B i toĂn iºm bĐt ởng trong khổng gian Hilbert
Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert thỹc
Mằnh ã 1.1.1 (xem [1]) Cho H l khổng gian Hilbert thỹc Khi õ, vợi mồi x, y ∈ H,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai không gian tuyến tính X và Y, cùng với một ánh xô A: X → Y Chúng ta cũng sẽ thảo luận về các khái niệm liên quan đến ánh xô tuyến tính và toán tử tuyến tính, nhằm hiểu rõ hơn về các tính chất của chúng trong không gian tuyến tính.
Náu Y = X , ta cụng nõi A l mởt toĂn tỷ trong X
Theo định nghĩa chung về ánh xạ tuyến tính, ánh xạ A: X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu với mọi x_n → x_0 thì Ax_n → Ax_0 Tuy nhiên, trong không gian ảnh chuẩn bậc nhất, toán tử tuyến tính không nhất thiết phải là ánh xạ tuyến tính Khi điều kiện ánh xạ được thỏa mãn với một hằng số K > 0 sao cho kAxk ≤ K kxk ∀x ∈ X, thì ánh xạ A được gọi là bị chặn.
Số K ≥ 0 nhọ nhĐt thọa mÂn iãu kiằn (1.1) ữủc gồi l chuân cừa toĂn tỷ A , kỵ hiằu l kAk Nhữ vêy:
2 Náu ∀x ∈ X , kAxk ≤ K.kxk thẳ kAk ≤ K ành nghắa 1.1.4 (xem [1]) Cho A : X −→ Y l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc nh xÔ A ∗ : Y −→ X ữủc gồi l toĂn tỷ liản hủp cừa A náu hAx, yi = hx, A ∗ yi, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y
ToĂn tỷ liản hủp cừa mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh cõ cĂc tẵnh chĐt sau.
Mằnh ã 1.1.5 (xem [1]) Cho A : X −→ Y , B : X −→ Y l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh, vợi A ∗ : Y −→ X , B ∗ : Y −→ X lƯn lữủt l cĂc toĂn tỷ liản hủp tữỡng ựng cừa A v B Khi õ, vợi mồi α, β ∈ R, ta cõ:
A : R 2 −→ R 3 (x 1 , x 2 ) 7−→ (3x 1 + 2x 2 , −x 1 + 2x 2 , −2x 2 ). l A l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n vợi kAk = p 11 + √ 17 v toĂn tỷ liản hủp cừa A l
A ∗ : R 3 −→ R 2 (y 1 , y 2 , y 3 ) 7−→ (3y 1 − y 2 , 2y 1 + 2y 2 − 2y 3 ). ành nghắa 1.1.7 (xem [1]) Cho X l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
1 Ta nõi dÂy {x n } ⊂ X hởi tử mÔnh án x ∈ X (kỵ hiằu: x n −→ x) náu kx n − xk −→ 0 khi n −→ ∞
2 DÂy {x n } ⊂ X hởi tử yáu án x ∈ X ( x n * x ), náu:
∀f ∈ X ∗ f (x n ) −→ f (x ∗ ), trong õ X ∗ l têp hủp cĂc phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trong X
Tứ ành nghắa, ró r ng hởi tử mÔnh suy ra hởi tử yáu iãu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng.
1.1.2 nh xÔ khổng giÂn v b i toĂn iºm bĐt ởng
BƠy giớ, cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng v chuân ữủc kỵ hiằu tữỡng ựng l h.i v k.k Cho {x k } ⊂ H , ta viát x k * x º ch¿ dÂy
Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về các khái niệm liên quan đến sự ổn định trong toán học Định nghĩa 1.1.8 cho rằng một ánh xạ T: C → C được gọi là khổng giãn nếu khoảng cách giữa T(x) và T(y) không vượt quá khoảng cách giữa x và y với mọi x, y thuộc C Định nghĩa 1.1.9 chỉ ra rằng một điểm x ∈ C được gọi là điểm cố định của ánh xạ T khi T(x) = x.
Kỵ hiằu Fix (T ) l têp tĐt cÊ cĂc iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ T , tực l Fix (T ) =
{x ∈ C : T (x) = x}. ành nghắa 1.1.10 (xem [1]) Kỵ hiằu P C l ph²p chiáu mảtric lản C Vợi méi x ∈ H , P C (x) l ph¦n tû duy nh§t trong C sao cho kx − P C (x)k ≤ kx − yk ∀y ∈ C. nh xÔ P C cõ tẵnh chĐt sau Ơy.
Bờ ã 1.1.11 (xem [2]) Vợi x ∈ H v y ∈ C cho trữợc:
(i) y = P C (x) khi v ch¿ khi hx − y, z − yi ≤ 0 vợi mồi z ∈ C
(ii) kP C (x) − zk 2 ≤ kx − zk 2 − kx − P C (x)k 2 vợi mồi z ∈ C
Mởt vẵ dử vã ph²p chiáu mảtric trong khổng gian hỳu hÔn chiãu ữủc cho nh÷ sau.
Vẵ dử 1.1.12 GiÊ sỷ a, b ∈ R n , a 6= 0 X²t nỷa khổng gian õng C ⊂ R n cho bði
Khi õ toĂn tỷ chiáu lản C ữủc cho bði
x, náu ha, x − bi ≤ 0 x − ha, x − bia kak 2 , náu ha, x − bi > 0.
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
Trong không gian Hilbert H, C là một tập con đóng, và F: C → H là một ánh xạ Bài toán bắt đầu với biến phân (biến phân không đồng nhất), thường được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) (C, F), được phát biểu như sau:
Tẳm iºm x ∗ ∈ C sao cho: hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.4)
Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn (1.4) phử thuởc v o tẵnh chĐt cừa Ănh xÔ giĂ F Cho C là một têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa không gian Hilbert thỹc H Nếu F: C −→ H là Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh v L -liản tửc Lipschitz trản C, thì b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP (C, F) cõ nghiằm duy nh§t.
Tẵnh chĐt lỗi õng cừa têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP (C, F ) ữủc nảu trong bờ ã dữợi Ơy.
Bờ ã 1.2.9 đề cập đến việc GiÊ sỷ cho C l mởt têp con lỗi trong không gian Hilbert thực H Têp này chứa C và G: Ω → H là một ảnh xÔ giÊ ỡn iằu trản C, thỏa mãn hai điều kiện cụ thể.
(i) lim sup k→∞ hG(x k ), yi ≤ hG(x), yi vợi mồi y ∈ H v mồi dÂy {x k } ⊂ C hởi tử yáu án x
(ii) G liản tửc Lipschitz trản C vợi hằ số Lipschitz L > 0
GiÊ sỷ têp nghiằm Sol (C, G) cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP (C, G) khĂc rộng Khi õ Sol (C, G) l mởt têp lỗi õng.
Mối liản hằ giỳa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn v b i toĂn iºm bĐt ởng ữủc nảu trong bờ ã dữợi Ơy.
Bờ ã 1.2.10 (xem [4]) Cho G : C −→ H l Ănh xÔ η -ỡn iằu mÔnh ngữủc trản C v ξ > 0 l mởt hơng số thọa mÂn 0 < ξ ≤ 2η nh xÔ T : C −→ C ữủc ành nghắa nhữ sau:
Khi õ T l Ănh xÔ khổng giÂn trản C , hỡn nỳa, Fix (T ) = Sol (C, G) , trong õ Sol (C, G) l kỵ hiằu têp nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP (C, G)
Chựng minh Tứ tẵnh η -ỡn iằu mÔnh ngữủc cừa G , ta cõ, vợi mồi x, y ∈ C , kT (x) − T (y)k 2 = kP C (x − ξG(x)) − P C (y − ξG(y))k 2
Hỡn nỳa, x ∗ = T (x ∗ ) khi v ch¿ khi hx ∗ − ξG(x ∗ ) − x ∗ , y − x ∗ i ≤ 0 vợi mồi y ∈ C Vẳ ξ > 0 nản hG(x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ C , nghắa l x ∗ ∈ Sol (C, G)
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn cõ nhiãu ựng dửng quan trồng, mởt trong sè â l têng qu¡t hâa b i to¡n cüc trà.
Vẵ dử 1.2.11 (Cỹc trà h m mởt bián) Cho f : R −→ R l h m khÊ vi trản [a, b] ⊂ R GiÊ sỷ x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn min x∈[a,b] f (x), tực tỗn tÔi iºm x ∗ ∈ [a, b] sao cho: f (x ∗ ) = min x∈[a,b] f (x). a b
Khi õ xÊy ra mởt trong ba trữớng hủp sau:
Trong cÊ ba trữớng hủp, ta ãu cõ f 0 (x ∗ ).(x − x ∗ ) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b] Ơy chẵnh l bĐt ¯ng thực bián phƠn dÔng (1.4).
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp liên quan đến việc tối ưu hóa trong không gian Hilbert, với các phương pháp quy hoạch toán học và quy hoạch tuyến tính Các bài toán này bao gồm những tiêu chí như bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tầm nhìn chuẩn nhất, và mô hình quy hoạch lỗi hai cấp Việc nghiên cứu sâu về bài toán này không chỉ giúp cải thiện hiệu suất mà còn mở rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tẳm x ∗ ∈ Sol (C, G) sao cho hF (x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ Sol (C, G), (1.5) trong õ F, G : H → H l cĂc Ănh xÔ cho trữợc.
Nhên x²t 1.2.12 Náu F : H → H l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh, L -liản tửcLipschitz trản H v náu Sol (C, G) l mởt têp con khĂc rộng, õng v lỗi cừa
H, thẳ b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (1.5) cõ mởt nghiằm duy nhĐt(xem [9]).
Phữỡng phĂp l°p giÊi mởt v i lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert
Chương này trình bày phương pháp lập hiển xấp xỉ nghiệm cho một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp trong không gian Hilbert thực Nội dung của chương được trình bày trong hai mục Mục 2.1 trình bày phương pháp lập xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp với bài toán cấp dưới là bài toán biến phân giới hạn Mục 2.2 dành cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp với bài toán cấp dưới là bài toán điểm bất ổn tác Trong mỗi mục đều có các áp dụng giải bài toán cụ thể và các số minh họa Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [3] và [4] cùng các tài liệu được trích dẫn trong đó Các số liệu do tác giả thực hiện trên ngôn ngữ MATLAB, chạy trên máy tính ASUS X554L với bộ xử lý Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU @ 2.20 GHz và RAM 12 GB.
Phữỡng phĂp l°p giÊi mởt v i lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert 14
Phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp vợi toĂn tỷ giÊ ỡn iằu
hai cĐp vợi toĂn tỷ giÊ ỡn iằu
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp lập hiền giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp trong không gian Hilbert Để thực hiện điều này, chúng ta định nghĩa một phép biến đổi F: H → H và một điểm x∗ ∈ Sol(C, G) sao cho điều kiện hF(x∗), y − x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ Sol(C, G) được thỏa mãn Điều này dẫn đến việc xác định tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức VIP (C, G) với điều kiện tồn tại một điểm u∗ ∈ C sao cho hG(u∗), z − u∗i ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Trữợc hát ta cƯn mởt số giÊ thiát °t lản hai Ănh xÔ giĂ F, G : H → H liản quan án b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)(VIPG).
GiÊ thiát 2.1.1 (xem [3]) GiÊ sỷ hai Ănh xÔ F, G : H → H thọa mÂn cĂc giÊ thiát sau Ơy.
(A1) F l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh v L -liản tửc Lipschitz trản H
(A2) G l Ănh xÔ giÊ ỡn iằu v γ -liản tửc Lipschitz trản H
≤ hG(¯ x), y− yi ¯ vợi mồi dÂy {x k } , {y k } tữỡng ựng hởi tử yáu tợi x ¯ v y ¯
BƠy giớ ta s³ mổ tÊ mởt phữỡng phĂp l°p hiằn xĐp x¿ nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)-(VIPG).
Thuêt toĂn 2.1.2 (xem [3]) Chồn x 0 ∈ H tũy ỵ v cĂc tham số 0 < à < 2β L 2, dÂy {α k } ⊂ (0, 1) , {η k } v {λ k } thọa mÂn
{λ k } ⊂ [a, b] vợi a, b ∈ 0, γ 1 Vợi mội bữợc l°p k ≥ 0 ta tẵnh toĂn y k = P C x k − λ k G x k
Nhên x²t 2.1.3 Ta cõ thº chồn cĂc dÂy tham số {α k } , {η k } v {λ k } thọa mÂn cĂc iãu kiằn trong Thuêt toĂn 2.1.2, ch¯ng hÔn, α k = 1 k + 3 , η k = k + 1
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1.2 ữủc trẳnh b y trong ành lỵ, với các giÊ thiát (A1)(A3) ữủc thọa mÂn v têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (VIPG) khĂc rộng DÂy {x k } ữủc xĂc ành trong Thuêt toĂn 2.1.2 hởi tử mÔnh án nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)(VIPG).
Chựng minh Viằc chựng minh ành lỵ ữủc chia th nh cĂc bữợc sau Ơy. Bữợc 1 Vợi mồi x ∗ ∈ Sol (C, G) v vợi mồi k ∈ N , ta cõ z k − x ∗
Thêt vêy, lĐy x ∗ ∈ Sol (C, G) Tứ iãu kiằn (i) cừa Bờ ã 1.1.11 v ành nghắa cõa y k , ta câ
Sỷ dửng (2.2) v ành nghắa cừa T k , ta thu ữủc C ⊂ T k
BƠy giớ, tứ x ∗ ∈ Sol(C, G) v tẵnh giÊ ỡn iằu cừa G ta nhên ữủc:
Tứ iãu kiằn (ii) cừa Bờ ã 1.1.11 v (2.3), ta thu ữủc z k − x ∗
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực CauchySchwarz v quan sĂt rơng G l Ănh xÔ γ -liản tửc Lipschitz trản H , chúng ta thu ữủc
Tứ ành nghắa cừa T k v z k ∈ T k , ta cõ
Tứ bĐt ¯ng thực trản, (2.4) v (2.5) ta nhên ữủc z k − x ∗
Bữợc 2 Chựng minh cĂc dÂy {x k } , F (x k ) , {y k } v {z k } bà ch°n Thêt vêy, vợi mồi k ≥ 0 , 1 − λ k γ ≥ 1 − bγ > 0 , nản tứ (2.1) suy ra z k − x ∗
Vẳ vêy, bơng quy nÔp, chúng ta thu ữủc, vợi mồi k ≥ 0 , rơng x k − x ∗
Để chứng minh rằng dãy {x_k} hội tụ về x*, ta cần xác định điều kiện hội tụ của dãy {y_k} và {z_k} Theo định lý VIPF, chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức kx - y_k 2 ≤ kxk 2 - 2hy, x - yi với mọi x, y thuộc H Từ đó, ta có thể rút ra kết quả x_{k+1} - x*.
Trữớng hủp 1 Tỗn tÔi k 0 sao cho dÂy x k − x ∗ giÊm khi k ≥ k 0 Trong trữớng hủp õ, tỗn tÔi giợi hÔn x k − x ∗ Vẳ vêy, tứ (2.6) v (2.8)
Vẳ tỗn tÔi giợi hÔn cừa x k − x ∗ , nản lim k→∞ α k = 0 v lim k→∞ η k = η < 1 ,
{x k }, {z k } l hai dÂy cõ giợi hÔn, nản tứ (2.9) k→∞ lim x k − x ∗
2 (2.11) Khi õ, tứ (2.10) v (2.11), ta thu ữủc k→∞ lim x k − y k
BƠy giớ, ta chựng minh rơng lim sup k→∞ hF (x ∗ ) , x ∗ − x k+1 i ≤ 0 (2.12)
L§y d¢y con x k i cõa d¢y {x k } sao cho k→∞ lim hF (x ∗ ) , x ∗ − x k+1 i = lim i→∞ hF (x ∗ ) , x ∗ − x k i i.
Vẳ dÂy x k i cõ giợi hÔn, nản ta cõ thº giÊ sỷ rơng {x k i } hởi tử yáu án mởt ¯ x ∈ H Do â lim sup k→∞ hF (x ∗ ) , x ∗ − x k+1 i = lim i→∞ hF (x ∗ ) , x ∗ − x k i i = hF (x ∗ ) , x ∗ − xi ¯ (2.13)
Vẳ x k − y k = 0 v x k i → x ¯ , theo õ y k i hởi tử yáu án x ¯ Vẳ C õng v lỗi nản nõ cụng õng yáu v do õ x ¯ ∈ C
Tiáp theo, ta chựng minh x ¯ ∈ Sol (C, G) Thêt vêy, cho x ∈ C Tứ (2.2), ta câ hx k − λ k G(x k ) − y k , x − y k i ≤ 0. °c biằt, vợi mồi i ∈ N hx k i − λ k i G(x k i ) − y k i , x − y k i i ≤ 0.
Vẳ λ k i > 0 vợi mồi i ∈ N, nản tứ bĐt ¯ng thực trản ta cõ hG(x k i ), x − y k i i ≥ x k i − y k i , x − y k i λ k i (2.14) p dửng bĐt ¯ng thực CauchySchwarz, v nhợ lÔi rơng λ k i ≥ a > 0 vợi mồi i ∈ N x k i − y k i , x − y k i λ k i
Với dãy \(x_{ki}\) và \(y_{ki}\), ta có \(x_{ki} - y_{ki} \to 0\) khi \(i \to \infty\), theo điều kiện (2.15) và giả thiết của bài toán Do đó, giới hạn \(\lim_{i \to \infty} h(x_{ki} - y_{ki}, x - y_{ki}) = 0\) Từ đó, với sự tồn tại của (2.14), điều kiện (A3) và sự hội tụ của hai dãy \(x_{ki}\) và \(y_{ki}\) về \(x\), ta có thể rút ra kết luận cần thiết.
0 ≤ lim sup i→∞ hG(x k i ), x − y k i i ≤ hG(¯ x), x − xi, ¯ tùc l x ¯ ∈ Sol(C, G)
Vẳ x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn hai cĐp v x ¯ ∈ Sol(C, G) nản ta cõ thº kát luên rơng hF (x ∗ ) , x ¯ − x ∗ i ≥ 0.
Do õ, tứ (2.13) ta cõ thº suy ra rơng lim sup k→∞
≤ 0. BĐt ¯ng thực (2.8) cõ thº ữủc viát nhữ sau x k+1 − x ∗
Tứ (2.12) ta cõ lim sup k→∞ ξ k ≤ 0 Theo Bờ ã 1.2.7, ta cõ k→∞ lim x k − x ∗
Trữớng hủp 2 GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy con x k j cừa {x k } sao cho x k j − x ∗
Tứ Bờ ã 1.2.5, tỗn tÔi mởt dÂy khổng giÊm {τ (k)} cừa N sao cho k→∞ lim τ (k) = ∞ v cĂc bĐt ¯ng thực sau Ơy thọa mÂn vợi mồi k ∈ N (ừ lợn) x τ (k) − x ∗
(2.16) Vẳ vêy, tứ (2.7) v (2.16) ta cõ x τ (k) − x ∗
(2.17) Ngo i ra, tứ (2.6) v (2.17) ta cõ
Vẳ lim k→∞ α k = 0 , lim k→∞ η k = η < 1 v dÂy z k l bà ch°n, (2.18) Êm bÊo rơng k→∞ lim x τ (k) − x ∗
Do õ, giợi hÔn cừa cĂc dÂy x k , z k v (2.19) Êm bÊo rơng k→∞ lim x τ (k) − x ∗
(2.22) iãu n y cũng (2.21) vợi ngử ỵ k→∞ lim x τ (k) − z τ (k)
M°t khĂc, Bờ ã 1.2.4 Êm bÊo rơng x τ (k)+1 − x τ (k)
Khi õ, tứ bĐt ¯ng thực trản, (2.23), lim k→∞ α k = 0 v giợi hÔn cừa dÂy
Nhữ Â chựng minh trong trữớng hủp Ưu tiản, chúng ta cõ thº kát luên rơng lim sup k−→∞ hF (x ∗ ) , x ∗ − x τ (k)+1 i = lim sup k−→∞ hF (x ∗ ) , x ∗ − x τ (k) i ≤ 0 (2.24)
(2.25) LĐy giợi hÔn trong (2.25) khi k −→ ∞ ta thu ữủc lim sup k→∞ x k − x ∗
Do õ, x k → x ∗ khi k → ∞ ành lỵ ữủc chựng minh
Nhên x²t 2.1.5 Tứ tẵnh liản tửc cừa G, iãu kiằn (A3) l tỹ ởng ữủc thọa mÂn trong khổng gian hỳu hÔn chiãu Trong khổng gian vổ hÔn chiãu, iãu kiằn (A3) cõ thº bà loÔi bọ náu G l Ănh xÔ ỡn iằu.
2.1.3 p dửng v vẵ dử minh hồa
Ta x²t trữớng hủp °c biằt khi F (x) = x − x ˆ vợi x ˆ l v²c-tỡ cho trữợc trong
H nh xÔ F n y l Ănh xÔ 1 -liản tửc Lipschitz v 1 -ỡn iằu mÔnh trản H Bơng cĂch chồn à = 1 v η k = 0 vợi mồi k ∈ N , viằc giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)(VIPG) ữủc ữa vã b i toĂn tẳm hẳnh chiáu cừa x ˆ lản têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (VIPG) Khi x ˆ = 0 hẳnh chiáu n y l nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa b i toĂn VIP(C, G)
Hằ quÊ 2.1.6 (xem [3]) Cho G : H −→ H l mởt Ănh xÔ giÊ ỡn iằu v
L-liản tửc Lipschitz trản H GiÊ sỷ rơng lim sup k→∞ hG(x k ), y − y k i ≤ hG(¯ x), y − yi ¯ vợi mồi dÂy x k , y k hởi tử yáu án x ¯ v y ¯ tữỡng ựng Gồi x k l dÂy ữủc t¤o bði
P ∞ k=0 α k = ∞ Khi õ, dÂy x k tÔo bði (2.26) hởi tử mÔnh tợi P Sol(C,G) x 0
Tứ nhên x²t v hằ quÊ trản ta nhên ữủc hằ quÊ sau.
Hằ quÊ 2.1.7 (xem [3]) Cho G : H −→ H l Ănh xÔ ỡn iằu v L -liản tửc Lipschitz trản H sao cho Sol(C, G) l khĂc rộng Gồi x k l dÂy sinh bði
P ∞ k=0 α k = ∞ Khi õ, dÂy x k tÔo bði (2.27) hởi tử mÔnh tợi P Sol(C,G) x 0 Vẵ dử 2.1.8 Cho H = R n vợi chuân kxk = P n k=1 x 2 k 1 2 v tẵch vổ hữợng hx, yi = P n k=1 x k y k, trong õ x = (x 1 , x 2 , , x n ) > , y = (y 1 , y 2 , , y n ) > thuởc
G(x) = M x + q, trong đó M là ma trận xác định dữ liệu Khi G là một hàm Lipschitz trên R^n, với mọi x, y ∈ R^n, ta có hG(x) − G(y), x − yi = hM (x − y), x − yi ≥ 0.
Để xem xét tính Lipschitz của hàm G trong không gian R^n, chúng ta có thể thấy rằng với mọi x, y ∈ R^n, ta có kG(x) − G(y)k ≤ kMkkx − yk, trong đó kM k biểu thị chuẩn của ma trận M Điều này cho thấy G là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz kM k, và nếu M > 0, thì G là hàm Lipschitz trong không gian R^n.
BƠy giớ, º minh hồa Thuêt toĂn 2.1.2, ta x²t Ănh xÔ G : R 2 −→ R 2 ữủc x¡c ành bði
G(x) = M x + q, trong õ M = A > A vợi ma trên A v v²c-tỡ q ữủc cho nhữ sau:
Khi õ G l giÊ ỡn iằu v γ -liản tửc Lipschitz trản R 2 vợi γ = kM k = 4 Cho F : R 2 −→ R 2 ữủc xĂc ành bði
Dạ d ng thĐy rơng F l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh vợi β = 3 v L -liản tửc Lipschitz vợi L = 8 trản R 2
BÊng 2.1, 2.2 l kát quÊ số cho Vẵ dử 2.1.8 vợi C = x ∈ R 2 : x 1 + x 2 ≤ 2 , iãu kiằn dứng dÂy l°p l kx k − x k−1 k ≤ ε , ð Ơy ε l sai số cho trữợc.
BÊng 2.1: Kát quÊ số cho Vẵ dử 2.1.8 vợi x 0 = (1, 1) > , α k = k+3 1 , η k = 2(k+3) k+1 , λ k = 0.01 , à = 0.1
BÊng 2.2: Kát quÊ số cho Vẵ dử 2.1.8 vợi x 0 = (2, 3) > , α k = k+3 1 , η k = 2(k+3) k+1 , λ k = 0.01 , à = 0.1
2.2 Phữỡng phĂp l°p giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp vợi r ng buởc iºm bĐt ởng tĂch
Cho C v Q lƯn lữủt l cĂc têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa hai khổng gian Hilbert thỹc H 1 v H 2 , F : C −→ H 1 l mởt toĂn tỷ ỡn iằu mÔnh,
T : C −→ C, S : Q −→ Q l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn, A : H 1 −→ H 2 l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n X²t mởt lợp b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai c§p sau ¥y:
Tẳm x ∗ ∈ Ω sao cho hF (x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (VIP) trong õ Ω l têp nghiằm cừa b i toĂn: tẳm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ = T x ∗ , Ax ∗ ∈ Q v Ax ∗ = S(Ax ∗ ) (SFPP)
B i toĂn (SFPP) ữủc gồi l b i toĂn iºm bĐt ởng tĂch.
Trữợc hát ta cƯn mởt số giÊ thiát sau.
GiÊ thiát 2.2.1 (xem [4]) GiÊ sỷ hai Ănh xÔ A v F thọa mÂn cĂc giÊ thiát sau ¥y.
(B1) A : H 1 −→ H 2 l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n vợi toĂn tỷ liản hủp l
(B2) F : C −→ H 1 l Ănh xÔ β -ỡn iằu mÔnh v L -liản tửc Lipschitz trản C Phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIP)(SFPP) ữủc xƠy dỹng nhữ sau (xem [4]).
Thuêt toĂn 2.2.2 Cho trữợc iºm x 0 ∈ C tũy ỵ, cĂc dÂy l°p {x k } , {u k } , {y k } v {z k } ữủc sinh ra bði hằ
∀k ≥ 0, trong õ δ , à l cĂc hơng số dữỡng, {λ k } v {α k } l cĂc dÂy tham số thuởc
Sỹ hởi tử mÔnh cừa Thuêt toĂn 2.2.2 giÊi b i toĂn (VIP)(SFPP) ữủc nảu trong ành lþ sau ¥y Ành lỵ 2.2.3 (xem [4]) cho C v Q lƯn lữủt l hai têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa hai khổng gian Hilbert thỹc H 1 v H 2 A v F l cĂc Ănh xÔ thọa mÂn cĂc iãu kiằn (B1)(B2), T : C −→ C v S : Q −→ Q l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn GiÊ sỷ têp nghiằm Ω cừa b i toĂn (SFPP) khĂc rộng Khi õ, náu δ ∈.
L 2 , cĂc dÂy tham số {λ k } v {α k } thuởc (0, 1) ỗng thới thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(c) lim k−→∞ α k = α ∈ (0, 1), thẳ dÂy {x k } , ữủc xĂc ành trong Thuêt toĂn 2.2.2, hởi tử mÔnh án nghiằm duy nh§t x ∗ cõa b i to¡n (VIP)(SFPP).
Chùng minh L§y x ∗ ∈ Sol (Ω, F ) Khi â, x ∗ ∈ Ω tùc l x ∗ ∈ C , Ax ∗ ∈ Q ,
Tứ tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu P Q , ta thu ữủc ku k − Ax ∗ k 2 = kP Q (Ax k ) − P Q (Ax ∗ )k 2
= 1 2 ku k − Ax ∗ k 2 + kAx k − Ax ∗ k 2 − ku k − Ax k k 2
Tứ õ suy ra ku k − Ax ∗ k 2 ≤ kAx k − Ax ∗ k 2 − ku k − Ax k k 2 (2.28) Nhớ tẵnh khổng giÂn cừa S , S(Ax ∗ ) = Ax ∗ v (2.28), ta cõ thº viát kSu k − Ax ∗ k 2 = kSu k − S(Ax ∗ )k 2
Do â, kSu k − Ax ∗ k 2 − kAx k − Ax ∗ k 2 ≤ −ku k − Ax k k 2 (2.29)
= A(x k − x ∗ ) + Su k − Ax k − (Su k − Ax k ), Su k − Ax k
= 1 2 kSu k − Ax ∗ k 2 + kSu k − Ax k k 2 − kAx k − Ax ∗ k 2
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực trản v tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu P C , ta thu ữủc: ky k − x ∗ k 2
= kx k − x ∗ k 2 + kδA ∗ (Su k − Ax k )k 2 + 2δ x k − x ∗ , A ∗ (Su k − Ax k )
≤ kx k − x ∗ k 2 + δ 2 kAk 2 kSu k − Ax k k 2 − δku k − Ax k k 2 − δkSu k − Ax k k 2
= kx k − x ∗ k 2 − δ(1 − δkAk 2 )kSu k − Ax k k 2 − δku k − Ax k k 2 (2.30) Khi õ, vợi δ ∈ 0, kAk 1 2 + 1 , ta cõ ky k − x ∗ k ≤ kx k − x ∗ k ∀k (2.31)
Tứ Bờ ã 1.2.4 v tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu P C , ta cõ: kz k − x ∗ k = kP C (y k − λ k àF (y k )) − P C (x ∗ )k
≤ (1 − λ k τ )ky k − x ∗ k + λ k àkF (x ∗ )k (2.32) Kát hủp T (x ∗ ) = x ∗ , tẵnh khổng giÂn cừa T , (2.32) v (2.31), ta thu ữủc kx k+1 − x ∗ k = kα k (x k − x ∗ ) + (1 − α k )(T (z k ) − x ∗ )k
Do â, kx k+1 − x ∗ k ≤ max kx k − x ∗ k, àkF (x ∗ )k τ
, v bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc, ta thu ữủc kx k − x ∗ k ≤ max kx 0 − x ∗ k, àkF (x ∗ )k τ
Do õ, dÂy {x k } bà ch°n, tứ õ suy ra cĂc dÂy {y k } v {F (y k )} bà ch°n.
Dỹa v o tẵnh khổng giÂn cừa P C , ta cõ ky k+1 − y k k 2
= kP C (x k+1 + δA ∗ (Su k+1 − Ax k+1 )) − P C (x k + δA ∗ (Su k − Ax k ))k 2
≤ kx k+1 + δA ∗ (Su k+1 − Ax k+1 ) − x k − δA ∗ (Su k − Ax k )k 2
= kx k+1 − x k k 2 + δ 2 kA ∗ (Su k+1 − Su k + Ax k − Ax k+1 )k 2
Chú ỵ rơng: δ 2 kA ∗ (Su k+1 − Su k +Ax k − Ax k+1 )k 2
≤ δ 2 kA ∗ k 2 kSu k+1 − Su k + Ax k − Ax k+1 k 2
= δ 2 kAk 2 kSu k+1 − Su k + Ax k − Ax k+1 k 2 (2.34)
Kỵ hiằu Θ k := 2δ x k+1 − x k , A ∗ (Su k+1 − Su k + Ax k − Ax k+1 ) v sỷ dửng tẵnh khổng giÂn cừa S v P Q , ta ữủc Θ k = 2δ
= δ kSu k+1 − Su k k 2 − kAx k+1 − Ax k − (Su k+1 − Su k )k 2
≤ δ ku k+1 − u k k 2 − kAx k+1 − Ax k − (Su k+1 − Su k )k 2
= δ kP Q (Ax k+1 ) − P Q (Ax k )k 2 − kAx k+1 − Ax k − (Su k+1 − Su k )k 2
≤ −δkAx k+1 − Ax k − (Su k+1 − Su k )k 2 (2.35) p dửng (2.34) v (2.35) v o (2.33), kát hủp vợi 0 < δ < 1 kAk 2 + 1, ta câ ky k+1 −y k k 2
≤ kx k+1 − x k k 2 − δ(1 − δkAk 2 )kSu k+1 − Su k + Ax k − Ax k+1 k 2
Do â ky k+1 − y k k ≤ kx k+1 − x k k ∀k ≥ 0 (2.36) º ỡn giÊn trong viằc kỵ hiằu, °t t k = T (z k ) Tứ tẵnh khổng giÂn cừa cĂc Ănh xÔ T v P C , (2.36), v Bờ ã 1.2.4, ta cõ kt k+1 −t k k
BĐt ¯ng thực cuối dăn tợi kt k+1 − t k k − kx k+1 − x k k ≤ −λ k τ kx k+1 − x k k + à |λ k − λ k+1 | kF (y k+1 )k.
Vẳ {x k } , {F (y k )} bà ch°n v lim k−→∞ λ k = 0, nản ta cõ lim sup k−→∞
Do vêy, tứ Bờ ã 1.2.5, ta thu ữủc k−→∞ lim kt k − x k k = 0.
Ta th§y kx k+1 − x k k = (1 − α k )kt k − x k k ≤ kt k − x k k, v kx k − T (y k )k ≤ kx k − t k k + kt k − T (y k )k
Trong bài viết này, chúng ta xem xét giới hạn của dãy {F(yk)} khi k tiến tới vô cùng, với điều kiện lim k→∞ kt k - x k k = 0 và lim k→∞ λ k = 0 Kết quả này dẫn đến lim k→∞ kx k+1 - x k k = 0 và lim k→∞ kx k - T(yk)k = 0 Hơn nữa, với điều kiện tồn tại giới hạn của x ∗, chúng ta có thể viết lại mối quan hệ giữa x k+1 và x ∗ như sau: kx k+1 - x ∗ k 2 = kα k (x k - x ∗) + (1 - α k )(T(zk) - x ∗)k 2.
Tứ cĂc bĐt ¯ng thực (2.30) v (2.32), ta thu ữủc kz k − x ∗ k 2
≤ (1 − λ k τ ) 2 kx k − x ∗ k 2 − δ(1 − δkAk 2 )kSu k − Ax k k 2 − δku k − Ax k k 2 + λ k àkF (x ∗ )k
(1 − δkAk 2 )kSu k − Ax k k 2 + ku k − Ax k k 2 + λ k àkF (x ∗ )k
Thay (2.39) v o (2.38), ta câ kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 − δ(1 − α k )(1 − λ k τ ) 2 ×
(1 − δkAk 2 )kSu k − Ax k k 2 + ku k − Ax k k 2 + (1 − α k )λ k àkF (x ∗ )k
Sỷ dửng δ ∈ 0, kAk 1 2 + 1 v ành nghắa ν k := δ(1 − α k )(1 − λ k τ ) 2 , ψ := (1 − α k )λ k àkF (x ∗ )k
(1 − δkAk 2 )kSu k − Ax k k 2 + ku k − Ax k k 2
Khi k tiến tới vô cực, ta có giới hạn lim k→∞ kx k+1 − x k k = 0, với {x k }, {y k } được chọn sao cho lim k→∞ λ k = 0 và lim k→∞ α k = α ∈ (0, 1) Điều này dẫn đến lim k→∞ ν k = δ(1 − α) > 0 và giới hạn (2.40) giữ nguyên khi k tiến tới vô cực Từ đó, suy ra rằng lim k→∞ kSu k − Ax k k = 0 và lim k→∞ ku k − Ax k k = 0 Với lôgic sử dụng tính chất khổng giãn của toán tử P C, khi {x k } thuộc C, ta có thể viết ky k − x k k = kP C (x k + δA ∗ (Su k − Ax k )) − P C (x k )k.
= δkAkkSu k − Ax k k, kát hủp vợi (2.41) thu ữủc k−→∞ lim ky k − x k k = 0 (2.42)
Theo b§t ¯ng thùc tam gi¡c, ta có thể chứng minh rằng k − T (y k )k ≤ kx k − y k k + kx k − T (y k )k ku k − Su k k ≤ ku k − Ax k k + kSu k − Ax k k Kết hợp với các công thức (2.42), (2.37) và (2.41), ta có lim k−→∞ ky k − T (y k )k = 0 và lim k−→∞ ku k − Su k k = 0 Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng lim sup k−→∞ tồn tại.
LĐy mởt dÂy con {y k i } cừa {y k } sao cho lim sup k−→∞
Vẳ {y k i } bà ch°n, ta cõ thº giÊ sỷ rơng y k i hởi tử yáu án y Khi õ, lim sup k−→∞
Dạ thĐy rơng y ∈ C vẳ y k i ⊂ C , y k i * y v C õng yáu.
GiÊ sỷ rơng y / ∈ Fix (T ) , nghắa l y 6= T (y) Vẳ y k i * y v T l Ănh xÔ khổng giÂn, nản tứ (2.43) v Bờ ã Opial, ta cõ: lim inf i−→∞ ky k i − yk < lim inf i−→∞ ky k i − T (y)k
MƠu thuăn n y chựng tọ giÊ sỷ phÊn chựng ban Ưu sai, tực l y ∈ Fix (T ) Vẳ y k i * y v lim k−→∞ ky k − x k k = 0, nản x k i * y Vẳ thá Ax k i * Ay Tứ iãu n y v (2.41) ta câ u k i * Ay (2.44)
Vẳ {u k i } ⊂ Q v Q õng yáu, nản tứ (2.44) ta suy ra Ay ∈ Q
Tiáp theo, ta s³ chựng minh Ay ∈ Fix (S) Thêt vêy, náu S(Ay) 6= Ay , tứ Bờ ã Opial v (2.43), ta cõ lim inf i−→∞ ku k i − Ayk < lim inf i−→∞ ku k i − S(Ay)k
= lim inf i−→∞ ku k i − Su k i + Su k i − S(Ay )k
≤ lim inf i−→∞ (ku k i − Su k i k + kSu k i − S(Ay)k)
≤ lim inf i−→∞ ku k i − Ayk, vổ lỵ! iãu õ chựng tọ Ay ∈ Fix (S)
Vẳ y ∈ Fix (T ) v Ay ∈ Fix (S) , ta suy ra y ∈ Ω M x ∗ ∈ Sol (Ω, F ) , nản hF (x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0.
Do õ, tứ tẵnh bà ch°n cừa {F (y k )} v lim k−→∞ λ k = 0 ta suy ra lim sup k−→∞
Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng x không phải là nghiệm tối ưu Từ tính chất của phép chiếu P_C, ta có bất đẳng thức kx - yk² ≤ kxk² - 2hy, x - yi, với mọi x, y ∈ H₁ Sử dụng Bờ ã 1.2.4 và (2.31), ta có thể rút ra rằng kz k - x* k² = kP_C(yk - λk àF(yk)) - P_C(x*)k².
Thay bĐt ¯ng thực trản v o (2.38), ta cõ kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ α k kx k − x ∗ k 2 + (1 − α k )kz k − x ∗ k 2
Chú ỵ rơng P ∞ k=0 λ k (1 − α k )τ = ∞ theo iãu kiằn (b), Ăp dửng Bờ ã 1.2.7 v o (2.45), ta suy ra x k −→ x ∗ , Ơy chẵnh l iãu phÊi chựng minh
Nhên x²t 2.2.4 Ta cõ thº chồn λ k = k + 2 1 , α k = 2(k k + 1 + 3) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (a)(c) trong ành lỵ 2.2.3.
Vẵ dử 2.2.5 X²t b i toĂn (VIP)(SFPP) vợi H 1 = R 2 , H 2 = R 3 , A : R 2 −→ R 3 xĂc ành bði Ax = (x 1 + 2x 2 , 3x 1 − x 2 , x 2 ), vợi toĂn tỷ liản hủp A ∗ : R 3 −→ R 2 , x¡c ành bði A ∗ y = (y 1 + 3y 2 , 2y 1 − y 2 + y 3 ) Cho C = x ∈ R 2 | 2x 1 + x 2 ≤ 0 ,
Q = {x ∈ R³ | 2x₁ + x₂ − x₃ + 1 = 0} là tập hợp các điểm trong không gian R³ thỏa mãn phương trình trên Tính chất của các tập con này liên quan đến sự rộng lớn của R² và R³ Đặt F = I, trong đó I là toán tử tỷ lệ và tồn tại trong H¹ (không gian hàm có đạo hàm liên tục) Ngoài ra, tồn tại toán tử T: C → C.
S : Q −→ Q lƯn lữủt xĂc ành bði:
Khi â b i to¡n (VIP)(SFPP) trð th nh:
Tìm x ∗ ∈ Ω sao cho hx ∗ , x − x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ Ω (VIP1) trong không gian Ω là bài toán tối ưu Bài toán này yêu cầu tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ = P C (x ∗ ) và thỏa mãn điều kiện Ax ∗ ∈ Q cũng như Ax ∗ = P Q (Ax ∗ ) (SFP1) Để giải bài toán cấp dữ liệu (SFP1), ta có thể áp dụng phương pháp x = T (x) với mọi x ∈ C.
⇔ 5x 1 + 2x 2 + 1 = 0. ỗng thới u = S(u), ∀u ∈ Q Do õ, têp nghiằm cừa b i toĂn (SFP1) l :
Dạ thĐy Ω khĂc rộng Tiáp theo, ta giÊi b i toĂn cĐp trản (VIP1) Ta thĐy: hx ∗ , x − x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω ⇔ hx ∗ , x ∗ i ≤ hx ∗ , xi ∀x ∈ Ω
⇔ kx ∗ k ≤ kxk ∀x ∈ Ω, nghắa l b i toĂn (VIP1) trð th nh b i toĂn: tẳm x ∗ ∈ Ω sao cho x ∗ l phƯn tỷ cõ chuân nhọ nhĐt trong Ω Tực l nghiằm úng cừa b i toĂn l x ∗ = − 29 5 , − 29 2
(chẵnh l hẳnh chiáu cừa O trản Ω ) Thêt vêy: LĐy x ∗ = (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) ∈ C, ta cõ kx ∗ k = q x ∗ 1 2 + x ∗ 2 2 Vẳ Ax ∗ ∈ Q nản x ∗ 2 = −1 − 5x ∗ 1
Sỷ dửng Thuêt toĂn 2.2.2 vợi iºm xuĐt phĂt29 x 0 = (0, 0) > , cĂc tham số hơng δ = 1
2, à = 2 iãu kiằn dứng l sai số giỳa nghiằm xĐp x¿ v nghiằm úng ừ nhọ, tực l kx k − x ∗ k ≤ ε, ð Ơy chồn ε = 10 −6 Chồn cĂc λ k v α k khĂc nhau º xem x²t sỹ thay ời thới gian chÔy chữỡng trẳnh.
Vợi λ k = k + 2 1 , α k = 2(k k + 1 + 3) , ta thu ữủc kát quÊ trong BÊng 2.3.
Vợi λ k = 1.7k 1 + 2 , α k = 2(k k 0.01 0.01 + 1 + 3) , ta thu ữủc kát quÊ trong BÊng 2.4.
Bữợc l°p (k) x k 1 x k 2 kx k − x k−1 k kx k − x ∗ k Thới gian (s)
BÊng 2.3: Kát quÊ chÔy chữỡng trẳnh vợi λ k = 1 k + 2 , α k = k + 1
Bữợc l°p (k) x k 1 x k 2 kx k − x k−1 k kx k − x ∗ k Thới gian (s)
BÊng 2.4: Kát quÊ chÔy chữỡng trẳnh vợi λ k = 1
Nghiằm xĐp x¿ hởi tử dƯn vã nghiằm úng: x ∗ =
Luên vôn  Ôt ữủc mửc tiảu ã ra
"Nghiản cựu mởt phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert thỹc; ữa ra v tẵnh toĂn vẵ dử minh hồa".
Kát quÊ cừa luên vôn
Luên vôn  trẳnh b y mởt số phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp Cử thº: