG(x)) − àα k F [P C (x − λG(x))]
≤(1 − α k τ )kx − yk, (2.5) vợi τ = 1 − p 1 − à(2β − àL 2 ) ∈ (0, 1] Do õ, S k l Ănh xÔ co trản H Theo Nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach, tỗn tÔi iºm bĐt ởng ξ k thọa mÂn S k (ξ k ) = ξ k Khi õ, vợi mội x ˆ ∈ S (G, C) , °t
Khi kát hủp vợi tẵnh chất khổng giàn cửa pháp chiếu, ta suy ra rằng ảnh số S k P C ˆ l ảnh số có trản H Do đó, tốn tồ duy nhất để thỏa mãn S k [P C ˆ (z k)] = z k Để tìm ảnh số S k, ta có kz k − xk ˆ = kS k (¯ z k) − xk ˆ.
= àkF (ˆ x)k τ iãu n y ch¿ ra rơng z k ∈ C ˆ v S k [P C ˆ (z k )] = S k (z k ) = z k Do vêy, ξ k = z k ∈ C ˆ M°t khĂc, vợi bĐt ký dÂy con {ξ k i } cừa dÂy {ξ k } thọa mÂn ξ k i * ξ ¯v k→∞ lim α k = 0, ta câ kP C (ξ k i − λG(ξ k i )) − ξ k i k =kP C (ξ k i − λG(ξ k i )) − S k i (ξ k i )k
Theo (2.4), Ănh xÔ P C (ã − α k G(ã)) l khổng giÂn trản H , kát hủp vợi Bờ ã 2.1.1, (2.6) v ξ k i * ξ ¯ , suy ra P C ( ¯ ξ − λG( ¯ ξ)) = ¯ ξ Vêy ξ ¯ ∈ S (G, C)
Tiáp theo, ta chựng minh j→∞ lim ξ k j = x ∗ ∈ Ω Thêt vêy, °t ¯ z k = P C (ξ k − λG(ξ k )), v ∗ = (àF − I )(x ∗ ) v v k = (àF − I )(¯ z k ) , ð Ơy I l Ănh xÔ ỗng nhĐt Vẳ S k j (ξ k j ) = ξ k j v x ∗ = P C (x ∗ − λG(x ∗ )) nản ta cõ
+ α k j hξ k j − x ∗ + v k j − v ∗ , ξ k j − x ∗ i (2.7) Theo b§t ¯ng thùc Schwarz, ta câ hξ k j − x ∗ − (¯ z k j − x ∗ ), ξ k j − x ∗ i ≥kξ k j − x ∗ k 2 − k z ¯ k j − x ∗ kkξ k j − x ∗ k
Cho j → ∞ , dÂy {ξ k j } hởi tử mÔnh án x ∗ Khi õ, tỗn tÔi mởt dÂy con {ξ k j } cừa dÂy {ξ k } thọa mÂn
0 ≤ lim inf k→∞ kξ k − x ∗ k ≤ lim sup k→∞ kξ k − x ∗ k = lim j→∞ kξ k j − x ∗ k = 0.
Vêy, dÂy {ξ k } hởi tử mÔnh án iºm x ∗ ∈ Ω
M°t kh¡c, theo (2.5), ta x²t kx k − ξ k k ≤kx k − ξ k−1 k + kξ k−1 − ξ k k
≤(1 − α k−1 τ )kx k−1 − ξ k−1 k + kξ k−1 − ξ k k (2.10) Hỡn nỳa, theo Bờ ã 1.1.10, ta cõ kξ k−1 − ξ k k =kS k−1 (ξ k−1 ) − S k (ξ k )k
Thay (2.11) v o (2.10), ta ữủc kx k − ξ k k ≤ (1 − α k−1 τ )kx k−1 − ξ k−1 k + à|α k−1 − α k |kF (¯ z k−1 )k α k τ °t δ k = à|α k − α k+1 |kF (¯ z k )k α k α k+1 τ 2 , k ≥ 0.
Vẳ {F (¯ z k )} bà ch°n, giÊ sỷ kF (¯ z k )k ≤ K vợi mồi k ≥ 0 , ta cõ k→∞ lim δ k = lim k→∞ à|α k − α k+1 |kF (¯ z k )k α k α k+1 τ 2
Theo định lý, khi k tiến tới vô cùng, giới hạn của kx k − ξ k k sẽ bằng 0 Ngoài ra, từ việc chứng minh phản, dãy {ξ k} là nghiệm của bài toán tối ưu, suy ra dãy {x k} cũng là nghiệm của bài toán tối ưu duy nhất của bài toán BVI (F, G, C) Xét trường hợp đặc biệt khi F(x) = x với mọi x thuộc H, ta thấy F là ánh xạ.
L-liản tửc Lipschitz vợi hằ số L = 1 v β -ỡn iằu mÔnh vợi hằ số β = 1 trản
H Khi õ, b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp BVI (F, G, C ) cõ dÔng b i toĂn tẳm nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt trản têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn.
Hằ quÊ 2.2.4 (xem [4]) đề cập đến C l têp con, lỗi và khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert Thực thể H v Ănh xÔ G: H → H thỏa mãn tính chất η -ỡn iằu mÔnh ngữủc Với điều kiện 0 < λ ≤ 2η và 0 < à < 2, dÂy l°p {x k } được xác định bði.
CĂc dÂy tham số thọa mÂn
Khi õ, dÂy {x k } v {y k } ữủc xĂc ành bði (2.12) hởi tử mÔnh án cũng mởt iºm x ˆ = P S(G,C) (0)
Kát luên ã t i luên vôn  nghiản cựu phữỡng phĂp giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert thỹc H Cử thº:
1 Giợi thiằu b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn trong khổng gian Hilbert thỹc; trẳnh b y mởt b i toĂn thỹc tá dăn án bĐt ¯ng thực bián phƠn.
2 Trẳnh b y mối liản hằ giỳa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vợi b i toĂn giÊi phữỡng trẳnh toĂn tỷ, b i toĂn tối ữu, b i toĂn iºm bĐt ởng; tứ õ trẳnh b y mởt phữỡng phĂp l°p giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn dỹa trản phữỡng trẳnh iºm bĐt ởng v tẵnh toĂn vẵ dử số minh hồa.
3 Giợi thiằu b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp; mổ tÊ phữỡng phĂp Ôo h m tông cữớng v mởt phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp; chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp chiáu v x²t trữớng hủp °c biằt l b i toĂn tẳm nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt trản têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn.
[1] Ho ng Tửy, H m thỹc v GiÊi tẵch h m, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 2005.
[2] R.P Agarwal, D O'Regan, D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[3] P.N Anh (2012), "A new extragradient iteration algorithm for bilevel vari- ational inequalities", Acta Math Vietnam., 37, pp 95-107.
[4] T.T.H Anh, L.B Long, T.V Anh (2014), "A projection method for bilevel variational inequalities", J Inequal Appl., 2014:205.
[5] H.H Bauschke, P.L Combettes (2010), Convex analysis and monotone op- erator theory in Hilbert Spaces, Springer.
[6] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cam- bridge University Press, Cambridge, England.
[7] P.T Harker, J.S Pang (1990), "A damped-Newton method for the linear complementarity problem", Lectures in Appl Math., 26, pp 265-284.
[8] I.V Konnov (2001),Combined Relaxation Methods for Variational Inequal- ities, Springer Verlag, Berlin, Germany.
[9] G.M Korpelevich (1976), "An extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematicheskie Metody,12, pp. 747-756.
[10] P.E Maing² (2008), "Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization", Set-Val Anal., 16, pp 899-912.
[11] P.E Maing² (2010), "Projected subgradient techniques and viscosity meth- ods for optimization with variational inequalities constraints", Eur J. Oper Res 205, pp 501-506.
[12] M.A Noor (1991), "An iterative algorithm for variational inequalities", J. Mathematics Anal Appl., 158, 448455.
[13] M Sibony (1971), "Sur I'approximation d'²quation et in²quations aux d²riv²es partielles nonlin²aires de type monotone", J Math Anal App.,
[14] M Solodov (2007), "An explicit descent method for bilevel convex opti- mization", J Convex Anal., 14, pp 227-237.
[15] H Tuy (1997), Convex analysis and global optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[16] H.K Xu (2002), "Iterative algorithms for nonliner operators", J London
The hybrid steepest descent method addresses the variational inequality problem by focusing on the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings This approach is detailed in the work of I Yamada (2001), which is included in the compilation edited by D Butnariu, Y Censor, and S Reich, published by Elsevier The method is positioned within the context of inherently parallel algorithms for feasibility and optimization, highlighting its applications in various fields.
[18] I Yamada, N Ogura (2005), "Hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the fixed point set of certain quasi- nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim., 25, pp 619-655.