Tự động hóa và điều khiển thiết bị điện tử part 9 pdf

So sớnh đớp ứng miền thời gian ảnh hưởng của T đến ổn định hệ thống Xét ví dụ một hệ một khâu giữ chậm bậc +N se:9 không được chỉ ra trên a hình 7.17a.. Đáp ứng của hệ thống gián đoạn

r(z)G(z)

Từ đây thu được hàm truyền đạt của hệ thống như sau

yœ) Gớ)

d) Dap téng vong kin

Dưới đây là một số ví dụ tìm đáp ứng vòng kín của một hệ thống số có thể thu được bằng cách tìm chuyển đổi ngược của hàm đầu ra

hình 7.15 được cấp một kích thích - I8) ¬, SE) ©1(s) 1 ` WS)

Sau phép chia trực tiếp ta được các

số hạng đầu tiên như sau

y() = 0,639z' +1,0962” +1,25zŸ +

Những mẫu đầu tiên của dãy đáp

ứng đầu ra được vẽ trên hình 7.16 Hình 7.16 Những mẫu đầu tiên của dãy xung đáp ứng đầu ra

7.2 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA ĐÁP ỨNG ĐẦU RA THEO THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

Trong phần này nghiên cứu đáp ứng đầu ra theo thời gian của hệ thống số và so sánh

nó với đáp ứng của hệ thống thời gian lién tục Thêm vào đó, phép ánh xạ giữa miền s và z cũng được xem xét, các đặc tính đáp ứng thời gian quan trọng của hệ thống thời gian liên tục được nhắc lại và xem xét tính tương đương ở miền gián đoạn

7.2.1 So sớnh đớp ứng miền thời gian (ảnh hưởng của T đến ổn định hệ thống)

Xét ví dụ một hệ

một khâu giữ chậm bậc +N se:9

không được chỉ ra trên a)

hình 7.17a Hệ thống

đưa ra trén hinh 7.17b, 5)

trong đó không có bộ lấy Hình 7.17 a) Hệ thống số và b) hệ thống liên tực tương đương

mẫu (bộ biến đổi A/D)

và giữ chậm bậc không (bộ biến đổi D/A) Bây giờ ta sẽ tìm các công thức mô tả đáp ứng của cả hai hệ thống rồi vẽ và so sánh chúng

Như đã xem xét ở các phần trước, hàm truyền đạt của hệ thống gián đoạn này có thể

biểu điễn như sau:

"Thay vào (7.37) thu được hàm truyền đạt như sau

Từ bảng chuyển đổi Laplace tra được

đáp ứng theo thời gian như sau:

y(t) =1-e** (o80,5t + 0,577sin0,5t)

Trén hình 7.18 chỉ ra đáp ứng theo thời

gian của cả hai hệ thống Đáp ứng của hệ

thống gián đoạn chỉ có được ở các thời điểm

lấy mẫu Cũng từ hình này có thể thấy quá

trình lấy mẫu là một trong các nguyên nhân

Hình 7.18 Đáp ứng đầu ra của hệ thống hình 7.17

273

7.2.2 Khảo sớ† chốt lượng ở miền thời gian

Chất lượng của một hệ thống điều khiển thường được xác định bằng các chỉ tiêu của đáp ứng đầu ra khi có kích thích bước nhảy ở đầu vào Hệ thống đưa ra thường là hệ bậc hai, vì một mặt ở hệ bậc hai, các chỉ tiêu chất lượng có thể được xác định bằng phương pháp giải tích, mặt khác các mối quan hệ này vẫn có ý nghĩa đối với hệ có bậc cao hơn [24]

Hình 7.19 Đáp ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai là giá trị đỉnh của đường cong

đáp ứng so với 1 Thông số này thường được tính theo phần trăm Lượng quá điều chỉnh phụ thuộc vào hệ số tắt dần và các chỉ số liên quan trực tiếp đến tính ổn định của hệ thống

~ Thời gian đạt đỉnh t, là thời gian cần thiết để đáp ứng đạt đến đỉnh đầu tiên của

quá điểu chỉnh

~— Thời gian đáp ứng t, là thời gian cần thiết để đáp ứng tăng từ 10% lên 90%, từ ð% lên 95%, hoặc từ 0% đến 100% của giá trị cuối cùng Với đáp ứng hệ thống có dao động, thời gian đáp ứng từ 0% lên 100% thường được dùng Với đáp ứng hệ thống không có đao động, thời gian đáp ứng từ 10% lên 90% thường được dùng

~ Thời gian quá độ t, là thời gian cần thiết để đường cong đáp ứng đạt và nằm trong một đải sai lệch cho phép quanh giá trị cuối cùng Dải sai lệch này thường lấy là 2% hoặc ð% Thời gian quá độ phụ thuộc vào hằng số thời gian lớn nhất của hệ thống điều khiển

— Sai léch én dinh E,, 1a sai léch giữa đáp ứng hệ thống và giá trị đặt khi hệ thống đạt đến giá trị ổn định Một sai lệch nhỏ là một trong các yêu cầu trong hầu hết các hệ thống điều khiển Trong một số hệ thống điểu khiển, như trong hệ thống điều khiển vị trí, một yêu cầu của hệ là không có sai lệch ổn định

Nếu xác định được các giá trị tạ, t„ tạ, t„ và M, thì dạng đường cong đáp ứng xác định được Các công thức ngay sau đây dùng để xác định các giá trị đặc biệt này

274

— Lượng quá điểu chỉnh xuất hiện ở điểm đỉnh của đường cong đáp ứng (t = tạ):

M, =y(t,)—1=e 09%" = HN | có nghĩa là lượng quá điểu chỉnh liên quan trực

M, + Luang qua điều chỉnh

— Hé sé tat dan cing anh hudng

đến mức độ dao động của đáp ứng ra

hệ thống Khi 0 < £ < 1, đáp ứng ra hệ

thống sẽ dao động và hệ thống được

gọi là không suy giảm Khi £ = 1, hệ

thống được gọi là suy giảm tiêu chuẩn

suy giảm Nếu Ệ > 1, thì hệ thống Hình720, Quan hệ giữa lượng quá điều chỉnh và hệ số tắt dần không có dao động Nếu £ = 0 thì quá

trình quá độ của đáp ứng ra sẽ dao

động không tắt Trên hình 7.91 vẽ dạng đáp ứng bước nhảy của hệ thống bậc hai ở các hệ

số tắt dần khác nhau

2.0

Trong hầu hết các ứng dụng diều

khiển, hệ số tắt dần thường được chọn trong khoảng 0,4 < £ < 0,8

~ Thời gian quá độ thường được xác định cho dai sai lệch

2% hoặc 5% như sau:

t= (với dai sai lệch 2%) t= 3 (với dải sai lệch 5%)

oO,

Hình 7.22 Xác định Ø8

275

— Bai lệch ổn định E„ có thể xác định bằng cách dùng tính chất giá trị cuối cùng, có nghĩa nếu chuyển đổi Laplace của đáp ứng ra là y(s), thì giá trị cuối cùng (giá trị én định) là:

đáp ứng của một hệ thống dựa trên vị _—_—— _.ự c>

trí điểm cực trên mặt phẳng s Đối với

các hệ thống gián đoạn ta cũng có thể

làm tương tự như vậy Trong phần này

mat phang s mat phang z phẳng z và phân tích hành vi của hệ

thống khi các điểm cực hệ kín được đặt Hinh 7.23 Ánh xạ nửa trái miền s sang miền ảnh z trên mặt phẳng z

Trước tiên, ta thực hiện ánh xạ nửa trái mặt phẳng s sang mặt phẳng z Xét một điểm s = ơ tị trên mặt phẳng s Ta biết:

z=e™ — e9TgjeT

(7.41)

Xót các điểm nằm trên trục Ao jo, co nghia o = 0, ta cé:

z2=e =cosoT + jsinoT =1Z0T

Do đó, các điểm cực nằm trên trục Ảo trên mặt phẳng s được ánh xạ lên đường tròn đơn

vị trên mặt phẳng z Khi œ thay

đổi dọc theo trục ảo ở miển s thì "

góc của các cực trên đường tròn

tăng lên về phía trái trục ảo ở

miền s, thì các điểm cực ở miển ø

di chuyển về phía gốc tọc độ xa

dần đường tròn đơn vị Do đó, mặt phẳng s mặt phẳng z

phẳng s được ánh xạ vào trong Hình 7.24 Ánh xạ đường ơ = cons† miền s sang miền ảnh z

276

đường tròn đơn vị ở mặt phẳng z Tương tự, toàn bộ nửa bên phải trục ảo ở mặt phẳng s được ánh xạ thành toàn bộ phía ngoài đường tròn đơn vị ở mặt phẳng z Như vậy, hệ thống

đữ liệu gián đoạn sẽ ổn định nếu tất cả các điểm cực hệ kín nằm bên trong đường tròn đơn

vị Hình 7.33 chỉ ra phép ánh xạ phần nửa trái miền s sang miền z

mặt phẳng s

mặt phẳng z Hình 7.25 Ánh xạ một số điểm cực miền s sang miền z

Hình 7.24 chỉ ra các đường

thẳng có ø không đổi trên miền s

được ánh xạ sang miển z là các

đường tròn có bán kính e”, Nếu

đường thẳng ơ nằm ở nửa trái mặt

phẳng s thì bán kính của đường

tròn trên miền z nhỏ hơn 1, ngược

lại nếu đường thẳng ø nằm ở nửa

phải thì bán kính lớn hơn 1 Hình

7.2B vẽ một vài điểm cực tương

ứng giữa miền s và miền z

Các đáp ứng thời gian của hệ

thống gián đoạn dựa trên vị trí

điểm cực trên mặt phẳng z được

cho trên hình 7.26 Ta thấy rõ

z cho các giá trị 6 khác nhau

o* +07 <0, hay o= Jo? -o?” (7.45)

Do s âm nên ta có: z=e@ se TQ leT exp[-TYo? —øF le eT (7.46)

ý ` » vi Hình 7.29 Quỹ đạo điểm cực có sø„ Quỹ đạo của đường có œ„ không đổi trên miển z, không đổi ở miền s

công thức (7.46), được vẽ trên hình 7.28 là các đường

vuông góc với đường É và vẽ ở các giá trị œ„ trong dải bừ @6„ = z/L0T dén w, = WT

Luu y rằng các đường có hệ số tắt dân và tần số riêng không đổi thường được vẽ trên cùng một đồ thị

278

Tần số riêng được tính theo (7.48), với T = 1 s:

trong đó 1+GH() =0là phương trình đặc trưng Tính 6n

Có nhiều phương pháp kiểm tra tính ổn định của một hệ thống gián đoạn:

— Tim nghiệm phương trình đặc trưng D(z) =0 và tìm các nghiệm là các điểm cực của

hệ thống kín

— Dùng điều kiện đury

— Chuyển đổi hệ sang miền s và phân tích tính ổn định hệ thống dùng các phương pháp khảo sát ổn định của hệ liên tục, như phương pháp phân tích đáp ứng tần số hay tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

— Đùng phương pháp đồ thị ~ quỹ đạo điểm cực trong miền z để xác định vị trí của các

Các phương pháp này được làm rõ qua các ví dụ dưới đây

7.3.1 Tìm nghiệm phương trình đặc Irưng

Tính ổn định của một hệ thống có thể được xác định nếu phương trình đặc trưng có thể giải được Phương pháp này có nhược điểm là nó không đễ đàng giải được phương trình đặc trưng có bậc cao hơn 9 Thêm vào nữa, phương pháp này chỉ kiểm tra được hệ có ổn định hay mất ổn định Nó không cho biết biên giới ổn định cũng như tính ổn định của hệ thay đổi như thế nào khi hệ số khuếch đại và các thông số khác thay đổi

Nghiệm của phương trình đặc trưng 1+G(Œ)=0, hay 1+1,729/(z-0,135) = 0,là

z = —1,B94 nằm ngoài đường tròn đơn vị, do đó hệ thống mất ổn định

7.3.2 Điều kiện ổn định Jury

Điều kiện ổn định Jury tương tự như tiêu chuẩn Routh - Hurwitz dùng cho các hệ thống liên tục Mặc dù phương pháp Jury có thể áp dụng cho các phương trình đặc trưng

có bậc bất kỳ, nhưng mức độ phức tạp sẽ tăng lên đối với các hệ thống bậc cao

Để mô tả phương pháp đury, ta khai triển phương trình đặc trưng của hệ gián đoạn bậc n như sau;

`

F(z) =a,z" +a, 2°" 4+ +a,2+a, =0, x an "2£ 8g (7.52)

Trong đó a, >0 Bây giờ ta tạo một bảng như chỉ ra trên bảng 7.2 Các phần tử của bảng này được định nghĩa như sau: Các phần tử của các hàng chan là các phần tử của hàng trước đó và được xếp theo thứ tự ngược lại

Bảng 7.2 Bảng dùng để xét điều kiện ổn định Jury

Điều kiện cần và đủ để các nghiệm của phương trình đặc trưng (7.52) nằm trong đường tròn đơn vị là:

Điều kiện ổn định Jury được áp dụng như sau:

— Kiểm tra ba điều kiện (7.53) và dừng ngay nếu có bất cứ điểu kiện nào không thỏa mãn

— Xây dựng bảng như bảng 7.2 và kiểm tra các điểu kiện (7.54) Dừng kiểm tra nếu có bất cứ điều kiện nào không thỏa mãn ,

Phương pháp đury càng trở lên phức tạp khi bậc của hệ thống càng tăng lên Đối với các hệ thống bậc 2 và 3, phương pháp đury có thể đơn giản hóa như sau:

Đối với hệ thống bậc hai, phương trình đặc trưng: F(2) =a¿z” +a,z+a„ =0, trong đó

a, >0, sẽ không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng nằm trên và ngoài đường tròn don vj néu: F() > 0, F(-1)<0, |a,|<a,,

Đối với hệ thống bậc ba, phương trình đặc trưng là: F(2)= a2” +a;z” +ayz+ay =0, trong đó a, >0, sẽ không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng nằm trên và ngoài

det 4o as det ^o a

a, ay ay 8;

Dưới đây là các ví dụ minh họa cho phương pháp này

đường tròn đơn vị nếu: E() >0, E(-1) <0, lag] <a;, và >

G(z) = =" Hay xae dinh tinh én dinh cia hé thong bang diéu kién 6n dinh Jury

Ap dung phương pháp Jury ta có: F() = 0,7 >0, F(-1)=2,7>0, 0,7 <1

"Tất cả các điểu kiện đều thỏa mãn và hệ thống ổn định

242

Ví dụ 7.13: Phương trình đặc trưng của một hệ thống được biểu diễn như sau:

-1,2z+0,3

Hãy xác định giá trị của K để hệ thống ổn định,

Giải:

Phương trình đặc trưng bằng: z? + z(0,2K - 1,2) +0,5K =0, trong đó K > 0

Ap dung diéu kién Jury: F(1) = 0,7K ~0,2>0, F(-1)=0,83K+2,2>0, 05K <1

Do đó, hệ thống sẽ ổn định nếu 0,285 < K < 9,

7.3.3 Tiéu chuGn Routh — Hurwitz

Tính ổn định của một hệ thống gián đoạn có thể được phân tích bằng cách chuyển đổi phương trình đặc trưng của hệ thống sang miển s và rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh — Hurwitz

Một phép chuyển đổi tuyến tính kép (biến đổi Tustin) thường được dùng để chuyển đổi nửa trái của mặt phẳng s thành bên trong đường tròn đơn vị ở mặt phẳng z Với chuyển đổi nay, z dude thay thế bởi:

_l+w

Phương trình đặc trưng viết theo w có dang:

TW) = b„w" +b, ¡Ww"”! +, €byw + bạ =0 Bảng Routh ~ Hurwitz được xây dựng như sau;

Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz phát biểu như sau: Số nghiệm của phương trình đặc trưng trong nửa bên phải mặt phẳng s bằng với số thay đối về đấu của các hệ số ở cột đầu tiên của bằng Routh — Hurwitz Do đó, hệ ổn định khi tất cả các hệ số ở cột đầu tiên phải cùng dấu

Vý dụ 7.14: Phương trình đặc trưng của hệ thống gián đoạn có đạng như sau:

w°|0,7

Không có thay đổi dấu ở cột đầu tiên và do đó hệ thống ổn định

7.3.4 Phương phớp quỹ đạo nghiệm số

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số là phương pháp mạnh nhất để phân tích tính ổn định của một hệ thống vòng kín Phương pháp này cũng được dùng để thiết kế bộ điều khiển với chất lượng động yêu cầu đặt trước Quỹ đạo nghiệm số là một đường quỹ đạo các nghiệm của phương trình đặc trưng khi hệ số khuếch đại của hệ thống thay đổi Các quy tắc của phương pháp quỹ đạo nghiệm số áp dụng cho hệ thống gián đoạn hoàn toàn giống khi áp dung cho hệ thống liên tục Điều này đúng là vì các nghiệm của phương trình Q@) = 0 trong miển z là giống với các nghiệm của Q(s) = 0 trong miền s Mặc dù các quy tác là giống nhau nhưng cách thực hiện phương pháp quỹ đạo nghiệm số là khá khác nhau trong miền z va mién s Ví dụ, một hệ thống liên tục là ổn định nếu các nghiệm nằm ở nửa trái của mặt phẳng s Trong khi, một hệ-thống gián đoạn là ổn định nếu các nghiệm nằm bên trong đường tròn đơn vị ở mặt phẳng z

1 Quỹ đạo nghiệm số bắt đầu ở các điểm cực của FG) và kết thúc ở các điểm zero của F2)

2 Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

3 Quỹ đạo nghiệm số bao gồm tất cả các điểm trên trục thực bên trái của một số lẻ của các điểm cực và điểm zero

4 Nếu có các điểm zero ở vô cực, thì quỹ đạo nghiệm số sẽ có tiệm cận khi k -y œ Số lượng tiệm cận bằng với số điểm cực nụ, trừ đi số điểm zero n„ Góc của đường tiệm cận

180r n,-n,

Ví dụ 7.15: Một hệ thống kín oó phương trình đặc trưng như sau:

1, Phương trình trên được viét 6 dang 1+kF(z) =0, trong dé: F(z) =

2 Phần trên trục thực giữa z = 0,368 và z = 1 là nằm trên quỹ đạo nghiệm số Tương

tự, phần trên trục thực giữa ø = — œ và ø =— 0,717 cũng nằm trên quỹ đạo nghiệm số

3 Vì n_—n, =1, nên chỉ có một đường tiệm cận và góc của tiệm cận là:

Từ điểm này một phần của quỹ đạo nghiệm số di chuyển về điểm zero z =— 0,717 và phần còn lại hướng về điểm zero ở — œ

Hình 7.33 chỉ ra quỹ đạo nghiệm số cùng với đường tròn đơn vị được vẽ trên cùng hệ trục Hệ thống sẽ ở biên giới ổn định khi quỹ đạo nghiệm số nằm trên đường tròn đơn vị Giá trị của k ở các điểm này có thể tìm được bằng phương pháp kiểm tra ổn định Jury hoặc dùng tiêu chuẩn Routh — Hurwitz

0,368(z+ 0,717) _ Dùng phương gs ig phap pháp Jury, phương trình đặc trưng là: 1+K y,P' g8 6 (2—1)(2 -0,368) =

Hay: z? —2(1,368 —0,368K) + 0,368 + 0,263K = 0

286

z —1,52+0,5

Hệ thống có hai điểm cực ở z = 1 va Gz = 0,5 Hé thống cũng có hai điểm zero ở z = 0,2

và ở âm vô cùng Quỹ đạo nghiệm số sẽ bắt đầu ở 2 điểm cực và kết thúc ở hai điểm zero

1 Phần nằm trên trục thực giữa z = 0,5 và z = 1 cũng nằm trên quỹ đạo nghiệm số Tương tự, phần nằm trên trục thực giữa z = — œ và ø = 0,2 nằm trên quỹ đạo nghiệm số

2 Vì n, —n, =1, nên có một tiệm cận và góc tiệm cận là:

= £180° véi r=+1

e= 180r n,-n,

Cần lưu ý rằng vì góc của tiệm cận là +180° nên sẽ là vô nghĩa khi đi tim diém ga) trục thực của các tiệm cận