Lỵ thuyát Nevanlinna cho h m phƠn hẳnh
Cho ν l mởt divisor trản C H m ám cừa divisor ν ữủc ành nghắa bði
Cho f l mởt h m phƠn hẳnh khĂc hơng trảnC Ta kẵ hiằu ν f l divisor cỹc iºm cừa f v divisor ν f ữủc ành nghắa bði ν f (z) = min{ν f (z), 1}.
H m ám tÔi cĂc cỹc iºm v cỹc iºm khổng kº bởi cừa f ữủc ành nghắa bði
Chọn một số phức, khi lấy divisor a - là biến của hàm ánh nghĩa bời vì f(a) = 1/(f - a) Divisor v của hàm ánh nghĩa bời vì v(a) = 1/(f - a) Hệ thống toán học của các a - biến và a - biến khổng lồ bởi hàm ánh nghĩa tương ứng bời.
H m xĐp x¿ cừa f ữủc ành nghắa bði m(r, f ) = 1
0 log + f (re iθ ) dθ, trong õ log x = max{log x, 0} vợi mồi x ≥ 0
H m °c trững cừa f ữủc ành nghắa bði
Bờ ã 1.1 (Bờ ã Ôo h m logarithmic) Cho f là hàm phân hình khác không trên C và k là số nguyên dương Khi tồn tại m(r, f(k)) = o(T(r, f)) ứng với mọi r ∈ [1, ∞) ngoài một tập có Lebesgue hàm hữu hạn Ảnh lý 1.2 (Ảnh lý cỡ bên thực nhất) Cho f là hàm phân hình trên C và a là một số phức Khi tồn tại
T (r, 1 f − a ) = T (r, f ) + O(1). ành lỵ 1.3 (ành lỵ cỡ bÊn thự hai) Cho f l h m phƠn hẳnh khĂc hơng trản C Cho a 1 , , a q l q số phực phƠn biằt trong C Khi õ
N (r, 1 f − a i ) + S(r, f ), úng vợi mồi r ∈ [1, ∞) ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn, trong â S(r, f ) = o(T (r, f )) khi r −→ ∞.
Hồ chuân tưc cừa cĂc h m phƠn hẳnh
1.2.1 Tiảu chuân chuân tưc ối vợi hồ cĂc h m phƠn hẳnh dữợi iãu kiằn khổng iºm cừa a thực Ôo h m
Trong phƯn n y chúng tổi trẳnh b y cĂc kát quÊ ữủc cổng bố trong
Mục đích của bài viết này là trình bày một số tiêu chuẩn chuẩn tắc cho các hàm phân hình trong trường hợp thực Chúng tôi sẽ tập trung vào kết quả của Schwick, trong đó cho q (q ≥ 1) là giá trị phức phân biệt khác nhau a1, a2, , aq và q số nguyên dương l1, l2, , lq Giả sử n là một số nguyên dương và n1, n2, , nk, t1, t2, , tk là các số nguyên dương (k ≥ 1) Định nghĩa F là một họ các hàm phân hình xác định miền D trong một không gian phức sao cho với mỗi hàm f ∈ F và mỗi m ∈ {1, , q}, điều kiện f(n1)(t1) f(nk)(tk) = am được thỏa mãn Các điều kiện ràng buộc bao gồm a) nj ≥ tj với mọi 1 ≤ j ≤ k và li ≥ 2 với mọi 1 ≤ i ≤ q; b) tổng Pqi=1 l1i < qn−2+.
P k j=1 q(n j −t j ) n+ P k j=1 (n j +t j ) Khi õ hồ F l chuân tưc trản D
Cho q = 1 v ` 1 = +∞, chúng tổi nhên ữủc hằ quÊ sau Ơy.
Hằng số 1.9 cho một số phức khổng, với n là một số nguyên dương và n1, , nk, t1, , tk là các số nguyên dương Đặt F là một họ các hàm phân hình trên miền D, sao cho mỗi hàm f ∈ F, với f(n1)(t1) (f(nk)(tk)) là một hàm khổng trong miền D Giả sử rằng a) nj ≥ tj với mọi 1 ≤ j ≤ k; b) n + ∑(kj=1) nj ≥ 3 + ∑(kj=1) tj.
Khi õ hồ F l chuân tưc trản D
Trong Hằ quÊ 1.9, cho k = 1, n = 0, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc h m phƠn hẳnh.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các kết quả quan trọng liên quan đến hàm nguyển F và các số nguyên dương Đối với một số nguyên dương n và các số nguyên dương t1, t2, , tk, chúng tôi xác định một hàm chính xác F để chứng minh rằng với mỗi f thuộc F và mỗi m trong {1, , q}, có một số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện f(n1)(t1) (f(nk)(tk)) - am có thể đạt được Điều này dẫn đến hai điều kiện: (a) n j ≥ t j cho mọi 1 ≤ j ≤ k và ` i ≥ 2 cho mọi 1 ≤ i ≤ q; (b) tổng P q i=1 ` 1 i nhỏ hơn qn−1+.
Khi õ hồ F l chuân tưc trản D
Cho a là số phức khổng, n là số nguyên khổng, và n1, , nk, t1, , tk là các số nguyên dương Xét F là một họ các hàm chính xác ánh trản D sao cho mỗi f ∈ F, f(n1)(t1) (f(nk)(tk)) - a khổng ươu triằt tiảu trản D Điều kiện cần thỏa mãn là: a) nj ≥ tj với mỗi 1 ≤ j ≤ k; b) n + ∑(kj=1 nj) ≥ 2 + ∑(kj=1 tj).
Khi õ hồ F l chuân tưc trản D
Trong Hằng quế 1.11, với k = 1 và n = 0, chúng tôi đã chứng minh kết quả của Schwick cho các hàm chính xác trong trường hợp n = k + 1 Tiếp theo, chúng tôi đưa ra chứng minh mới cho kết quả của Schwick trong trường hợp n = k + 1 Hình 1.12 cho k là một số nguyên dương và một số khác khổng lồ Cho F là một tập hợp các hàm chính xác xác định miền D của một phương trình sao cho với mỗi f ∈ F, (f k+1)(k)(z) ≠ a trong miền D.
Nhữ vêy Hằ quÊ 1.11 v ành lỵ 1.12 l mð rởng kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc h m ch¿nh hẳnh.
Nhên x²t 1.7 ành lỵ 1.8 v ành lỵ 1.10 văn úng khi thay f n (f n 1 ) (t 1 ) ã ã ã (f n k ) (t k ) bði a thùc ¤o h m têng qu¡t
I c I f n I (f n 1I ) (t 1I ) ã ã ã (f n kI ) (t kI ) , trong õ c I l cĂc h m ch¿nh hẳnh trản D v n I , n jI , t jI l cĂc số nguyản khổng Ơm thọa mÂn α I =
1.2.2 Hồ chuân tưc cừa cĂc h m phƠn hẳnh khổng cõ khổng iºm
Trong phần trước, chúng tôi thiết lập các tiêu chuẩn cho hồ sơ các hợp phần hình dữ liệu khổng lồ của một thực thể Một vấn đề đặt ra là: Làm thế nào các khổng lồ của thực thể có thể được tiêu chuẩn hóa? Trong phần này, chúng tôi thiết lập một kết quả và hồ sơ tiêu chuẩn của các hợp phần hình khổng lồ không có khổng lồ tràn miếng D trong một phòng thực và lượng các khổng lồ của thực thể là hữu hạn Kết quả này được công bố trong bài báo.
Trước hết, chúng tôi giới thiệu một cách mở cửa hay mà ảnh hưởng kiểu Picard có thể mang lại cho không gian sống Hình ảnh 1.14 cho thấy sự phân hạng khác nhau trong việc trang trí một phòng phức hợp.
C v k l số nguyản dữỡng Khi õ f ho°c f (k) − 1 cõ ẵt nhĐt mởt khổng iºm Hỡn nỳa náu f l h m phƠn hẳnh siảu viằt thẳ f ho°c f (k) − 1 cõ vổ hÔn khổng iºm.
Vợi mội h m phƠn hẳnh khĂc hơng f trản miãn D ⊂ C v n ∈
N , n v , t v , v = 1, , k l cĂc số nguyản dữỡng Khi õ chúng tổi x²t a thùc ¤o h m câ d¤ng
I u I (z)f n I (f n 1I ) (t 1I ) ã ã ã (f n kI ) (t kI ) , trong õ u I (z) l cĂc h m ch¿nh hẳnh trản D v n I , n jI , t jI l cĂc số nguyản khổng Ơm thọa mÂn α I =
Sau đây là những điểm quan trọng trong bài viết: Hàm phức f có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các hàm phức đơn giản hơn Nếu f là hàm phân hình siêu việt trên một miền phức, thì nó có thể được phân tích thành tích của các hàm phức khác Đặc biệt, với một số phức a1, , aq (với q ≥ 2) và n là số nguyên dương, hàm f có thể được viết dưới dạng tích của các hàm phức f(n1)(t1) (fnk)(tk) - am, với m thuộc {1, , q} Điều này cho thấy sự tồn tại của các hàm phức không đồng nhất trong các trường hợp này.
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng việc sử dụng các hàm f n (f n 1) (t 1) (f n k) (t k) có thể tạo ra những kết quả quan trọng trong việc tối ưu hóa quá trình Qua đó, chúng tôi sẽ phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu suất và cách mà các hàm này tương tác với nhau trong môi trường thực tế.
H (f ). ành lỵ 1.19 Cho F l hồ cĂc h m phƠn hẳnh khổng cõ khổng iºm trản miãn D sao cho H (f ) − 1 cõ khổng quĂ n + P k j=1 n j + P k j=1 t j − 1 khổng iºm phƠn biằt Khi õ hồ F chuân tưc trản D
Nhên x²t 1.8 Trong ành lỵ 1.19, cho k = 1, n = 0, u I = 0, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa Chang.
Trong Chương 1, chúng tôi nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna trong lý thuyết hàm phức Cụ thể, luận án sẽ trình bày các kết quả chính sau:
Ánh lỵ 1.8 và ánh lỵ 1.10 là các tiêu chuẩn quan trọng trong việc phân hạng và chính hạng dữ liệu, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của thông tin Các kết quả này là những minh chứng rõ ràng cho hiệu quả của phương pháp Schwick trong việc phân tích và xử lý dữ liệu.
- ành lỵ 1.15 v ành lỵ 1.16 kiºu Picard cho h m phƠn hẳnh v Ôo h m ành lỵ 1.15 l mð rởng kát quÊ cừa Hayman.
- ành lỵ 1.19 vã hồ chuân tưc cừa cĂc h m phƠn hẳnh khổng cõ khổng iºm Kát quÊ n y l mð rởng mởt kát quÊ cừa Chang.
Mởt số ành lỵ kiºu Lappan cho h m ϕ - chuân tưc v hồ chuân tưc
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu về tiêu chuẩn Lappan cho lợp hầm chuẩn tục Chúng tôi sẽ trình bày một số tiêu chuẩn cơ bản và cách áp dụng chúng trong thực tế Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ thiết lập các tiêu chuẩn Lappan liên quan đến hồ sơ chuẩn tục khi tiếp nhận.
E cõ số iºm ẵt hỡn 5 Nởi dung cừa chữỡng n y ữủc cổng bố trong b i b¡o [4].
H m phƠn hẳnh ϕ - chuân tưc
Trong phƯn n y, chúng tổi x²t lợp h m tông trỡn ϕ nhữ sau: ành nghắa 2.1 Mởt h m tông ϕ : [0, 1) → (0, ∞) ữủc gồi l tông trỡn náu ϕ(r)(1 − r) ≥ 1 vợi mồi r ∈ [0, 1) (2.1) v
R a (z) = ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|) ϕ(|a|) → 1 (2.2) ãu trản mội têp compact con cừa C khi |a| → 1 − ành nghắa 2.2 Cho mởt h m tông trỡn ϕ , ta nõi rơng h m phƠn hẳnh f trản ắa ỡn và U l ϕ - chuân tưc náu sup z∈U f # (z) ϕ(|z|) < ∞.
Ta thĐy rơng ϕ 0 (r) = 1 − 1 r thọa mÂn ành nghắa 2.1, do õ khi chồn ϕ 0 (r) = 1
1 − r trong ành nghắa 2.2 ta nhên lÔi ành nghắa h m phƠn hẳnh chuân tưc.
Kát quÊ sau Ơy l bờ ã kiºu Zalcman cho h m ϕ - chuân tưc.
Bờ ã 2.4 Cho hàm ϕ: [0, 1) → (0, ∞) là hàm mũ tổng quát và f là hàm phân hình tràn Để đảm bảo điều kiện tồn tại của hàm này, cần có các giá trị β thỏa mãn -p < β < q Nếu f không phải là hàm ϕ-chuẩn, thì sẽ không tồn tại.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số điều kiện liên quan đến hàm số và sự hội tụ Cụ thể, với d¢y {z n } thuộc D, ta có z n hướng tới z ∗, trong khi v w n được biểu diễn qua a n và ϕ(|a z n n |) Bên cạnh đó, điều kiện d¢y ρ n hướng tới 0 cho phép g n (ξ) được xác định bởi ρ β n f w n cộng với ρ n ϕ(|a n |) nhân với ξ Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các tập con compact trong không gian C, nơi mà g(ξ) và các thành phần khác nhau được phân tích, tạo ra một mối liên hệ chặt chẽ giữa các yếu tố trong bài toán.
Sau ơn, chúng tôi thiết lập các điểm lưới bốn điểm và ba điểm kiểu Lappan cho hàm φ - chuẩn tắc Hàm φ: [0, 1) → (0, ∞) là hàm tổng tròn và f là hàm phân hạnh trản ắa ỡn và U Giả sử rỗng tồn tại tập E = {a1, a2, a3, a4} ⊂ C gồm các điểm phân biệt sao cho sup z∈f −1 (E).
Khi õ f l h m phƠn hẳnh ϕ - chuân tưc. ành lỵ 2.6 Cho ϕ : [0, 1) → (0, ∞) l h m tông trỡn v f l h m phƠn hẳnh trản ắa ỡn và U GiÊ sỷ rơng E = {a 1 , a 2 , a 3 } ⊂ C gỗm ba iºm phƠn biằt sao cho sup z∈f −1 (E)
Khi õ f l h m phƠn hẳnh ϕ - chuân tưc.
Chồn h m ϕ(|z|) = 1 − |z| 1, chúng tôi nghiên cứu hàm số hằng sau các định lý 2.5 và 2.6 cho trường hợp hàm chuẩn tắc Hàm 2.7 cho f là hàm phân hình trần và U, V ⊂ C là một tập con chứa bốn điểm phân biệt Giả sử rằng z∈f −1 (E).
Hằ quÊ 2.8 Cho f l h m phƠn hẳnh trản ắa ỡn và U v E ⊂ C l têp con chựa ba iºm phƠn biằt GiÊ sỷ rơng sup z∈f −1 (E)
ành lỵ kiºu Lappan cho hồ chuân tưc
Trong phần này, chúng tôi thiết lập các ảnh lý kiểu Lappan với bốn điểm và ba điểm cho hồ chuẩn tức của các hàm phân hình Kết quả của chúng tôi như sau: Cho F là hồ các hàm phân hình tràn miến D ⊂ C Giả sử rỗng với mọi tập compact K ⊂ D, tồn tại E = E(K) ⊂ C chứa bốn điểm phân biệt và hướng số dữỡng M = M(K) sao cho max z∈K∩f^(-1)(E) f' # (z) ≤ M và max z∈K∩f^(-1)(E\{∞}) (f' 0) # (z) ≤ M với mọi f ∈ F.
Khi xét hồ F là chuẩn tắc, cho F là hồ các hàm phân hình trên miền D ⊂ C Giả sử có một tập compact K ⊂ D, tồn tại tập E = E(K) ⊂ C chứa ba điểm phân biệt và hướng số liệu M = M(K) sao cho |f'(z)| ≤ M, |f''(z)| ≤ M và |f'''(z)| ≤ M đối với mọi f ∈ F và mọi z ∈ K ∩ f^(-1)(E) Khi đó, hồ F được coi là chuẩn tắc.
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét các điều kiện liên quan đến hàm số f trong không gian D ⊂ C, đặc biệt là khi f −1 (E) = ∅ và các điều kiện về đạo hàm của f Theo định lý Montel, với mỗi tập compact K ⊂ D, tồn tại một tập E = E(K) ⊂ C chứa bốn điểm phân biệt và một hằng số dương M = M(K) sao cho z ∈ K ∩ f max −1 (E) và f # (z) ≤ M Điều này cho thấy sự tồn tại của các hàm số trong không gian này đáp ứng các yêu cầu nhất định về tính liên tục và giới hạn.
Khi F là hồ chuẩn tắc, với D ⊂ C là miền trơn và K ⊂ D là một tập compact, tồn tại một tập E = E(K) ⊂ C chứa ba điểm phân biệt và hướng số dư M = M(K) sao cho f # (z) ≤ M và |f''(z)|.
1 + |f(z)|² ≤ M đối với mọi f ∈ F và mọi z ∈ K ∩ f⁻¹(E) khi hồ sơ F là chuẩn tắc Năm 1999, X C Pang và L Zalcman đã chứng minh một kết quả quan trọng liên quan đến hồ chuẩn tắc của các hàm chính quy Hình 2.13 cho thấy n và k là các số nguyên dương với a ∈ C \ {0}.
F l hồ cĂc h m ch¿nh hẳnh trản miãn D ⊂ C m mồi khổng iºm cõ bởi ẵt nhĐt k GiÊ sỷ rơng f n f (k) − a khổng Ơu triằt tiảu vợi mồi f ∈ F Khi õ hồ F chuân tưc trản D
Tiếp theo, chúng tôi thiết lập ảnh lý kiểu Lappan với một định nghĩa Thật thú vị, kết quả sau đây cho ta một mở rộng cửa ảnh lý 2.13 trong trường hợp các hàm phân hình vfnf(k) − a có khổng định trong D Ảnh lý 2.14 Cho n, k là các số nguyên dương sao cho n > k + 3 + 2k Cho F là hàm phân hình toàn miền D ⊂ C mà mỗi khổng định bởi ít nhất k Giả sử rằng với mọi tập compact K ⊂ D, tồn tại a ∈ C \{0} và hằng số dương M = M(K) sao cho.
(f n f (k) ) # (z) ≤ M vợi mồi f ∈ F v mồi z ∈ K ∩ {f n f (k) = a} Khi õ hồ F l chuân tưc.
Trong Chữỡng 2, chúng tổi nghiản cựu ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevan- linna trong lỵ thuyát h m v hồ chuân tưc Cử thº, luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ:
Ánh lỳ 2.5 và ánh lỳ 2.6 kiểu Lappan cho hàm φ− chuẩn tắc với ba điểm, bốn điểm Khi chọn φ(|z|) = 1 − |z|, ta nhận được các kết quả tương ứng cho hàm chuẩn tắc Điều này liên quan đến các Hằng quên 2.7 và Hằng quên 2.8.
Hình 2.9, 2.10, 2.11 và 2.12 mô tả kiểu Lappan cho hồ chuẩn tục với ba điểm hoặc bốn điểm, trong khi tiếp E bao gồm ba điểm Hình 2.10 và 2.12 nhấn mạnh hình 2.14 kiểu Lappan với ứng mởt điểm Hơn nữa, khi thay đổi f bằng a thực Ôo h m dÔng f n f (k), chúng tôi nhấn mạnh hình 2.14 kiểu Lappan với ứng mởt điểm.
Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n hẳnh vợi a thực Ôo h m v q - sai phƠn chung nhau mởt h m nhọ
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong toán học, đặc biệt là trong việc phân biệt giá trị của hàm phức qua các phân tích sai phân Chúng tôi xác định duy nhất hình thức tổng quát thông qua ngữ cảnh của hàm và phân tích sai phân Các kết quả của nghiên cứu này được công bố trong bài báo.
Sỹ duy nhĐt cừa cĂc h m phƠn hẳnh vợi a thực Ôo h m
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa quan trọng trong lý thuyết Nevanlinna Định nghĩa 3.1 đề cập đến hai hàm phân hình khác hướng trên mặt phẳng phức C, với a thuộc C ∪ {∞} Chúng ta nói rằng f và g chung nhau giá trị a − CM nếu f − a và g − a có số khổng iếm tính cường bởi Nếu f − a và g − a cũng có số khổng iếm không kém bởi, thì f và g chung nhau giá trị a − IM Định nghĩa 3.4 nói về hàm phân hình khác hướng f, trong đó một hàm phân hình nhọ được gọi là hàm nhọ của f nếu T (r, α) = S(r, f) Tiếp theo, các hàm phân hình nhọ của f được hiểu là M f (C) Khi f là hàm nguyển, chúng ta có thể hiểu tiếp các hàm nguyển nhọ của f bởi A f (C) Cuối cùng, định nghĩa 3.5 khẳng định rằng hai hàm phân hình khác hướng f và g chung nhau hàm α− CM nếu f − α và g − α có số khổng iếm kém bởi Nếu f − α và g − α cũng có số khổng iếm không kém bởi, thì f và g chung nhau hàm α− IM.
Vào năm 2014, Nôm, Q Ling và L R Jie đã nghiên cứu về các hàm phân hình, cụ thể là hàm f(z) và g(z), với điều kiện a(z) không tương đương với 0 Trong đó, n, k và m là ba số nguyên thỏa mãn n > 4m + 9k + 14 Họ đã đưa ra biểu thức P(z) = a_m z^m + a_{m-1} z^{m-1} + + a_1 z + a_0 để mô tả các hàm này.
P (z) ≡ c 0 , trong õ a 0 6= 0, a 1 , , a m−1 , a m 6= 0, c 0 6= 0 l cĂc hơng số phực Náu [f n P (f )] (k) v [g n P (g)] (k) chung nhau a(z) − IM thẳ mởt trong c¡c kh¯ng ành sau l óng:
(i) Khi P (z) = a m z m + a m−1 z m−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 , mởt trong hai kh¯ng ành sau óng:
(i1) f (z) = tg(z) vợi t l hơng số thọa mÂn t d = 1, trong õ d = (n + m, , n + m − i, , n), a m−i 6= 0 vợi i ∈ {0, 1, , m},
(i2) f v g thọa mÂn phữỡng trẳnh Ôi số R(f, g) = 0, trong õ
− w 2 n (a m w m 2 + a m−1 w 2 m−1 + ã ã ã + a 0 );(ii) Khi P (z) ≡ c 0 , f (z) = tg(z) vợi t l hơng số thọa mÂn t n = 1; (iii) [f n P (f )] (k) [g n P (g)] (k) = a 2 (z).
Hỡn nỳa náu max{χ 1 , χ 2 } < 0 thẳ (iii) khổng xÊy ra, trong õ χ 1 = 2m n + m − 2k + m + 1 n + m + 2k + 2k + m n + m + k + 1
Trong phƯn n y chúng tổi xem x²t ành lỵ duy nhĐt cừa Ling - Jie
- Zuxing trong tẳnh huống khổng cõ iãu kiằn max{χ 1 , χ 2 } < 0 ối vợi mởt lợp a thực P Cử thº, chúng tổi nghiản cựu b i toĂn duy nhĐt cho a thùc ¤o h m câ d¤ng [f n P (f )] (k) , trong â
P(z) = (z − b₁)ᵐ₁ (z − bᵥ)ᵐᵥ Q(z), trong đó v và mᵢ (i = 1, , v) là các số nguyên dương và Q(z) là một hàm thực Cho f(z) và g(z) là hai hàm phân hình siêu việt, với các số nguyên dương s và p Nếu α(z) thuộc M_f(C) và M_g(C), thì a(z) không đồng nhất bằng 0, với n, m, v và k ≥ 2 là các số nguyên dương thỏa mãn n ≥ k + 1 và n > 4k + 7p + 5k + 7s + 4m.
P (z) = a m z m + a m−1 z m−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 = (z − b 1 ) m 1 (z − b v ) m v Q(z), trong õ m i ⩾ k +1 vợi mồi i = 1, , v, v ⩾ 1+ 1 p , m = deg Q+ P v i=1 m i v a 0 6= 0, a 1 , , a m−1 , a m 6= 0 l cĂc hơng số phực.
Gi£ sû [f n P (f )] (k) v [g n P (g)] (k) chung nhau α(z)−IM, khi â f (z) ≡ tg(z) vợi t l hơng số thọa mÂn t d = 1, trong õ d = (n + m, , n + m − i, , n), a m−i 6= 0 vợi i ∈ {0, 1, , m} ho°c f v g thọa mÂn phữỡng trẳnh Ôi số R(f, g) = 0, trong õ
Nhên x²t 3.1 iãu kiằn max{χ 1 , χ 2 } < 0 cõ thº bọ qua trong mởt lợp a thực P m kát quÊ cừa Ling - Jie - Zuxing văn cỏn úng.
Sỹ duy nhĐt cừa cĂc h m phƠn hẳnh vợi a thực q - sai phƠn chung nhau mởt h m nhọ
phƠn chung nhau mởt h m nhọ
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của hàm phân hình và các đặc điểm của nó Cho hàm f(z) là hàm phân hình (nguyên) có bậc khổng, với q và c là các hằng số phức, q ≠ 0 và k là số nguyên dương Hàm P(z) được định nghĩa dưới dạng P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + + a_1 z + a_0, với các hệ số a_0, a_1, , a_n khác không Điều kiện cần thiết là n ≥ m(k + 1) + 5 (hoặc n ≥ m(k + 1) + 3), khi đó (P(f(z))f(qz + c))(k) - a(z) sẽ là một hàm không khống chế, trong đó a(z) không đồng nhất bằng 0 là hàm nhị phân của f.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm số phức f(z) với m = 1, liên quan đến các số phức và các hệ số của đa thức P(z) Đặc biệt, P(z) được định nghĩa dưới dạng P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + + a_1 z + a_0, với các hệ số a_0, a_1, , a_n khác không Chúng ta cũng sẽ thảo luận về số lượng nghiệm phức của P(z) khi n ≥ 3.
2 m + 3, khi õ (P (f (z))f (qz + c)) (k) − 1 cõ vổ hÔn khổng iºm.
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu về các hàm phân hình và các kết quả liên quan đến số nguyên dương m và n Cụ thể, khi m = 1 và n ≥ 5, chúng tôi đã chỉ ra rằng số n khổng lồ phụ thuộc vào k Zhao và Zhang đã chứng minh rằng các kết quả này đúng với n > k + 5 Đối với hai hàm phân hình f(z) và g(z), với q khác 0 và các số phức k, chúng tôi xác định hàm phân hình a(z) không đồng nhất bằng 0, và hàm P(z) có dạng P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + + a_1 z + a_0 với các hệ số a_0, a_1, , a_n khác 0 Cuối cùng, chúng tôi đưa ra điều kiện n ≥ 2m(k + 1) + 2k + 6 để đảm bảo tính đúng đắn của các kết quả đã nêu.
(n ≥ 2m(k + 1) + 4), (P (f (z))f (qz + c)) (k) v (P (g(z))g(qz + c)) (k) chung nhau a(z), ∞ − CM, khi õ mởt trong hai kh¯ng ành sau úng:
(1) f (z) ≡ tg(z) vợi t l hơng số thọa mÂn t d = 1, trong õ d = LCM {λ j : j = 0, 1, , n} l bởi chung nhọ nhĐt cừa cĂc λ j (j =
(2) f (z) v g(z) thọa mÂn phữỡng trẳnh Ôi số R(f, g) = 0, trong õ
Trong hình 3.16, khi m = 1, chúng ta nhận thấy kết quả của Zhao và Zhang Hơn nữa, hình 3.16 cũng mở ra một mối liên hệ rõ ràng giữa kết quả của Zhao và Zhang với các hàm phân hình siêu việt trong bề mặt không gian.
Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong toán học, đặc biệt là phân tích giá trị của hàm phức và xác định duy nhất hàm phân hình thông qua ngữ cảnh của hàm thực Cuối cùng, luận án sẽ trình bày các kết quả đạt được.
- ành lỵ 3.10 vã sỹ duy nhĐt cừa cĂc h m phƠn hẳnh vợi a thực Ôo h m chung nhau mởt h m nhọ.
Ảnh lị 3.14 và 3.15 liên quan đến phân bố giá trị thực của các hình phần hình học Ảnh lị 3.16 và sự duy nhất của các hình phần hình học cho thấy sự khác biệt trong cách phân bố giá trị thực Các kết quả này làm rõ các kết quả của Zhao và Zhang.
Luận án nghiên cứu những ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán hồ với hàm chuẩn tắc, bài toán duy nhất của các hàm phân hình với a thực và hàm vớt a thực q - sai phân, phân bố giả trà với a thực q - sai phân.
CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn bao gỗm:
1 Mởt số tiảu chuân chuân tưc cho hồ cĂc h m phƠn hẳnh dữợi iãu kiằn vã khổng iºm cừa a thực Ôo h m v hồ cĂc h m phƠn hẳnh khổng cõ khổng iºm.
2 Mởt số tiảu chuân kiºu Lappan cho h m ϕ - chuân tưc, hồ chuân tưc vợi số iºm ẵt hỡn nôm.
3 Mởt số kát quÊ cho b i toĂn duy nhĐt h m phƠn hẳnh dữợi iãu kiằn vã Ênh ngữủc cừa a thực Ôo h m v q - sai phƠn, phƠn bố giĂ trà cõa a thùc q - sai ph¥n.
Chúng tổi ã xuĐt mởt số hữợng nghiản cựu tiáp theo cừa luên Ăn:1 Nghiản cựu ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna trong phữỡng trẳnh vi ph¥n phùc.
2 Nghiản cựu cĂc iãu kiằn Ôi số khĂc nhau cho b i toĂn duy nhĐt h m phƠn hẳnh.
3 Nghiản cựu hồ chuân tưc v ựng dửng v o b i toĂn duy nhĐt, phữỡng trẳnh vi phƠn phực.