Nghiên Cứu Các Tính Chất Phi Cổ Điển, Dò Tìm Đan Rối Và Viễn Tải Lượng Tử Của Một Số Trạng Thái Phi Cổ Điển Mới.pdf

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI Chuyên ngành Vật lý lý thuyết và[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,

DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khoa học về thông tin lượng tử, một ngành khoa học mới đượcphát triển gần đây, đã cho thấy nhiều ưu điểm vượt trội so với khoahọc về thông tin cổ điển ở mọi phương diện Ví dụ tiêu biểu có thể

kể đến là viễn tải lượng tử Viễn tải lượng tử biến liên tục đã đượcthí nghiệm thành công, tuy nhiên độ tin cậy đạt được tương đối thấp

mà nguyên nhân chính là do nguồn rối tạo được có độ rối không cao.Gần đây, trong nghiên cứu về các trạng thái phi cổ điển nổi lên mộttrạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái thêm photon Chỉbằng cách tác dụng toán tử sinh photon vào trạng thái bất kỳ sẽ biếntrạng thái đó thành phi cổ điển Điều này gợi ra một hy vọng rằngviệc tác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái phi cổ điển cóthể làm tăng mức độ của các hiệu ứng phi cổ điển trong đó có hiệuứng đan rối Đó là lý do chúng tôi nghiên cứu về trạng thái nén dịchchuyển thêm photon hai mode Như những gì mong đợi, đề tài đã chỉ

ra được rằng trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có độphi cổ điển mạnh hơn và độ rối được tăng cường so với trạng thái nén,

từ đó đề xuất được một phương pháp cải thiện độ rối: tác dụng mộthoặc nhiều lần toán tử sinh photon vào cả hai mode của trạng thái có

độ rối hữu hạn cho trước

2 Mục tiêu nghiên cứu

Chứng minh tác dụng tích cực của thêm photon vào trạng tháinén hai mode là tăng độ phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng thái.Đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạngthái nén dịch chuyển hai mode và khảo sát chi tiết mối liên hệ giữa độtin cậy của trạng thái được tạo thành và xác suất thành công

3 Nội dung nghiên cứu

Nghiên cứu về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai modebao gồm tính hàm Wigner, đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để tạo trạngthái, khảo sát các tính chất phi cổ điển trong đó có đan rối và tính độtin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rốinén dịch chuyển thêm photon hai mode

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng phương pháp lượng tử hóa trường lần thứ hai vàthống kê lượng tử để đưa ra các biểu thức giải tích rồi sử dụng phươngpháp tính số để biện luận các kết quả thu được

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài đã tìm ra cách để tăng cường độ rối và cải thiện độ tin cậyviễn tải, từ đó góp phần phát triển lý thuyết thông tin lượng tử Ngoài

ra, kết quả của đề tài còn có vai trò định hướng, cung cấp thông tincho vật lý thực nghiệm trong việc dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển vàtạo ra các trạng thái phi cổ điển

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mụccác công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu thamkhảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương.Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đến đề tài.Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái nén dịchchuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm phân bố Wigner vàhai sơ đồ khác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi

cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode baogồm nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm và đan rối Chương 4 trình

bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối néndịch chuyển thêm photon hai mode.

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ

VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ

1.1 Trạng thái phi cổ điển

1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổđiển

Trạng thái kết hợp, ký hiệu |αi, là trạng thái được tạo thành bằngcách tác dụng toán tử dịch chuyển ˆD(α) = exp(αˆa† − α∗ˆa) lên trạngthái chân không

trong đó α = |α|eiϕa Trạng thái kết hợp được xem là ranh giới giữa

cổ điển và phi cổ điển để từ đó đưa ra định nghĩa về các trạng thái phi

(− tanh r exp(iθ))n|nia|nib (1.17)

Đây là trạng thái đan rối với độ rối hoàn hảo khi tham số nén r bằng

∞ Mô phỏng thực nghiệm của toán tử nén hai mode là bộ chuyển đổitham số không suy biến

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon

Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi

sub-1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối

1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối

Với trạng thái hai thành phần thuần, độ rối được xác định thôngqua việc khảo sát entropy von Neumann Trong trường hợp không tìmđược entropy von Neumann, độ rối có thể được so sánh qua một đạilượng có tên gọi entropy tuyến tính được định nghĩa bởi

trong đó ˆρA = TrBρˆAB là một ma trận mật độ rút gọn của ˆρAB Mộttrạng thái sẽ rối nếu L > 0 và giới hạn trên L = 1 ứng với trạng tháiđan rối hoàn hảo

1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel

Trên cơ sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng, Shchukin và Vogel đã đưa

ra một tiêu chuẩn đan rối khá mạnh Theo tiêu chuẩn này, một trạngthái được gọi là rối nếu tồn tại một định thức con âm bất kỳ trong

1.3 Viễn tải lượng tử

1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn

Trong quá trình viễn tải lượng tử biến gián đoạn, thông tin cầngửi đi được mã hóa trong trạng thái |ψinic = α|0ic + β|1ic Trước khiquá trình viễn tải được thực hiện, người gửi A và người nhận B chia

sẻ với nhau trạng thái đan rối 2 qubit |ψEiab = √1

2(|0ia|1ib − |1ia|0ib)trong đó A sở hữu qubit a còn qubit b được gửi đến B Tại trạm gửi,

A tiến hành phép đo Bell trên qubit a và qubit c Sau phép đo, qubit

b bị tách ra và trạng thái của nó sụp đổ về một trong bốn trạng thái

−α|0ib − β|1ib, −α|0ib + β|1ib, α|1ib + β|0ib, hoặc α|1ib − β|0ib vớixác suất bằng nhau tùy thuộc vào kết quả của phép đo Sau đó, Agửi kết quả của phép đo đến B qua một kênh thông tin cổ điển thôngthường chỉ với hai bit Với kết quả này, B biết chính xác trạng tháiđang sở hữu là trạng thái nào trong 4 khả năng trên, từ đó tác dụnglên nó một toán tử Pauli thích hợp để khôi phục lại trạng thái |ψini.1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục

Trong viễn tải trạng thái với biến liên tục, phép đo Bell là phép đođồng thời hiệu tọa độ và tổng xung lượng giữa trạng thái cần chuyển

|ψinic và mode a của trạng thái đan rối biến liên tục |ψCEiab Trongbiểu diễn Fock, trạng thái riêng của phép đo này ứng với kết quả đo η

trong đó P (η) là xác suất của phép đo và ˆT (η) = ˆDb(η)achM (η)|ψCEiabđược gọi là toán tử viễn tải Độ chính xác của quá trình viễn tải thểhiện ở độ tin cậy trung bình

Chương 2 TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM

PHOTON HAI MODE

2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode

Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được định nghĩa bởi

|α, β; siab = ˆDab(α, β) ˆSab(s)|0, 0iab, (2.4)trong đó s = reiθ và α = |α|eiϕa, β = |β|eiϕb Tác dụng các toán tửsinh photon vào cả hai mode tạo thành trạng thái mới

Hình 2.1: Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| với {m, n} = {3, 0} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt).

i+j n−i−j(|ξ|2)Ljm−j(|ξ|2)

trong đó Lkm(x) là đa thức Laguerre liên kết Kết quả (2.34) nói lênrằng hàm Wigner W (za, zb) có thể âm khi

i+j n−i−j(|ξ|2)Ljm−j(|ξ|2) < 0 (2.36)

Hình 2.2: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách chùm.

Dễ dàng nhận thấy trên hình 2.1 rằng hàm G(|ξ|) có thể nhận giá trị

âm và tính âm của hàm Wigner mạnh hơn khi thêm photon vào đồngthời cả hai mode

2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm

Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sửdụng thiết bị tách chùm được minh họa trên hình 2.2 Hệ thống gồm

DC ký hiệu cho bộ chuyển đổi tham số kết hợp với các bộ dịch chuyển

Da(α) và Db(β) tạo ra trạng thái |α, β; siab Để mô phỏng tác dụngcủa ˆa†m, mode a của trạng thái |α, β; siab và trạng thái |mia0 đượcđưa vào thiết bị tách chùm BS1 rồi đặt máy đếm photon PD1 để đếm

nào đi vào cả PD1 lẫn PD2, thì trạng thái đầu ra ở hai mode a và blà

Hình 2.3: Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành công tương ứng P ≡ PBSvào hệ số truyền qua t của các thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm).

với xác suất thành công

2)m+nm!n!t2(m+n+2)

và độ tin cậy so với trạng thái mong muốn là

FBS =

2

Cm,n(α, β, s)P∞j=0P∞j0 =0

(1−t−2)j+j0j!j0! Cm+j,n+j0 (α, β, s)

.(2.49)Theo (2.44), hiệu ứng của BS1 và BS2 cùng với điều kiện không

có photon nào được phát hiện trong cả PD1 và PD2 tương đương vớitác dụng của ta†aa†mtb†bb†n lên trạng thái |α, β; siab Do hệ số truyềnqua của các thiết bị tách chùm t < 1 nên những gì mà chúng ta cóthể mong đợi chỉ là một trạng thái gần giống với trạng thái nén dịchchuyển thêm photon hai mode lý thuyết khi t dần đến 1 Cụ thể hơn,hình vẽ 2.3 thể hiện rằng mặc dù độ tin cậy không bao giờ bằng 1nhưng nó luôn tăng theo t và tiệm cận đến 1 khi t → 1 Tuy nhiên, cáigiá phải trả là sự giảm của xác suất thành công khi tăng t Hơn nữa,

cả độ tin cậy và xác suất thành công đều giảm khi tăng m hoặc/và nthể hiện thêm càng nhiều photon càng gặp nhiều thách thức, ngay cả

Hình 2.5: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến.

khi nếu thành công thì cái giá phải trả là giảm độ tin cậy

2.3.2 Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến

Sơ đồ minh họa cho việc sử dụng bộ chuyển đổi tham số để tạotrạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode được vẽ trong hình2.5 Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được tạo ra tương tự nhưtrong sơ đồ trước bởi sự kết hợp giữa một bộ chuyển đổi tham số khôngsuy biến DC1 với các bộ dịch chuyển Da(α) và Db(β) Tiếp theo, mode

a của trạng thái |α, β; si được đưa vào DC2, cùng lúc đó mode b đượcđưa vào DC3 Sau DC2 và DC3 ta cũng đặt các máy đếm photon PD1

và PD2 Khi cùng lúc PD1 đếm được m photon và PD2 đếm được nphoton, trạng thái nhận được ở hai đầu ra a và b là

Hình 2.6: Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành công tương ứng P ≡ PDCvào tham số nén z của DC2 và DC3 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm).

j,j0=0

(1−cosh z)j+j0j!j0! Cm+j,n+j0(α, β, s)

2

Cmn(α, β, s)P∞j,j0 =0

(− sinh2z)j+j0j!j0! Cm+j,n+j0(α, β, s)

Như thể hiện trong phương trình (2.57), hiệu ứng của DC2 (DC3)kết hợp với phép đo m (n) photon tại các máy đếm photon PD1 (PD2)tương ứng với tác dụng của ˆa†m(cosh z)−ˆa†ˆ (ˆb†n(cosh z)−ˆb†ˆb) lên trạngthái |α, β; siab Rõ ràng các toán tử này càng gần với ˆa†m (ˆb†n) khi zcàng nhỏ Đó là lý do vì sao trong hình 2.6 độ tin cậy F ≡ FDC giảmkhi tăng z Khi z → 0 độ tin cậy sẽ tiệm cận nhưng không bao giờđạt giá trị 1 vì nếu z = 0 đồng nghĩa với không có gì xảy ra Tương tựnhư sơ đồ trước, việc tăng độ tin cậy sẽ đi kèm với sự giảm xác suấtthành công và cả độ tin cậy cùng với xác suất thành công đều giảmkhi tăng m và/hoặc n

Chương 3 CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA

TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM

PHOTON HAI MODE

Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định

|β| = 20); (b) |β| (khi cố định |α| = 5) với ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).

Khi khảo sát sự phụ thuộc của S vào các góc, chúng tôi nhận thấytrạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode thể hiện nén tổng

Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số nén r khi ϕ1 = ϕ2 = 0, |α| = 2.5,

|β| = 5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch chấm).

-mạnh nhất khi xảy ra đồng thời hai điều kiện ϕ1 ≡ φ − θ = k1π và

ϕ2 ≡ φ − ϕa − ϕb = k2π với k1, k2 là những số nguyên Về sự phụthuộc vào tham số dịch chuyển, hình 3.4a cho thấy S < 0 trong mộtkhoảng giá trị nhất định của |α|, và khoảng giá trị này gần như độclập với m trong khi đồ thị của S theo |β| trong hình 3.4b lại khá nhạyvới m: m càng tăng thì khoảng giá trị để điều kiện nén xảy ra càngđược mở rộng và hệ số nén càng âm Từ hình 3.5 ta thấy rằng hiệuứng nén tổng chỉ xảy ra với tham số nén r tương đối nhỏ Lúc đầu khităng r hiệu ứng nén tổng cũng mạnh lên và đạt cực đại tại giá trị r1,sau đó nếu tiếp tục tăng r thì hiệu ứng này giảm dần và biến mất ở giátrị r2 Thật thú vị là cả r1 và r2 đều giảm khi tăng m Vậy, việc thêmphoton làm tăng khả năng xảy ra cũng như tăng mức độ thể hiện củahiệu ứng nén tổng

Hình 3.7: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định

|β| = 10); (b) |β| (khi cố định |α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).

Hình 3.8: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và

|β| = 10 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch chấm).

-âm với φ khả dĩ nào đó Với hiệu ứng nén hiệu thì điều kiện của cácgóc để hiệu ứng thể hiện mạnh nhất là γ1 ≡ φ − θ + 2ϕa = 2k1π và

γ2 ≡ φ + ϕa− ϕb = 2k2π với k1, k2 là các số nguyên Về vai trò của |α|

và |β| thì mặc dù trong cả hai trường hợp D càng gần với −1 khi tăng

m, nhưng vị trí cực tiểu của nó dịch sang trái trong hình 3.7a trongkhi trong hình 3.7b vị trí này dịch sang phải khi m tăng Và tương tựnhư nén tổng, khoảng giá trị để thỏa mãn điều kiện nén hiệu của |α| làkhoảng đóng và gần như nhau với mọi m, trong khi khoảng giá trị nàycủa |β| là khoảng mở và phụ thuộc vào việc thêm nhiều hay ít photon.Hình 3.8 vẽ đồ thị của D theo tham số nén r khi các tham số khácđược giữ không đổi Dễ dàng nhận thấy hiệu ứng nén hiệu chỉ xảy ra

trong giới hạn khá nhỏ của tham số nén và độ nén hiệu càng tăng khităng m Vậy, đối với hiệu ứng nén hiệu, việc thêm photon cũng manglại tác dụng tích cực như đối với hiệu ứng nén tổng.

3.3 Tính chất phản kết chùm

Ánh sáng phản kết chùm có vai trò quan trọng hàng đầu trong cácquá trình đòi hỏi nguồn photon đơn chẳng hạn như mật mã lượng tử.Điều kiện phản kết chùm của một trường đa mode được định nghĩabởi

trong đó Rlk được gọi là hệ số phản kết chùm bậc {l, k} với điều kiện

l ≥ k > 1 và ˆNx(k) = ˆx†kxˆk với x = a, b Tính toán cho trạng thái néndịch chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi tìm được

(3.26)trong đó các hệ số Cm+l−i,n+k−j(α, β, s) được định nghĩa trong (2.18)

giảm cường độ khi tăng m, một đặc điểm trái ngược với các hiệu ứngnén Rất may, nhược điểm này có thể khắc phục bằng cách thêm đềuphoton vào cả hai mode của trạng thái, như được thể hiện trên hình3.13 Dễ dàng nhận thấy rằng hiệu ứng phản kết chùm sẽ mạnh nhấttrong trường hợp đối xứng m = n = 3 Sự phụ thuộc của hiệu ứngphản kết chùm vào bậc {l, k} được minh họa trên hình 3.11 Khi kkhông đổi và bằng 3, độ phản kết chùm tăng theo l (hình 3.11a), trongkhi ngược lại nếu giữ l cố định thì độ phản kết chùm giảm khi tăng k(hình 3.11b) Để ý rằng nếu ta không quan tâm đến vai trò của l và k

Hình 3.10: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R42 vào tham số nén r khi

|α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho {m, n} = {2, 0} (đường nét liền), {4, 0} (đường nét đứt) và {6, 0} (đường gạch - chấm).

Hình 3.11: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm Rlkvào tham số nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7

và ϕ = π cho m = 1, n = 0 khi (a) k = 3 và l thay đổi từ 3 đến 6, (b) l = 4 và k thay đổi từ 1 đến 4.

Hình 3.13: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R22 vào tham số nén r với

|α| = |β| = 0.2 và ϕ = π cho {m, n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 4} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm).