Bất đẳng thức kiểu moser trudinger cho các lớp năng lượng cegrell

Các nội dung nghiên cứu, kết quả của tôi trong luận văn làtrung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây; cáckết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thí

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THÙY

BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU MOSER-TRUDINGER CHO CÁC

LỚP NĂNG LƯỢNG CEGRELL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU MOSER-TRUDINGER CHO CÁC

LỚP NĂNG LƯỢNG CEGRELL

Ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU

Thái Nguyên, năm 2022

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn "Bất đẳng thức kiểu Moser-Trudingercho các lớp năng lượng Cegrell" là công trình nghiên cứu khoa học độclập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS TSKH NguyễnQuang Diệu Các nội dung nghiên cứu, kết quả của tôi trong luận văn làtrung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây; cáckết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

về nội dung luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2022

Người hướng dẫn khoa học

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thái Nguyên dưới sự hướngdẫn, chỉ bảo tận tình của GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn đã định hướng chọn đềtài và tận tình chỉ bảo để tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũng muốn bày

tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các Thầy, cô và các bạnhọc viên cùng với những người thân đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, 2022

Đặng Thị Phương Thùy

Mục lục

1.1 Hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến 31.2 Hàm đa điều hòa dưới và các lớp Cegrell 41.3 Bất đẳng thức Moser-Trudinger trên Rn 11

2.1 Bất đẳng thức Moser-Trudinger cho các hàm đa điều hòa dưới 142.2 Bất đẳng thức Sobolev cho các hàm delta đa điều hòa dưới 23

Phần mở đầu

Bất đẳng thức Moser-Trudinger cho các hàm khả vi thực được tìm ra vàonhững năm 70 của thế kỷ trước Đây là một dạng tới hạn của các định lýnhúng Sobolev và có ứng dụng sâu rộng trong lý thuyết phương trình đạohàm riêng hay hình học vi phân Một hướng nghiên cứu gần đây được đặt

ra là thay cho các hàm khả vi thực trên Rn thì ta xét các hàm đa điều hòadưới trên các miền siêu lồi bị chặn trong Cn và các toán tử đạo hàm ở định

lý Moser-Trudinger được thay bởi toán tử Monge-Ampère phức

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết hơn một sốkết quả chính trong bài báo [2] Công cụ tiếp cận của chúng tôi (cũng nằmtrong công trình nói trên) là dựa vào các kết quả cổ điển của lý thuyết thế

vị kết hợp với các nguyên lý so sánh trong những lớp năng lượng Cegrellcùng với biểu diễn của độ đo Mong-Ampère của các hàm đa điều hòa dướiradial trên hình cầu

Cấu trúc của luận văn bao gồm 2 chương Chương 1 trình bày kiến thứcchuẩn bị về hàm đa điều hòa dưới, đặc biệt là các lớp năng lượng Cegrell.Trong chương này chúng tôi cũng trình bày lại một số nét chính về bất đẳngthức Moser-Trudinger cổ điển trong lý thuyết các hàm thực Chương 2 trìnhbày các đánh giá kiểu Moser-Trudinger nhưng cho các hàm thuộc lớp nănglượng Cegrell Chú ý là lúc này độ đo Monge-Ampère của hàm số đóng vaitrò của gradient của hàm số trong trường hợp một biến Bằng các phươngpháp tương tự chúng tôi cũng tìm được một số kết quả cho những hàm thuộclớp δ Cegrell Một bài toán lớn đang nhận được sự chú ý của nhiều nhà toánhọc là tìm các ứng dụng của các bất đẳng thức kiểu Moser-Trudinger nhưtrên vào việc phân loại các đa tạp phức

Do đây là một đề tài không đơn giản pha trộn nhiều kiến thức của giảitích phức và của lý thuyết đa thế vị phức và cũng do vốn hiểu biết của tôicòn hạn hẹp nên không tránh khỏi những thiếu sót khi trình bày Tôi mongmuốn nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bảnluận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, 2022

Đặng Thị Phương Thùy

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chúng ta sẽ trình bày một số kết quả về các hàm chỉnh hình, hàm đa điềuhòa dưới cùng với miền siêu lồi Sau đó, ta sẽ đề cập tới các lớp năng lượngCegrell trên những miền siêu lồi bị chặn Ngoài ra chúng ta cũng nhắc lạibất đẳng thức Moser-Trudinger cổ điển trong giải tích thực Những phầnnày được lấy trong các tài liệu tham khảo [1] và [4]

1.1 Hàm chỉnh hình một biến và nhiều biến

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định trên miền D ⊂ C Xét giới hạn:

lim

h→0

f (z + h) − f (z)

h , z, z + h ∈ D.

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại nó được gọi là đạo hàm phức của f tại

z, ký hiện là f0(z) Như vậy:

và f (z)/g(z)(g(z0) 6= 0) cũng khả vi phức tại z0 với mọi α, β ∈ C và:

Định lý 1.1.3 (Điều kiện Cauchy - Riemann)

Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định là một hàm R2− khả

vi trong miền D ⊂ C Khi đó f là C− khả vi tại z0 = x0 + iy0 nếu và chỉnếu

(∂u

∂x(x0, y0) = ∂v∂y(x0, y0)

∂u

∂y(x0, y0) = −∂x∂v(x0, y0)1.2 Hàm đa điều hòa dưới và các lớp Cegrell

Chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm hàm đa điều hòa dưới Đây là đối tượngtrung tâm của lý thuyết đa thế vị và của cả giải tích phức

Định nghĩa 1.2.1 ChoD là miền mở trong Cn Một hàmu : D → [−∞, ∞)

được gọi là đa điều hòa dưới nếu:

(i) u là nửa liên tục trên, tức là với mọi a ∈ R tập {u < a} là tập con mởcủa D;

(ii) Hạn chế của u lên mỗi đường thẳng phức là hàm điều hòa dưới mộtbiến, i.e., với mọi a ∈ D với mọi b ∈ Cn, thì hàm một biến λ 7→ u(a + λb)

là điều hòa dưới trên một lân cận của 0 ∈ C

Dựa vào các hàm chỉnh hình ta có những ví dụ về hàm điều hòa dưới

Ví dụ 1.2.2 Cho f (z) = |z|, khi đó logf (z) là một hàm điều hòa dưới.Mệnh đề 1.2.3 Cho f là hàm chỉnh hình trên tập mở D trong Cn Khi đó

u := log |f | là đa điều hòa dưới trên D

Chứng minh Lấy một đường thẳng phức l tùy ý trong Cn do hạn chế của

f lên l ∩ D cũng là chỉnh hình nên ta chỉ cần chứng minh khi n = 1 Với

z0 ∈ D sao cho f (z0) 6= 0thì f 6= 0trên một hình trònU tâmz0 Do f kháckhông trên U ta có f = eg với g chỉnh hình trên U Do đó log |f | = Reg làhàm điều hòa trên U Mặt khác nếu f (z0) = 0 thì hiển nhiên f thỏa mãnbất đẳng thức trung bình dưới tại z0 do log |f (z0)| = −∞ Ta đã chứngminh u là điều hòa dưới trên D

Để kiểm tra một hàm đủ trơn có là đa điều hòa dưới hay không, chúng

ta có tiêu chuẩn sau:

Mệnh đề 1.2.4 Hàm u khả vi liên tục cấp 2 trên miền mở D trong Cn là

đa điều hòa dưới khi và chỉ khi Hessian phức của u là nửa xác định dương,tức là với mọi t = (t1, · · · , tn) ∈ Cn và với mọi p ∈ D chúng ta có

Tính chất quan trọng nhất của toán tử Monge-Ampère chính là nguyên lý

so sánh sau đây được chứng minh bởi Bedford và Taylor vào đầu nhữngnăm 80 của thế kỷ trước

Định lý 1.2.5 Cho u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên miền mở

bị chặn D ⊂ Cn Giả sử u, v thỏa mãn điều kiện

lim

z→∂D

(u(z) − v(z)) ≥ 0

số K > 0 và τ ∈ (0, 1) sao cho ϕ := −(−ρe−Kψ)τ là đa điều hòa dưới trong

D ở đây ψ(z) := |z|2 − M còn M là hằng số đủ lớn sao cho ψ < 0 trên D

Muốn vậy, ta chú ý rằng với mọi véctơ a ∈ Cn và mọi p ∈ ∂D ta có thểphân tích

với mọi q ∈ U Lấy W là một lân cận của ∂D và compact tương đối trong

U, sử dụng đánh giá ở trên và tính compact của W , ta có thể tìm được

Ta cần chứng tỏ tồn tại K, τ sao cho D(p, τ, K, t) > 0 với mọi t 6= 0 Bằngcách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, với mọi p ∈ D ta có đánh giásau

D(p, τ, K, t) ≥ Kρ2(p)[|t|2 − ηKA1|t|2]+

+ (−ρ(p))[Aρ(p)|t|2 − 2τ KA2|h∂ρ(p), ti||t|] + (1 − τ )|h∂ρ(p), ti|2

Ở đây A1, A2 chỉ phụ thuộc vào ρ và ψ Để đánh giá số hạng cuối ta sẽ ápdụng bất đẳng thức đơn giản sau đây

(1 − τ )|h∂ρ(p), ti|2 − 2τ KA3|h∂ρ(p), ti||t| + A4|t|2 ≥ 0

với A3 cho trước và A4 được chọn thích hợp Vậy bằng cách chọn K đủ lớn

và η đủ nhỏ ta nhận được điều phải chứng minh

Các lớp năng lượng Cegrell được định nghĩa trên miền siêu lồi bị chặn D

theo cách sau Trước hết ta ký hiệu E0(D) là tập hợp các hàm đa điều hòadưới bị chặn u trên D sao cho

Mệnh đề 1.2.8 Cho D là một miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u, v ∈

Tiếp theo ta định nghĩa Ep(D) là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm

u trên D sao cho tồn tại một dãy uj ∈ E0(D), uj ↓ u và thỏa mãn

Ta có thể chứng minh được ep(u) không phụ thuộc vào cách chọn dãy uj

Hơn nữa, bằng cách sử dụng một nguyên lý so sánh trong lớp Ep, ta cũng

có thể chứng minh được Ep(D) là một nón lồi

Ví dụ quan trọng nhất về các hàm thuộc lớp E0(D) được cho bởi các hàmGreen đơn cực Cụ thể ta có kết quả sau đây:

Mệnh đề 1.2.9 Cho D là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và a ∈ D Khi

ở đây δa là độ đo Dirac tại a và cn là hằng số chỉ phụ thuộc n

Ta sẽ sử dụng kết quả trên trong chương sau trong vấn đề đánh giá dướimột hằng số xuất hiện trong bất đẳng thức Sobolev

1.3 Bất đẳng thức Moser-Trudinger trên Rn

Ta nhắc lại bất đẳng thức kinh điển Moser-Trudinger về đánh giá độlớn một hàm thực thông qua gradient của hàm số này Một cách chính xácchúng ta có

Định lý 1.3.1 Cho D là miền mở bị chặn trong Rn Khi đó tồn tại hằng

số c > 0 chỉ phụ thuộc n sao cho với mọi hàm khả vi liên tục u với giácompact trong D ta có

n−1, còn ωn−1 là diện tích của mặt cầu đơn vị trong Rn

Ta có thể hiểu Định lý 1.2.1 là một dạng giới hạn của định lý Sobolev dướiđây

Định lý 1.3.2 Cho D là miền mở bị chặn trong Rn và p ∈ (1, n) Khi đóvới mọi hàm khả vi liên tục u với giá compact trong D ta có

kukLp ≤ Ck∇ukLq,

ở đây 1 < q < n và 1/q − 1/p = 1/n

Chứng minh Định lý 1.3.1 Ta sẽ nêu một số bước chính trong chứngminh định lý cổ điển Moser-Trudinger Hiển nhiên ta có thể giả sửkukn = 1.Hơn nữa bằng cách xét |u| thay cho u, ta có thể giả sử u ≥ 0 Ta chia phầnchứng minh còn lại làm hai bước

Bước 1 Ta sẽ đưa bất đẳng thức cần chứng minh về trường hợp 1 biến Gọi

u∗ là hàm radial trên hình cầu Rn sao cho

λn{x : u∗(x) > t} = λn{x : u(x) > t} ∀t > 0

Khi đó u∗ ≥ 0 là hàm giảm và u∗ = 0 trên miền |x| > R, với R là bán kínhcủa hình cầu D∗ có thể tích λn(D) Khi đó ta có

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Moser-Trudinger với hàm radial

u∗ và D là một hình cầu mở Theo định lý Fubini ta có thể giả thiết D làmột khoảng mở trong R Điều này có nghĩa là u∗ có thể xem như hàm củamột biến thực

Bước 2 Ta chứng minh đinh lý trong trường hợp n = 1 Xét biến t ∈R cho

với β := α/αn Do đó ta chỉ cần chứng minh kết quả sau đây:

Mệnh đề 1.3.3 Cho q ≥ 2 và v là một hàm số khả vi liên tục trên [0, ∞)

tiết chứng minh khẳng định yếu hơn là tích phân trong mệnh đề là hữu hạnvới mọi β > 0 Thật vậy, với mọi ε > 0 ta tìm được T > 0 sao cho

2.1 Bất đẳng thức Moser-Trudinger cho các hàm đa điều hòa

dưới

Ta bắt đầu bởi kết quả sau đây về chặn trên của một tích phân dạng e−u

với u thuộc một lớp năng lượng Cegrell thích hợp

Định lý 2.1.1 Cho D là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và p ≥ 1.Khi

đó tồn tại các hằng số dương A(p, n, D) và B(p, n, D) sao cho với mọi

u ∈ Ep(D)

log

ˆ

D

e−udλ2n ≤ A(p, n, D) + B(p, n, D)ep(u)1/p

Chứng minh Trước hết ta giả sử u ∈ E0(D) ∩ C(D.) Khi đó theo mộtkết quả về tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère với điều kiện

tồn tại một dưới nghiệm, ta tìm được w ∈ E0 sao cho

Bởi vì u ∈ E0(D) nên lim

z→∂Du(z) = 0 Điều này có nghĩa là

Kết quả sau đây cho một chặn dưới của hằng số B(p, n, D).

Định lý 2.1.2 Cho D là miền siêu lồi bị chặn trong Cn, n ≥ 2 Ký hiệu

B(p, n, D) là hằng số xuất hiện trong Định lý 2.1.1 Khi đó ta có đánh giá

p(4π)n/p(n + p)1+n/p ≤ B(p, n, D)

Chứng minh Bằng một phép tịnh tiến ta có thể coi 0 ∈ D Ký hiệu g là

hàm Green với cực tại 0 Với hằng số β < 0 ta xét hàm sau đây

Hơn nữa ta lại có

Ta có điều phải chứng minh.

Để tìm một chặn trên cho B(n, p, D) chúng ta sẽ cần một số tính toán về

độ đo Monge-Ampère của các hàm đa điều hòa dưới radial Ta cần bổ đề sơcấp sau đây

Bổ đề 2.1.3 Với mọi α > 1 và A > 0 tồn tại hằng số B sao cho với mọi

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bổ đề sau đây cho một biểu diễn độ đo Monge-Ampère của các hàm đa điềuhòa dưới radial

Bổ đề 2.1.4 Cho u ∈ E0(B) là một hàm radial Khi đó

˜u(r) =

ˆ 1 r

Chứng minh Bằng cách lấy tích chập của u˜ với các nhân trơn chuẩn tắc

ta nhận được một dãy các hàm đa điều hòa dưới radial uj hội tụ giảm về

u Khi đó với 0 ≤ r ≤ s ≤ 1 − 1/j ta có

˜

uj(r) − ˜us(r) =

ˆ s r

j→∞(˜uj(r) − ˜uj(s))

= lim

j→∞

ˆ s r

Cho s ↑ 1 ta có điều phải chứng minh

Kết quả dưới đây về năng lượng của hàm đa điều hòa dưới radial là công

cụ then chốt cho chứng minh của định lý còn lại của phần này

Bổ đề 2.1.5 Cho p > 0 và u(z) = u(|z|) = ˜u(t) là một hàm radial đa điềuhòa dưới thỏa mãn điều kiện lim

z→∂Bu(z) = 0 và u ∈ Ep Khi đó ta có

ep(u) = (2π)np

ˆ 1 0

(−˜u(t))p−1u0(t)n+1tndt

Chứng minh Do u là hàm radial đa điều hòa dưới, nên theo Bổ đề 2.1.4

Bây giờ ta sẽ áp dụng công thức sau đây: Với mọi hàm đo đượcf ∈ Lp(X, µ),

ở đây µ là một độ đo dương trên một tập X ⊂ Cn ta có

(−˜u(s))p−1u˜0(s)n+1snds,

ở đây m := − inf u Ta có điều phải chứng minh

Đối với các hàm radial đa điều hòa dưới trên hình cầu đơn vị thì ta có mộtđánh giá kiểu Moser-Trudinger như sau

Định lý 2.1.6 Cho u là hàm đa điều hòa dưới radial thỏa mãn u ∈ Ep(B)

Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4 ta có

ep(u) = (2π)np

ˆ 1 0

(−˜u(t))p−1u0(t)n+1tndt

= (2π)

np(n + 1)n+1(n + p)n+1

ˆ 1 0

s2n−1ds =

ˆ 1 0

e2n(−˜u(s)x)

n+p n

s2n−1ds ≤ c

2n,

ở đây c > 0 không phụ thuộc vào u Sử dụng Bổ đề 2.1.3 ta có

−˜u(s) ≤ 2n(−˜u(s)x)n+pn + ep(u)p

hay một cách tương đương

Đây chính là điều cần phải chứng minh

2.2 Bất đẳng thức Sobolev cho các hàm delta đa điều hòa dưới

Trong phần cuối của luận văn, chúng ta sẽ đề cập tới một dạng của bấtđẳng thức Sobolev cho các hàm là hiệu của hai hàm đa điều hòa dưới vớinăng lượng hữu hạn Cụ thể hơn ta xét không gian véctơ δEp := Ep− Ep Ta

có thể trang bị cho δEp một chuẩn

|||u|||p := inf{ep(u1 + u2)n+p1 : u1 − u2 = u, u1, u2 ∈ Ep}

Định lý 2.2.1 Cho D là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u ∈ δEp, p > 0

Khi đó với mọi q > 0 tồn tại hằng số C(p, q, n, D) > 0 sao cho

Khi đó theo Định lý 2.1.1 ta tìm được các hằng số A, B > 0 không phụthuộc u sao cho

f (t) ≤ eAeBt

n+p

p e p (u)1/p = Ceg(t),

ở đây g(t) := Bt p ep(u)1/p Ta cũng chú ý đánh giá sau đây:

Cuối cùng ta xét trường hợp u ∈ δEp Với một biểu diễn tùy ý

Kết luận

Trong luận văn này, tôi đã trình bày lại một số kết quả trong bài báo [2]

về các dạng của bất đẳng thức Moser-Trudinger cho các hàm đa điều hòadưới và đelta đa điều hòa dưới trên những miền siêu lồi bị chặn trong Cn

Tài liệu tham khảo

[1] N.Q Dieu và L.M Hai, Cơ sở Lý thuyết đa thế vị, Nhà xuất bản ĐạiHọc Sư Phạm Hà Nội 2014

[2] P ¨Ahag and R Czyz, On the Moser-Trudinger inequality in complexspace , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 479 (2019),1456-1474

[3] U Cegrell, Pluricomplex energy, Acta Math 180 (1998), no 2, 187-217.[4] J Moser, A sharp form of an inequality by N Trudinger, Indiana Univ.Math J 20 No 11 (1971) , 1077-1092

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dungluận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quảmức độ tương đồng 17% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bảncứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu tráchnhiệm

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 7 năm 2022TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT

Đặng Thị Phương Thuỳ