Biến đổi Z và ứng dụng vào hệ thống LTI rời rạc

Miền hội tụ của biến đổi Z -là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức saocho Xz hội tụ... 3.1.4 GIẢN ĐỒ CỰC - KHÔNGKhi các tín hiệu xn hay đáp ứng xung hn là thực có trị s

Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)

Miền hội tụ của biến đổi Z

-là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức saocho X(z) hội tụ

++++

1 ( )

0 ( )

(

0

x x

x n

x

n

1 )

( lim

Ví dụ 3.1: các tín hiệu hữu hạnsau:

a z

az

n n

z n u

z a

)()

1 )

)(n ==== −−−−a u −−−−n −−−−

(((( ))))m

m

z a

1 lim

z n

z a

(((( )))) 1 )

1

1 −−−−

a) Tuyến tính

R ROC

: ) ( )

R ROC

: ) ( )

) ( )

( )

( )

) ( )

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:

1

1

1 )

b n

u

1

1 1

R1 : >

b z

a R

Bài tập

1

( ) [ ( n) ( n)] ( )

x n = = = = 3 2 − − − − 4 3 u n

b) Dịch theo thời gian

a az

n u

) 1 (

)

) 1 (

) ( n = a u n −

: ) ( )

R'ROC

: )()

c) Nh

) ( )

R ROC

: ) ( )

RROC

: )(

; 1

d)

) ( )

( n na u n

a az

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

( n ← → X z =

R ROC

: )

dz

dX(z) z

n x

dz

z

dX z

z G n

nx n

( 1 2

1

Giải:

í dụ5.1.1:

ếu:

ì:

Ví dụ 3.7: ìm

e)

ếu:

ì:

( ) 1 ( ) )

a az

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

( n ← → X z =

R X

a 1

1 )

z ( X )

f)

R ROC

: ) ( )

( n ← → X z =

R X

n

x * ( ) ← →Z * (z*) : ROC =

g)

RR

ROC :

d)

(2

1)

()

nxnx

RROC

: )()

RROC

: )()

Ví dụ 3.9: ìm x(0) ết và x(n) nhân quảGiải:

X(z) lim

: )()

RROC

: )()

)()

()

(

*)

1 e

lim 1/z =

=

∞

→ Z

Thì:

Nếu:

định lý giá trị đầu:

5 0 :

; 5

0 1

1 )

( )

( )

5 0 ( )

u n

2 :

; 2

1

1 )

( )

1 (

2 )

u n

2 5

, 0 :

; ) 2

1 (

1

) 5

0 1

(

1 )

( ) ( )

z H z X z

Y

2 5

, 0 :

; ) 2

1 (

1

3

4 )

5 0 1

(

1

) 1 (

2 3

4 )

( )

5 0

( 3

1 )

(

* ) ( )

5 0 ( )

x = n h ( n ) = − 2nu ( − n − 1 )

Gi

:

Chứa ∩

X1(z)X2(z)

x1(n)*x2(n)

x(0)=lim X(z -> ) x(n) nhân quả

R1 ∩ R2

x1(n)x2(n)

R X*(z*)

x*(n)

1/R X(z -1)

x(-n)

R -z dX(z)/dz

nx(n)

R X(a-1z)

an x(n)

R’

Z-n0 X(z) x(n-n0)

a1X1(z)+a2X2(z)

a1x1(n)+a2x2(n)

R X(z)

x(n)

dv

v v

z X

v

X

1 2

1 ( ) 2

(z-1sin ωo)/(1-2z-1cos ωo+ z-2) |z| >1 sin( ωon)u(n)

|z| >1 (1-z-1cos ωo)/(1-2z-1cos ωo+z-2)

cos( ωon)u(n)

|z| < |a| -nan u(-n-1)

|z| > |a|

nan u(n)

|z| < |a| -an u(-n-1)

|z| > |a|

an u(n)

|z| <1 -u(-n-1)

|z| >1 u(n)

∀z 1

δ(n)

ROC X(z)

1

) 1

−

− az az

3.1.4 GIẢN ĐỒ CỰC - KHÔNG

Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = ∞,

Điểm không của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = 0

k k

3.1.4 GIẢN ĐỒ CỰC - KHÔNG

Khi các tín hiệu x(n) hay đáp ứng xung h(n) là thực (có trị

số thực), các không và các cực là thực hoặc là các đôi liên hiệp phức

Để biểu diễn trên đồ thị, điểm cực được đánh dấu bằng x

và điểm không được đánh dấu bằng o

Ví dụ 3.11: Xác định điểm cực và điểm không của tín hiệu

) z (

X j

) n (

Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chấtphức tạp của phép lấy tích phân vòng







(*)

Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theotích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dưtại tất cả các điểm cực của hàm :

Thặng dư tại điểm cực bội của được định nghĩa:

1 1

Thặng dư tại điểm cực đơn của được định nghĩa:

X j

n

2

1 )

(

π

– các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C

- thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực

)

(

−

= z

z z

z

X j

n

2

1 )

z j

1

) 2 (

Re

z

z s

n

Thay X(z) vào (*), ta được

)2(

zX

n n

có 1 điểm cực đơn p1=2Thặng dư tại p1=2:

2

)2(

()2

zz

−

=

)2(

1)

1Res

()

2(

)!

1(

Res

z

z n

0 2

1 2

1Res

1)!

1(

m

zzz

dzdm

Giả thiết có thể khai triển: ∑∞

(*) (**)

2 1

2

3 2

4 2

) ( z = z − z + − z− + z−

4 {1,-2, )

(

↑

= n x

1

1

1 )

Do ROC của X(z) là , nên sẽ là dãy nhânquả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

2

1 1

1

2

z−1

1

2 −+ z

z 2 - 2

z−1 2 -2

z 2

2 -2

2 2

2 −+ z +

(

n

n n

z z

X

) ( 2

0 :

2 )

⇒

1 1 1

1

2

2

2 1

1 )

Do ROC của X(z) là , nên sẽ là dãy phản

nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

X = − + − + − 3 +

3

2 2

2 -

1

2−1z1

2 2

2 z−

−

z 2 -

2−1 z1 -2 2

z 2 -2 2

3 3

(

n

n n

zz

X

) 1 (

2 0

: 2 )

Xét là phân thức hữu tỉ có

dạng:

) (

)

( )

(

z B

z

D z

X =

0 1

1 1

0 1

1 1

bz

bz

bz

b

dz

dz

dz

d

N N

N N

K K

K K

++

++

++

)

( )

(

z B

z

D z

X =

) (

)

( )

(

z B

z

A z

C +

=

0 1

1 1

0 1

1 1

bz

bz

b

az

az

az

az

N

N N

M M

M M

++

++

++

++

Xét là phân thức hữu tỉ có bậc ≤≤≤≤ :

) (

) ( )

(

z B

z A z

1 1

0 1

1 1

bzbz

bz

b

az

az

az

a

N N

N N

M M

M M

++

++

++

) ( )

(

z B

z A z

) ( )

(

z B

z A z

B z ====

====

Suy ra có biểu thức:

( )

N N

x

1

) ( )

(

Xét:

Tìm x(n) biết:

6 5

5

2 )

z

z z

X

với các miền hội tụ:

) 3 )(

2 (

z

) 3 (

) 2 (

2 1

K

6 5

5 2

z z

z

X

)3(

52

z

X

)2(

52

z

) 3 (

1 )

2 (

1 )

z

z

X

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z X

Với các miền hội tụ:

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z

X

) ( 3

) ( 2

)

) 1 (

3 )

1 (

2 )

( n = − u − n − − u − n −

) 1 n

( u 3 )

n ( u 2 )

n (

) (

) ( )

(

z B

z A z

Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:

biến đổi Z ngược của thành phần sẽ là:

( ) ( 1 )! ( )

) 2 ) (

a i

n n

n a

)

( )!

1 (

) 2 ) (

1

( )

K n

u i

a i

n n

n K n

x

N

r l

n cl l

i n r

) 2 (

4 5

2 )

2 3

z z

z z

X ROC : z > 2

) 1 (

) 2 (

4 5

2 )

z z

z

z

X

) 1 (

) 2 (

) 2 (

3 2

2 1

K z

K

Vậy có biểu thức

là:

Với các hệ số được tính bởi:

)1(

1)

2(

2)

2(

1)

zz

z

X

1 )

1 (

4 5

z

z z

dz

d

2

2 )

1 2 (

) 1 2 (

)!

12

zXdz

dK

2 )

1 (

4 5

z

z z

2

2 )

2 2 (

) 2 2 (

)!

22

zXdz

dK

z

X

) 2 (

4 5

2

1 2

z

z z

)1

(

1)

21(

2)

21(

1)

zz

z

) ( )

( 2

) ( 2

)

⇒

) (

) ( )

(

z B

z A z

e K

K1 = 1

α j c

i i i

Vậy:

: ) 1 )(

2 2

(

)

− +

−

−

z z

z

z z

X

Tìm x(n) biết:

) 1 )(

2 2

(

1 )

z z

−

−

=

z j

z j

z

3

* 1 1

−

=

z

K j

z

K j

z

K

1 )

1 (

) 1

z j

z

K

) ( )

(

) 4

cos(

) 2 (

2 2

z z

K

1 )

1 ( 1

2 / 1 )

1 ( 1

2 /

1 )

−

− +

−

−

+ +

−

=

⇒

z z

j z

j z

a

0 0

) (

k

k

a z

Y

0 0

) ( )

(

Z

) (

)

( )

(

z X

z

Y z

Từ hàm truyền H(z) có thê€ suy ra:

Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:

2 1

1

65

1

52)

(

)

()

zz

X

z

Yz

H

) 3 (

) 2 (

2 1

K

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

) ( 6

5 1

)

( z − z− + z− = X z − z−

Y

6 5

z z

) 3 )(

2 (

5 2

z z

z

H

1 2

) 3 (

z

3 )

2 (

z K

z n

Tìm h(n) của hệ thống, biết:

) 2 (

) 2 / 1 (

2 1

K

1 )

2 / 1 ( 1

1 )

z

H

2 5

2

5

4 )

z

z z

H

) 2 )(

2 / 1 (

2

5 4

z z

1 )

2 / 1 (

c Hệ thống nhân quả và ổn định:

Tổng quát, biến đổi Z 1 phía của y(n-k):

) ( n k

z r y

z Y

z

1

) (

) (

) 1 ( − n

0 ( )

1 ( )

1 ( n z y y z y z

0 ( )

1

y

) ( )

1 ( z 1Y z

y − + −

=

) 2 ( − n

1 ( )

2 ( )

2 ( n z y y z y z

−

) 1 ( )

0 ( )

1 ( )

2

y

) ( )

1 ( )

2 ( y z 1 z 2Y z

y − + − − + −

=

Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phíay(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n≥0

biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9

Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:

Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)

Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rútra:

) 3 (

1

2

1 )

1 (

1

2

1 )

3 )(

1 (

1 )

z z

z

z

Y

) 3

1 (

1

2

1 )

1 (

1

2

1 )

z

Y

[ 3 1 ] ( ) 2

1 )

y = n −

⇒