TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM VÀ PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC
Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm
Kết cấu tấm, đặc biệt là tấm chữ nhật, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như công nghiệp, xây dựng và hàng không Để đảm bảo tấm chữ nhật chịu tải trọng không đổi, cần xem xét thêm các yếu tố như biên độ chuyển vị, biến dạng và ứng suất do lực động Kết cấu tấm chịu tải trọng điều hòa có thể dẫn đến bất ổn định động và dao động tham số, ảnh hưởng bởi biên độ lực và tần số dao động Nghiên cứu về ổn định tĩnh, ổn định động và dao động tham số của kết cấu tấm là thiết yếu trong thiết kế Ổn định động của kết cấu cần tính đến ảnh hưởng của gia tốc chuyển động và lực quán tính khi thiết lập phương trình ổn định, bao gồm cả ứng xử ổn định tĩnh và dao động tham số.
Dao động trong bài toán ổn định động là loại dao động có tham số và tính chất riêng biệt, khác với dao động tự do Loại dao động này xảy ra khi có tác động của nguyên nhân bên ngoài thay đổi theo thời gian, và không giống như dao động cưỡng bức, tác động bên ngoài không phải là nguồn tác động trực tiếp.
Dao động tham số là loại dao động được duy trì bởi các yếu tố bên ngoài, dẫn đến sự thay đổi các thông số của hệ theo thời gian Loại dao động này được mô tả bằng phương trình vi phân có hệ số thay đổi, thường là thay đổi tuần hoàn, nằm ở vế trái của phương trình Tùy thuộc vào đặc điểm của dao động tham số, hệ có thể ở trạng thái ổn định động hoặc bất ổn định động.
Bài viết giới thiệu về bất ổn định động của hệ kết cấu, tham khảo từ H Nguyen (1987) Khi tấm chữ nhật chịu tải trọng nén, lực tác dụng thay đổi theo thời gian với tần số kích thích , được mô tả bằng công thức N(t) = N s + N d cos(t).
Tấm thực hiện dao động mạnh ngoài mặt phẳng với tần số dao động ngang lớn, vượt quá miền tham số không gian đã biết (N s, N t, T), dẫn đến hiện tượng mất ổn định động Khi khảo sát ổn định của tấm, sự cộng hưởng kết hợp với các vùng bất ổn định xảy ra khi tần số lực kích thích (t) và dạng mode tần số i (i = 1, 2, 3, ) xấp xỉ mối quan hệ.
Phương trình (t) = 2 i /k (với k = 1, 2, 3, ) cho thấy mỗi mode không gian i sẽ có vô hạn số mode thời gian k Trong đó, trường hợp (t) = 2 i (k = 1) là quan trọng nhất, được gọi là cộng hưởng tham số chính Mối quan hệ này được xem là cộng hưởng tham số đơn, nghĩa là chỉ có một dao động riêng tham gia chủ yếu trong các dao động cộng hưởng Biên vùng bất ổn định tương ứng với các cộng hưởng tham số đơn được thể hiện trong hình 1.1 (theo Huynh, Q.H (2015)).
Hình 1.1 Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn
Cộng hưởng tham số kết hợp có thể xảy ra với các cộng hưởng tham số đơn, do sự đồng thời của hệ thống tạo ra trong hai hoặc nhiều mode dao động riêng Sự xuất hiện của các cộng hưởng này là cần thiết khi tần số lực kích thích (t) và dạng mode tần số i có mối quan hệ gần gũi.
= m i i /k (1.2) trong đó m i – số nguyên dương hoặc nguyên âm
Vuứng chớnh baỏt oồn ủũnh k=1
Khoâng có giảm chấn Có giảm chấn k=3 k=2 k=5 4
Sự cộng hưởng kết hợp quan trọng nhất xảy ra khi k = 1, liên quan đến hai modes không gian của dao động, như được thể hiện trong hình 1.2 (theo Huynh, Q.H (2015)).
Hình 1.2 Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số kết hợp
Phương trình chuyển động với hệ số phi tuyến bậc hai và bậc ba có vai trò quan trọng trong nhiều hệ thống vật lý, trong đó cộng hưởng của hệ thống phụ thuộc vào bậc phi tuyến và cộng hưởng nội Hệ số phi tuyến bậc ba liên quan đến biến dạng của đường trung hòa trong mặt phẳng trung bình của dầm hoặc tấm, ảnh hưởng đến việc khảo sát hệ thống phi tuyến hình học Dao động phi tuyến của tấm composite, vỏ và dầm gắn liền với hệ số phi tuyến bậc hai trong phương trình vi phân chuyển động Hệ số phi tuyến này có ảnh hưởng lớn đến ứng xử của hệ thống, đặc biệt trong điều kiện cộng hưởng nội, nơi mà có mối quan hệ tuyến tính giữa các tần số tự do với các mode khác nhau, tức là tần số i có tỉ lệ hoặc gần tỉ lệ với sự tồn tại của các số nguyên dương hoặc âm m 1, m 2, , m n.
Khi cộng hưởng tham số chính được kích thích trong sự xuất hiện của cộng hưởng nội,
= 2 i , m j j = 0, (1.4) sự trùng hợp ngẫu nhiên của hai dạng cộng hưởng dẫn đến cộng hưởng đồng thời (simultaneous resonance) Dạng cộng hưởng này được đặc trưng bởi một số mode
Vuứng baỏt oồn ủũnh kết hợp k =1
Khoâng có giảm chấn Có giảm chấn k =2 k =3
Bài viết đề cập đến việc có bốn mode tham gia trong phản ứng, mặc dù chỉ một mode được kích thích có thể tồn tại Hiện tượng này được giải thích bởi cộng hưởng nội, nơi năng lượng được chuyển từ mode trực tiếp kích thích sang các mode dao động khác.
Dạng khác của cộng hưởng đồng thời có thể xảy ra khi một cộng hưởng nội trùng hợp với một cộng hưởng tham số kết hợp
= m i i , m j j = 0 (1.5) Đang phụ thuộc vào cộng hưởng nội, năng lượng từ các mode kích thích tham số có thể bị chuyển đổi đến các mode chuẩn khác
Dao động tham số đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu sự bất ổn định động, với mục tiêu xác định vùng bất ổn định cho các hệ thống chịu kích thích tham số Các mô hình tuyến tính dự đoán chính xác vị trí ranh giới biên của vùng này, nơi khởi đầu cho ứng xử tham số Trong các hệ thống phi tuyến không cản, phi tuyến hạn chế sự phát triển của phản ứng, khiến biên độ dao động tăng theo dạng parabôn theo thời gian mà không ảnh hưởng đến biên độ lớn nhất Ngược lại, hệ cản trong hệ thống cộng hưởng tham số cho phép biên độ đạt giá trị ổn định hữu hạn Ứng xử phi tuyến có thể tạo ra chuyển động cộng hưởng bị giới hạn trong không gian tham số mà các phản ứng trong mô hình tuyến tính không thể dự đoán Ngoài ra, hiện tượng mới trong vấn đề phi tuyến bao gồm sự phụ thuộc của biên độ vào tải trọng và tần số kích thích, cùng với sự xuất hiện của hiện tượng bước nhảy và sụt giảm.
Sự bất ổn định tham số của hệ thống cơ học có thể xảy ra trong một số vùng của không gian tham số, không chỉ tại các điểm rời rạc Nó diễn ra ở tần số khác với tần số tự nhiên của hệ thống và có phương pháp tuyến với lực kích thích Ngoài ra, tác dụng của ngoại lực phải nhỏ hơn lực tới hạn tĩnh nhỏ nhất Cuối cùng, lực kích thích được đưa vào phương trình chuyển động dưới dạng hệ số phụ thuộc vào thời gian hoặc tham số Những đặc điểm này tạo thành những vấn đề cơ bản liên quan đến bất ổn định tham số trong hệ thống.
Nghiên cứu về bất ổn định động của hệ kết cấu tập trung vào hai vấn đề chính: (i) xác định các vùng bất ổn định động, bao gồm cộng hưởng tham số chính, cộng hưởng kết hợp và cộng hưởng nội, và (ii) phân tích ứng xử của dao động tham số Điều này đặc biệt quan trọng khi kết hợp với ổn định tĩnh đàn hồi và cộng hưởng dao động cưỡng bức, nhằm phân biệt với các bài toán bất ổn định truyền thống.
Bài viết này tổng hợp các nghiên cứu gần đây về ổn định động và bất ổn định động, đồng thời khám phá kích thích tham số và đặc tính cộng hưởng tham số trong lĩnh vực này.
Phương pháp phân tích ổn định động của kết cấu liên quan đến parametric resonance nhằm xác định vùng bất ổn định động Việc phân tích được thực hiện dựa trên hình học của các cấu kiện như tấm, vỏ hình trụ, vỏ hình cầu, vỏ hình nón, dầm, cột và khung, cũng như các loại tải trọng như phân bố đều, không đều, tập trung, tải trọng ngẫu nhiên, lực kéo và lực bảo toàn Các điều kiện biên và phương pháp phân tích như chính xác, phần tử dải hữu hạn, sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phương pháp Galerkin, phương pháp nhiều bậc thang và thực nghiệm cũng được xem xét Cuối cùng, phương pháp xác định vùng bất ổn định thông qua số mũ là một phần quan trọng trong quá trình này.
Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm
Einaudi (1936) là người đầu tiên nghiên cứu ổn định động của tấm chữ nhật chịu tải trọng động điều hoà, mở đường cho các nghiên cứu tiếp theo của Bodner (1938), Chelomei (1938, 1939), Khalilov (1942, 1949), Kucharski (1950) và Leiderman (1955) về ổn định động của các kết cấu đàn hồi Bolotin (1954, 1964) đã phát triển lý thuyết về bất ổn định động bằng phân tích Fourier và nghiên cứu sự cộng hưởng tham số phi tuyến của tấm chữ nhật Somerset và Evan-Iwanowski (1967) đã khảo sát ảnh hưởng của lực quán tính và thực hiện nghiên cứu thực nghiệm về tấm vuông có bốn biên tựa đơn Simons và Leissa (1971) phân tích tấm côngxon chịu tải trọng gia tốc và trọng lực, trong khi Tani và Nakamura (1978) nghiên cứu tấm hình khuyên chịu tải trọng động điều hoà, nhấn mạnh tầm quan trọng của cộng hưởng tham số Yamaki và Nagai (1975) áp dụng phương pháp Galerkin để phân tích tấm vuông chịu tải trọng động điều hoà và xác định vùng bất ổn định động Carlson (1974) đã thực hiện khảo sát thực nghiệm về tấm mỏng chịu kéo với vết nứt hở, cho thấy sự phát triển của cả hai vùng bất ổn định chính và phụ, đồng thời nhấn mạnh tầm quan trọng của các khuyết tật trong kết cấu.
P.K Datta (1978) khảo sát thực nghiệm về ứng xử mất ổn định và ứng xử cộng hưởng tham số của tấm chữ nhật chịu kéo có lỗ tròn hoặc elip Kích thước và biên độ dao động của các vùng bất ổn định chính được tìm thấy là lớn hơn các vùng bất ổn định thứ hai Hutt và Salam (1971) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích ổn
Nghiên cứu về ổn định động của tấm chữ nhật đẳng hướng với mô hình phần tử hữu hạn đã chỉ ra rằng kích thước vùng bất ổn định động phụ thuộc vào hình dạng mode của tần số dao động tự do, lực ổn định tĩnh và hệ số cản nhớt Kisliakov (1976) đã khảo sát đáp ứng ổn định động phi tuyến của tấm mỏng đàn hồi có bốn biên tựa đơn dưới tải động điều hoà, sử dụng phương pháp Boubnov-Galerkin Trong khi đó, Birman (1986) đã phân tích ổn định động của tấm dày chữ nhật đàn hồi với các biên tựa đơn bằng hai lý thuyết tấm Mindlin và Levinson, xác định các vùng chính bất ổn định động.
Nghiên cứu của Hasegawa (1987) về tham số bất ổn định động của tấm mỏng đàn hồi bọc lớp chất lỏng nhớt dưới tải trọng chuyển động điều hoà cho thấy vùng bất ổn định động chính và phụ được xác định qua phương trình tuyến tính, xét đến chuyển động của chất lỏng không nén được và các thành phần sức căng của chất lỏng nhớt Ông cũng thực hiện khảo sát thực nghiệm để kiểm chứng lý thuyết Trong khi đó, Takahashi và Konishi (1988) đã nghiên cứu ổn định động của tấm chữ nhật biến dạng nhỏ chịu tải trọng điều hòa phân bố bậc nhất trên hai biên đối diện, áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa, nhằm xác định vùng bất ổn định động với các điều kiện biên khác nhau và xem xét sự cộng hưởng kết hợp của tần số tự nhiên.
Sự ổn định của tấm chữ nhật phi tuyến có độ võng lớn được nghiên cứu bởi M Hac (1989) thông qua phương trình von Kárman, xác định các vùng ổn định cân bằng không tầm thường bằng phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp Liapunov trực tiếp được áp dụng để xác định sự ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Higuchi và Dowell (1989) khảo sát sự bất ổn định động của tấm hình chữ nhật với bốn cạnh tự do, khi một cạnh chịu lực đuổi phân bố đều không bảo toàn, kiểm soát các hướng tương ứng với góc quay của biên tải trọng Chen (1989) nghiên cứu ổn định động của tấm hình khuyên lưỡng modul (bimodulus) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, sử dụng lý thuyết tấm Mindlin với hàm dạng đa thức Lagrange và các hàm lượng giác, phân tích ổn định tĩnh và động của tấm có chiều dày thay đổi.
Nghiên cứu của Mermertas và Belek (1990, 1991) đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với mô hình phần tử tấm Mindlin để phân tích ổn định động cho tấm dày và mỏng chịu tải trọng động điều hòa Vùng bất ổn định động được xác định thông qua phương pháp Bolotin, trong khi Yu và Mote (1991) đã thảo luận về cộng hưởng tham số của tấm tròn có liên kết lo xo quay Shen và Mote (1992) phát triển một phương pháp nhiễu loạn để dự đoán sự ổn định của hệ thống cộng hưởng tham số, dựa trên định lý Floquet H Nguyen và Ostiguy (1989) nghiên cứu ổn định động phi tuyến của tấm chữ nhật với bốn điều kiện biên khác nhau, áp dụng chuỗi kép Fourier vào phương trình phi tuyến von Kármán Tác giả đã xác định vùng bất ổn định động và các đường cong đáp ứng tần số liên quan đến các hình dạng mode Kết quả thực nghiệm trên bốn tấm hình chữ nhật chịu tải động điều hòa cho thấy sự phù hợp tốt với dự đoán lý thuyết.
Singh và Dey (1992) đã áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để phân tích hành vi bất ổn định động của tấm chữ nhật dưới tác động của tải trọng động điều hòa trong mặt phẳng tấm Họ xác định miền bất ổn định chủ yếu dựa trên nghiệm tuần hoàn của phương pháp Bolotin, có tính đến sự kết hợp giữa thành phần tĩnh và động của tải trọng cùng với các điều kiện biên khác nhau Trong khi đó, Touati và Cederbaum (1994) đã nghiên cứu ổn định động của tấm chữ nhật với vật liệu đàn hồi nhớt phi tuyến, chịu tải trọng động điều hòa phân bố đều trên bốn biên, và thực hiện tính toán dựa trên các số mũ Lyapunov.
Mô phỏng theo trình bày của Leaderman (1962) về đàn nhớt phi tuyến sử dụng phương pháp Galerkin để giải phương trình vi phân chuyển động phi tuyến, từ đó tìm ra hàm độ võng theo thời gian Nghiên cứu này khảo sát ảnh hưởng của các thông số khác nhau đến khả năng bất ổn định động và biểu diễn các đáp ứng của hệ thống dưới dạng hỗn loạn.
Lee và Y Ng (1995) nghiên cứu ổn định động của tấm chịu tải trọng động trong mặt phẳng tấm, sử dụng phương pháp Hamilton và giả thiết mode dao động để xây dựng phương trình chuyển động Deolasi và Datta (1995) tập trung vào bất ổn định động của tấm chữ nhật dưới tải nén và kéo, áp dụng phương pháp Bolotin và nhiều bậc thang để phân tích Prabhakara và Datta (1997) nghiên cứu ứng xử bất ổn định động của tấm bị cắt ở trung tâm dưới tải trọng kéo hoặc nén, chỉ ra rằng kích thước và hình dạng vùng cắt hở ảnh hưởng đến vùng bất ổn định Saha và cộng sự (1997) phân tích ổn định động của tấm hình chữ nhật trên nền đàn hồi không đồng nhất, áp dụng phương pháp Galerkin để giảm hàm dạng riêng và thu được hệ phương trình Mathieu-Hill J.H Kim và H.S Kim (2000) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết Kirchhoff-Love và Mindlin để phân tích ổn định động của tấm chữ nhật chịu lực nén không bảo toàn Forys (1999) trình bày phương pháp biến phân tối ưu hóa cho các vấn đề phần tử cơ học liên quan đến tấm chịu tải trọng động điều hòa, với các ví dụ về tối ưu hóa biến phân trong trạng thái cộng hưởng.
Nghiên cứu về 10 lớn có bốn biên tựa đơn chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm được thực hiện bởi Y.X Sun và S.Y Zhang (2001) sử dụng lý thuyết hỗn loạn và fractal, với ứng xử vật liệu theo nguyên lý chồng chất Boltzmann Phương pháp Bubnov – Galerkin giải hai phương trình vi phân phi tuyến, dẫn đến phương trình vi – tích phân phi tuyến, và tích phân thời gian được thực hiện bằng phương pháp Runge-Kutta bốn bậc T.H Young và cộng sự (2002) áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu ổn định động của tấm xiên chịu tải trọng khí động lực học Srivastava và cộng sự (2002, 2003) tiếp tục nghiên cứu ổn định động của tấm có đặc tính sườn gia cường dưới tải trọng động điều hoà, sử dụng phần tử tứ giác đẳng tham số chín nút Nghiên cứu của họ cũng xem xét ảnh hưởng của các thông số như hệ số tải trọng tĩnh và điều kiện biên đến vùng bất ổn định động Tiếp theo, Srivastava và cộng sự (2003, 2010) nghiên cứu tấm chữ nhật có sườn gia cường bị cắt bỏ Ganapathi và cộng sự (2000) phân tích ứng xử ổn định động lực phi tuyến của tấm đàn hồi và tấm composite dưới tải trọng động điều hoà S Sassi và cộng sự (2001) điều tra sự tương tác của lực và cộng hưởng tham số của tấm hình chữ nhật không hoàn hảo, sử dụng đáp ứng thời gian và biểu đồ cân bằng pha Cuối cùng, Kim và cộng sự (2003) phân tích các cộng hưởng tham số của tấm kim loại theo mô hình tấm chịu kéo với tải trọng động, so sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm trong môi trường sản xuất.
G.Y Wu và Y.S Shih (2005) phân tích bất ổn định động và đáp ứng phi tuyến của tấm có nứt, biên tựa đơn, chịu nén tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt phẳng tấm Nghiệm của hai phương trình vi phân chuyển động theo lý thuyết tấm von- Karman thoả mãn tất cả điều kiện biên nứt và biểu diễn hàm độ võng, hàm ứng suất là chuỗi kép theo điều kiện gần đúng hàm dạng riêng dầm Áp dụng phương pháp Galerkin cho hai phương trình vi phân động của tấm von-Karman xác định được phương trình Mathieu-Hill điều hoà phụ thuộc thời gian Phương pháp cân bằng gia số điều hòa (Incremental harmonic balance method - IHB) được áp dụng để giải quyết những phương trình chuyển động phi tuyến phụ thuộc thời gian và phân tích sự bất ổn định động của tấm Tính toán được thực hiện cho các tấm chữ nhật với tỉ lệ kích thước khác nhau và giá trị khác nhau của hệ số điều kiện vết nứt Vùng bất ổn định động tham số được biển diễn theo không gian của tải trọng kích thích, tần số tự nhiên hoặc biên độ của tần số tự nhiên Phát triển nghiên cứu trên, G.Y Wu và Y.S Shih (2006) nghiên cứu bất ổn định động và đáp ứng phi tuyến của tấm chữ nhật và tấm xiên nhiều lớp chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Dựa trên lý thuyết tấm von Karman, phương trình vi phân chuyển động biến dạng lớn của các tấm mỏng nhiều lớp được xác định bằng cách áp dụng các phương pháp chuỗi tổng quát kép Fourier Chọn hàm dạng độ võng và hàm ứng suất, các phương trình điều khiển được rút gọn thành phương trình Mathieu-Hill bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin Phương pháp cân bằng gia số điều hòa (IHB) được áp dụng để giải quyết những phương trình chuyển động phi tuyến và xác định được vùng bất ổn định động Sự ổn định động của một tấm sắt từ hình chữ nhật, biên tựa đơn dưới tác dụng của khu vực từ ngang phân bố đều và tải trọng động điều hoà nén trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bởi X Wang và J.S Lee (2006) có xét đến ảnh hưởng hệ số giảm từ Dựa trên một lý thuyết hiệu ứng từ đàn hồi tuyến tính và phương pháp nhiễu loạn, phương trình điều khiển hệ thống hiệu ứng từ đàn hồi được rút gọn thành phương trình Mathieu Tham số kích thích của hệ thống với các lực kích thích nén điều hòa trong mặt phẳng tấm được thảo luận và các vùng ổn định động tương ứng được mô phỏng chi tiết Z Wang và cộng sự
Năm 2009, nghiên cứu về sự ổn định động của tấm chữ nhật đàn hồi nhớt với chiều dày thay đổi tuyến tính đã được thực hiện, chịu tác động của tải trọng không bảo toàn tiếp tuyến Các phương trình giá trị riêng phức tạp của tấm đàn hồi nhớt này được xây dựng dựa trên ứng xử giản nở đàn hồi và biến dạng vết nứt theo luật Kelvin-Voigt, khi chịu tải trọng không bảo toàn phân bố đều, được xác định thông qua phương pháp vi phân bậc hai.
Phương pháp vi phân bậc hai (differential quadrature method) được sử dụng để khảo sát ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dày, sự chậm trễ thời gian và tham số vết nứt đến sự bất ổn định và tải trọng tới hạn của tấm Nghiên cứu tập trung vào các đặc tính động và ổn định của tấm hình chữ nhật nhiệt đàn hồi khi chịu tải trọng không bảo toàn phân bố đều theo phương tiếp tuyến.
X Guo và cộng sự (2011) Tần số và tham số lực tới hạn của tấm nhiệt đàn hồi hình chữ nhật chuyển động với bốn biên tựa đơn giản, hai biên đối diện tựa đơn và hai biên ngàm được xác định theo phương pháp sai phân bậc hai (differential quadrature method)
Nghiên cứu của Birman (1985) về sự ổn định động của tấm hình chữ nhật nhiều lớp đã bỏ qua biến dạng cắt ngang và quán tính quay, đồng thời khảo sát ảnh hưởng của việc ghép không đối xứng đến phân bố các vùng bất ổn định động Bert và Birman (1987) đã nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng cắt đến bất ổn định động của tấm hình chữ nhật góc lớp không đối xứng với các biên tựa đơn dưới tải trọng động điều hoà J Moorthy và cộng sự (1990) đã áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích bất ổn định động của tấm composite lớp đối xứng và phản đối xứng, xem xét các điều kiện biên và hình học khác nhau, đồng thời cho thấy sự ảnh hưởng đáng kể của giả thuyết biến dạng cắt ngang Chen và Yang (1990) đã nghiên cứu ổn định động của tấm composite lớp chữ nhật dưới tải trọng động điều hoà, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mô hình Galerkin để xác định vùng bất ổn định động Cuối cùng, M Mond và G Cederbaum (1992) đã khảo sát bất ổn định của tấm phản đối xứng góc lớp và phản đối xứng ngang lớp, nhấn mạnh tầm quan trọng của các yếu tố như hệ số cản, tỷ lệ chiều dài cạnh, độ dày tấm, và góc lớp trong phân tích ổn định động.
13 ply and antisymmetric cross-ply laminated plate), sử dụng lý thuyết lớp cổ điển
Giới thiệu phương pháp ma trận động cứng động lực
Việc phân tích động học về dao động tự do bắt đầu bằng việc xác định dạng ban đầu của bài toán trị riêng tuyến tính tổng quát:
[ ] K 2 [ M ] q 0 (1.6) trong đó: [ M ] - ma trận khối lượng tổng thể (the global mass matrix)
[ ] K - ma trận độ cứng tổng thể (the global stiffness matrix)
q - vector chuyển vị nút - tần số riêng (tần số tự nhiên) Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số dùng để phân tích các kết cấu
Phương pháp phần tử hữu hạn xác định kết cấu mẫu bằng cách phân chia thành các phần tử đơn giản, giúp dễ dàng phân tích kết cấu thực Có hai phương pháp chính trong phân tích động học: phương pháp xấp xỉ sử dụng hàm dạng của nhiều mẫu nhỏ để nội suy chuyển vị, và phương pháp chính xác áp dụng hàm dạng thỏa điều kiện cân bằng tĩnh học Tuy nhiên, phương pháp phần tử hữu hạn thường gặp sai số lớn do hàm dạng không phụ thuộc vào tần số, dẫn đến việc không thể biểu thị đầy đủ các hàm trị riêng chính xác.
Fergusson and Pilkey (1991, 1993) và Zhou (1996) thảo luận về phương pháp ma trận độ cứng động lực có nhận định rằng: phương pháp ma trận độ cứng động lực
Phương pháp Độ cứng Động (Dynamic Stiffness Method - DSM) được ứng dụng phổ biến trong các bài toán động lực học nhằm giảm thiểu các lỗi không đồng nhất về không gian và thời gian DSM được coi là chính xác vì hàm dạng là trường chuyển vị động đáp ứng phương trình vi phân cân bằng động chủ đạo, do đó ma trận độ cứng động lực học [K(ω,P)] cũng phụ thuộc vào tần số Bài toán trị riêng liên quan đến dao động tự do hoặc dao động cưỡng bức trở thành một phần quan trọng trong nghiên cứu này.
17 trong đó: K ( , ) P [ ( )] K 2 [ M ( )] - ma trận độ cứng động lực (1.8)
Phương pháp DSM có những ưu điểm hơn các phương pháp khác như phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM), phương pháp sai phân hữu hạn
(Finite Different Method – DFM), đặc biệt trong trường hợp phân tích những kết cấu đòi hỏi những dạng dao động bậc cao và cho kết quả chính xác hơn.
Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực khảo sát kết cấu tấm
Wittrick và Williams (1968, 1974) đã sử dụng phương pháp DSM để phân tích ổn định tĩnh và dao động của tấm đẳng hướng và không đẳng hướng Langley (1989, 1992) tiếp tục áp dụng DSM để nghiên cứu dao động tự do và cưỡng bức của tấm panel và vỏ Sau đó, ông cùng với Bercin (1995, 1996) đã sử dụng DSM để phân tích dao động trong mặt phẳng của tấm với hai biên đối diện liên kết tựa đơn, giúp giảm phần tử tấm hai chiều xuống một chiều Lee và Thompson (2001) đã thực hiện phân tích tần số dao động và dạng mode của lò xo xoắn bằng phương pháp DSM.
Năm 1996, nghiên cứu đã phân tích dao động tự do và ổn định tĩnh của tấm composite lớp bằng phương pháp DSM Nghiên cứu này đã xây dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử hai chiều và áp dụng cho dao động của tấm Kirchhoff cùng với vỏ dày hình trụ tròn, theo công trình của Casimir và cộng sự vào năm 2005.
Nghiên cứu về dao động cưỡng bức và tần số tự nhiên của các cấu trúc khác nhau đã được thực hiện bởi nhiều tác giả Khadimallah và cộng sự (2011) phân tích đáp ứng điều hòa của vỏ hình trụ tròn dưới tải trọng phân bố đều Kim và cộng sự (2003) tập trung vào dao động của tấm chịu kéo và chuyển động trong mặt phẳng dọc trục thông qua ma trận độ cứng động lực El-Kaabazi và Kennedy (2012) nghiên cứu tần số tự nhiên và mode dao động của vỏ hình trụ tròn với chiều dày thay đổi W.S Park và cộng sự (1999) áp dụng phương pháp DSM để phân tích dao động của dầm và tấm Cuối cùng, Hatami và cộng sự (2008) đã xây dựng ma trận độ cứng động lực chính xác cho tấm đàn nhớt chịu chuyển động dọc trục với vận tốc không đổi.
Gần đây, hai nhà nghiên cứu Boscolo và Banerjee (2011) đã công bố các công trình tiêu biểu về kết cấu tấm, phát triển phương pháp ma trận độ cứng động lực của phần tử tấm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Phương pháp DSM được sử dụng để phân tích chính xác dao động tự do của tấm trong mặt phẳng, cho thấy hiệu quả của nó trong việc điều tra ứng xử dao động Năm 2012, tác giả tiếp tục công bố nghiên cứu về dao động tự nhiên của tấm Mindlin composite, khẳng định sự tiến bộ trong lĩnh vực này.
Nghiên cứu về lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất bằng phương pháp DSM đã có những bước tiến quan trọng trong phân tích dao động và ổn định của tấm composite Fazzolari, Boscolo và Banerjee (2012) đã xây dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử tấm, trong khi nghiên cứu tiếp theo của họ vào năm 2013 đã thiết lập độ cứng động lực cho tấm ghép composite Năm 2014, Boscolo và Banerjee tiếp tục phát triển phương pháp này bằng lý thuyết tầng lớp để phân tích dao động tự nhiên của tấm composite lớp Tại Việt Nam, Trần Văn Liên (2006) đã nghiên cứu ổn định của thanh qua ma trận độ cứng động lực, trong khi Nguyễn Thị Hiền Lương và Lâm Tú Thanh (2007) tập trung vào ổn định khung theo tiêu chuẩn động lực học Huỳnh Quốc Hùng cùng các cộng sự (2010-2017) đã nghiên cứu ổn định động phi tuyến và đáp ứng dao động tham số phi tuyến cho kết cấu tấm composite bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực.
Kết luận
Bài viết này trình bày tình hình nghiên cứu về sự ổn định động của kết cấu tấm và vỏ dưới tác động của tải trọng động, bao gồm cả lực bảo toàn và không bảo toàn Các công bố hiện tại cho thấy có sự đổi mới trong nghiên cứu sự ổn định động, với xu hướng tập trung vào các loại vật liệu mới, phương pháp phân tích, mô hình tính toán, hình học, tải trọng và các điều kiện biên phức tạp.
Phương pháp xác định nghiệm của vấn đề ổn định động bắt đầu bằng việc biến đổi các phương trình chuyển động thành hệ phương trình Mathieu-Hill với hệ số điều hòa và đặc điểm cộng hưởng Các phương pháp này được phân loại thành ba loại chính: phương pháp Bolotin dựa trên lý thuyết Floquet, phương pháp phân tích nhiễu loạn nhiều bậc thang và phương pháp số mũ Lyapunovian Trong quá trình phân tích, các yếu tố như mô hình hình học (tấm, vỏ hình trụ, hình cầu, hình nón), thành phần tải trọng, loại vật liệu (transversely isotropic, homogeneous, bimodulus, composite, FGM) và điều kiện biên (SSSS, SCSC, CCCC) của kết cấu rất quan trọng trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp.
Nghiên cứu về phương pháp phân tích trong kỹ thuật bao gồm nhiều phương pháp như phương pháp giải tích, phương pháp dải hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, và phương pháp phần tử hữu hạn Gần đây, các phân tích về sự ổn định động đã chuyển hướng chú trọng vào những vấn đề phức tạp hơn, như tải phân bố không đều, tấm có sườn cứng, tấm trên nền Winkler, và các yếu tố biên, cộng hưởng kết hợp, tương tác giữa cấu trúc và chất lỏng, cũng như các hiện tượng phi tuyến và panel cong, thay vì chỉ tập trung vào các tấm hoặc vỏ hình trụ khép kín.
Phát triển các kết cấu có bề mặt dày thay đổi là cần thiết cho sự ổn định động trong các ứng dụng thực tế Cần nghiên cứu thêm về kết cấu chịu tải động điều hòa trong mặt phẳng và kiểm chứng thực nghiệm các mô hình tính toán Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động để phân tích dao động tự do, dao động cưỡng bức và ổn định tĩnh cho các loại kết cấu tấm và vỏ là rất quan trọng Tuy nhiên, việc áp dụng DSM để phân tích bất ổn định động của kết cấu tấm có chiều dày thay đổi hoặc xem xét hệ số phi tuyến bậc hai và bậc ba vẫn còn hạn chế trong nghiên cứu.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
1.6.1 Mục tiêu nghiên cứu Ổn định công trình là một phần không thể thiếu trong việc tính toán thiết kế công trình Trong thực tế, kết cấu tấm được sử dụng rất phổ biến trong thực tiễn các ngành công nghiệp và dân dụng (tấm sàn, vách kính chịu lực, vách tường, panel, tấm lợp nhà công nghiệp, ngành hàng không, ngành hàng hải,…), nên việc tính toán và nghiên cứu dao động tham số của tấm nói chung là cần thiết Tác giả chọn hướng nghiên cứu:
“ Phân tích phi tuyến dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực”
Luận văn có ý nghĩa khoa học và được ứng dụng trong thực tiễn sản xuất, như tính toán và thiết kế những kết cấu sau:
- Tính toán và thiết kế vách kính, vách tường chịu lực tải trọng động trong mặt phẳng tấm có xét đến cộng hưởng dao động tham số chính;
- Tính toán, thiết kế và kiểm tra kết cấu sàn chịu tải trọng động đất trong mặt phẳng có xét đến cộng hưởng dao động tham số chính;
- Tính toán và thiết kế tấm đặt trên nền đàn hồi chịu tải trọng động trong mặt phẳng tấm (đường bê tông, đường băng,…),…
1.6.3 Nhiệm vụ của nghiên cứu
Thiết lập ma trận độ cứng động lực cho các phần tử tấm có chiều dày thay đổi trên nền đàn hồi là cần thiết để phân tích tác động của tải trọng tĩnh và tải trọng động Việc này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của tấm dưới các loại tải trọng khác nhau, từ đó tối ưu hóa thiết kế và cải thiện hiệu suất kết cấu.
- Lắp ghép các ma trận độ cứng động lực của các phần tử tấm thành ma trận động cứng động lực tổng quát;
Khảo sát các dạng bài toán dao động tự do và ổn định tĩnh của kết cấu tấm nhằm xác định hệ số tần số dao động và hệ số lực tới hạn tĩnh.
Khảo sát các dạng bài toán dao động tham số phi tuyến của tấm chịu tải trọng động trong mặt phẳng tấm được thực hiện bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực Nghiên cứu này xem xét nhiều điều kiện biên khác nhau để phân tích ảnh hưởng của chúng đến hành vi dao động của tấm.
- Tìm hiểu và xác định vùng ổn định động và vùng mất ổn định động, và đáp ứng dao động tham số;
- Lập chương trình tính dao động tự do, ổn định tĩnh và dao động tham số của tấm bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực
- Phân tích ổn định tĩnh, dao động tự do và phân tích phi tuyến dao động tham số của kết cấu tấm;
- Kết cấu tấm có chiều dày thay đổi theo phương x và chịu tải trọng động điều hòa trong mặt tấm;
- Biến dạng của hệ được xem là biến dạng lớn;
- Xét đến hệ số phi tuyến bậc ba;
- Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực được nhóm tác giả mở rộng;
- Ứng xử của vật liệu là đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng;
Kết cấu luận văn
Chương 1 Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm và phương pháp ma trận độ cứng động lực
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA TẤM CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
Lý thuyết về tấm chịu uốn
Bài toán tấm chịu uốn đã được nghiên cứu từ thế kỷ 19, với lý thuyết chi tiết được trình bày trong các tác phẩm của S.P Timoshenko, S.W Krieger và nhiều tác giả khác Bài viết này tóm tắt một số lý thuyết cơ bản về tấm chịu uốn, tạo nền tảng cho việc thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp ma trận độ cứng động lực.
2.1.1 Các mô hình lý thuyết tấm
Hình 2.1 Mô hình tấm chữ nhật
Có nhiều mô hình lý thuyết được xây dựng để nghiên cứu về sự làm việc của tấm
Có thể chia ra các mô hình hay dùng như sau:
Mô hình Kirchhoff được áp dụng cho các tấm mỏng với biến dạng nhỏ, được xác định là tấm mỏng khi tỷ lệ chiều dày (h) so với kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình (b) nằm trong khoảng từ 1/80 đến 1/5 Ngoài ra, độ võng tối đa (w_max) của tấm không được vượt quá h/4.
Mô hình von Karman phát triển từ mô hình Kirchhoff, áp dụng cho tấm mỏng với biến dạng lớn, trong đó các ứng suất uốn liên quan đến các ứng suất màng kéo hoặc nén trong mặt phẳng trung bình Tấm được xem là tấm mỏng có độ võng lớn khi tỷ lệ giữa chiều dày và chiều dài nằm trong khoảng từ 1/80 đến 1/5 và độ võng tối đa lớn hơn h/4.
Mô hình Ressner-Mindlin là lý thuyết dành cho tấm dày với biến dạng nhỏ, trong đó các thành phần lực cắt được tính toán trong quá trình khảo sát Một tấm được xác định là tấm dày khi tỷ lệ h/b lớn hơn 1/3.
- Mô hình chính xác (Exact model): Phân tích chính xác các tác động lên tấm bằng cách sử dụng lý thuyết đàn hồi 3 chiều
2.1.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff
2.1.2.1 Chuyển vị và biến dạng trong tấm
Nghiên cứu tấm chịu tải trọng ngang, tức là tải trọng vuông góc với mặt trung bình của tấm, cần xem xét các thành phần chuyển vị u, v theo phương x, y tại một điểm bất kỳ Các thành phần này được biểu diễn thông qua độ võng w và các góc xoay x, y của mặt phẳng trung gian của tấm.
Hình 2.2 Quan hệ giữa các góc xoay của mặt trung hoà và đạo hàm độ võng
(2.1) trong đó w = w(x,y) - hàm độ võng hay hàm chuyển vị theo phương z của mặt trung hoà
Biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm:
(2.2) trong đó: k x , k y , k xy lần lượt là độ cong theo phương x, y và hai lần độ xoắn:
Theo các giả thiết của Kirchhoff, các biến dạng góc \(\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0\) và ứng suất \(\sigma_z = 0\) dẫn đến việc bài toán chuyển thành bài toán ứng suất phẳng Các phương trình liên quan được biểu diễn như sau: \(2 \cdot 2 x / k = -\partial w / \partial x\); \(k_y = -\partial^2 w / \partial y^2\); và \(k_{xy} = -\partial^2 w / \partial x \partial y\) (2.3).
2.1.2.2 Ứng suất và nội lực trong tấm
Trong trường hợp tấm đàn hồi đẳng hướng, thành phần ứng suất: Theo định luật Hooke (dạng ngược) với chú ý z 0
C (2.5) trong đó: E – môđun đàn hồi của vật liệu v – hệ số Poisson’s của vật liệu
là ma trận các hệ số đàn hồi
Sự phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất (Hình 2.3) như sau:
Hình 2.3 Phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất
Thành phần nội lực là hợp lực của các ứng suất phân bố theo chiều dày tấm trên một đơn vị dài
M là ma trận hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn, với k là vector độ cong, bao gồm các thành phần kx, ky và kxy Đối với tấm đàn hồi đẳng hướng, ma trận này được xác định để mô tả tính chất cơ học của tấm.
Vì vậy trong trường hợp tấm đẳng hướng, ta có các mối quan hệ sau:
- độ cứng chống uốn của tấm
Biểu diễn các thành phần nội lực của tấm khi chịu lực ngang (Hình 2.4) như sau:
Hình 2.4 Biểu diễn các thành phần nội lực của tấm khi chịu lực ngang
2.1.2.3 Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình
Tấm có thể làm việc vừa chịu uốn vừa chịu kéo (nén) bởi các tải trọng ngang p z
(vuông góc với mặt phẳng tấm) và các tải trọng N x , N y và N xy trong mặt trung bình của tấm
- Phương trình vi phân cân bằng do tải trọng ngang p z
Khảo sát sự cân bằng của một phân tố mặt trung bình có kích thước d x d y, với các lực tác động lên phân tố bao gồm cả ngoại lực và nội lực, được minh họa trong Hình 2.5.
Phương trình cân bằng (chiếu lên phương trục z) ta có y 0 x z
Hình 2.5 Khảo sát cân bằng phân tố trong tấm
Hình 2.6 Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm
Qy x y z dx dy Pz dx dy
Phương trình mômen với trục y, bỏ qua các đại lượng vô cung bé bậc cao, ta có x yx x
Phương trình mômen với trục x ta có xy y y
Thay (2.10), (2.11) vào (2.9), loại bỏ lực cắt nhận được:
- Phương trình vi phân cân bằng do tải trọng tác dụng trong mặt trung bình
Khảo sát sự cân bằng của một phân tố tấm có diện tích d x d y , được biểu diễn (Hình 2.6) như sau:
Chiếu các lực này lên trục x, y (giả thiết không có lực thể tích tác động theo hai phương này), ta rút ra phương trình cân bằng như sau: yx 0 x N
Hình 2.7 Độ võng của phân tố dxdy
Kết hợp lực của hai hình (Hình 2.5, 2.6, và 2.7), và từ Z 0 ta có phương trình:
Thay (2.10), (2.11), (2.13) và (2.14) vào (2.18) ta có phương trình cân bằng:
(2.19) Đây chính là phương trình vi phân chủ đạo của tấm mỏng dưới tác dụng đồng thời của tải trọng ngang và tải trọng trong mặt phẳng tấm
2.1.2.4 Xét đến lực uuán tính
Hình 2.8 Mô hình tấm chịu tải trọng động a
Trong trường hợp tấm chịu tải trọng động, độ võng w được xác định là hàm của không gian và thời gian, cụ thể là w = w(x,y,t) Do đó, phương trình vi phân chủ đạo của tấm cần được thiết lập với sự xem xét đến lực quán tính.
Gọi lực quán tính của một đơn vị khối lượng tấm m h là:
trong đó: h - chiều dày của tấm
- khối lượng riêng của tấm Áp dụng nguyên lý d’Alembert’s, kết quả phương trình vi phân chủ đạo của tấm (2.19) có xét đến lực quán tính là:
2.1.2.5 Lý thuyết tấm von Kárman (tấm có độ võng lớn)
Các lực N x, N y và N xy không chỉ chịu ảnh hưởng từ ngoại lực trong mặt phẳng xy mà còn liên quan đến biến dạng của mặt trung bình của tấm, loại biến dạng này gắn liền với hiện tượng uốn.
(2.21) trong đó F là hàm ứng suất
2.1.2.5 Trường hợp tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak
Tấm chữ nhật chịu uốn với chiều dày thay đổi h = h(x,y) được giả định là có sự biến đổi dần dần và không đột ngột Do đó, biểu thức mô men uốn và xoắn có thể được thiết lập dựa trên trường hợp tấm có chiều dày không đổi, với phương trình (2.8) áp dụng chính xác cho tình huống này Khi thay thế các phương trình mô men uốn và xoắn vào phương trình cân bằng tĩnh (2.12), cần lưu ý đến các thành phần liên quan.
D=D(x,y) Nhận được phương trình chuyển động của tấm có chiều dày thay đổi:
2.1.2.7 Các điều kiện biên trên chu vi tấm
Tùy thuộc vào điều kiện liên kết ở mép tấm mà trong thực tế ta thường gặp các điều kiện biên (Hình 2.9) như sau:
Hình 2.9 Điều kiện liên kết ở mép tấm
- Cạnh biên ngàm (fixed or clamped or built in edge) x = 0: khi đó liên kết ngăn cản mọi chuyển vị thẳng và xoay trong mặt phẳng xz, tức là:
Biên liên kết với dầm
Biên liên kết tựa đơn (S)
Biên liên kết ngàm (C) Biên liên kết tự do (F) y x
- Biên tựa cố định (simple supported or hinge pinted) y = 0: trên cạnh này không có chuyển vị đứng và mômen uốn M y , tức là:
- Biên tự do (free edge) x = a: các mô men uốn, lực cắt, mô men xoắn (M x , Q x , M xy ) phải cần bằng 0, tức là:
