DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9 IGCSE CAMBRIDGE THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Theo như chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán được ban hành kèm trong thông tư số 322018TTBGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Bên cạnh đó, Toán là môn học bắt buộc từ lớp 1 đến lớp 12. Nội dung giáo dục toán học được phân chia theo hai giai đoạn: Giai đoạn giáo dục cơ bản: Môn Toán giúp học sinh hiểu được một cách có hệ thống những khái niệm, nguyên lí, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảng cho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong cuộc sống hằng ngày. Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: Môn Toán giúp HS có cái nhìn tương đối tổng quát về toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn, những ngành nghề có liên quan đến toán học để HS có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có khả năng tự mình tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời. Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, trong mỗi năm học, HS (đặc biệt là những HS có định hướng khoa học tự nhiên và công nghệ) được chọn học một số chuyên đề học tập. Các chuyên đề này nhằm tăng cường kiến thức về toán học, kĩ 4 năng vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của HS.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÁI HIỂN

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9 IGCSE CAMBRIDGE THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÁI HIỂN

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9 IGCSE CAMBRIDGE THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Anh Vinh

HÀ NỘI – 2023

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

TK-XS Thống kê & Xác suất

NL MHHTH Năng lực Mô hình hóa Toán học

Bảng 2.1 Thống kê tỉ lệ phiếu điều tra

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ đơn giản biểu diễn MHH (Berry& Houston, 1995, tr.24)

Sơ đồ 1.2 Quy trình MHH

Sơ đồ 1.3 Bốn bước trong MHH

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ MHH bảy bước của Blum & Leiß

Sơ đồ 1.5 Quá trình MHHTH

Sơ đồ 1.6 Quá trình chuyển đổi giữa thế giới dữ liệu và mô hình hóa về lượng dân số

Mục lục

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Theo như chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán được ban hành kèm trongthông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng BộGiáo dục và Đào tạo, nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, kháiquát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cầnbảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyếtvấn đề cụ thể Bên cạnh đó, Toán là môn học bắt buộc từ lớp 1 đến lớp 12 Nộidung giáo dục toán học được phân chia theo hai giai đoạn:

- Giai đoạn giáo dục cơ bản: Môn Toán giúp học sinh hiểu được một cách có hệthống những khái niệm, nguyên lí, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất cả mọingười, làm nền tảng cho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể sửdụng trong cuộc sống hằng ngày

- Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: Môn Toán giúp HS có cái nhìntương đối tổng quát về toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của toán họctrong thực tiễn, những ngành nghề có liên quan đến toán học để HS có cơ sở địnhhướng nghề nghiệp, cũng như có khả năng tự mình tìm hiểu những vấn đề có liênquan đến toán học trong suốt cuộc đời Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, trongmỗi năm học, HS (đặc biệt là những HS có định hướng khoa học tự nhiên và côngnghệ) được chọn học một số chuyên đề học tập Các chuyên đề này nhằm tăng

cường kiến thức về toán học, kĩ 4 năng vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, đápứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của HS.

Do vậy, một trong các mục tiêu của giáo dục phổ thông đặt ra đó là phát triển vànâng cao các kĩ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống học tập, nghiên cứu,vào thực tiễn đời sống

Thống kê và Xác suất là một nội dung toán học được đưa vào chương trình học củagiáo dục phổ thông Việt Nam Hiện nay, các kiến thức thuộc về nội dung này đãthâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực và các ngành khoa học khác nhau Các tri thức

về thống kê đã được ứng dụng một cách rộng rãi

Chương trình IGCSE của Cambrdige là một chương trình nổi tiếng trên toàn thếgiới So sánh với chương trình GDPT 2018 của Việt Nam, chương trình Toán trongIGCSE của Cambridge có nhiều điểm tương đồng về mạch kiến thức nó chung và

về phần TK-XS nói riêng như: thu thập và tổ chức dữ liệu, phân tích và xử lý dữliệu, tính xác suất của biến cố

Tuy nhiên trong phần TK-XS, đối với HS cùng cấp độ (lớp 9), Chương trình ToánIGCSE có kiến thức nhiều và rộng hơn Các kiến thức về TK-SX có tính ứng dụngtriệt để trong các môn học khác và thực hành trong đời sống, giúp HS sau khi họcxong chương trình có thể hiểu và áp dụng được các khái niệm cơ bản, có nền tảngvững chắc từ đó nâng cao khả năng thành công trong trên con đường học tập củamình hoặc thậm chí ngay cả khi HS đó chọn đi học nghề thay vì tiếp tục chươngtrình bậc THPT Bên cạnh đó, theo Jonas and Thomas (tr Xii) mô hình hóa là mộttrong bảy kĩ năng mà học sinh tại Sweden và một số nước phát triển cần phải luyệntập và phát triển trong khi học toán Do vậy, tác giả tin rằng phương pháp mô hìnhhóa sẽ là một trong những phương pháp quan trọng cần phải sử dụng thường xuyêntrong Toán học

Qua tìm hiểu, tác giả thấy có rất nhiều đề tài nghiên cứu về dạy học XS-TK cũngnhư dạy học phát triển năng lực Mô hình hóa Toán học, chẳng hạn như luận vănThạc sĩ về “Dạy học Toán bằng tiếng Anh qua chủ đề Thống kê theo chương trìnhCambridge cho HS bậc THCS” của Phạm Thị La – Đại học Quốc gia Hà Nội(2020), Luận án tiến sĩ “Dạy học mô hình hóa Toán học trong môn Xác suất vàthống kê cho sinh viên nghành Kinh tế-Quản trị kinh doanh” của Đồng Thị HồngNgọc (2022) – Đại học Thái Nguyên , tạp trí khoa học – số 42/2020 “Phát triểnNăng lực MHHTH trong dạy học đại số lớp 7 chủ đề Đại lượng tỉ lệ thuận” củaHoàng Phương Quỳnh Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội vàmột số nguồn tài liệu trên thư viện ĐH Quốc gia Hà Nội, nhưng chưa có đề tài nàotrùng với đề tài nghiên cứu mà tác giả dự kiến, đó là “ Dạy học chủ đề Thống kê vàXác suất trong chương trình IGCSE Cambridge theo định hướng phát triển nănglực MHHTH” Chính vì vậy, tác giả chọn đề tài nghiên cứu này nhằm đề xuất một

số biện pháp phát triển NL MHH cho HS thông qua dạy học chủ đề “Thống kê vàXác suất” sử dụng chương trình IGCSE của Cambridge

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực trạng để vận dụng vào dạy học chủ đề TK-XStrong chương trình Toán 9 Cambridge nhằm nâng cao chất lượng dạy học theohướng phát triển năng lực mô hình hoá Toán học của HS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các lý thuyết và các phương pháp dạy học tích cực định hướngphát triển năng lực; các năng lực chung và chuyên biệt trong môn Toán cầnphát triển cho HS trung học cơ sở, đặc biệt là năng lực mô hình hoá

- Nghiên cứu nội dung chương trình Toán 9 của Việt Nam và quốc tế nói chung

và chủ đề TK-XS nói riêng theo chương trình Phổ thông 2018 và chươngtrình Cambridge

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Dạy học theo định hướng phát triển năng lực của HS

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp, kĩ thuật dạy học nhằm phát triển năng lực mô hình hoá Toán học củaHS

5 Phạm vi nghiên cứu

- Chủ đề TK-XS trong chương trình Toán học 9 Cambridge

- Thực nghiệm sư phạm tại trường Liên cấp TH school, Hà Nội

6 Câu hỏi nghiên cứu

Câu hỏi 1: Năng lực mô hình hoá Toán học là gì? Dạy học phát triển năng lực môhình hoá Toán học như thế nào?

Câu hỏi 2: Chủ đề TK-XS trong chương trình Toán 9 Cambridge có cơ hội pháttriển năng lực nào?

Câu hỏi 3: Những phương pháp, kĩ thuật dạy học nào phù hợp với dạy học chủ đềTK-XS trong chương trình Toán học 9 Cambridge để phát triển năng lực mô hìnhhoá Toán học của HS

7 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học chủ đề TK-XS trong chương trình Toán 9 Cambridge bằng các biệnpháp theo hướng phát triển năng lực mô hình hoá Toán học sẽ giúp HS liên kếtđược khả năng vận dụng Toán học vào thực tế và ngược lại, giúp HS có thể vậndụng tối đa kiến thức Toán vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Thu thập thông tin từ các tài liệu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu Sau đó, phântích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hoá, khái quát hoá trong nghiên cứu tổng quancác tài liệu đó

8.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Thu thập số liệu thực tế liên quan đến vấn đề nghiên cứu Sau đó, phân tích, tổnghợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa… trong nghiên cứu tổng quan các tàiliệu đó

8.3 Các phương pháp xử lý thông tin

Sử dụng các phương pháp thống kê Toán học sau khi thực nghiệm sư phạm đểphân tích kết quả, từ đó khẳng định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 4chương:

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN VỀ DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG CHỦ ĐỀ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT

1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Năng lực

Năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia” có nghĩa là

“gặp gỡ” Theo từ điển Cambridge,“Năng lực” được sử dụng với nghĩa miêu tảmột kĩ năng quan trọng để hoàn thành một công việc, nhiệm vụ

Nhìn chung, khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau

Theo Nach Klieme (2003): “Năng lực thể hiện qua khả năng thực hiện thành côngcác nhiệm vụ, giải quyết các vấn đề, hay các tình huống nảy sinh, trên cơ sở vậndụng các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính tâm lí khác như động cơ, ý chí, quanniệm giá trị, suy nghĩ thấu đáo và sự sẵn sàng hành động

Trong tiếng Việt, theo Vũ Xuân Thái(1999), Năng lực là một từ Hán-Việt, tỏng đó

“Năng là làm nổi việc, lực là sức mạnh; Năng lực là sức mạnh làm nổi việc nàođó” Nhìn chung, năng lực chỉ khả năng của con người có thể thực hiện một sốviệc nào đó

Như vậy, tuy rằng khó có thể thống nhất định nghĩa chung về năng lực, các nhànghiên cứu tại Việt Nam và thế giới, nhưng cũng có những điểm tương đồng trongđịnh nghĩa năng lực: năng lực là tổng hợp các tri thức, kĩ năng của con người nhằmthực hiện có hiệu quả một công việc nhất định.

Trong luận văn này, tác giả sử dụng khái niệm năng lực dựa trên Chương trìnhgiáo dục phổ thông tổng thể 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hìnhthành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép conngười huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khácnhư hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định,đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

sử dụng các kỹ thuật học máy hoặc học sâu để tìm ra một quy luật hoặc mối quan

hệ giữa các đặc trưng của dữ liệu đầu vào và đầu ra Mô hình còn được hiểu là một

hệ thống hay khung nhận thức có chức năng dự đoán, giải quyết vấn đề, mô phỏnghoặc biểu diễn một hệ thống thực tế hoặc trừu tượng Nó có thể là một bản thiết kế,bản vẽ, một mô hình toán học, một mô hình thống kê hoặc một chương trình máytính

Bên cạnh đó, Gilbert và cộng sự (2000) có quan điểm rằng mô hình là một bản đồphức tạp hoặc biểu diễn đơn giản hóa của một đối tượng Nó cũng có thể được tạo

ra từ một kết quả của việc hình dung ý tưởng Theo ý nghĩa này, mô hình biểu diễnbên ngoài của các cấu trúc tồn tại ngoài đời thực, các tình huống thực tế bên trongtrí não

1.1.3 Mô hình Toán học

Theo Kai Velten (2009), mô hình Toán học có thể được mô tả bở một bộ ba(S,Q,M), trong đó:

S (System) đại diện cho một hệ thống;

Q (Question) một câu hỏi liên quan đến hệ thống S;

M (Set of mathematical statement) là một tập hợp các câu lệnh Toán học có thểđược sử dụng để trả lời câu hỏi

Kí hiệu bộ ba (S,Q,M) nhấn mạnh về thứ tự thời gian mà các phần của mô hìnhhóa toán học thường xuất hiện Thông thường, ta có một hệ thống được đưa ratrước tiên, sau đó có một câu hỏi liên quan đến hệ thống đó, và sau đó một mô hìnhtoán học được phát triển Mỗi thành phần trong bộ ba (S,Q,M) đều là một phầnkhông thể thiết của toàn bộ M hiển nhiên là rất quan trọngNếu không có S, ta sẽkhông đưa ra được câu hỏi Q Nếu không có câu hỏi Q thì sẽ không có gì để làm ramột mô hình toán học

Theo N.D Nam (2016), MHTH được định nghĩa dựa trên khái niệm về mô hình lýthuyết, nói rằng khi các quy tắc tạo nên mô hình là các quy tắc toán học, ta có thểtạo ra một MHTH Theo tác giả, MHTH là một cấu trúc Toán học gồm các kýhiệu, mối quan hệ Toán học và mô tả các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu

1.1.4 Mô hình hóa Toán học

Theo Swetz & Hartzer (1991) Mô hình hóa toán học có thể định nghĩa là một quátrình bao gồm các dự đoán về các mối quan hệ, quan sát hiện tượng, thực hiệnphân tích toán học, xử lý kết quả Toán học và giải thích lại các mô hình

Blum and Niss (1991) miêu tả mô hình hóa Toán học như một tiên chuỗi tiên trìnhgiải thích các vấn đề trong đời sống thực Trong mô hình hóa toán học, một chủ đềđược thảo luận chi tiết và được biểu diễn dưới hình thức toán học khác nhau Theonghĩa này, mô hình Toán học là một quy trình giải quyết vấn đề đa chiều

Nguyễn Danh Nam (2016), đã dựa vào quan điểm của Edwards và Hamson (2001)

để đưa ra khái niệm mô hình hóa Toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực

tế sang một vấn đề Toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hìnhToán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếucách giải quyết không thể chấp nhận

Berry và Hauston (1995) cũng chỉ ra rằng mô hình hóa Toán học có thể được biểudiễn đơn giản như một sự tương tác giữa cuộc sống đời thường và thế giới Toánhọc Sơ đồ 1.1 dưới đây miêu tả chi tiết cho điều này

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ đơn giản biểu diễn MHH (Berry& Houston, 1995, tr.24)

Vậy, mô hình hóa Toán học là quá trình sử dụng ngôn ngữ Toán học để chuyển đổimột bài toán thực tế sang một bài toán thuần túy, kết quả được viết dưới dạng côngthức Ngược lại; sử dụng kết quả của bài toán dưới dạng công thức ấy để giải quyếtcác vấn đề trong thực tiễn

1.2 Quy trình của mô hình hóa Toán Học

MHHTH thường được mô tả như một quá trình bắt đầu từ một vấn đề trong tìnhhuống thực tế Sau đó, vấn đề được trừu tượng hóa thành biểu diễn toán học vàđược giải quyết bằng cách sử dụng các quy trình Toán học Người thực hiệnMHHTH sẽ dựa vào kết quả Toán học để đưa ra phương pháp giải quyết vấn đềban đầu Tuy nhiên, không tồn tại một quá trình nghiêm ngặt nào để thực hiệnMHHTH và tìm ra giải pháp cho vấn đề được đưa ra Sau đây, tác giả sẽ đưa ramột số sơ đồ MHH tiêu biểu

Vào năm 1979, Polkak là người đưa ra một trong những sơ đồ về quá trình MHHđầu tiên biểu diễn sự chuyển đổi giữa Toán học và thực tế

Sơ đồ 1.2 Quy trình MHH (Polkak, 1979)Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thực tế, người MHH thực hiện

“phiên dịch” sang ngôn ngữ Toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải bàitoán trong mô hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu Chiều của

các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực vàthế giới Toán học nhiều lần.

Lesh and Doerr (2003) nêu ra bốn bước để mô hình hóa toán học, được miêu tả rõtrong sơ đồ 1.3 sau

Sơ đồ 1.3 Bốn bước trong MHH (Lesh & Doerr, 2003, tr.17)

Dựa vào vào sơ đồ trên, bước đều tiên của MHH là “Mô tả”, là quá trình chuyển từtình huống hàng ngày được cung cấp từ cuộc sống thực sang mô hình Ở bước thứhai, “sửa đổi”, các hoạt động liên quan tới tình huống vấn đề được tiến hành và cácgiả định được đưa về mô hình dưa trên quá trình mô tả Bước thứ ba là bước “dựđoán”, liên quan đến ước tính và chuyển đổi Ở giai đoạn này, giải pháp hiệu quảnhất cho vấn đề được lựa chọn sau khi đánh giá các kết quả có thể có và được ápdụng vào cuộc sống thực Trong giai đoạn kiểm chứng cuối cùng, độ chính xác,hữu ích của mô hình được kiểm tra Chu trình mô hình toán học (xem hình 1.2) cóthể lặp lại nhiều lần trong quá trình mô hình hóa Khác với việc giải các bài toántheo cách truyền thống, quá trình MHHTH không phải là tuyến tính (Lesh & Harel,2003) Trong quá trình lặp lại chu trình, HS có thể hiểu nhiều khía cạnh khác nhau

của tình huống vấn đề tạo ra các cách suy nghĩ khác nhau và quyết định mô hìnhphù hợp nhất Nói cách khác, học sinh đang trong quá trình MHH hình thành cáckết quả với các sửa đổi cần thiết, kiểm tra tính phù hợp của chúng và điều chỉnhchúng để tìm ra kết quả phù hợp nhất Trong quá trình này, học sinh học cách đánhgiá ý tưởng của mình, thảo luận ý kiến với bạn bè và giáo tiếp với nhau một cáchthích hợp.

Trong khi Lesh & Doerr (2003) đưa ra quá trình bốn bước (xem sơ đồ 1.2) trongkhi MHHTH thì Blum & Leiß (2007) đã sử dụng sáu bước để MHHTH Sơ đồdưới đây sẽ miêu tả cụ thể về sáu bước mà Blum &Leiß đã dùng

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ MHH bảy bước của Blum & Leiß (2007)Trong hình 1.4, a đại diện cho một tình huống thực tế

Trong quá trình “1”, tình huống thực tế này được hiểu và một mô hình tình huốnghoặc khái niệm được xây dựng

Trong quá trình thứ “2”, việc đơn giản hóa cần thiết được thực hiện bằng cách loại

bỏ các biến và tình huống không cần thiết Sau đó, mô hình thực tế xuất hiện

Trong quá trình “3”, mô hình thực tế được biểu diễn thông qua Toán học bằng cáchtạo, lựa chọn cách biểu diễn toán học, mô tả mối quan hệ giữa các biến trong môitrường toán học.

Quá trình “4” được chỉ định cho công việc Toán học nhằm đạt được kết quả có ýnghĩa

Kết quả Toán học thu được sẽ được đánh giá và giải thích để đạt được kết quả thực

1.3 Mô hình hóa toán học trong TK-XS

1.3.1 Mô hình hóa toán học trong xác suất

Theo Pfunnkuck (2016) XS là MHH các hệ thống thế giới thực để hiểu và đưa ra

dự đoán về hệ thống đó Việc giải thích và mô tả các biến trong tập dữ liệu gốc vàbằng các cách giải thích, tiếp cận khác nhau sẽ giúp cho mô hình được xây dựng

dễ hiểu và có thể dự đoán được kết quả Pfunnkuck và cộng sự đã đưa ra quá trìnhMHH trong xác suất như sau:

Sơ đồ 1.5 Quá trình MHHTH (theo Pffannkuch, 2016)Problem/Situation (Vấn đề/Tình huống): Bắt đầu một quá trình MHHTH trong xácsuất đều từ một tình huống/vấn đề nào đó, tình huống/vấn đề này có thể tồn tạitrong thế giới thực hoặc là không Những người làm nhiệm vụ mô hình hóa các hệthống trong thế giới thực cần phải có những hiểu biết nhất định vấn đề đang thựchiện.

Want to know (muốn biết): Khi một vấn đề hoặc tình huống được xác định, mộtcâu hỏi “want to know ” cung cấp động lực cho quá trình MHH xác suất trongPfunnkuck (2016), Imogen đã minh họa ý tưởng này bằng câu chuyện vườn Monetcủa cô Trong chuyến tham quan vườn, cô nhận ra rằng khách xếp hàng rất dài đểđược vào thăm quan Cô đặt ra câu hỏi là vậy mất bao lâu để mình chuyển lên đầuhàng và vào thăm quan? Tương tự vậy, một trường hợp khác, khi có hạn hán xảy

ra, rất khó để cấy cày, người nông dân sẽ đặt ra câu hỏi như: Tôi có nên bán bớt số

bò trong đàn sớm không? Tôi có nên mua thức ăn sớm để dự trữ không? Những

câu hỏi này ảnh hưởng gián tiếp tới quá trình MHH xác suất vì chúng xác địnhquyết định nào hay dự đoán nào mô hình ngẫu nhiên cần cung cấp thông tin.

Assumptions (giả định) Giai đoạn giả định trong chu kỳ bao gồm ý tưởng về độnglực hệ thống và nhìn thấy cấu trúc trong hệ thống vấn đề Một mô hình là một sựước lượng của hiện thực và cần có một số giả định để quyết định giả định nào làphù hợp nhất Sự tích lũy kinh nghiệm, kiến thức chuyên môn và kiến thức theongữ cảnh sẽ cung cấp các giả thuyết về MHH Đối với cùng một tình huống/vấn đề

có thể có rất nhiều các mô hình sử dụng được nhưng việc lựa chọn mô hình nào sẽ

bị ảnh hưởng bởi mục tiêu cuối cùng của quá trình MHHTH

Build the stochastic model (Xây dựng mô hình) Theo nghiên cứu của Pfunnkuck

và cộng sự, mô hình xác suất trong đời thực sẽ bị ảnh hưởng và chi phối bởi cácvần đề cần giải quyết có liên quan Trong một số trường hợp, các vấn đề sẽ đượcphân tách thành các vấn đề nhỏ hơn, các mô hình nhỏ hơn được xây dựng để trởthành các mô hình phụ Sau đó các mô hình phụ sẽ được kết nối với nhau Thôngtin có thể chuyển từ phần này sang phần khác, và thông tin mới được sử dụng đểcập nhật mô hình Xây dựng mô hình cũng có thể liên quan tới việc sử dụng dữliệu để ước tính các tham số Ví dụ như việc mô hình hóa lượng nước đổ vào hồthủy điện, có một số kịch bản dựa trên khí hậu cần xem xét, mỗi kịch bản có ảnhhưởng khác nhau đối với lượng nước đổ vào Một phần trong quá trình xây dựng

mô hình liên quan đến gán một xác suất cho mỗi kịch bản này thu thập các dự liệuđược ghi chép cùng thời điểm trong các năm trước

Test the model (kiểm tra mô hình) Trong quá trình mô phỏng được thực hiện, dữliệu được tạo ra bởi mô hình có thể được so sánh với dữ liệu thực để xem xét liệu

mô hình có tạo ra dữ liệu có các thuộc tính và đặc điểm tương tự hay không Nếucác mô phỏng được thực hiện dưới các điều kiện khác nhau, ta có thể tìm hiểu xemliệu dữ liệu được tạo ra bởi mô hình có hợp lý hay không Vì một mô hình có thể

hoạt động tốt trong một trường hợp điều kiện nhất định, nhưng không hoạt độngđáng kể trong các tình huống khác nhau Nếu có sự khác biệt giữa dữ liệu thực và

dữ liệu được tạo ra bởi mô hình, có thể mô hình vẫn chưa phù hợp với mục đính vàcần xem lại các giả định cơ bản của mô hình, hoặc cần thêm vào thông tin hoặc dữliệu Do đó, kết quả của giai đoạn kiểm tra mô hình có thể dẫn đến việc xem xét lạigiai đoạn xây dựng giả thuyết Ngoài việc kiểm tra mức độ phù hợp của mô hình,điều quan trọng là phải xem xét ngữ cảnh khi đưa ra quyết định xem từ kết quả của

mô hình có đưa ra quyết định phù hợp hay không

Use the model (Sử dụng mô hình) Một quyết định dựa trên kết quả của một môhình xác suất sẽ chưa hẳn là quyết định tốt nhất bởi mô hình được xây dựng vớimục đích tối ưu hóa một tình huống cụ thể nào đó Do vậy, mô hình chỉ là sự gầnđúng nhất với thế giới thực Pffunnkuck nhấn mạnh vai trò của người dùng môhình xác suất sẽ quyết định đến tư duy xác suất và cách tiếp cận quá trình MHHTHcủa người đó

1.3.2 Mô hình hóa toán học trong thống kê

Theo Pfannkuch (2018) Một là mô hình hóa thống kê có xu hướng phân tách thếgiới thực hoặc thế giới dữ liệu ra khỏi thế giới mô hình hóa để thu hút sự chú ý đếncác khái niệm thống kê và xác suất và các yếu tố cần xem xét trong quá trìnhMHH Các khung MHH trong thống kê yêu cầu GV trong quá trình dạy học cầnphải đặc biệt cẩn thận trong việc chuyển đổi giữa hai thế giới (thế giới dữ liệu thực

và thế giới mô hình hóa) Quá trình chuyển đổi qua lại này được thể hiện cụ thểtrong sơ đồ 1.6 sau

Sơ đồ 1.6 Quá trình chuyển đổi giữa thế giới dữ liệu và mô hình hóa về

lượng dân số (Pfannkuch, 2018)Nhận thấy sơ đồ 1.6 biểu diễn hai thế giới dữ liệu và thế giới mô hình hóa đượcphân tách riêng biệt Các tiến trình trong cả hai thế giới đều được thể hiện bởi sơ

đồ vòng lặp

The data world (Thế giới dữ liệu): Vòng lặp bên trái miêu tả việc thống kê số liệuthực tế và đưa ra số lượng dân số thực tiễn Đầu tiên, câu hỏi được đặt ra gợi mởđộng cơ nghiên cứu Từ đó người nghiên cứu đặt ra giả thuyết và đi tổng hợp dữliệu Tiếp đó là phân tích dữ liệu và đưa ra kết luận Từ đó sử dụng kết luận để trảlời cho câu hỏi nghiên cứu

The model world (Thế giới mô hình): Vòng lặp bên phải mô tả việc đi từ giả thuyết

về dân số từ đó đưa ra mô hình Đầu tiên, người thực từ giả thuyết để xây dựng môhình từ đó, tạo ra mô hình mẫu Dựa trên mô hình mẫu để phân tích và đưa ra mốiliên hệ giữa dân số và mô hình

Mũi tên màu tím hướng sang phải miêu tả việc lấy kết quả của việc phân tích dữliệu từ thế giới dữ liệu để tạo tiền đề cho việc đưa ra giả thuyết, bắt đầu công việc

mô hình hóa Mũi tên màu tím phía dưới miêu tả việc sử dụng kết quả có được sautiến trình mô hình hóa để giải thích cho sự hợp lý mà các dữ liệu đã thu được trongquá trình tổng hợp cũng như phân tích dữ liệu ở thế giớ dữ liệu.

1.4 Dạy học mô hình hóa Toán học

1.4.1 Mục đích của dạy học mô hình hóa Toán học

Một câu hỏi đặt ra đó là “tại sao Toán học thuần túy không đủ để đạt được mụctiêu như một môn học trong trường?” Niss (1996) đã phân tích giáo dục Toán học

từ quan điểm lịch sử và đương đại, cho thấy về bản chất, có một vài lý do cơ bảncho việc giáo dục Toán học tồn tại như sau:

 Toán học được xem như một công cụ mạnh mẽ để hiểu và làm chủ các tìnhhuống thực tế hiện tại hoặc tương lai tốt hơn

 Toán học là một công cụ để phát triển các năng lực chung

 Toán học là một phần quan trọng của văn hóa và xã hội, và một thế giớiriêng biệt của nó

Những lý do trên, việc học Toán không phải chỉ để giải những bài toán thuần túytrong sách mà mục tiêu của việc học toán còn phải giúp người học phát triển các kĩnăng cần thiết để tham gia vào xã hội loài người và trở thành một công dân cótrách nhiệm

Dựa vào nền tảng này, ta có thể đưa ra bốn lý do để MHHTH được đưa vào giảngdạy trong các nhà trường Blum & Niss (1991)

Lý do “ứng dụng: Để hiểu và làm chủ các tình huống thực tế, các ví dụ ứng dụng

và mô hình phù hợp phải được xử lý một cách rõ ràng Ví dụ về các bài toán cótính thực dụng cao như các bài toán về mua sắm, thuế, lưu lượng giao thông, tínhcước đi xe taxi

Lý do “định hình”: Năng lực có thể được nâng cao thông qua việc tham gia và cáchoạt động mô hình hóa.Ví dụ như giúp người học có trí tuệ phong phú kèm theo sựphát triển về tri giác.

Lý do “tâm lý”: các ví dụ thực tế có thể góp phần làm tăng sự quan tâm của họcsinh đối với Toán học, tạo động lực, giúp hiểu các vấn đề tốt hơn và ghi nhớ lâuhơn Ví dụ như khi các bài toán được miêu tả bằng các mô hình thực, các hình ảnhmiêu tả sinh động với mục đích giúp hiểu rõ hơn về một chủ đề Toán học cụ thể.Bên cạnh đó, Henry Polkak (1969) cũng là một trong những người đầu tiên tronglĩnh vực ứng dụng MHH trong giáo dục Toán học Ngay từ đầu những năm 60 củathế kỷ trước, ông đã nghiên cứu việc áp dụng MHHTH trong việc giảng dạy Theoông, MHHTH giúp cho sự quan tâm của học sinh đối với môn Toán trở nên lâudài

1.4.2 Các bước dạy học mô hình hóa Toán học

Theo N D Nam (2016, tr.86), quy trình DH MHHTH tiến hành như sau Vấn đềthực tiễn → xây dựng MHTH → Trả lời cho bài toán thực tiễn → Thể chế hóa trithức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lý hay công thức → Vận dụngvào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một MHTHphù hợp Cụ thể, quy trình gồm 7 bước:

Bước 1: Nêu vấn đề

Mô tả về vấn đề cần giải quyết Hướng dẫn đặt câu hỏi về vấn đề đó

Bước 2: Đơn giản vấn đề

Lựa chọn câu hỏi để phát triển kiến thức

Bước 3: Thiết lập vấn đề

Xây dựng giải thuyết, tính toán, sắp xếp số liệu để người học có thể sử dụng kiếnthức toán học để giải quyết vấn đề.

Bước 4: Phát triển kiến thức của bài học

Đưa ra khái niệm, định nghĩa, định lý hoặc tính chất liên quan chặt chẽ đến vấn đềcần giải quyết

Bước 5: Trình bày ví dụ tương tự

Nêu ra vấn đề tương tự Trình bày ứng dụng của toán học Hướng dẫn sử dụng cácphương tiện hỗ trợ: máy tính, máy vi tính

Bước 6: Thiết lập mô hình toán học và giải bài toán

Giải bài toán trong vấn đề nghiên cứu ban đầu Tổng quát hóa bài toán

Bước 7: Hiểu lời giải và cải tiến mô hình

Yêu cầu người học đánh giá lời giải

1.4.3 Yêu cầu trong dạy học MHHTH

Dựa trên các khái niệm, mục đích về dạy học MHHTH ở các mục trên, cùng với sựnghiên cứu của các tài liệu, tác giả sẽ nêu ra một số yêu cầu đối với người dạy,người học cũng như môi trường học tập để hoạt động dạy học MHHTT diễn rahiệu quả nhất có thể như sau

1.4.3.1 Yêu cầu đối với người dạy rong dạy học MHHTH

Một trong những điều kiện cần đối với người dạy trong dạy học MHHTH đó làquản lý lớp học hiệu quả và tập trung vào học viên (Kunter and Voss 2013)

Theo Schoenfield (1992) Giáo viên cần hiểu được tầm quan trọng của việc kíchhoạt người học từ mặt nhận thức, đồng thời cũng cần khuyến khích các hoạt động

của học sinh MHH không phải là một môn thể thao chỉ để xem, ta chỉ có thể mongđợi hiệu quả học tập khi học sinh tham gia tích cực vào việc học Giáo viên cầnphải cẩn thận giữa HS làm việc độc lập và có sự hỗ trợ của GV Điều quan trongtrong việc giảng dạy là duy trì một sự cân bằng liên tục giữa sự độc lập của họcsinh và sự hướng dẫn của giáo viên.

Theo Leikin and Levav-Waynberg (2007), giáo viên nên khuyến khích các giảipháp cá nhân cho nhiệm vụ mô hình hóa Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy hàngngày, các giáo viên thường thiên về các giải pháp của mình cung cấp cho học sinh

mà chính mình lại không hề nhận ra Trong dự án thực hiện tại MultiMa, hai đơn vịgiảng dạy tập trung vào tính độc lập với nhiệm vụ mô hình hóa được so sánh,trong đó một đơn vị, HS được yêu cầu rõ ràng phải đưa ra nhiều giải pháp Kết quảcho thấy những học sinh đã phát triển nhiều giải pháp có sự tiến bộ trong học tậpcao hơn

Không chỉ việc giảng dạy mà cả việc đánh giá cũng phải phản ánh đúng mục tiêu

và các ứng dụng của mô hình hóa Như chúng ta đã biết, bài kiểm tra có nhiềuchức năng, trong đó có thiết lập tiêu chuẩn và minh họa mục tiêu định ra, để chuẩnđoán điểm mạnh, điểm yếu của học sinh để biết cách giúp đỡ học sinh tốt hơn –theo Houston (2007)

1.4.3.2 Yêu cầu đối với người học trong dạy học MHHTH

Người học không phải chỉ cần nhớ được nội dung kiến thức mà còn phải được kíchhoạt về mặt nhận thức bản chất vấn đề bên trong Tất cả các hoạt động của họcsinh nên đi kèm với việc suy ngẫm và phản chiếu sau khi hoàn thành, với mục tiêunâng cao các chiến lược học tập phù hợp

1.5 Dạy học mô hình hóa Toán học về thống kê và xác suất trong chương trình Toán IGCSE

1.5.1 Mạch kiến thức về TK-XS trong chương trình Toán tại trường TH School

1.5.1.1 Mạch kiến thức ẩn tàng ở tiểu học

Học sinh tiểu học từ lớp 1 tới lớp 5 của trường TH School sẽ học chương trìnhToán tích hợp với các chủ đề IPC (International Primary Curriculum) cung cấpcho học sinh các kỹ năng và kiến thức Toán học cơ bản và cân đối giữa các chủ đề

số học, hình học, đo lường , xác suất và thống kê

Đối với cấp độ tiểu học, học sinh được làm quen với thống kê và xác suất ngay từbậc tiểu học

Lớp 1: HS biết mô tả dữ liệu bằng ngôn ngữ quen thuộc, bao gồm việc tham chiếuvới các từ khóa “Ít hơn, nhiều hơn, nhiều nhất, ít nhất” để trả lời các câu hỏi khôngphải thống kê và thảo luận về các kết luận

Lớp 2: HS biết mô tả dữ liệu bằng cách xác định các điểm tương đồng và sự biếnđổi để trả lời các câu hỏi không phải về thống kê và xác suất, và thảo luận về cáckết luận

Lớp 3: HS hiểu dữ liệu bằng các xác định các điểm tương đồng, biến đổi trong cáctập dữ liệu để trả lời các câu hỏi không phải xác suất thống kê và thảo luận về cáckết luận

Lớp 4: HS hiểu dữ liệu bằng cách xác định sự tương đồng và biến đổi trong và giữacác tập dữ liệu để trả lời các câu hỏi thống kê Thảo luận về kết luận, xem xétnguồn gốc của sự biến đổi

Lớp 5: HS biết giải thích các dữ liệu bằng cách xác định các mẫu trong và giữa cáctập dữ liệu để trả lời các câu hỏi thống kê Thảo luận về kết luận, xem xét cácnguồn gốc của sự biến đổi