Ảnh hưởng của biến dạng cắt đến ứng xử động trong khung phẳng timoshmenko dùng phương pháp khối lượng phân bố

GIỚI THIỆU

Đặt vấn đề

Kết cấu dạng khung là một phương pháp phổ biến trong ngành kỹ thuật xây dựng, bao gồm các thanh thẳng được nối với nhau tại các nút Đặc biệt, khung phẳng là trường hợp mà các thanh và tác động lực đều nằm trong một mặt phẳng Phân tích ứng xử tĩnh của kết cấu khung phẳng đã đạt được nhiều tiến bộ lý thuyết và thực tiễn nhờ vào phần mềm phân tích kết cấu, mang lại kết quả đáng tin cậy Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các phần tử thanh đa thức bậc ba, ứng xử của khung thường đáp ứng tốt yêu cầu thực tiễn Tuy nhiên, khi khung phẳng chịu tải trọng động, độ chính xác của giải pháp chưa đạt yêu cầu do cần phải chia lưới mịn hơn, vì giải pháp đường đàn hồi thường là sự kết hợp của các hàm lượng giác và hyperbolic, khiến cho hàm đa thức khó đạt được độ chính xác cao khi lưới phần tử thô.

Theo lý thuyết, giả thiết tiết diện ngang phẳng khi biến dạng của Euler cho kết quả tốt trong việc mô phỏng hành vi của khung, đáp ứng nhiều yêu cầu thực tiễn Trong thiết kế và phân tích khung, giả thiết này thường được ưa chuộng để mô tả biến dạng và chuyển vị Tuy nhiên, khi tỷ lệ chiều cao và chiều dài của cấu kiện tăng, ảnh hưởng của biến dạng cắt trở nên đáng kể, dẫn đến sai số tương đối trong lời giải theo Euler Do đó, cần sử dụng giả thiết mặt cắt ngang để đạt được nghiệm chính xác hơn.

Nghiên cứu trước đây thường áp dụng lý thuyết Euler-Bernoulli để giải quyết bài toán kết cấu, tuy nhiên, lý thuyết này không hoàn toàn chính xác trong việc phản ánh ứng xử động của kết cấu do bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và momen quán tính xoay Do đó, kết quả thu được chỉ phù hợp trong một số trường hợp nhất định Hiện nay, các nghiên cứu đang ngày càng chú trọng đến việc xem xét những yếu tố này để cải thiện độ chính xác trong phân tích kết cấu.

LUẬN VĂN THẠC SĨ GVHD : TS NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

Lý thuyết Timoshenko do Nguyễn Phước Nguyên Trang phát triển xem xét biến dạng cắt và momen quán tính xoay, giúp hoàn thiện ứng xử của kết cấu Sự tiến bộ của khoa học máy tính đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc áp dụng lý thuyết Timoshenko và các phương pháp giải quyết bài toán liên quan.

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) đang trở thành một công cụ quan trọng trong nhiều ngành, đặc biệt là kỹ thuật xây dựng Phương pháp này sử dụng mô hình khối lượng tương thích và giải pháp xấp xỉ gần đúng, yêu cầu khối lượng tính toán lớn để đạt độ chính xác cao Tuy nhiên, việc chia nhỏ phần tử để tăng độ chính xác sẽ tiêu tốn tài nguyên máy tính và thời gian Do đó, việc xác định số lượng phần tử cần thiết để đạt kết quả mong muốn là một thách thức quan trọng Hơn nữa, việc áp dụng hàm dạng đa thức xấp xỉ với ma trận độ cứng động học không phụ thuộc vào tần số và giải bằng các phương trình cân bằng tĩnh không phản ánh đầy đủ các ứng xử của phần tử khi chịu tải trọng động.

Việc phân tích ứng xử của kết cấu khung chịu tải trọng tĩnh bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã được nghiên cứu kỹ lưỡng, tuy nhiên, phân tích khung chịu tải trọng động với phương pháp phần tử hữu hạn hàm dạng đa thức vẫn còn hạn chế và chưa đạt được độ chính xác cao Điều này cho thấy sự cần thiết phải nghiên cứu sâu hơn về ứng xử động của kết cấu khung dưới tác động của các dạng tải trọng Ngành kỹ thuật xây dựng hiện đang chú trọng đến việc đạt được kết quả phân tích chính xác, đặc biệt trong các khung chịu tải trọng động Đối với kết cấu khung phẳng, việc sử dụng các mô hình và lý thuyết hợp lý để thiết kế và tính toán vẫn chưa đạt được sự thống nhất về hiệu quả và độ chính xác Do đó, việc lựa chọn mô hình và phương pháp thiết kế chính xác trở thành một yêu cầu cấp thiết trong nghiên cứu và ứng dụng.

HVTH : Nguyễn Phước Nguyên Trang 10

Trong những năm gần đây, phương pháp khối lượng phân bố đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước Mô hình khối lượng phân bố với hàm dạng phụ thuộc vào tần số trong khung phẳng Timoshenko giúp phản ánh chính xác hơn ứng xử của khung dưới các tải trọng động Luận văn này áp dụng phương pháp khối lượng phân bố kết hợp với lý thuyết dầm Timoshenko nhằm đáp ứng yêu cầu phân tích ứng xử của kết cấu khung phẳng khi chịu tải trọng động.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn này thiết lập bài toán phân tích ứng xử động của khung phẳng dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, chú trọng đến ảnh hưởng của biến dạng cắt Mục tiêu chính là áp dụng phương pháp khối lượng phân bố để đạt được kết quả chính xác Các nhiệm vụ chi tiết được xác định nhằm phục vụ cho nghiên cứu này.

Tìm hiểu lý thuyết dầm, đặc biệt là lý thuyết dầm Timoshenko, rất quan trọng trong kỹ thuật xây dựng Lý thuyết này xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt, giúp xác định mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị của các phần tử dạng thanh thẳng Việc áp dụng lý thuyết Timoshenko mang lại độ chính xác cao hơn trong phân tích ứng suất và biến dạng của dầm, đặc biệt trong các cấu trúc có kích thước nhỏ hoặc khi tải trọng thay đổi nhanh.

Phương pháp khối lượng phân bố kết hợp với các hàm lượng giác và hàm hyperbolic được nghiên cứu nhằm xấp xỉ chuyển vị trong phần tử Điều này tạo nền tảng cho việc thiết lập bài toán khung chịu tải trọng động bằng phương pháp phần tử hữu hạn, đồng thời thiết lập các phương trình chuyển động chủ đạo.

Nghiên cứu các phương pháp giải hệ phương trình vi phân phi tuyến siêu việt bậc cao bằng thuật toán chia đôi khoảng, nhằm áp dụng vào bài toán động lực học khung Chương trình máy tính được phát triển để phân tích ứng xử động của khung, và kết quả thu được sẽ được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần mềm SAP 2000 cũng như các kết quả từ các tác giả khác.

Khảo sát ảnh hưởng của các thông số nghiên cứu đến nghiệm, bao gồm biến dạng cắt, tỉ số giữa chiều dài nhịp và chiều cao tiết diện, cũng như hệ số hiệu chỉnh cắt, là rất quan trọng trong việc phân tích ứng xử động của khung phẳng theo lý thuyết dầm Timoshenko.

Phương pháp nghiên cứu

Hướng nghiên cứu của luận văn này là lý thuyết nên phương pháp thực hiện được dự kiến như sau:

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết; mô hình bài toán; lập phương trình chuyển động tổng thể

- Tìm hiểu thuật toán giải phương trình và viết chương trình máy tính để phân tích kết quả số

Kết quả nghiên cứu được xác nhận và so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn cùng các nghiên cứu khác để kiểm tra tính chính xác của đề tài Từ đó, có thể đưa ra nhận xét và đánh giá về ảnh hưởng của biến dạng cắt đối với ứng xử động trong khung phẳng.

Cấu trúc luận văn

Luận văn được cấu trúc thành 5 chương, bắt đầu với chương 1 giới thiệu các vấn đề nghiên cứu và mục tiêu của đề tài Chương 2 tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước, nhấn mạnh việc áp dụng phương pháp mô hình khối lượng phân bố dựa trên lý thuyết Chương 3 trình bày cơ sở lý thuyết về mô hình kết cấu khung phẳng, thiết lập phương trình chuyển động và ma trận độ cứng động học tổng thể Chương này cũng sử dụng phương pháp mô hình khối lượng phân bố kết hợp với thuật toán Wittrick – Williams để phân tích tần số dao động riêng Chương 4 mô tả kết quả số từ các mô hình khung và điều kiện biên khác nhau, so sánh với các nghiên cứu khác, đồng thời phân tích ảnh hưởng của biến dạng cắt theo lý thuyết Timoshenko Cuối cùng, chương 5 đưa ra nhận xét và hướng phát triển của đề tài, kèm theo tài liệu tham khảo, phụ lục và chương trình tính bằng MATLAB.

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Chương này cung cấp cái nhìn tổng quan về lý thuyết và phương pháp số trong việc giải quyết bài toán khung phẳng chịu tải trọng động, với mô hình khối lượng phân bố phụ thuộc vào tần số, nhấn mạnh ưu điểm so với các phương pháp khác Nó cũng phân tích động lực học của kết cấu khung phẳng dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko, thể hiện ảnh hưởng của các lý thuyết này đối với khung phẳng Luận văn chỉ ra tác động của các phương pháp và mô hình được sử dụng trong nghiên cứu Cuối cùng, chương này tóm tắt tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến đề tài.

Ca ́c lý thuyết ứng du ̣ng

Trong các bài toán kỹ thuật, lý thuyết dầm Euler – Bernoulli thường được sử dụng để phân tích dao động tự do, và đây là lý thuyết cơ bản nhất đối với dầm có tiết diện không đổi Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli được giả thiết như sau:

- Mặt cắt ngang của dầm luôn duy trì phẳng trong quá trình biến da ̣ng

Khi dầm chịu tác dụng của ngoại lực, mặt cắt ngang của dầm luôn duy trì sự trực giao với đường trung hòa, không xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt và mômen quán tính xoay.

HVTH : Nguyễn Phước Nguyên Trang 13 z x w o uo w o x

Hình 2.1: Biến da ̣ng của dầm theo lý thuyết Euler – Bernoulli

Theo đó, chuyển vi ̣ theo phương do ̣c trục (phương z) và phương ngang (phương x) của dầm được thể hiện như sau

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét chuyển vị u(x,t) và w(x,t) của mỗi điểm trong dầm theo thời gian, với u(x,t) và w(x,t) đại diện cho chuyển vị theo phương x và z Ngoài ra, u(x,t) và w(x,t) 0 0 là chuyển vị điểm trên trục dầm, trong khi  0 biểu thị góc xoay của tiết diện và t là thời gian.

Trước đây, lý thuyết dầm Euler – Bernoulli thường được sử dụng để phân tích dao động tự do của dầm nhờ vào sự đơn giản, nhưng đã bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và momen quán tính xoay Do đó, lý thuyết này không phản ánh đúng ứng xử dao động của kết cấu, chỉ cho kết quả phù hợp trong một số trường hợp nhất định.

Lý thuyết dầm Timoshenko đang ngày càng được ưa chuộng trong các nghiên cứu hiện nay nhờ vào khả năng xem xét biến dạng cắt và momen quán tính xoay, từ đó hoàn thiện ứng xử của kết cấu Thuyết này được xây dựng dựa trên các giả thuyết cụ thể nhằm nâng cao độ chính xác trong phân tích kết cấu.

- Mặt cắt ngang của dầm luôn duy trì phẳng trong quá trình biến da ̣ng

HVTH : Nguyễn Phước Nguyên Trang 14 z x w o uo w o x

Biến dạng cắt và momen quán tính xoay ảnh hưởng lớn đến dầm khi chịu tác dụng của ngoại lực Khi dầm không duy trì sự trực giao với đường trung hòa, điều này có thể dẫn đến những biến đổi trong cấu trúc và tính năng chịu lực của nó.

Hình 2.2: Biến da ̣ng của dầm theo lý thuyết Timoshenko

Theo đó, chuyển vị theo phương dọc tru ̣c (phương z) và phương ngang (phương x) của dầm được thể hiê ̣n như sau :

Trong bài viết này, chúng ta xem xét chuyển vị theo phương x và phương z của mỗi điểm trong dầm theo thời gian, được ký hiệu là u(x,t) và w(x,t) Chuyển vị điểm trên trục dầm cũng được biểu diễn bằng u(x,t) và w(x,t) tại thời điểm t Ngoài ra, góc xoay của tiết diện được ký hiệu là φ0.

Ca ́c khái niê ̣m đô ̣ng lực ho ̣c

2.3.1 Dao đô ̣ng tự do

Động tự do là loại động mà chu kỳ của nó chỉ phụ thuộc vào đặc tính cấu tạo của hệ thống, được hình thành từ chuyển vị hoặc vận tốc ban đầu, và không bị ảnh hưởng bởi các ngoại lực duy trì hệ thống.

Phương trình chuyển động tổng quát của hê ̣ kết cấu nhiều bâ ̣c tự do được mô tả dưới dạng ma trâ ̣n

Trong đó, M, C, K lần lượt đại diện cho ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng của kết cấu P(t) là vectơ tải trọng ngoài, trong khi U(t), U(t), U(t) lần lượt là vectơ gia tốc, vectơ vận tốc và vectơ chuyển vị của kết cấu.

Phân tích tần số dao động với hê ̣ kết cấu không cản, nghiê ̣m của phương trình vi phân là véctơ tần số góc ωi

Tần số là số lần thực hiện dao động trong một đơn vị thời gian, trong khi chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để hoàn thành một dao động toàn phần, tức là thời gian để trạng thái dao động trở lại vị trí ban đầu.

Mối quan hê ̣ giữa tần số góc ωi, tần số f i , chu kỳ dao đô ̣ng Ti được thể hiê ̣n như sau

2.3.2 Tải tro ̣ng điều hòa

Hệ không cản được xem xét với lực kích thích tác động lên hệ cấu trúc dao động Lực kích thích được trình bày dưới dạng cụ thể nhằm phân tích ảnh hưởng của nó đến hệ thống.

P t( ) p o sin( t  ) (2.7) Trong đó, polà biên đô ̣ dao đô ̣ng,  là tần số của lực kích thích, φ là pha ban đầu của dao đô ̣ng

Phương trình chuyển động tổng quát của hệ kết cấu không cản nhiều bậc tự do chịu tác động của dạng tải trọng điều hòa được biểu diễn như sau.

Mô hình và các phương pháp tính

Trong bối cảnh hiện nay, việc đạt được độ chính xác cao và phản ánh đúng ứng xử của kết cấu đang được quan tâm mạnh mẽ Hầu hết các kết cấu đều có vô hạn bậc tự do, trong đó bậc tự do động học thể hiện số thành phần chuyển vị cần xem xét để đánh giá ảnh hưởng của các lực quán tính Sự liên quan giữa bậc tự do, lực quán tính và khối lượng cho thấy rằng khối lượng càng lớn thì độ chính xác càng cao, tuy nhiên, quá trình tính toán và phân tích động lực học trở nên phức tạp hơn Việc lựa chọn số bậc tự do hợp lý là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu Để phân tích động lực học của hệ kết cấu, các mô hình toán học thường được sử dụng để chuyển đổi từ hệ vô hạn bậc tự do sang hệ hữu hạn bậc tự do mà không làm thay đổi ý nghĩa vật lý hay ứng xử của kết cấu Phân tích tần số dao động với phương trình trị riêng tuyến tính trong trường hợp hệ không cản tổng quát sẽ được thể hiện như sau.

Trong đó,     K , M lần lượt là ma trâ ̣n đô ̣ cứng tổng thể và ma trâ ̣n khối lượng của hê ̣;

  u là vectơ chuyển vi ̣ của nút, ωlà tần số dao đô ̣ng riêng của kết cấu

Ma trận độ cứng được xây dựng dựa trên các hàm đa thức Hecmit nhằm xấp xỉ đường đàn hồi Các hệ số trong ma trận này được thiết lập theo phương trình tổng quát của phần tử cơ bản, không chịu tác động của tải trọng ngoài.

Ma trận khối lượng thường xuất hiện dưới hai dạng: ma trận khối lượng thu gọn và ma trận khối lượng tương thích Ma trận khối lượng thu gọn được coi là khối lượng phân bố của các phần tử được thu gọn về các nút theo nguyên tắc tĩnh học, với cấu trúc dạng đường chéo Trong đó, các hệ số nằm ngoài đường chéo không cần xem xét đến các chuyển vị xoay Phương pháp khối lượng thu gọn này đơn giản và hiệu quả trong việc mô hình hóa.

Phương pháp HVTH của Nguyễn Phước Nguyên Trang cho thấy rằng mặc dù có ít tính toán, độ chính xác không cao do bỏ qua chuyển vị xoay Tuy nhiên, phương pháp tương thích với ma trận khối lượng mang lại kết quả chính xác hơn so với phương pháp thu gọn Ma trận khối lượng tương thích được thiết lập dựa trên các hàm biến dạng tĩnh của phần tử dầm có khối lượng phân bố và được cộng dồn như ma trận độ cứng.

Việc áp dụng các mô hình toán học để chuyển đổi hệ vô hạn bậc tự do thành hệ hữu hạn bậc tự do mà không làm thay đổi ý nghĩa vật lý và ứng xử của kết cấu đang thu hút sự chú ý Trong số đó, phương pháp phần tử hữu hạn với các hàm chuyển vị tĩnh và phương pháp khối lượng phân bố với hàm dạng phụ thuộc vào tần số là những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhiều.

2.4.1 Phương pháp phần tử hữu ha ̣n

Phương pháp phần tử hữu hạn là một kỹ thuật số quan trọng trong phân tích kết cấu, giúp xác định dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó Phương pháp này chia nhỏ mô hình kết cấu thành các phần tử đơn giản, được kết nối qua các điểm xác định trên biên, gọi là điểm nút Đặc điểm nổi bật của phương pháp phần tử hữu hạn là khả năng cung cấp lời giải gần đúng tại các biên của phần tử và xấp xỉ trong miền phần tử Do đó, việc tăng số lượng điểm nút, tức là gia tăng độ phân giải của các phần tử trong hệ kết cấu, sẽ nâng cao độ chính xác của kết quả phân tích.

2.4.2 Phương pháp khối lượng phân bố

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng rộng rãi trong nghiên cứu, đặc biệt là trong ngành kỹ thuật xây dựng Tuy nhiên, do các hàm dạng không phụ thuộc vào tần số, kết quả đạt được chưa có độ chính xác cao Việc rời rạc hóa phần tử để nâng cao độ chính xác là một vấn đề quan trọng Mặc dù ngành khoa học máy tính đã phát triển và hỗ trợ giải quyết các bài toán với khối lượng lớn, việc chia quá nhiều phần tử có thể làm mất đi bản chất vật lý của dầm, không phản ánh đúng ứng xử của kết cấu.

Ma trận độ cứng được thiết lập dựa trên phương trình cân bằng tĩnh của phần tử dầm, còn được gọi là ma trận độ cứng tĩnh học Tuy nhiên, phương pháp này chỉ cho kết quả tương đối trong một số trường hợp nhất định, vì không xem xét ảnh hưởng của lực quán tính và độ độc lập với tần số Phương pháp độ cứng động học dựa trên các hàm dạng, với cơ sở là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, và các hàm dạng phụ thuộc vào tần số, do đó ma trận độ cứng động học cũng phụ thuộc vào tần số Đối với mô hình khối lượng phân bố, sự rời rạc hóa thành các miền con riêng biệt là cần thiết chỉ khi có sự thay đổi về đặc trưng vật liệu hoặc hình học, hoặc tại những vị trí có lực tập trung và gối tựa Việc sử dụng số phần tử trong hệ ít hơn so với hàm dạng đa thức dẫn đến số bậc tự do trong phương pháp mô hình khối lượng phân bố ít hơn Mặc dù số bậc tự do trong phương pháp khối lượng phân bố ít hơn phương pháp phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng động học vẫn là hàm phi tuyến, lượng giác của tần số dao động riêng, khiến cho việc giải bài toán trị riêng trở nên phức tạp.

Trong đó,   D là ma trâ ̣n đô ̣ cứng đô ̣ng ho ̣c tổng thể phu ̣ thuô ̣c vào tần số dao đô ̣ng riêng;   u là vectơ chuyển vi ̣ của nút

Giải phương trình tần số phi tuyến theo ẩn là một thách thức trong toán học, nhưng có thể được thực hiện bằng thuật toán Wittrick-Williams Thuật toán này, mặc dù yêu cầu khối lượng tính toán lớn, sử dụng phương pháp chia đôi khoảng nghiệm để giải quyết hiệu quả các bài toán vật lý liên quan.

Tổng quan vê ̀ tình hình nghiên cứu

Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli không phản ánh đúng ứng xử dao động động của kết cấu do bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và mômen quán tính xoay Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra sự thiếu sót này, dẫn đến việc các bài toán phân tích dao động hiện nay tập trung vào lý thuyết dầm Timoshenko, trong đó xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt và mômen quán tính.

Nguyễn Phước Nguyên Trang (19) đã nghiên cứu về tính xoay để cải thiện ứng xử của kết cấu Seon và cộng sự (1999) đã phân tích dao động của dầm dựa trên các lý thuyết khác nhau, từ đó đưa ra nhận xét tổng quát về ứng xử của dầm Việc xem xét hệ số hiệu chỉnh cắt đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Cowper (1966) đã trình bày các công thức tính hệ số hiệu chỉnh cắt cho mặt cắt tiết diện cơ bản Các nghiên cứu gần đây đã phát triển các công thức tính hoàn thiện hơn cho nhiều mặt cắt tiết diện khác nhau Kaneko (1975) đã đưa ra nhận xét chính xác về hệ số hiệu chỉnh cắt cho tiết diện hình chữ nhật và hình tròn dựa trên kết quả thực nghiệm Hutchinson (2001) đã xác định các hệ số hiệu chỉnh cắt mới cho các tiết diện hình tròn, hình tròn rỗng, hình elip và tường mỏ ng, trong đó tiết diện hình tròn được coi là có giá trị tốt nhất.

Phương pháp mô hình khối lượng phân bố, được Kolousek giới thiệu vào năm 1973, đã cung cấp giải pháp chính xác cho phương trình vi phân dao động của dầm có tiết diện không đổi theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko Dựa trên nền tảng này, Richards và Leung (1977) đã phát triển một phương pháp chính xác để phân tích dao động của hệ kết cấu Tuy nhiên, Clough (1975) đã chỉ ra rằng việc sử dụng hàm dạng đa thức xấp xỉ và ma trận độ cứng không phụ thuộc vào tần số dẫn đến thiếu chính xác trong việc phản ánh ứng xử của kết cấu dưới tải trọng động Do đó, việc tìm kiếm một hàm dạng thích hợp trở thành một nhu cầu thiết yếu.

Ma trận độ cứng động học của dầm Timoshenko được thiết lập bởi Howson và Williams (1973) đã xem xét ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và tải dọc trục tĩnh Chen (1987) đã phát triển ma trận độ cứng động học tổng quát cho dầm Timoshenko chịu dao động ngang Banerjee (1992) đã xây dựng ma trận độ cứng động học cho dầm Timoshenko, bao gồm cả biến dạng xoắn và uốn Nghiên cứu của Trần Văn Liên (2005) đã tạo ra ma trận độ cứng động học cho phần tử dầm chịu uốn tổng quát, đồng thời Trần Văn Liên và cộng sự cũng đã phân tích hệ kết cấu thanh bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực.

Các hàm dạng đặc trưng cho dầm Timoshenko chịu dao động xoay được Yokoyama

(1988) xây dựng từ đó phân tích tần số dao động riêng của hệ Các phương trình ma trận

Nguyễn Phước Nguyên Trang (2000) đã phát triển phương pháp chuyển đổi động và hàm tải trọng dựa trên lời giải của phương trình vi phân chuyển động Ait và cộng sự (2001) xây dựng ma trận độ cứng động cho phần tử hai nút, mỗi nút có sáu bậc tự do, nhằm đánh giá ảnh hưởng của khối lượng tập trung lên các tần số riêng của kết cấu Tiếp theo, Dias và Alves (2009) đã đưa ra lời giải chính xác cho dạng dao động của kết cấu dầm phẳng Hsiang (2012) đã áp dụng phương pháp mô hình khối lượng phân bố để phân tích động học của khung phẳng dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko.

(1993) đã sử du ̣ng phương pháp khối lượng phân bố cho viê ̣c phân tích nhiều da ̣ng kết cấu khác nhau

Thuật toán lặp gần đúng Wittrick-Williams (1970) được áp dụng để giải phương trình trị riêng phi tuyến, với ma trận độ cứng động học là hàm phi tuyến, lượng giác và hyperbol của tần số dao động riêng Banerjee (1997) đã sử dụng thuật toán này kết hợp với ma trận độ cứng động học để phân tích dao động riêng của kết cấu Ngoài ra, Kaabazi (2012) cũng đã áp dụng thuật toán này để phân tích dao động riêng đối với vỏ trụ có chiều dày thay đổi.

Luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Duy Hưng (2012) đã nghiên cứu động lực học của khung phẳng Bernoulli-Euler bằng phương pháp khối lượng phân bố Tương tự, Phạm Đình Trung (2013) cũng đã phân tích động lực học khung phẳng Timoshenko sử dụng hàm dạng siêu việt trong mô hình khối lượng phân bố.

Nghiên cứu trong và ngoài nước chủ yếu áp dụng các mô hình và phương pháp khác nhau để tìm ra nghiệm cho bài toán, nhưng chưa xem xét đến các tính chất vật lý của hệ thống.

Nghiên cứu này tiếp tục phát triển ý tưởng về việc sử dụng phương pháp mô hình khối lượng phân bố với hàm dạng phụ thuộc vào tần số để phân tích ứng xử động của khung phẳng dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko Các kết quả thu được sẽ được so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn và một số nghiên cứu khác, từ đó đánh giá ảnh hưởng của biến dạng cắt trong khung phẳng Timoshenko Luận văn có ý nghĩa thực tiễn và phù hợp với xu thế phát triển trong và ngoài nước.

Kê ́t luâ ̣n chương

Chương này tổng quan về lý thuyết ứng dụng dầm trong cấu trúc khung phẳng, nhấn mạnh lý thuyết dầm Timoshenko với giả thiết xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt, mang lại độ chính xác cao hơn so với lý thuyết dầm Euler – Bernoulli Bài viết cũng đề cập đến các phương pháp số để giải quyết bài toán khung phẳng chịu tải trọng động, trong đó mô hình khối lượng phân bố với hàm dạng phụ thuộc vào tần số được thể hiện Phương pháp phần tử hữu hạn với các hàm dạng độc lập tần số chỉ phù hợp với một số trường hợp nhất định Lý thuyết dầm Timoshenko được ứng dụng trong phân tích động học cấu trúc khung phẳng, với phương pháp mô hình khối lượng phân bố là cách tiếp cận gần gũi với kết cấu thực tế, đồng thời thể hiện rõ ảnh hưởng của biến dạng cắt trong kết cấu khung phẳng.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết cho việc phân tích tần số dao động riêng và động lực học của kết cấu khung phẳng Timoshenko thông qua phương pháp mô hình khối lượng phân bố Đầu tiên, phương trình dao động của phần tử dầm được thiết lập, từ đó xây dựng ma trận độ cứng động học theo lý thuyết Timoshenko Các ma trận độ cứng động học này được kết nối bằng phương pháp phần tử hữu hạn để tạo ra ma trận độ cứng động học cho hệ khung phẳng Phương trình trị riêng được thiết lập với ma trận độ cứng động học phụ thuộc vào tần số Kết hợp thuật toán Wittrick – Williams giúp giải phương trình trị riêng phi tuyến và phân tích tần số dao động riêng của kết cấu Cuối cùng, phương pháp ma trận rút gọn được áp dụng để xác định các dạng dao động của khung phẳng, trong khi ứng xử động của khung được xác định thông qua phương pháp chồng chất mode dao động với các điều kiện trực giao.

Phương trình chuyển đô ̣ng của hê ̣ kết cấu

Chuyển vị trong phần tử được xấp xỉ hóa và nội suy dựa trên véc tơ chuyển vị nút   q e, sử dụng ma trận hàm dạng   N Theo Chu Quốc Thắng (1997), trường chuyển vị trong phần tử được biểu diễn thông qua véc tơ chuyển vị nút.

Từ đó, phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng của một điểm trong phần tử được biểu diễn thông qua chuyển vị nút

Trong đó,   B là ma trận tính biến dạng

Do chuyển vị phụ thuộc vào thời gian, các điểm của phần tử cũng di chuyển với vận tốc tương ứng, được xác định bằng đạo hàm bậc nhất của chuyển vị theo biến thời gian Vì vậy, véc tơ vận tốc tại các điểm phần tử và véc tơ biến dạng có thể được biểu diễn như sau.

  u e    N   q e (3.3) Động năng Tvà thế năng biến dạng đàn hồi U trong hệ kết cấu được tính theo Chu Quốc Thắng (1997) như sau

Trong đó,    ,   H lần lượt là ma trận quán tính và ma trận đàn hồi của hệ

Biểu diễn động năng và thế năng biến dạng đàn hồi của hệ được thực hiện thông qua véc tơ chuyển vị và véc tơ vận tốc nút, dựa trên các phương trình (3.4) và (3.5).

Trong đó,   M là ma trận khối lượng của hệ,   K là ma trận độ cứng của hệ và hai ma trận này được biểu diễn như sau

K  D B B dV (3.9) Áp dụng nguyên lý Hamilton ta nhận được

Với   P là véc tơ tải trọng tổng quát Từ phương trình (3.10) ta thu được phương trình chuyển động của kết cấu cho trường hợp hệ không cản

  M   q    K     q  P (3.11) Đối với   P =   0 chúng ta có phương trình dao động tự do của hệ kết cấu và được mô tả như sau

Ma trâ ̣n đô ̣ cứng đô ̣ng ho ̣c của phần tử thanh thẳng chi ̣u kéo, nén

3.3.1 Dao đô ̣ng do ̣c tru ̣c tự do của thanh

Xét dầm có các đặc trưng biến đổi theo mặt cắt tiết diện A(x), mô đun đàn hồi E và mật độ khối ρ(x) Khi chịu lực kích động q(x,t), dầm sẽ thực hiện dao động u(x,t) dọc theo trục như mô tả trong hình 3.1.

Hình 3.1: Dầm có các đặc trưng thay đổi Áp dụng nguyên lý d’Alembert, xét cân bằng lực của một phân tố trên thanh chịu lực dọc trục như hình 3.2 q(x,t)

Hình 3.2: Cân bằng lực của phân tố dầm Phương trình chuyển động theo trục x của một phân tố dầm chịu kéo, nén có dạng

Thế vào phương trình (3.13) ta thu được phương trình dao động dọc trục của dầm có các đặc trưng thay đổi

Xét m(x) là hằng số, khi đó phương trình dao động tự do của dầm được suy ra từ phương trình (3.15) như sau

Phương pháp phân ly biến số được áp dụng cho phương trình dao động tự do của dầm chịu lực dọc trục, đây là một dạng phương trình đạo hàm riêng cấp hai.

Trong đó (x) là hàm dạng, chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, biểu thị dạng co dãn của dầm; T(t) là biên độ phụ thuộc vào thời gian

Thay biểu thức (3.17) vào phương trình (3.16) ta có

Do hai vế của phương trình đều phụ thuộc vào một loại biến x hoặc t nên một hằng số được kí hiệu là -c 2 bằng với hai vế phương trình (3.18)

Từ đây ta thu được hai phương trình vi phân thường

Khi đó, phương trình vi phân dao động dọc trục của thanh thẳng đồng nhất có tiết diện không đổi được viết lại dựa trên phương trình (3.20) như sau

Để phân tích dao động riêng và dạng dao động, cần tìm nghiệm của phương trình (3.23) Trong bài toán phân tích phản ứng động, việc tìm nghiệm của phương trình (3.21) là điều cần thiết.

3.3.2 Ma trận đô ̣ cứng đô ̣ng ho ̣c của phần tử thanh thẳng chi ̣u kéo, nén

Phương trình vi phân dao động của thanh thẳng chịu kéo nén theo (3.23) được biểu diễn như sau

Phương trình (3.23) có nghiệm tổng quát

Từ phương trình (3.22) và phương trình (3.25) ta nhận được tham số động lực ψ và được thể hiện

Nghiệm tổng quát của phương trình (3.23) được viết lại từ phương trình (3.24) có dạng như sau

Với A1, A2 là các thông số được xác định từ các điều kiện biên Xác định các điều kiện biên với v(0) = u1 và v(L) = u2, từ (3.27) ta thu được

Giải hệ (3.28) ta thu được

Với csc 1 sin và cot cos sin

Thay các thông số A1, A2 vào phương trình (3.27) ta có

( )x (cos cot sin )u (csc sin )u

Phương trình (3.30) được viết lại dưới dạng ma trận

Trong đó   N là ma trận các hàm dạng, và được thể hiện như sau

   N  cos   cot  sin  csc sin    (3.32)

Theo phương trình (3.31), hàm phụ thuộc vào tần số ω thông qua tham số động lực ψ Đối với thanh chịu kéo nén, ma trận tính biến dạng có cấu trúc cụ thể.

B dN dx dN dx   N và ma trận đàn hồi có dạng H = E Sử dụng các hàm dạng (3.32) và từ (3.8) theo Leung (1993) ta nhận được

  csc 2 cot csc 2 csc cot

2 csc csc cot csc cot

      (3.33) và   cot csc 2   csc cot

Theo đó, lực dọc theo tiết diện thanh được xác định theo Leung (1993)

Từ (3.27) ta có ' ( )x A 1 sin A 2 cos

Trong đó, các thông số A1, A2 xác định theo (3.29)

Các lực nút được xác định theo công thức

Xét D ω  là ma trận độ cứng động học của phần tử thanh chịu kéo nén và được biểu thị dưới dạng

Ta có thể nhận thấy, ma trận độ cứng động học phụ thuộc vào tần số dao động ω, từ (3.33) và (3.37) ta rút ra được

Ma trâ ̣n đô ̣ cứng đô ̣ng ho ̣c của phần tử dầm chịu uốn

3.4.1 Dao đô ̣ng uốn của dầm

Xét thanh dầm với mặt cắt luôn phẳng và vuông góc với trục võng, trục hình học của dầm thẳng khi chưa biến dạng Chọn trục x trùng với đường trục hình học và trục z vuông góc với trục x Áp dụng lý thuyết Timoshenko cho dầm chịu uốn, mặt cắt dầm không duy trì sự trực giao với trục hình học.

Để thiết lập phương trình vi phân cho dao động uốn của thanh dầm, ta xem xét một phân tố nhỏ có chiều dài dx, trong đó tải trọng phân bố đều p(x,t) tác động lên đoạn dầm này.

Hình 3.4: Cân bằng lực của phân tố dầm Áp dụng nguyên lý d’Alembert, xét cân bằng các lực theo phương đứng, ta có

Trong đó, lực quán tính phân bố

  với , A lần lượt là mật độ khối và mặt cắt của tiết diện Thay thế f dx I vào phương trình (3.40) ta nhận được

Từ điều kiện cân bằng momen các lực đối với điểm O, ta có

Momen uốn (M) và lực cắt (Q) được hình thành do biến dạng dưới tác động của ngoại lực Góc biến dạng uốn và cắt lần lượt được ký hiệu là  và , như minh họa trong hình 3.3.

HVTH : Nguyễn Phước Nguyên Trang 31 w x  

Với E là mô đun đàn hồi, I là momen quán tính, G là mô đun cắt và k là hệ số hiệu chỉnh cắt

Thay giá trị của QkAG từ phương trình (3.45) vào phương trình (3.41) và (3.43) ta nhận được

 từ phương trình (3.44) và M EI x

 từ phương trình (3.45) vào phương trình (3.46) và (3.47) ta nhận được phương trình vi phân dao động uốn của dầm Timoshenko với tiết diện không đổi như sau

Hai phương trình (3.48) và (3.49) thể hiện rõ vai trò của ngoại lực p(x,t) tác động lên dầm có tiết diện không đổi, đồng thời cho thấy ảnh hưởng của góc xoay  của dầm.

Phương trình vi phân dao động chịu uốn của dầm Timoshenko có thể được kết hợp bằng cách rút thành phần \(\left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)\) từ phương trình (3.48) và thay thế vào phương trình (3.49).

EI A I p x t kG t x kG t kAG x kAG t

Với việc phân tích dao động tự do của dầm Timoshenko, khi đó p(x,t) = 0, phương trình dao động tự do của dầm được thể hiện

Từ phương trình (3.51) ta nhận thấy các thông số với các đặc trưng khác nhau

   là thành phần chính trong phương trình vi phân của dầm chịu uốn trong lý thuyết Euler-Bernoulli

  là thành phần đặc trưng cho ảnh hưởng của quán tính xoay

   với kG đặc trưng cho các ảnh hưởng của biến dạng cắt

3.4.2 Ma trận đô ̣ cứng đô ̣ng ho ̣c của phần tử dầm chịu uốn

Từ phương trình vi phân dao động (3.50), giả thiết biến w và  với tần số ω có dạng hàm sin, khi đó

Với Y(x) và Ψ(x) lần lượt đại diện cho biên độ dao động của hàm sin trong chuyển vị và góc xoay, ta định nghĩa tham số chiều dài không thứ nguyên của phần tử là ξ với biến x.

Thay phương trình (3.41), (3.52), (3.53) và (3.54) vào phương trình (3.44), tích phân với biến x ta thu được

Và thay phương trình (3.52) và (3.54) vào phương trình (3.50) nhận được

Với P là lực tác dụng dọc trục nếu có xét đến

Xét trường hợp b r s

Tiêu đề	Ảnh Hưởng Của Biến Dạng Cắt Đến Ứng Xử Động Trong Khung Phẳng Timoshenko Dùng Phương Pháp Khối Lượng Phân Bố
Tác giả	Nguyễn Phước Nguyên
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Trọng Phước
Trường học	Trường Đại Học Mở Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Xây Dựng Dân Dụng Và Công Nghiệp
Thể loại	Luận Văn Thạc Sỹ
Năm xuất bản	2016
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	124
Dung lượng	2,83 MB