(Skkn rất hay) phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 10 trường thpt thường xuân 2, thông qua việc nghiên cứu dạng toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ oxy

Trong sốnhững dạng toán đó, bài toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn là đề tàithường xuyên được nhắc tới, bởi đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, tứ giác là vấn đề muôn thuở c

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2, THÔNG QUA VIỆC

NGHIÊN CỨU DẠNG TOÁN TƯƠNG GIAO

GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG

[Draw your reader in with an engaging abstract It is typically a short summary of the document

When you’re ready to add your content, just click here and start typing.]

[Document subtitle]

skkn

MỤC LỤC

Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ 2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 I Cơ sở lý luận 2 II Thực trạng vấn đề nghiên cứu 3 1 Thực trạng 3 2 Kết quả của thực trạng 4 III Giải pháp và tổ chức thực hiện 4 1 Phần lý thuyết cơ bản 4

2 Một số ví dụ tiêu biểu……… 5

Dạng 1: ……… 5

Dạng 2: ……… 6

Dạng 3: ……… 10

3 Bài tập ứng dụng…… ……… 11

4 Bài tập tự luyện …….……… 15

IV Kiểm nghiệm 16 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 1 Kết quả thực hiện đề tài 17

2 Bài học kinh nghiệm và kiến nghị ……… 17

skkn

A ĐẶT VẤN ĐỀ

“Thích học Đại, ngại học Hình” là điều mà các thầy cô giáo dạy Toán chúng

ta thường thấy ở hầu hết các em học sinh Hình học luôn là vấn đề khó đối với nhiềuhọc sinh, Sở dĩ có điều này theo tôi có nhiều nguyên nhân như: Hình học đòi hỏi kiếnthức, suy luận tổng hợp, việc kết hợp các giả thiết để tìm ra một yếu tố mới của bàitoán là vấn đề không dễ đối với học sinh Các em học sinh thiếu tự tin khi phải vẽhình, lời giải của một bài hình thường qua nhiều bước, xác định nhiều yếu tố phụ rồimới đến được đáp số cuối cùng, và một thực trạng thường thấy là các em không biếtbắt đầu từ đâu… Lí do khách quan thì nhiều, nhưng không thể không nói đến lí dochủ quan ở một số giáo viên chúng ta, đó là làm cho hình học trở nên khô khan, lờigiải máy móc mang tính áp đặt, có những kỹ thuật chúng ta xem là dễ, nên bỏ qua thìvới học sinh lại cả một vấn đề, các em lơ mơ, mất tự tin rồi dẫn đến ngại học hình

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng là phần hình học quan trọng nhất củahình học lớp 10 và cũng là phần kiến thức có tính phân hoá cao trong đề thi Đại họccác năm gần đây Dạng bài tập này đang ngày một đa dạng, xu thế sử dụng thuần tuýnhững tính chất, kỹ năng cơ bản của hình học từ lớp 9 ngày một nhiều Trong sốnhững dạng toán đó, bài toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn là đề tàithường xuyên được nhắc tới, bởi đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, tứ giác là vấn

đề muôn thuở của hình học phẳng

Vì những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân 2, thông qua việc nghiên cứu dạng toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy”, nhằm từng bước dạy cho các em cách phân tích đề bài, từ đó có hướng tư duy

đúng, để tiếp cận bài toán một cách hiệu quả, qua đó nâng cao tinh thần học tập mônhình học nói riêng và phong trào học tập môn toán nói chung

skkn

hỏi, trau rồi phương pháp, kỹ năng khi giải toán Thế nhưng làm được điều này thậtkhông đơn giản bởi một số nguyên nhân sau:

- Các bài tập SGK của phần này ở mức đơn giản, chưa thể hiện nhiều về dạnglẫn phương pháp cũng như kỹ năng mà các em cần đạt được, để tự tin bước vào các

và đường tròn

- Giáo viên chưa phân tích, phân loại kỹ các dạng toán dựa trên bản chất hìnhhọc, vì lẽ đó mà các bài tập minh hoạ trở nên rời rạc, điều này không gây được hứngthú học tập cho các em Mặt khác sự sáng tạo, kế thừa trên ngọn là rất đa dạng, nhưng

để hiểu cặn kẽ thì phải tìm ra cái gốc của vấn đề, nếu làm tốt được điều này thì mọichuyện sẽ trở nên rõ ràng, thú vị rất nhiều

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

- Khi dạy xong bài phương trình đường thẳng, tôi nhận thấy dạng bài tập hay

và phù hợp với học sinh còn hạn chế nhiều Chỉ khi dạy xong bài Phương trình đườngtròn mới có vô số ví dụ hay và phù hợp để cho học sinh thực hành nhằm củng cố kiếnthức và kỹ năng của tất cả các phần kiến thức quan trọng trước đó như góc, khoảngcách…., đó là sự kết hợp rất thú vị giữa đường thẳng và đường tròn Mặt khác cũng

vì lượng kiến thức khai thác là rất nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽlàm cho các em thấy lan man, mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xongcác em được những phương pháp nào, kĩ năng gì Do vậy ở phần này người giáo viêncần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toánquan trọng Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin khi suy luận, biết cách kếthợp hai giả thiết một để tìm ra một yếu tố mới, càng tìm được nhiều yếu tố mới thìchúng ta càng gần đến lời giải hơn

- Khi dạy dạng toán này, một thực tế thường xảy ra là đa số giáo viên đi theolối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học sinh thấy

được bài toán này tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm A, điểm M, tính độ dài MN để

làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì? Sở dĩ có thực trạngtrên là vì giáo viên chưa chịu thực hiện đổi mới phương pháp dạy học hoặc biếtnhưng ngại áp dụng, xem thường hoặc thiếu kiên nhẫn phân tích, giải thích cho học

skkn

sinh Điều này làm hạn chế niềm đam mê, hứng thú học tập rất nhiều Theo tôi việcphân tích, định hướng, giảng giải cho học sinh cách tiếp cận một bài hình học rất cầnthiết, đây là công việc mà người giáo viên phải chú trọng để đánh giá đúng được tầmquan trọng hơn là cung cấp cho các em một lời giải khô khan.

2 Kết quả thực trạng trên

Năm học 2022 – 2023 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho họcsinh lớp 10C1 giải thử một số bài tập lấy từ đề thi thử Đại học của các trường THPTtrên cả nước và bài kiểm tra hết chương của lớp 10C1 Kết quả như sau:

Từ kết quả đó, tôi đã tiến hành đổi mới dạy nội dung này tại lớp 10C1 và 10C2

(hai lớp có chất lượng tương đương với nhau và học cùng tổ hợp các môn tự chọn)

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 Phần lý thuyết cơ bản

Phần tương giao của đường tròn và đường thẳng không được trình bày rõ ràngtrong sách giáo khoa, do đó cần trang bị thêm cho học sinh lý thuyết về dạng toántoán ở các buổi học phụ đạo

Đặt

* Trường hợp 1: là tiếp tuyến của đường tròn ta có

Nếu từ điểm ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và đến thì:

+ là đường trung trực của đoạn

+

+

+ Đường tròn tâm bán kính cắt tại hai điểm và

+ Tứ giác nội tiếp trong đường tròn có tâm là trung điểm của

+ Điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

skkn

* Trường hợp 2: cắt tại hai điểm phân biệt, khi đó

Đây là bài toán đường tròn và dây cung, Để giải dạng toán này thông thường

ta gọi là trung điểm của đoạn và khai thác một số tính chất sau:

* Trường hợp 3: và không có điểm chung, khi đó

+ Từ một điểm bất kì trên đường thẳng luôn kẻ được hai tiếp tuyến tớiđường tròn

+ Lấy điểm nằm trên đường tròn thì

Trong phạm vi đề tài tôi không trình bày trường hợp 3 vì khi đó hai đối tượng

là không có điểm chung Dạng toán cơ bản như viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một một điểm, viết phương đường thẳng đi qua một điểm và tiếp xúc với một đường tròn cho trước là nhưng bài toán học sinh đã được trang bị các bước giải và có thể thực hiện được.

Ví dụ 1.1: Cho đường tròn Viết thương trình tiếptuyến của tại

skkn

Ví dụ 1.2: Cho đường tròn Viết phương trìnhtiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Ví dụ 1.3: Cho đường tròn Tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đi qua

 Dạng 2: Trường hợp tiếp xúc với

Ví dụ 2.1 Cho đường tròn và điểm Gọi

và là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến Viết phương trìnhđường thẳng

Lời giải

Phân tích: Tư duy thông thường học sinh sẽ thực hiện việc tìm tọa độ của các

tiếp điểm và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó Lời giải sẽ rấtdài và tính toán phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai sót

Giáo viên sẽ gợi ý để học sinh có thể tư duy dựa vào nhận xét , hay cácđiểm cùng thuộc hai đường tròn có tâm bán kính và đường tròntâm bán kính Tính được

Lời giải theo hướng mới:

Gọi là đường tròn tâm bán kính

Suy ra

Hai điểm là giao điểm của và , nên toạ độ của chúng thoả mãn

Vậy tọa độ các điểm , thỏa mãn một phương trình đường thẳng hayphương trình đường thẳng

skkn

Ví dụ 2.2 Cho đường tròn và điểm

Đường thẳng thay đổi đi qua cắt tại hai điểm và Hai tiếp tuyến của

tại và cắt nhau tại Tìm quỹ tích của điểm

Lời giải

trong đường tròn , suy ra đường thẳng đi qua luôn cắt tai hai điểm

phân biệt và

Giả sử , phương trình đường tròn tâm bán kính

là

Từ đó suy ra

Thay toạ độ vào ta được

Điểm có toạ độ thoả mãn nên quỹ tích điểm là đường thẳng cóphương trình

Ví dụ 2.3 Cho đường tròn và đường thẳng

Giả sử là một điểm thuộc Từ luôn kẻ được hai tiếp tuyến , đến (trong đó là hai tiếp điểm) và đường thẳng luôn đi qua một điểm cốđịnh Tính giá trị ?

Lời giải Phân tích: Đây là một bài toán ở mức độ vận dụng, cần học sinh có năng lực

tư duy và kỹ năng giải toán tốt

Các bài toán khác có thể khai thác như: Chứng minh từ luôn kẻ được 2 tiếp

tuyến với đường tròn Vì đường tròn có tâm và bán kính Do

nên nằm ngoài đường tròn Vì vậy, từ luôn kẻ được haitiếp tuyến đến

Lời giải học sinh cần thực hiện:

đường tròn tâm bán kính và tìm được

skkn

Ta có

Suy ra

Suy ra đường thẳng luôn đi qua điểm cố định , hay

Ví dụ 2.4 Cho đường tròn và đường thẳng

Tìm thuộc sao cho từ kẻ hai tiếp tuyến đến các tiếpđiểm là biết đường thẳng đi qua

Thay toạ độ vào ta tìm được

Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2.5 Cho đường tròn và đường thẳng

Biết và là các giá trị của để trên có duy nhất mộtđiểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (các tiếp điểm là) sao cho tam giác đều Tính giá trị

Lời giải

skkn

Đường tròn có tâm và Do đều nên

Suy ra thuộc đường tròn tâm bán kính bằng

Như vậy chính là giao của và

Để có duy nhất điểm khi chỉ khi tiếp xúc với

 Như vậy chúng ta đã phần nào hiểu được tính ứng dụng của bài toán gốc, và

cụ thể hơn đó là cách suy ra phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến được kẻ từ một điểm ở ngoài đường tròn Do vậy theo tôi bản chất của vấn đề là rất quan trọng, chỉ cần nắm được bản chất bài toán gốc thì việc quy lạ

về quen hay sáng tạo bài tập trở nên rất thú vị

Ví dụ 2.6 Cho đường tròn và hai đường thẳng

Đường thẳng không song song với trục tiếpxúc với đường tròn tại và cắt lần lượt tại và sao cho là trungđiểm của đoạn đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải

Lấy đối xứng qua ta được đường thẳng

Toạ độ điểm thoả mãn:

Với thì tiếp tuyến là: không thỏa mãn giả thiết

Với thì tiếp tuyến là thỏa mãn giả thiết

Trong các điểm đã cho có thuộc đường thẳng

skkn

 Bài toán sẽ rất khó nếu như không phát hiện ra Để giúp học sinh hình thành tư duy giải bài toán này, giáo viên cần hướng dẫn để học sinh trả lời các câu hỏi:

- Bài toán đã cho mấy giả thiết ?

- Quan hệ gì giữa các giả thiết 1 và giả thiết 2, giả thiết 2 và giả thiết 3, giả thiết 3 và giả thiết 1,…?

- Từ các cặp giả thiết đó chúng ta tìm thêm được yếu tố nào mới không ?

Có như vậy mới tập cho các em cách tiếp cận vấn đề, cách tư duy, và hơn hết

là các em biết phải bắt đầu từ đâu.

Bài tập tương tự:

Bài 1.1 Cho đường tròn Tìm toạ độ điểm thuộc trụctung sao cho qua có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến và góc giữa hai tiếp tuyến

đó bằng

Bài 1.2 Cho đường tròn và đường thẳng

Gọi là tâm của đường tròn là một điểm thuộc Qua kẻ các tiếp tuyến

đến (các tiếp điểm là ) Tìm toạ độ của điểm biết tứ giác

có diện tích bằng 10

Bài 1.3 Cho đường thẳng đường tròn có bán kính cắt tại hai điểm và sao cho Tiếp tuyến của tại và cắt nhau tạimột điểm thuộc tia Viết phương trình đường tròn

Bài 1.4 Cho hai đường thẳng và điểm

Viết phương trình đường tròn đi qua tiếp xúc và cắt theodây cung có độ dài bằng 8

 Dạng 3: Trường hợp cắt tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 3.1 Cho đường tròn và điểm Đườngthẳng qua và cắt tại hai điểm sao cho Hai đường thẳngthỏa mãn cắt nhau tại điểm nào sau đây

Lời giải

skkn

Phân tích: Đây là một bài toán không quá khó, kiểm tra kiến thức của học sinh về

mối liên hệ giữa dây cung và bán kính của đường tròn Học sinh cần vận dụng linh hoạt công thức liên hệ và bài toán viết phương trình đường thẳng.Đường tròn có tâm và bán kính

Gọi là trung điểm của Suy ra

Đường thẳng cần tìm là

Mặt khác:

Cho ta được

Vậy, có hai đường thẳng thoả mãn là: và

Hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm

Ví dụ 3.2 Cho đường tròn và điểm Viết phương trình đường thẳng qua cắt tại hai điểm và sao cho làtrung điểm của đoạn

Lời giải

Đường tròn có tâm và

Nhận thấy nằm trong đường tròn nên qua luôn cắt tại hai điểm phânbiệt và

Do là trung điểm của đoạn nên hay

Suy ra là đường thẳng qua nhận VTPT

Bài tập tương tự:

Bài 2.1 Cho đường tròn và điểm Viết phươngtrình đường thẳng qua cắt tại hai điểm phân biệt và sao cho

skkn

Bài 2.2 Cho đường tròn và điểm Viết phươngtrình đường thẳng qua cắt tại hai điểm phân biệt và sao cho

Bài 2.3 Cho đường tròn có tâm là và điểm

Viết phương trình đường thẳng qua thoả mãn:

1) Cắt theo một dây cung lớn nhất

2) Cắt theo một dây cung nhỏ nhất

3) Cắt tại hai điểm phân biệt và sao cho diện tích tam giác lớnnhất

Bài 2.4 Cho đường tròn và đường thẳng

với là tham số thực Gọi là tâm đường tròn Tìm

để cắt tại hai điểm phân biệt và sao cho diện tích tam giác lớnnhất

3 Bài tập ứng dụng

Ví dụ 3.1 Cho tam giác vuông ở tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

là đường cao và diện tích tam giác bằng 30 Biết

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

Toạ độ thoả mãn hệ:

Suy ra tọa độ điểm là , suy ra

Ví dụ 3.2 Cho tam giác có diện tích bằng 2, đường thẳng cóphương trình điểm là trung điểm của cạnh Điểm cótung độ dương là trung điểm cạnh Tìm

Nên chính là giao của và đường thẳng Toạ độ điểm thoả mãn hệ

Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu, suy ra

Ví dụ 3.3 Cho hình chữ nhật có tâm và phươngtrình đường thẳng Tìm toạ độ đỉnh và biết toạ độđỉnh có hoành độ âm

skkn

A B C D

Lời giải

Ta có

Suy ra

Hay thuộc đường tròn tâm bán kính

Như vậy là giao của đường tròn với đường thẳng Toạ độ thoả mãn hệ:

(do )Lấy đối xứng qua được và

Ví dụ 3.4 Xét hai số thực thoả mãn Giả sử ,

là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Tính

Lời giải

Trong mặt phẳng toạ độ lấy điểm

là đường tròn có tâm

là điểm chung của và

skkn

khi

Ví dụ 3.5 Cho hệ phương trình với là tham số Giả

sử là giá trị để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Khi đó thuộc khoảng nàosau đây?

Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

Tập nghiệm của là phần nằm giữa hai đường thẳng

lấy cả Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm

Nếu thì tập nghiệm của là hình tròn có tâm

và bán kính

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi là tiếp tuyến của đường tròn Nghĩa là :

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi

 Các ví dụ trên cho thấy ứng dụng hiệu quả và đa dạng trong giải toán Các bài toán Đại số - Giải tích là rất khó với học sinh phổ thông, nhưng có thể dễ hiểu

hơn nếu dùng công cụ hình học kết hợp hình ảnh trực quan.

skkn