TỔNG QUAN
Giới thiệu
1.1.1 Giới thiệu về vật liệu composite
Vật liệu composite, hay còn gọi là vật liệu tổ hợp, được tạo ra bằng cách kết hợp hai hoặc nhiều loại vật liệu khác nhau để sản xuất một vật liệu mới có tính năng vượt trội hơn so với các vật liệu ban đầu Thông thường, composite bao gồm các thành phần như sợi ngắn, hạt, sợi đơn, sợi bện hoặc dệt, đóng vai trò là vật liệu bền vững trên nền vật liệu Sự liên kết và hài hòa giữa các thành phần của composite là yếu tố quan trọng để đảm bảo hiệu suất tối ưu của vật liệu.
Hình 1.1 Vật liệu composite (https://www.google.com.vn/search?q=composite&source=lnms&tbm=isch&sa=X
&ved hUKEwiz_nT4r_WAhWDmJQKHSSGDb4Q_AUICigB&biw44&bih
Vật liệu composite đã có mặt trong cuộc sống con người từ khoảng 5.000 năm trước Công nguyên, với việc người cổ đại sử dụng bột đá trộn với đất sét để cải thiện quá trình nung đồ gốm Người Ai Cập, vào khoảng 3.000 năm trước Công nguyên, đã sáng tạo ra các sản phẩm composite như vỏ thuyền làm từ lau và sậy tẩm pitum Ngoài ra, các thuyền đan bằng tre với mùn cưa và nhựa thông, cùng với những bức tường tre trát bùn và rơm, đã trở thành những ứng dụng phổ biến của vật liệu composite trong đời sống xã hội.
Vật liệu composite nổi bật với khả năng chế tạo các kết cấu sản phẩm đa dạng theo yêu cầu kỹ thuật, nhờ vào các thành phần cốt có độ cứng và bền cơ học cao Vật liệu nền đảm bảo sự liên kết hài hòa, tạo ra các kết cấu chịu nhiệt và chống ăn mòn trong môi trường khắc nghiệt Composite polyme là một trong những ứng dụng hiệu quả nhất, với tính chất nhẹ, bền, chịu được môi trường, dễ lắp đặt và có độ bền riêng cũng như đặc trưng đàn hồi cao Ngoài ra, vật liệu này còn bền vững với môi trường ăn mòn hóa học và có độ dẫn nhiệt, dẫn điện thấp Quá trình chế tạo composite ở nhiệt độ và áp suất nhất định giúp dễ dàng áp dụng các công nghệ sản xuất tiên tiến.
Hình 1.2 Ứng dụng vật liệu composite (https://www.google.com.vn/search?biw44&bihW5&tbm=isch&sa=1&q=%E 1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5ng+t%E1%BA%A5m+composite+trong+x%C3%A 2y+d%E1%BB%B1ng&oq=%E1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5ng+t%E1%BA%A
5m+composite+trong+x%C3%A2y+d%E1%BB%B1ng&gs_l=psy- ab.3 563496.568051.0.568421.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0 1.1.64.psy- ab 0.0.0 0.9qNeUm3Mx9Y#imgrc=4y_rZTfFHs4gQM: https://www.google.com.vn/search?q=%E1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5ng+t%E1
Vật liệu composite nổi bật với những ưu điểm như nhẹ, chắc chắn, bền bỉ, không gỉ, chịu hóa chất và thời tiết, đánh dấu một cuộc cách mạng trong ngành vật liệu nhằm thay thế những vật liệu truyền thống Các vật liệu truyền thống thường gặp phải những nhược điểm như nặng nề (bê tông, gạch, sắt thép), dễ vỡ (sành, sứ), dễ bị mối mọt (gỗ), và chi phí bảo trì cao (sắt thép), gây khó khăn trong sản xuất và vận chuyển, đồng thời làm tăng chi phí bảo quản và sử dụng.
Để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của người dùng, việc nghiên cứu, tính toán và phân tích hành vi của tấm composite là cần thiết và phù hợp với xu hướng phát triển hiện đại.
1.1.2 Giới thiệu về phương pháp phần tử chuyển động
Trong nghiên cứu ứng xử tĩnh và động của tải trọng trên phần tử tấm, các phương pháp truyền thống như Phương pháp Phần tử Hữu hạn (FEM) thường được áp dụng Tuy nhiên, khi tải trọng di chuyển gần biên của miền phần tử hữu hạn, việc xử lý trở nên khó khăn, đặc biệt khi tải trọng vượt ra ngoài biên Hơn nữa, phương pháp này yêu cầu cập nhật liên tục vị trí của vectơ tải trọng, dẫn đến chi phí tính toán cao và thời gian giải quyết bài toán tấm kéo dài.
Trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu toàn cầu đã phát triển những phương pháp tiên tiến nhằm tạo ra công cụ phân tích hiệu quả hơn, thay thế cho các phương pháp truyền thống.
Một trong những phương pháp đó là phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method-MEM) (Hình 1.4) Điểm thuận lợi của phương pháp này là:
Tải di động không bao giờ đến biên vì phần tử được đề xuất luôn chuyển động
Tải di động sẽ không phải chạy từ phần tử này đến phần tử khác, do dó tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng
Phương pháp này cho phép sử dụng phần tử hữu hạn với kích thước không đồng nhất, điều này rất hữu ích khi các tải trọng tác động tại những điểm không cố định.
Nghiên cứu này chỉ ra rằng phương pháp MEM là lựa chọn hiệu quả để phân tích ứng xử của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt dưới tác động của tải trọng di động.
Hình 1.3 Mô hình tải trọng chuyển động, tấm cố định (FEM)
Hình 1.4 Mô hình phần tử tấm chuyển động, tải trọng cố định (MEM)
1.1.3 Đặt vấn đề nghiên cứu
Mô hình tấm composite trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng động đang được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, bao gồm nền móng tầng hầm của tòa nhà, nền đường sân bay và nền đường cao tốc Do đó, vấn đề này cần được nghiên cứu và quan tâm hơn nữa trên toàn cầu.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method - MEM) để phân tích hành vi của tấm composite đa lớp Phân tích này sẽ được thực hiện dưới tác động của tải trọng di động trên nền có độ cứng biến thiên lượng giác, dựa trên lý thuyết tấm dày, như được minh họa trong Hình 1.4.
Tính cấp thiết của đề tài
1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước
Ngành khoa học vật liệu composite đã dẫn đến nhiều nghiên cứu ứng dụng trong xây dựng, đặc biệt là trong mô hình phần tử dầm, tấm và vỏ Các nghiên cứu về ứng xử của tấm composite trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng động được ứng dụng rộng rãi trong xây dựng dân dụng và cầu đường Chúng bao gồm tính toán kết cấu móng cho tòa nhà, thiết kế và tính toán kết cấu áo đường cho đường giao thông và sân bay Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực này cho thấy sự phát triển mạnh mẽ và tiềm năng ứng dụng cao.
Trong những thập kỷ gần đây, vấn đề phân tích ứng xử của kết cấu tấm trên nền đàn hồi và đàn nhớt chịu tải trọng di động đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu toàn cầu Năm 1963, Thompson đã giả định rằng đường là tấm mỏng dài vô hạn trên nền đàn hồi để nghiên cứu ứng xử của kết cấu đường chịu tải trọng di chuyển Wu et al (1987) áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích đáp ứng của tấm phẳng dưới tải trọng di động Zaman et al (1991) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bốn nút để phân tích động lực học của tấm dày trên nền đàn nhớt Gbadeyan và Oni (1992) đã áp dụng biến đổi Fourier để phân tích tấm chữ nhật trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng di chuyển Pan và Atluri (1995) phân tích đáp ứng của đường băng có kích thước hữu hạn bằng phương pháp FEM/BEM kết hợp Kim và Roesset (1998) nghiên cứu tấm vô hạn trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng di động qua phép biến đổi Fourier Cuối cùng, Sun (2003) đã phát triển một phép biến đổi Fourier để giải quyết bài toán đáp ứng động của tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt dưới tải dao động điều hòa.
Ngoài tấm đẳng hướng, các nhà khoa học toàn cầu cũng đang nghiên cứu tấm composite trên nhiều loại nền khác nhau.
Năm 2001, nghiên cứu về ứng xử động của tấm composite laminate dưới tải trọng cơ nhiệt đã được thực hiện bằng phương pháp phần tử tứ giác tám nút Nhiều nhà khoa học, như Chien và Chen (2006), Huang và Zheng (2003), Lal et al (2008), Pirbodaghi et al (2011) và Shen (2000), đã tiến hành phân tích phi tuyến cho tấm composite trên nền đàn hồi Lee và Yhim (2004) đã kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn với lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 để nghiên cứu đáp ứng động của tấm composite dưới tải trọng di chuyển Malekzadeh et al (2010) và Zenkour et al (2013) đã tìm ra lời giải phân tích cho tấm nhiều lớp trên nền đàn hồi chịu tải cơ nhiệt Vosoughi et al (2013) đã áp dụng phương pháp DQM để phân tích tấm dày composite trên nền đàn hồi hai thông số chịu tải trọng di chuyển Để khắc phục những hạn chế của các phương pháp truyền thống trong phân tích ứng xử động của kết cấu dài vô hạn dưới tải trọng di động, phương pháp phần tử chuyển động (MEM) đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu, với Koh et al (2003) là người tiên phong trong việc áp dụng phương pháp này cho khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc.
Mô hình của Koh et al (2003) đã khắc phục những hạn chế của phương pháp FEM bằng cách cho phép tải trọng không cần phải cập nhật khi vị trí thay đổi, đồng thời hỗ trợ các phần tử hữu hạn có kích thước không đồng nhất Nghiên cứu này chỉ ra rằng phương pháp MEM là lựa chọn tối ưu cho việc phân tích động học của các kết cấu dài vô hạn dưới tác động của tải trọng di động Sự ứng dụng của phương pháp MEM đã chứng minh tính hữu ích và tiềm năng phát triển ngày càng lớn trong lĩnh vực này.
Năm 2007, Xu và cộng sự đã phát triển phương pháp phần tử chuyển động nhằm phân tích ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi khi chịu tác động của tải trọng di động.
Năm 2009, phương pháp phần tử chuyển động được áp dụng để phân tích ứng xử động của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin dưới tải trọng di động với phần tử tứ giác Ang et al (2013) đã khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc khi tàu chuyển động với vận tốc thay đổi, bao gồm cả trường hợp tăng tốc và giảm tốc Năm 2014, Ang et al tiếp tục sử dụng phương pháp này để phân tích dao động ngẫu nhiên của đường sắt cao tốc Tran et al (2014) cũng áp dụng phương pháp phần tử chuyển động để nghiên cứu động lực học của đường sắt cao tốc với vận tốc thay đổi Năm 2016, Tran et al đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trong trường hợp phanh hãm và phản ứng động lực học khi phanh đột ngột Các nghiên cứu này đều sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để phân tích ứng xử động lực học của tàu cao tốc, đặc biệt là trong các tình huống giảm tốc đột ngột.
1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước
Nghiên cứu về kết cấu sử dụng vật liệu composite đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu tại Việt Nam, với một số bài báo và nghiên cứu điển hình nổi bật.
Hồ Hữu Huy và Trần Minh Hổ (2011) đã tiến hành nghiên cứu về khả năng bọc composite cho kết cấu thép cacbon trong môi trường biển, nhằm nâng cao độ bền và khả năng chống ăn mòn của vật liệu này Nghiên cứu của Nguyễn Tấn Dũng và các cộng sự cũng đóng góp vào lĩnh vực này.
Nghiên cứu của năm 2011 đã chỉ ra giải pháp gia cường dầm bê tông cốt thép bằng tấm vật liệu composite sợi cacbon Nguyễn Xuân và cộng sự (2012) đã áp dụng các phương pháp số để phân tích tấm chức năng dựa trên lý thuyết tấm Reissner-Mindlin, sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt cho tấm đồng nhất Tran và cộng sự (2013) đã thực hiện phân tích tĩnh, ổn định và dao động tự do của tấm chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, cũng như ổn định của tấm composite FGM trên nền đàn hồi (Đỗ Nam, 2011) Ngoài ra, một số nghiên cứu khác về kết cấu tấm chịu tải trọng di động trên nền nhớt và đàn hồi cũng đã được thực hiện, trong đó có nghiên cứu của Khổng Trọng Toàn và cộng sự.
Năm 1999, nghiên cứu đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng chuyển động Nghiên cứu này đã lựa chọn mô hình cụ thể để mô phỏng bài toán thực tế và thiết lập các ma trận cơ bản trong phương trình vi phân chuyển động, bao gồm ma trận độ cứng và ma trận khối lượng Để nâng cao độ chính xác của mô hình, biến dạng cắt của tấm được xem xét theo lý thuyết tấm Mindlin.
Gần đây, Lê Xuân Đoan và cộng sự (2015) đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích chuyển vị của tấm composite trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng di chuyển Nghiên cứu này giải quyết bài toán tấm composite trong cả trường hợp tĩnh và động, cho thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn là công cụ hiệu quả trong việc phân tích ứng xử tĩnh và động của các tấm.
Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) đang được các nhà khoa học trong nước ứng dụng ngày càng nhiều trong nghiên cứu Đinh Hà Duy (2013) đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc với sự xem xét độ cong thanh ray và tương tác với đất nền Tương tự, Lương Văn Hải và cộng sự (2013) cũng đã áp dụng MEM để khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc, chú trọng đến độ cong thanh ray và tương tác với nền đất.
Năm 2014, nghiên cứu của Phạm Hùng đã phân tích ứng xử của tấm dày Mindlin trên nền đàn nhớt bằng phương pháp MEM, đánh dấu sự tiến bộ trong việc áp dụng phương pháp này cho các bài toán tấm chịu tải trọng động Ông cũng đã nghiên cứu tấm composite laminate dưới các loại tải trọng khác nhau, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Tiếp theo, Nguyễn Cửu Nhất Anh (2015) đã áp dụng phương pháp phần tử chuyển động 2-D để phân tích tấm FGM chịu tải trong di động, tập trung vào ứng xử động của kết cấu theo mô hình Reissner-Mindlin Nguyễn Hoàng Thế (2015) cũng đã nghiên cứu động lực học tấm trên nền có độ cứng biến thiên dưới tải trọng di động Gần đây, Cao Tấn Ngọc Thân et al (2015) đã phân tích ứng xử động của tấm Mindlin trên nền Pasternak với tải trọng di động, sử dụng phương pháp phần tử chuyển động, trong đó tấm được chia thành các “phần tử chuyển động” giả tưởng, tương tác với lực di chuyển trên kết cấu.
Phương pháp phần tử chuyển động MEM đã chứng minh hiệu quả trong việc giải quyết các vấn đề ứng xử động của hệ kết cấu, đồng thời mang lại nhiều ưu điểm so với các phương pháp trước đó Đất nền đóng vai trò quan trọng trong ứng xử động của hệ kết cấu, nhưng mô hình nền Winkler chỉ phản ánh một cách đơn giản hóa Do đó, cần một mô hình thực tế hơn, đặc biệt là mô hình nền không đồng nhất Luận văn này áp dụng phương pháp MEM để giải quyết bài toán tấm composite trên nền có độ cứng biến thiên theo chiều dài tấm, với mô hình nền hai thông số đàn hồi - cản nhớt biến thiên nhằm mô phỏng chính xác hơn đặc tính của lớp đất nền không đồng nhất Phương pháp MEM khắc phục những hạn chế của các phương pháp trước, cho phép giải quyết các bài toán phức tạp và phù hợp hơn với thực tế Luận văn phát triển phương pháp MEM cho bài toán khảo sát ứng xử động của tấm composite trên nền biến thiên chịu tải trọng di động, từ đó đưa ra kết luận và giải pháp thực tiễn.
Mục tiêu và hướng nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn là phân tích ứng xử của tấm composite trên nền có độ cứng biến thiên lượng giác dưới tải trọng di động, sử dụng phần tử tứ giác 9 nút chuyển động Phương pháp phần tử chuyển động được phát triển nhằm cải thiện và khắc phục những hạn chế của các phương pháp truyền thống Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong luận văn này sẽ được trình bày chi tiết.
Thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng và cản cho các phần tử tấm composite đa lớp trên nền có độ cứng biến thiên lượng giác là một ứng dụng quan trọng của phương pháp MEM Phương pháp này giúp tối ưu hóa các tính toán liên quan đến tính chất cơ học của vật liệu composite, đảm bảo độ chính xác và hiệu quả trong thiết kế.
Phát triển thuật toán lập trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình tĩnh và động của bài toán
Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của luận văn với các kết quả nghiên cứu của tác giả khác
Để khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng khác nhau đến ứng xử của tấm composite đa lớp, chúng ta thực hiện các ví dụ số cụ thể Qua đó, có thể rút ra những kết luận quan trọng về tính chất và hiệu suất của vật liệu này.
Cấu trúc luận văn
Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm composite đa lớp chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài
Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích động lực tấm composite đa lớp trên nền có độ cứng biến thiên lượng giác chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động
Chương 3: Trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán
Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Phụ lục: một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết tấm chịu uốn
Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước hai phương còn lại
Mặt phẳng cách đều hai mặt bên trên và dưới của tấm được gọi là mặt trung bình của tấm
Khi tấm bị uốn, mặt trung bình sẽ bị cong, và giao tuyến giữa mặt trung bình và các mặt biên của tấm được gọi là cạnh biên hoặc chu vi của tấm.
Kết cấu tấm là một yếu tố quan trọng trong xây dựng, được ứng dụng phổ biến cho các loại tấm sàn, panel, tấm lợp nhà công nghiệp, nền đường ô tô và đường băng Dựa vào trạng thái ứng suất, tấm có thể được phân thành ba loại chính.
Tấm dày (tấm Reissner - Mindlin) là loại tấm có trạng thái ứng suất ba trục được xác định theo bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Đặc điểm nổi bật của tấm dày là tỉ lệ giữa chiều dày và kích thước cạnh ngắn là 1.
Tấm mỏng, hay còn gọi là tấm Kirchhoff, là loại tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất uốn khi chịu tác động của tải trọng ngang Đặc điểm của tấm này là tỷ lệ giữa chiều dày và kích thước cạnh ngắn đạt giá trị lớn hơn 1.
Tấm có chuyển vị lớn, hay còn gọi là lý thuyết màng, được đặc trưng bởi sự xuất hiện của các ứng suất uốn cùng với các ứng suất kéo hoặc nén lớn trong mặt phẳng trung bình Những ứng suất màng này có ảnh hưởng đáng kể đến moment uốn của tấm.
Tấm thuộc loại này khi max
Cơ sở lý thuyết tấm được chia làm 3 loại phổ biến như sau:
Lý thuyết tấm cổ điển (CPT) khẳng định rằng, trong quá trình biến dạng, pháp tuyến của tấm vẫn giữ nguyên tính thẳng và vuông góc với mặt trung hòa của tấm.
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-order Shear Deformation Theory- FSDT): pháp tuyến tấm vẫn thẳng nhưng nó bị xoay thêm một góc x
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) là một phương pháp tiên tiến trong phân tích cấu trúc, cho phép mô hình hóa chính xác hơn các biến dạng của tấm HSDT thừa nhận rằng, sau khi bị biến dạng, pháp tuyến của tấm không còn giữ hình dạng thẳng và không còn vuông góc với mặt trung hòa của tấm, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của tấm dưới tác động lực.
Theo các giả thiết đã nêu, có thể thấy rằng lý thuyết CPT tuy đơn giản nhưng chỉ phù hợp với kết cấu tấm mỏng Lý thuyết HSDT mang lại độ chính xác cao hơn CPT và FSDT, tuy nhiên, việc thiết lập công thức phức tạp dẫn đến chi phí tính toán tăng cao Trong khi đó, lý thuyết FSDT có tính đơn giản nhưng lại gặp hiện tượng khóa cắt, gây ra sự không chính xác trong phân tích ứng xử của tấm khi chiều dày tấm giảm.
Trong bài viết này, lý thuyết FSDT được áp dụng để phân tích hành vi của tấm composite đa lớp trên nền có độ cứng biến thiên, chịu tác động của tải trọng động, nhằm đơn giản hóa quá trình tính toán.
Dạng yếu bài toán ứng xử của tấm composite đa lớp trên nền đàn nhớt dựa trên lý thuyết đồng nhất hóa tấm
Mô hình tấm composite đa lớp trên nền đàn nhớt được xem như một tấm dài vô tận không có điều kiện biên Mô hình này mô phỏng thành phần đàn hồi của nền bằng các lò xo trải đều trên bề mặt phần tử tấm, với hệ số độ cứng nền k f Đồng thời, thành phần nhớt của nền được mô hình hóa bằng cản nhớt cũng phân bố trên bề mặt phần tử tấm, đặc trưng bởi hệ số cản nền c f Mặt phẳng trung hòa của tấm được chọn làm mặt phẳng tham chiếu, xác định miền hình học của mô hình tấm.
Hình 2.1 Mô hình tấm composite tựa trên nền đàn nhớt
2.2.1 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị
Tấm composite đa lớp chịu biến dạng uốn được minh họa qua Hình 2.2 và Hình 2.3, trong đó mặt giữa tấm được chọn làm mặt phẳng tham chiếu Dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm có thể được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên mặt trung hòa.
Trong đó, u = {u₀, v₀, w₀, βₓ, βᵧ} là trường chuyển vị tại một điểm trên mặt trung hòa của tấm, với u₀, v₀ và w₀ là các thành phần chuyển vị theo phương x, y, z Hai góc xoay βₓ và βᵧ xung quanh trục Oy và Ox tại mặt phẳng tham chiếu được định nghĩa với chiều dương như trong Hình 2.2.
Hình 2.2 Mô hình tấm dày Reissner – Mindlin
Hình 2.3 Trạng thái ban đầu và biến dạng hình học của một cạnh tấm theo phương x dưới giả định của lý thuyết tấm bậc nhất
2.2.2 Ứng suất của tấm và mối quan hệ ứng suất - biến dạng
Trường biến dạng của tấm được tính bởi:
Công thức được viết lại dưới dạng biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt như sau:
Trong lý thuyết tấm trực hướng, ứng suất tại lớp thứ k được đưa ra từ định luật
0 0 0 k k k x x yy yy xy xy xz xz yz yz
Với các hằng số vật liệu được tính như sau:
(2.8) trong đó E 1 , E 2 là module đàn hồi Young theo hướng trục x ; G 12 , G 23 , G 13 là module trượt trong mặt phẳng x y y, z z, x và v ij là hệ số Poisson
Tấm composite đa lớp được cấu tạo từ nhiều lớp ghép chồng lên nhau theo phương hướng trực tiếp, với mỗi lớp có cấu trúc sợi hoặc phương cơ bản khác nhau.
Để nghiên cứu ứng xử đàn hồi của vật liệu, cần chọn một hệ quy chiếu chung cho cả vật liệu và biến đổi ứng xử của từng lớp Thông thường, trục vật liệu không trùng với trục hình học, dẫn đến mối quan hệ ứng suất biến dạng tại lớp k có dạng đặc thù so với mặt phẳng tham chiếu.
0 0 0 k k k x x yy yy xy xy xz xz yz yz
Tấm composite đa lớp gia cường sợi một phương được cấu trúc theo hệ trục vật liệu (x1, x2, x3) và hệ trục tọa độ tổng thể (x, y, z), trong đó Qij đại diện cho hằng số vật liệu biến đổi của lớp thứ k.
( 4 )sin cos (sin cos ) sin 2( 2 )sin cos cos
( 2 2 )sin cos (sin cos ) cos sin
(2.10) trong đó là góc nghiêng giữa hướng sợi và trục x tổng thể
2.2.3 Phương trình năng lượng của tấm
Phương trình dạng yếu Galerkin cho phân tích đáp ứng động lực học của tấm composite có dạng:
(2.11) trong đó ε p ε m κ ; q 0 0 q x y ( , ) 0 0 T , với q x y ( , ) là tải phân bố, m là ma trận hằng số khối lượng bao gồm khối lượng riêng và bề dày h của tấm
m (2.12) và D , D s là ma trận hằng số vật liệu được cho bởi:
3 k k k k k k n z k n k m ij k k ij k z k n z k n i ij ij mb k k k z k n z k n i b ij k k k z k
Nền có độ cứng biến thiên lượng giác
Mô hình nền đàn nhớt bao gồm các lò xo đàn hồi với độ cứng k_f và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số c_f, phân bố trên bề mặt tấm Đối với nền có độ cứng biến thiên lượng giác, sự thay đổi đặc tính độ cứng dọc theo chiều dài tấm được giả định theo một quy luật nhất định.
Phương trình (2.15) mô tả mối quan hệ giữa tọa độ tổng thể tâm phần tử tấm (x) và đặc tính độ cứng nền (k f), trong đó k 01 là giá trị hằng số tương ứng Hệ số tương quan (α) có giá trị từ 0 đến 1, và tần số riêng (ω f) được xác định bằng nπ / L, phản ánh mức độ biến thiên của độ cứng nền.
Hình 2.5 Mô hình tấm trên nền có độ cứng biến thiên lượng giác
2.4 Thiết lập công thức phần tử chuyển động của tấm composite đa lớp trên nền biến thiên lượng giác
Bài luận văn này tập trung nghiên cứu tấm composite đa lớp dưới tác động của tải trọng động Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không đổi V Bằng việc áp dụng phương pháp phần tử di động MEM, hệ tọa độ chuyển động được xây dựng gắn liền với tải trọng di động, cho phép hệ tọa độ này di chuyển đồng thời với vận tốc V của lực tác động.
Hình 2.6 Mô hình tải trọng di chuyển trên tấm theo phương x
Mối quan hệ giữa tọa độ chuyển động rvà tọa độ cố định x được xác định như sau: r x Vt r V t s y
Trong bài viết này, trục không gian ban đầu được xác định bởi các ký hiệu (x, y), trong khi trục chuyển động được ký hiệu là (r, s) Vận tốc và thời gian di chuyển của tải trọng theo phương x được ký hiệu lần lượt là V và t.
Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa độ chuyển động được biểu diễn như sau:
(2.18) Đạo hàm bậc nhất và bậc 2 các chuyển vị theo theo gian t thu được:
Tại thời điểm t miền bài toán trong hệ tọa độ cố định là
hay Vt b Vt 0 a Tuy nhiên, trong hệ tọa độ chuyển động r s , miền này là 0 b 0 a , trong đó a b, là kích thước tấm, d dr ds
Khi đó công nội ảo trong hệ tọa độ chuyển động được xác định như sau :
Biến dạng màng, uốn và cắt lần lượt là:
N hàm dạng phụ thuộc vào phần tử chọn để phân tích:
N ,r là đạo hàm riêng của N đối với r;N ,rr là đạo hàm riêng cấp 2 của N đối với r
d N N d N N d (2.26) với N w r , là đạo hàm riêng của N w đối với r
u q d N q (2.27) thay vào phương trình (2.11) thu được:
Phương trình chuyển động của hệ
Phương trình tổng quát chuyển động của phần tử tấm có dạng như sau:
Từ biểu thức(2.28) thu được:
K (2.33) Đối với bài toán phân tích tĩnh, phương trình (2.29) được viết lại thành:
Ku P (2.34) Đối với bài toán dao động tự do không cản của kết cấu, phương trình (2.29) trở thành:
Bằng cách xem các dao động là điều hòa với tần số góc và biên độ được xác định:
Phương trình dao động tự do không cản dẫn đến bài toán trị riêng có dạng:
Phương trình này được gọi là trị riêng, là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Nó sẽ có nghiệm không tầm thường đối với u khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác không.
Định thức K - M = 0 cho phép chúng ta thiết lập một phương trình đại số bậc n đối với ², từ đó tìm ra n nghiệm thực dương, tương ứng với n giá trị dương của Mỗi giá trị tần số riêng i (i = 1 đến n) sẽ dẫn đến việc xác định véctơ riêng u i, biểu diễn biên độ giao động của các nút Những véctơ này được gọi là dạng dao động (mode shape) của hệ kết cấu tương ứng với từng tần số riêng.
Phần tử đẳng tham số
2.6.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biên là các đường cong hay mặt cong, việc chỉ sử dụng phần tử một chiều thẳng hoặc các phần tử hai chiều như tam giác, tứ giác hay các phần tử ba chiều không đảm bảo độ chính xác của kết quả Do đó, cần phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ với các biên cong, gọi là phần tử có biên cong hay phần tử đẳng tham số (izoparametric element) Khái niệm này dựa trên phép biến đổi từ phần tử chuẩn (master element) trong hệ tọa độ tự nhiên Ors thành phần tử thực có dạng tùy ý trong tọa độ vuông góc Oxy Việc phát triển phần tử hữu hạn cho tấm đã được các nhà khoa học triển khai rộng rãi Trong luận văn này, tác giả sử dụng phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element - Q9) thuộc loại đẳng tham số với các hàm nội suy song tuyến tính (bilinear interpolation function) để mô hình hóa bài toán khảo sát.
2.6.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đảng tham số Q9
Rời rạc hóa miền bài toán Ω thành N e phần tử tứ giác chín nút Q 9 sao cho
Hình 2.7 Phần tử tứ giác Q 9 nút trong hệ tọa vuông góc
Để thuận tiện cho việc chuẩn hóa các tọa độ trong các phép tính tích phân sau này, ta quy định rằng cạnh 1-2 có s = -1, cạnh 3-4 có s = 1, cạnh 1-4 có r = -1 và cạnh 2-3 có r = 1.
Hình 2.8 Phần tử tứ giác 9 nút trong hệ tọa độ tự nhiên
Dạng hình học của phần tử được cho bởi tổ hợp tuyến tính:
(2.39) với x y i , i là tọa độ của nút thứ i i 1 9 trong hệ tọa độ tổng thể x y ,
Các hàm dạng để nội suy của phần tử Q 9 được xác định bởi:
Véctơ chuyển vị nút của một điểm bất kỳ trong phần tử tứ giác 9 nút được xác định thông qua các hàm dạng của 9 nút và công thức tương ứng.
u N d (2.41) trong đó N là vectơ hàm dạng:
Véctơ chuyển vị nút phần tử gồm 45 thành phần được xác định như sau:
Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ được định nghĩa như sau:
Quan hệ giữa các đạo hàm của các hàm dạng N i trong tọa độ tự nhiên Ors và trong tọa độ tổng thể Oxy được cho bởi:
J (2.48) Định thức của ma trận Jacobi được dùng trong công thức tích phân chuyển đổi như sau :
Tích phân số - Phép cầu phương Gauss
Mặc dù một số tích phân có thể giải được bằng phương pháp giải tích, nhưng việc áp dụng cho các hàm phức tạp là rất khó khăn, đặc biệt khi r và s thay đổi theo đường cong Thực tế, công thức này thường được tính bằng phương pháp số, sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phần tử Các quy tắc cầu phương trong mặt phẳng thường có dạng nhất định.
(2.50) trong đó r s i , j là tọa độ điểm nằm trong phần tử; w w i , j là các trọng số tương ứng ; n là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương
Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm
, f r s là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 2 n 1
Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss
Khi đó véctơ lực, ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng phần tử được viết lại lần lượt như sau:
Giải pháp thực hiện
Hiện nay, có nhiều phương pháp để giải phương trình chuyển động trong động lực học kết cấu, chủ yếu là hệ phương trình vi phân thường cấp 2 Các phương pháp này được chia thành hai nhóm chính: phương pháp giải tích và phương pháp số Phương pháp giải tích cung cấp nghiệm dưới dạng biểu thức cho các chuyển vị, vận tốc và gia tốc, trong khi phương pháp số tìm ra nghiệm dưới dạng giá trị số cho các đại lượng này tại các thời điểm khác nhau Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng cần được đánh giá kỹ lưỡng.
Các phương pháp giải tích chỉ khả thi với các hệ kết cấu có phương trình chuyển động đơn giản do hạn chế toán học trong việc giải các phương trình vi phân Do đó, những phương pháp này chỉ phù hợp để tìm nghiệm cho các hệ kết cấu ít bậc tự do trong các mô hình lý thuyết, dẫn đến việc chúng ít có ý nghĩa thực tiễn và hầu như không được ứng dụng rộng rãi.
Các phương pháp số hiện nay được ưa chuộng trong việc tìm giá trị nghiệm tại các thời điểm rời rạc trên toàn miền thời gian nhờ vào khả năng giải quyết đa dạng các phương trình chuyển động, từ đơn giản đến phức tạp Những phương pháp này tương thích với nhiều dạng kết cấu khác nhau, đồng thời tận dụng hiệu quả sức mạnh tính toán nhanh chóng của máy vi tính, đảm bảo độ chính xác của nghiệm ở mức thỏa đáng.
Phương pháp số trong giải phương trình chuyển động trong động lực học kết cấu đang thu hút sự quan tâm lớn từ các nhà khoa học Nhiều nghiên cứu và bài báo đã được công bố gần đây, cho thấy đây là một hướng nghiên cứu thời sự trong lĩnh vực này Khi áp dụng phương pháp số, các đại lượng như chuyển vị, vận tốc và gia tốc phụ thuộc vào thời gian và có giá trị khác nhau tại các thời điểm Nghiệm số được xác định dưới dạng giá trị rời rạc tại các thời điểm 0, ∆t, 2∆t, với ∆t là bước thời gian.
Vào năm 1959, Newmark đã giới thiệu phương pháp Newmark β dạng ẩn để giải quyết phương trình chuyển động, đánh dấu bước khởi đầu cho nghiên cứu giải phương trình chuyển động trong bài toán kết cấu Newmark đánh giá rằng phương pháp này có tính ứng dụng cao, và một số tài liệu còn gọi nó là phương pháp tích phân trực tiếp từng bước, chỉ khảo sát hai trường hợp đơn giản nhất là phương pháp gia tốc trung bình 1.
4 và phương pháp gia tốc tuyến tính 1
Phương pháp gia tốc trung bình được đánh giá là có độ chính xác vừa phải và ổn định không điều kiện cho hệ tuyến tính, trong khi phương pháp gia tốc tuyến tính mang lại độ chính xác tốt hơn nhưng lại có tính ổn định có điều kiện trong hệ tuyến tính.
Cuối thập niên 70, các phương pháp mới dựa trên phương pháp Newmark đã được phát triển bởi các tác giả tại Đại học Berkeley, bao gồm phương pháp Wilson, HHT và HHθ, nhằm cải thiện độ chính xác và ổn định Những tác giả này cũng là người sáng lập phần mềm SAP 2000, nổi tiếng trong phân tích kết cấu, trong đó thuật toán Newmark được áp dụng từ các phiên bản SAP IV đến SAP 90, và phiên bản SAP 2000 mới ra mắt vào khoảng năm 2007 đã tích hợp thêm các phương pháp Wilson và HHT cho người dùng lựa chọn Ngoài SAP 2000, các phần mềm phân tích kết cấu khác như ETABS, SAMCEF, và ANSYS cũng sử dụng thuật toán Newmark trong mô đun phân tích động lực học, với lý thuyết chi tiết được trình bày trong hướng dẫn sử dụng Gần đây, nhiều phương pháp số dạng ẩn đã được nghiên cứu để giải phương trình chuyển động trong bài toán kết cấu, tuy nhiên, chúng vẫn chỉ là sự hiệu chỉnh các thông số của các phương pháp trước đó và đang trong giai đoạn thử nghiệm.
Phương pháp Newmark
Luận văn áp dụng phương pháp số Newmark để giải bài toán chuyển động, với ý tưởng suy ra giá trị tại thời điểm i+1 từ giá trị đã biết tại thời điểm i, dựa trên các giả thiết về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước thời gian Phương pháp Newmark cung cấp hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị.
Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc qua từng bước thời gian, ta có thể suy ra biểu thức của vận tốc và chuyển vị thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Các giá trị của vận tốc và chuyển vị được xác định bởi các phương trình tương ứng.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét công thức (2.52), trong đó độ lớn của bước thời gian được ký hiệu là t Gia tốc tại các thời điểm t và t + t được ký hiệu lần lượt là u i và u i + 1, tương ứng với chỉ số i và i + 1.
Thay hai phương trình trong (2.52) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i1 như sau:
Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian u i 1 có dạng:
M u P (2.54) với M eff là khối lượng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian chúng được xác định bởi các biểu thức sau:
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.55) cho phép xác định giá trị gia tốc tại cuối bước thời gian, ký hiệu là u i 1 Sau khi tìm được gia tốc này, ta thay vào phương trình (2.53) để suy ra giá trị vận tốc u i 1 và chuyển vị u i 1 tại thời điểm i1.
Một phương pháp khác để giải phương trình chuyển động theo phương pháp Newmark là không sử dụng cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụng \( M_{eff} \) như trong dạng gia tốc, mà thay vào đó là nghịch đảo ma trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị, do đó phương pháp này được gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình.
Từ hai phương trình trong (2.55), suy ra biểu thức của gia tốc u i 1 và vận tốc
1 u i tại thời điểm cuối của bước thời gian i1 theo các đại lượng còn lại như sau:
Thay hai phương trình trong (2.55) vào phương trình chuyển động đã rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số i+1, sẽ thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian.
K_u_P (2.57) là độ cứng hiệu dụng (K_eff) và tải trọng hiệu dụng (P_eff) trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị Các giá trị này được xác định thông qua các biểu thức cụ thể dưới đây.
Giải phương trình đại số tuyến tính (2.59) cho phép xác định giá trị chuyển vị tại bước thời gian u i+1 Sau đó, thay giá trị chuyển vị u i+1 vào các phương trình (2.53) để suy ra vận tốc u̇ i+1 và gia tốc ü i+1.
Thuật toán sử dụng trong Luận văn
Phương pháp gia tốc trung bình không chỉ đơn giản trong tính toán mà còn mang lại độ ổn định và chính xác cao Vì vậy, các bài toán phân tích đáp ứng động trong luận văn sẽ được thực hiện dựa trên phương pháp này.
Các bước tiến hành trong luận văn như sau:
Để xác định dữ liệu cho bài toán, cần xem xét các thông số kết cấu của tấm composite đa lớp có kích thước hình vuông (a, h), trọng lượng riêng ρ, số lớp tấm và hướng sợi của từng lớp, cùng với các thông số như module đàn hồi E, G và hệ số Poisson ν Bên cạnh đó, cần xác định các thông số của nền đàn nhớt, bao gồm hệ số độ cứng k_f và hệ số cản c_f Cuối cùng, các loại tải trọng cần được xem xét bao gồm tải phân bố đều q, tải hình sin q_0, tải tập trung P và tải trọng di động, trong đó có trọng lượng tải trọng.
P m và vận tốc di chuyển của tải trọng V
Bảng 2.2 Thông số kết cấu tấm composite đa lớp
Số lớp và hướng sợi
Bảng 2.3 Thông số nền đàn nhớt
Hệ số cản của nền (N.s/m 3 ) k f (z) c f
Bảng 2.4 Thông số các loại tải trọng
Thiết lập các ma trận khối lượng M, ma trận độ cứng K, ma trận cản C của kết cấu tấm và nền bằng cách ghép nối ma trận
Xác định ma trận tải trọng tác dụng lên tấm cần khảo sát Sau đó thiết lập phương trình chuyển động và chọn bước thời gian ∆t
Nhập điều kiện ban đầu u u 0 , 0 và 0 0 0 0 u = M -1 P - Cu - Ku
Rời rạc hóa véctơ tải trọng theo biến thời gian
Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân Newmark nhằm tìm chuyển vị của tấm composite đa lớp trên nền biến thiên lượng giác Bài toán được thực hiện thông qua việc xuất kết quả, vẽ biểu đồ và lập bảng thống kê để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị Từ những phân tích này, chúng ta sẽ rút ra nhận xét, đánh giá và đưa ra kết luận về tác động của các yếu tố đến chuyển vị của tấm composite.
2.10.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị
Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng theo (2.55)
Tính véctơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i+1 theo (2.55)
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.54) để tìm gia tốc tại thời điểm i+1 là u i 1
Tìm các giá trị vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i +1 theo các phương trình (2.52)
2.10.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc
Xác định ma trận độ cứng hiệu dụng theo (2.58)
Tính véctơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i 1 theo (2.59)
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.57) để tìm chuyển vị tại thời điểm i 1 là u i 1
Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i 1 theo các phương trình
2.10.4 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark
Như đã đề cập trong mục 2.9, phương pháp Newmark với 1
4 còn gọi là phương pháp gia tốc trung bình cho sự ổn định không điều kiện và độ chính xác tốt
Do đó, luận văn này sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình với
4 để giải bài toán Sự hội tụ sẽ được tiến hành kiểm tra trong luận văn
Trong luận văn này sử dụng phương pháp Newmark và ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản (R2015a) để tìm nghiệm dạng chuyển vị.
Lưu đồ tính toán
Nhập thông số đầu vào: thông số tấm, số lớp, hướng sợi,…
Chọn bước thời gian giải t
Xác định chuyển vị, vận tốc và gia tốc ban đầu và
Rời rạc hóa phần tử tấm Thiết lập các hàm dạng Thiết lập M e , C e , K e
Giả thiết chuyển vị, vận tốc và gia tốc ở thời điểm kế tiếp và
Mô phỏng tải trọng tác dụng lên tấm trong hệ tọa độ MEM Đúng Tính K eff và P eff
Giải hệ phương trình chuyển vị tìm ,
So sánh , với giải thiết ban đầu có nhỏ hơn giới hạn cho phép
VÍ DỤ SỐ
Phân tích tấm composite đa lớp chịu tác dụng tĩnh
3.1.1 Bài toán 1: Tấm biên tựa chịu tải phân bố đều
Tấm composite đa lớp hình vuông có kích thước cạnh a và bề dày h, được biên gối tựa trên bốn cạnh (SS-SS-SS-SS) và chịu tải phân bố đều q=1(N/m) ở mặt trên.
(Hình 3.1) Các loại tấm được phân tích là: tấm 3 lớp (0 0 /90 0 /0 0 ), 4 lớp
Các lớp tấm được cấu tạo từ cùng loại vật liệu với các thông số vật liệu như sau: E1 = 25E2; G12 = G13 = 0.5E2; G23 = 0.2E2; v12 = 0.25 Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, các mức lưới của tấm được sử dụng cho phân tích bao gồm 4x4, 6x6, 10x10, 16x16 và 20x20.
Luận văn này so sánh kết quả giữa phương pháp phần tử chuyển động MEM và phương pháp phần tử hữu hạn FEM Sự chuyển vị tại vị trí đặt lực của hai phương pháp được thể hiện qua lưới chia phần tử trong Hình 3.2 và Bảng 3.1.
Hình 3.2 Sự hội tụ độ võng không thứ nguyên w * 100E wh 2 3 / qa 4 tại tâm của tấm 4 lớp (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) chịu tải phân bố đều
Kết quả phân tích cho thấy rằng khi lưới chia của phần tử càng mịn, thì các giá trị nghiệm chuyển vị càng gần nhau và hội tụ về một giá trị nhất định.
Phương pháp phần tử chuyển động MEM FEM mang lại khả năng phân tích với độ chính xác cao và hội tụ nhanh chóng.
Bảng 3.1 Sự hội tụ độ võng không thứ nguyên w * 100E wh 2 3 / qa 4 tại tâm của tấm chịu tải phân bố đều ứng với các góc hướng sợi
Góc hướng sợi a/h Phương pháp
Lưới phần tử Sai số giữa lưới 16x16 và 20x20 (%) 4x4 6x6 10x10 16x16 20x20
Kết quả khảo sát cho thấy sự khác biệt về chuyển vị giữa lưới phần tử 16x16 và 20x20 là 1.15%, cho thấy lưới 16x16 đủ chính xác mà không tốn quá nhiều thời gian Tác giả đã áp dụng phương pháp MEM với lưới phần tử 16x16 để phân tích và so sánh với các kết quả đã được công bố.
Bảng 3.2 trình bày kết quả chuyển vị tại tâm tấm thông qua phương pháp phần tử chuyển động MEM, so sánh với các nghiên cứu trước đây Hình 3.3 cho thấy kết quả của phương pháp MEM gần như trùng khớp với kết quả của Reddy (1997), khẳng định tính đáng tin cậy của phương pháp phần tử chuyển động MEM.
Bảng 3.2 Độ võng không thứ nguyên w * 100 E wh 2 3 / qa 4 tại tâm của tấm chịu tải phân bố đều
Kết quả thực hiện Kết quả đã công bố Sai số so với Reddy
Phan Dao et al (2013) FEM-T3
Phan Dao et al (2013) FEM-Q4
Hình 3.3 Bảng So sánh độ võng không thứ nguyên w * giữa các phương pháp
3.1.2 Bài toán 2: Tấm biên tựa chịu tải hình sin
Tấm composite đa lớp hình vuông có kích thước và cấu tạo vật liệu tương tự như ví dụ 3.1.1, với biên gối tựa trên bốn cạnh (SS-SS-SS-SS) và chịu tải phân bố hình sin.
ở mặt trên tấm (Hình 3.4) Mức lưới của tấm được sử dụng để phân tích là 16x16
Mô hình tấm chịu tải phân bố hình sin được khảo sát trong bài viết này, tập trung vào tải trọng hình sin tác động lên tấm composite đa lớp Tác giả áp dụng phương pháp MEM để phân tích và so sánh với các kết quả đã công bố Kết quả từ Bảng 3.3 và Hình 3.5 cho thấy sai số của phương pháp MEM là rất thấp so với phương pháp của Reddy (1997) Điều này khẳng định rằng phương pháp MEM, kết hợp với phần tử tứ giác 9 nút, luôn mang lại kết quả tối ưu và độ chính xác cao.
Bảng 3.3 Độ võng không thứ nguyên w * 100 E wh 2 3 / qa 4 tại tâm của tấm chịu tải hình sin
Kết quả thực hiện Kết quả đã công bố Sai số so với Reddy
Phan Dao et al (2013) FEM-T3
Phan Dao et al (2013) FEM-Q4
Hình 3.5 So sánh độ võng không thứ nguyên w * giữa các phương pháp
3.1.3 Bài toán 3: Tấm biên ngàm chịu tải tập trung trên nền đàn hồi và nền không đàn hồi
Xét 1 tấm composite đa lớp hình vuông đặt trên nền đàn hồi có hệ số độ cứng nền
Bài viết phân tích tấm chịu tải trọng với các thông số như độ cứng kf = 10 (N/m), kf2 = 0 (không có nền), kích thước cạnh a = 20m và bề dày h = 0.5m Tấm chịu tác dụng của tải tập trung P = 1000N đặt ở tâm và được biên ngàm trên bốn cạnh (C-C-C-C) Các loại tấm được nghiên cứu bao gồm tấm 3 lớp (0°/90°/0°) và tấm 4 lớp.
(0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) Các lớp tấm cấu tạo từ cùng loại vật liệu với thông số vật liệu được cho bởi: E 2 1 10 N/m ; 9 2 E 1 20E 2 ; G 12 0.6E 2 ; G 13 0.6E 2 ;G 23 0.5E 2 ;
12 0.25 v ; 2550(kg / m 3 ) Các mức lưới của tấm được sử dụng để phân tích là 8x8, 10x10, 12x12, 14x14, 16x16, 20x20
Bài viết này phân tích ứng xử của tấm composite với cấu trúc nhiều lớp (3 lớp, 4 lớp) khi đặt trên nền đàn hồi và chịu tác động của lực tập trung P tại tâm tấm Phương pháp MEM được áp dụng để thực hiện phân tích này.
Bảng 3.4 và Hình 3.7 minh họa sự chuyển vị của tấm tại điểm tác động lực trên nền đàn hồi với hệ số k_f = 1 x 10^7 (N/m) và trường hợp không có nền (k_f = 0) Kết quả cho thấy tấm đặt trên nền đàn hồi có chuyển vị tại tâm tấm nhỏ hơn so với trường hợp không có nền Nguyên nhân là do tấm được hỗ trợ bởi hệ nền, tạo ra phản lực tương tác khi chịu tác động của ngoại lực.
Bảng 3.4 Chuyển vị (x10 -6 m) tại tâm của tấm composite đa lớp chịu tải trọng tập trung P
Góc hướng sợi Mức lưới
Hình 3.7 thể hiện chuyển vị của tấm (0 0 /90 0 /90 0 /0 0) dưới tác động của tải trọng tập trung trên nền đàn hồi và nền không đàn hồi với lưới phần tử 20x20 Hình 3.8 và Hình 3.9 mô phỏng chuyển vị của tấm tại điểm đặt lực khi đặt trên nền đàn hồi với kf = 1 × 10^7 (N/m^3) và trường hợp không có nền (kf = 0) Bài toán này chứng minh tầm quan trọng của hệ nền trong việc ảnh hưởng đến ứng xử của tấm khi chịu tải trọng bên ngoài.
Chiều dài tấm theo phương x(m) kf^7 kf=0
Hình 3.8 Mô hình 3D Chuyển vị tấm (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) biên ngàm chịu tải tập trung trên nền có k f 1 1 10 7 N / m 3 (nền đàn hồi) với mức lưới phần tử 20x20
Hình 3.9 Mô hình 3D Chuyển vị tấm (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) biên ngàm chịu tải tập trung trên nền có k f 2 0 (không có nền) với mức lưới phần tử 20x20
Phân tích dao động tự nhiên tấm
3.2.1 Bài toán 4: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số module E 1 /E 2
Xét tấm composite đa lớp có hướng sợi (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ), tỉ số cạnh và bề dày tấm là
/ 5 a h , biên tựa đơn (SS-SS-SS-SS) (Hình 3.10) Đặc tính vật liệu tấm được cho bởi tỉ số E 1 /E 2 thay đổi theo các giá trị 10, 20, 30, 40; G 12 0.6E 2 ; G 13 0.6E 2 ;
G E v 12 0.25; 1 Các mức lưới của tấm được chia để phân tích là 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15
Mô hình tấm 4 cạnh tựa đơn (SS-SS-SS-SS) được khảo sát để kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp MEM trong phân tích dao động tự nhiên của tấm composite đa lớp Tác giả áp dụng phương pháp MEM để phân tích và so sánh kết quả với các nghiên cứu đã được công bố trước đó.
Bảng 3.5 trình bày tần số dao động tự nhiên của tấm theo dạng dao động thứ nhất bằng phương pháp MEM, cho thấy sai số rất nhỏ khi so sánh với các phương pháp khác đã công bố Điều này xác nhận rằng phương pháp phần tử chuyển động MEM kết hợp với phần tử tứ giác 9 nút là một phương pháp hiệu quả và đáng tin cậy trong phân tích dao động tự nhiên của tấm Hình 3.11 minh họa ảnh hưởng của tỉ số E1/E2 theo phương pháp MEM so với kết quả chính xác của Reddy (1997), cho thấy rằng khi lưới được chia càng mịn, phương pháp MEM càng gần với lời giải chính xác Sự chia nhỏ các phần tử trong lưới giúp tăng cường khả năng liên kết, từ đó mô hình trở nên gần gũi hơn với kết cấu thực tế.
Bảng 3.5 Tần số dao động không thứ nguyên * a 2 / h / E 2 của tấm
Hình 3.11 Sự ảnh hưởng tỉ số E 1 / E 2 của phương pháp MEM so với kết quả giải tích của Reddy (1997)
3.2.2 Bài toán 5: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số cạnh và bề dày tấm
Xét tấm composite đa lớp với cấu trúc (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) và tỉ số E 1 /E 2 = 40, biên tựa đơn (SS-SS-SS-SS) như trong Hình 3.10 Nghiên cứu được thực hiện để khảo sát tần số dao động tự nhiên của tấm, dựa trên tỉ số cạnh và bề dày tấm là a/h, với mức lưới phần tử khảo sát là 15x15.
Bài viết này khảo sát độ tin cậy của phương pháp MEM trong phân tích dao động tự nhiên của tấm, đồng thời đánh giá ảnh hưởng của tỷ số cạnh và bề dày tấm đến dao động tự nhiên Tác giả áp dụng phương pháp MEM và tiến hành so sánh với các kết quả đã được công bố trước đó.
Tần số dao động của dạng dao động thứ nhất trong phương pháp MEM được trình bày trong Bảng 3.6 Bảng này cũng cho thấy sai số tần số dao động của phương pháp MEM so với các phương pháp khác đã được công bố.
Nghiệm của phương pháp MEM trong Bảng 3.7 cho thấy kết quả gần như trùng khớp với kết quả của phương pháp p-Ritz (Liew, 1996), tương ứng với tỷ số cạnh và bề dày tấm là a/h.
Bảng 3.6 Tấm composite đa lớp (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ): tần số dao động không thứ nguyên
Bảng 3.7 Sai số (%) chuyển vị của các phương pháp so với phương pháp MEM, với tấm composite laminate (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) có tỉ số a/h0
Phương pháp a/h0 Sai số với MEM
Theo lý thuyết HOIL, tỉ số a h có ảnh hưởng rõ rệt đến tần số dao động tự nhiên của tấm, như thể hiện trong Hình 3.12 Kết quả từ các phương pháp nghiên cứu cho thấy sự tương đồng cao Đặc biệt, tấm càng mỏng thì tần số dao động tự nhiên càng lớn.
Hình 3.12 So sánh tần số dao động không thứ nguyên * giữa các phương pháp
3.2.3 Bài toán 6: Khảo sát các dạng dao động của tấm
Bài viết này khảo sát tấm composite đa lớp với cấu trúc (0 0 /90 0 /0 0 ) và biên ngàm 4 cạnh (C-C-C-C), sử dụng các thông số vật liệu như trong ví dụ 3.2.1 với tỉ số E1/E2 = 40 Mục tiêu là phân tích tần số dao động tự nhiên của tấm theo các dạng dao động khác nhau và theo tỉ số cạnh trên bề dày tấm a/h Hệ lưới phần tử được áp dụng trong nghiên cứu là 15x15.
Hình 3.13 Mô hình tấm composite 4 cạnh ngàm (C-C-C-C)
Bài toán khảo sát nhằm kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp MEM trong phân tích dao động tự nhiên của tấm Tác giả đã áp dụng phương pháp MEM để so sánh với các kết quả đã công bố trước đó Bảng 3.8 trình bày tần số dao động tự nhiên của tấm biên ngàm trong năm dạng dao động đầu tiên, dựa trên các tỉ lệ chiều dài/bề dày khác nhau, sử dụng phương pháp MEM và các kết quả đã công bố Kết quả cho thấy lời giải từ phương pháp MEM rất phù hợp với các nghiên cứu trước đó, với sai số nhỏ, được thể hiện chi tiết trong Hình 3.14 Hình 3.15 mô phỏng các kết quả này.
6 dạng dao động đầu tiên của tấm y x z x
Bảng 3.8 Tấm composite đa lớp (0 0 /90 0 /0 0 ): tần số dao động không thứ nguyên
E E D E h v v a h D của tấm a/h Phương pháp Modes
ES-DSG3 4,4722 6,7465 7,7576 9,3663 10,0061 p-Ritz 4,4470 6,6420 7,7000 9,1850 9,7380 Global-local theory 4,5400 6,5240 8,1780 9,4730 9,4920
MEM 7,4435 10,4301 13,9870 15,4881 15,8806 ES-DSG3 7,4779 10,6486 14,0799 16,0029 16,3540 p-Ritz 7,4110 10,3930 13,9130 15,4290 15,8060 Global-local theory 7,4840 10,2070 14,3400 14,8630 16,0700
MEM 10,9844 14,0645 20,4557 23,2941 25,0772 ES-DSG3 11,0964 14,5191 21,6658 23,6490 26,0711 p-Ritz 10,9530 14,0280 20,3880 23,1960 24,9780 Global-local theory 11,0030 14,0640 20,3210 23,4980 25,3500
MEM 14,4544 17,4745 24,6125 36,1506 37,8705 ES-DSG3 14,7278 18,3390 26,7313 39,2865 40,8216 p-Ritz 14,6660 17,6140 24,5110 35,5320 39,1570 Global-local theory 14,6010 17,8120 25,2360 37,1680 38,5280
Hình 3.14 Tần số dao động tự nhiên các phương pháp ứng với 5 dạng dao động đầu tiên của tấm composite đa lớp biên ngàm (C-C-C-C) với a h/ 10
Tần số dao động tự nhiên (Hz)
MEM ES-DSG3 p-Ritz Global-local theory
Hình 3.15 Mô hình 3D sáu dạng dao động đầu tiên của tấm biên ngàm với
Phân tích tấm chịu tải trọng di động
Tấm composite đa lớp biên tựa đơn (SS-SS-SS-SS) được đặt trên nền biến thiên lượng giác, chịu tải trọng di động P m theo phương x với vận tốc không đổi V Các thông số tính toán và vật liệu cấu tạo tấm được trình bày chi tiết trong Bảng 3.9 và Bảng 3.10.
Bảng 3.9 Thông số kết cấu tấm composite
Số lớp và hướng sợi
Bảng 3.10 Thông số nền biến thiên và tải trọng di động
Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )
Hình 3.16 Mô hình tấm composite đa lớp tựa trên nền biến thiên lượng giác dưới tác dụng của tải trọng di động P
3.3.1 Bài toán 7: Khảo sát sự hội tụ của bài toán
Bài toán nghiên cứu tấm composite đa lớp trên nền đàn nhớt có độ cứng biến thiên lượng giác chịu tác động của tải trọng xe di động được mô phỏng trong Hình 3.16 Tải trọng xe được chuyển hóa thành một tải trọng tập trung di chuyển với vận tốc V dọc theo trục x Nghiên cứu tập trung vào các thông số kích thước của tấm 4 lớp.
Thông số vật liệu, thông số nền biến thiên và tải trọng di động được trình bày trong Bảng 3.9 và Bảng 3.10 Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, các mức lưới của tấm được sử dụng cho phân tích bao gồm 4x4, 8x8, 10x10, 12x12, 16x16 và 18x18 Bước thời gian được sử dụng để khảo sát là Δt = 0.01s.
Sự hội tụ của chuyển vị tại tâm tấm với các lưới phần tử khác nhau được thể hiện trong Bảng 3.11 Kết quả cho thấy rằng khi lưới phần tử được chia mịn hơn, chuyển vị tăng lên và hội tụ về một giá trị nghiệm ổn định.
Khi kích thước lưới chia là 4x4, chênh lệch chuyển vị tấm so với lưới 18x18 là 14.77%, và phần trăm lệch này giảm khi lưới chia mịn hơn Đối với kích thước lưới 10x10, chênh lệch chuyển vị chỉ còn 0.79%, cho thấy kết quả chuyển vị khá chính xác Do đó, việc chọn lưới chia với kích thước 10x10 là hợp lý để đạt được nghiệm tương đối chính xác mà không tốn nhiều thời gian phân tích.
Bảng 3.11 Kết quả khảo sát sự hội tụ của chuyển vị tấm với các kích thước lưới khác nhau Lưới phần tử Chuyển vị w (m) Sai số so với lưới 18x18
Để xác định lựa chọn bước lặp thời gian hợp lý cho các bài toán trong luận văn, cần khảo sát sự hội tụ của phương pháp sử dụng Luận văn tiến hành khảo sát một nghiệm cụ thể của bài toán với các bước lặp thời gian.
Chuyển vị đứng w khi tính toán trong từng bước thời gian được thể hiện trong Hình 3.17
Kết quả khảo sát cho thấy sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian, với việc tăng bước thời gian lặp Δt dẫn đến chênh lệch kết quả ngày càng nhỏ Điều này chứng tỏ rằng khi tăng Δt, kết quả sẽ hội tụ về một trị số nghiệm ổn định Đối với tấm được chia thành các phần tử có kích thước lưới 10x10, chênh lệch kết quả giữa bước lặp thời gian Δt = 0.001s và các giá trị khác cũng cho thấy xu hướng này.
Với giá trị t= 0.0025s rất nhỏ (0.299%), có thể kết luận rằng bước lặp thời gian t = 0.001s và kích thước lưới 10x10 là đủ để đạt được nghiệm chính xác Điều này sẽ được áp dụng trong việc khảo sát các bài toán trong luận văn.
3.3.2 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động của tấm composite đa lớp trên nền đàn nhớt có độ cứng biến thiên lượng giác chịu tải di động với hệ số độ cứng k f thay đổi
Bài toán khảo sát ảnh hưởng của hệ nền đến ứng xử động của tấm 4 lớp (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) được thực hiện bằng phương pháp MEM Các trường hợp nền được xem xét bao gồm: không có nền (k1 = 0), nền với độ cứng k2 = k0, k3 = 3k0 và k4 = 6k0.
Hình 3.18 và Bảng 3.12 cho thấy độ võng của tấm khi không có nền và khi đặt trên nền đàn nhớt Kết quả cho thấy rằng độ võng của tấm đặt trên nền đàn nhớt là nhỏ hơn.
Khi sử dụng kích thước lưới 10x10, sự chuyển vị của tấm có nền giảm đáng kể so với tấm không có nền Điều này xảy ra vì khi có hệ nền bên dưới, tấm sẽ nhận được phản lực từ nền, giúp chống lại trọng lượng tải tác dụng lên tấm, dẫn đến độ võng nhỏ hơn Càng tăng hệ số độ cứng k f của nền, phản lực này càng lớn, làm giảm độ võng tấm Kết quả này phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu, cho thấy rằng khi độ cứng của nền giảm, chuyển vị kết cấu sẽ tăng Thực tế cũng chứng minh rằng việc gia cố đất nền tốt sẽ làm giảm độ lún của công trình, nhấn mạnh tầm quan trọng của gia cố nền trong xây dựng.
Bảng 3.12 So sánh chuyển vị tại tâm tấm khi hệ số độ cứng K thay đổi
Hệ số độ cứng Chuyển vị Sai số so với Sai số so với
Hình 3.18 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền k f thay đổi
Chiều dài tấm theo phương x (m) k1=0 k2=k0 k3=3k0 k4=6k0
Hình 3.19 minh họa giá trị chuyển vị theo thời gian của tấm trên nền có độ cứng biến thiên tại các vị trí tải trọng khác nhau Trong những giây đầu tiên, chuyển vị chưa ổn định nhưng nhanh chóng đạt trạng thái ổn định sau đó Kết quả cho thấy, tại các vị trí có hệ số nền k f giảm dần, biên độ chuyển vị tăng dần trong khi chu kỳ dao động của chuyển vị vẫn không đổi.
Hình 3.19 Khảo sát chuyển vị của tấm theo thời gian khi hệ số độ cứng nền k f thay đổi
3.3.3 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động của tấm composite đa lớp trên nền đàn nhớt có độ cứng biên thiên lượng giác chịu tải di động với hệ số cản của nền c f thay đổi
Bài toán khảo sát ảnh hưởng của hệ số cản của nền đối với ứng xử động của tấm 4 lớp (0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ) được thực hiện bằng phương pháp MEM Các trường hợp được xem xét bao gồm C1 = c f, C2 = 3c f, C3 = 6c f và C4 = 9c f.
