Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nhiệm vụ chính của trường THPT là hoạt động dạy và học, nhằm đạt được mục tiêu "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài" Việc củng cố kiến thức phổ thông, đặc biệt là trong môn toán, là rất quan trọng vì toán học đóng vai trò thiết yếu trong đời sống con người Tuy nhiên, nhiều học sinh thường cảm thấy ngại học môn này do tính chất khó khăn và khối lượng kiến thức rộng lớn.
Để học tốt môn toán, học sinh cần nắm vững kiến thức khoa học một cách hệ thống và biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào các dạng bài tập Việc học cần đi đôi với thực hành, yêu cầu học sinh phát triển tư duy logic và khả năng biến đổi Giáo viên nên định hướng cho học sinh nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống, áp dụng lý thuyết vào giải bài tập, phân loại các dạng bài và tổng hợp các phương pháp giải khác nhau.
Tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm này nhằm hỗ trợ học sinh trong việc giải quyết các bài toán trắc nghiệm liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy lớp 12 tại Trường THPT & THCS Như Xuân, tôi nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn với các bài toán trắc nghiệm về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Để giúp học sinh nắm vững kiến thức và có hướng giải quyết rõ ràng, tôi đã hệ thống hóa các dạng bài tập cần thiết Vai trò của giáo viên trở nên quan trọng, khi cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cho từng dạng toán một cách hợp lý, giúp họ tránh những sai lầm do sự phức tạp và rườm rà trong suy luận Qua đó, học sinh sẽ phát triển kỹ năng tốt hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz.
Một số giải pháp giúp học sinh giải đƣợc một số bài toán trắc nghiệm về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Dựa trên nghiên cứu và kinh nghiệm thực tiễn, tôi đề xuất các giải pháp cụ thể nhằm giúp học sinh khắc phục sai lầm trong việc giải bài toán phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Những giải pháp này không chỉ hỗ trợ học sinh hiểu rõ hơn về vấn đề mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
2.3.1 Các kiến thức cơ bản
Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
1 Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT): Đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến u
thì d có vectơ chỉ phương a) Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lƣợt có VTCP a và b thì đường thẳng d có vectơ chỉ phương u a,b skkn
n 2 n 2 b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d
1 có VTCP a và song song mặt phẳng P có VTPT n , thì đường thẳng d có vectơ chỉ phương u
c) Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng P và Q
và Q là hai mặt phẳng phân biệt không song song nhau ) lần lƣợt có VTPT và thì đường thẳng d có vectơ chỉ phương u
2 Phương trình tham số của đường thẳng:
M o x0 ; y0 ; z0 là điểm thuộc đường thẳng và a (a 1 ;a 2 ;a 3 ) là VTCP của đường thẳng.
3 Phương trình chính tắc của đường thẳng: x x 0 y y 0 z z 0 a 1 a 2 a 3
M o x0 ; y0 ; z0 là điểm thuộc đường thẳng và a (a 1 ;a 2 ;a 3 ), a 1.a 2 a 3
0 là VTCP của đường thẳng.
2.3.2 Một số giải pháp giải bài toán trắc nghiệm về phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Giải pháp 1: viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A , cắt và vuông góc đường thẳng d
Phương Pháp a) Cách tự luận
- Tìm giao điểm qua A và vuông góc d ,
- Đường thẳng cần tìm đi qua
- Gọi B d , B thuộc d nên viết đƣợc tọa độ B theo tham số t ,
0 , ta tìm đƣợc tham số t , suy ra đƣợc toạ độ B , skkn
- Viết phương trình đi qua A và có vec tơ chỉ phương AB b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng đi qua điểm A
Bước 2: Kiểm tra ý vuông góc d (tức cần u
Bước 3: Kiểm tra ý cắt d (tức cần
AM 0, suy ra và d chéo nhau, loại đáp án đó.
Câu 1 Đường thẳng d đi qua điểm
A 1; 2; 2 , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ: x y 1 z
1 1 2 có tọa độ vectơ chỉ phương là
Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x 1
2 và điểm A 1; 1; 3 Phương trình chính tắc của đường
2 1 3 thẳng đi qua A , vuông góc và cắt đường thẳng d là
1 4 2 a) Cách giải tự luận Gọi H là giao điểm giữa đường thẳng skkn
H 1 2t;t; 2 3t d AH 2t;t 1; 3t 1 Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nên AH.u 0 t 1
2 2 làm vectơ chỉ phương Phương trình chính tắc của đường thẳng là: : x 1
Vậy chọn đáp án D. b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Trước tiên kiểm tra ý đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cả 4 đáp án đều có nên không loại đƣợc đáp án nào.
- Kiểm tra ý vuông góc d (tức cần u u d
0 ) Do tọa độ VTCP của chƣa có nên ta giả sử tọa độ VTCP của là X ;Y ; A , VTCP u d 2;1; 3 Ta bấm máy tính nhƣ sau 2X Y 3A
VTCP ở 4 đáp án, Cụ thể: sau đó nhấn CALC nhập X ,Y , A là tọa độ
Kiểm tra đáp án A nhấn CALC:
Kiểm tra đáp án B nhấn CALC:
1, A 3 kết quả 14 ≠ 0 nên loại đáp án A
1, A 1 kết quả 0 = 0, tạm nhận đáp án B
Kiểm tra đáp án C nhấn CALC: đáp án C.
X 2,Y 1, A 1 kết quả 0 = 0 nên tạm nhận
Kiểm tra đáp án D nhấn CALC: án D.
2 kết quả 0 = 0 nên tạm nhận đáp
- Phải kiểm tra tiếp ý cắt d (tức cần
0, A , M d Nhập máy tính tính thì chỉ có đáp án D là có kết quả là 0, nên ta chọn đáp án D.
Giải pháp 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , song song mặt phẳng P
Phương pháp skkn và cắt đường thẳng d a) Cách giải tự luận skkn
- Viết pt mp Q đi qua A và song song với P
- Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm
-Gọi M d d B thuộc d nên viết đƣợc tọa độ B theo tham số t
P nên giải phương trình AM n P 0 , ta tìm được tham số t , suy ra tìm đƣợc M
- Viết phương trình d đi qua A và có vec tơ chỉ phương b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng đi qua điểm A
Bước 2: Kiểm tra ý d song song mp P (tức cần n P u d
Bước 3: Kiểm tra ý d cắt d (tức cần kiểm tra:
1 3 2 và mp () : x y z 5 0 và điểm A 1; 2; 1 Đường thẳng đi qua A cắt d và song song với mp có phương trình là
là mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2;
1 và song song với mp nhận skkn n 1;1; 1 làm vec tơ chỉ phương Phương trình mp P : x y z 4 0 skkn n Q u d , AM
là mặt phẳng đi qua điểm A 1;2;
1 và chứa đường thẳng d Lấy
13; 1; 5 làm vectơ pháp tuyến Phương trình Q :13x y 5z 16 0 Đường thẳng P Q nên VTCP của : u
3 4 7 b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đường thẳng đi qua điểm A : cả 4 đáp án đều thỏa nên không loại đƣợc đáp án nào.
- Kiểm tra ý d song song mp (tức cần n
0 ) Do tọa độ VTCP của d chƣa có nên ta giả sử tọa độ VTCP của d là X ;Y ; A , VTPT n 1;1; 1 Ta bấm máy tính nhƣ sau X Y A
VTCP ở 4 đáp án, Cụ thể: sau đó nhấn CALC nhập X ,Y , A là tọa độ
Kiểm tra đáp án A nhấn CALC: X án A.
3,Y 4, A 2 kết quả -3 ≠ 0 nên loại đáp
Kiểm tra đáp án B nhấn CALC:
1 kết quả 2 ≠ 0 nên loạ đáp án
Kiểm tra đáp án C nhấn CALC: án C.
4 kết quả 0 = 0 nên tạm nhận đáp
Kiểm tra đáp án D nhấn CALC:
7 kết quả 0 = 0 nên tạm nhận đáp án
- Ta kiểm tra tiếp ý đường thẳng đi qua A cắt d (tức cần
0, A, M d ) Nhập máy tính tính thì chỉ có đáp án D là có kết quả là 0 nên ta chọn đáp án D. skkn
Giải pháp 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc đường thẳng d
1 và cắt đường thẳng d 2 skkn
Phương pháp a) Cách giải tự luận
- Tìm giao điểm qua A và vuông góc d 1
- Đường thẳng cần tìm đi qua b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng đi qua điểm A
Bước 2: Kiểm tra ý d vuông góc đường thẳng d
Bài tập d 2 (tức kiểm tra:
Câu 4 Cho hai đường thẳng d : x 1
Đường thẳng đi qua điểm phương trình là
A 3;1;0 , vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt d 2 có
đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng d 1
23. b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng đi qua điểm A Ta không loại được đáp án nào.
Bước 2: Kiểm tra ý vuông góc đường thẳng d 1 (tức cần u u d 0 )
Lưu ý: Ở bước này để kiểm tra nhanh ta cần xem VTCP của ở mỗi đáp án có tọa đô X ;Y ; A , với VTCP u 3;5; 1
A sau đó nhấn phím CALC ở máy tính nhập lần lƣợt tọa độ VTCP X ?,Y ?, A
Đường thẳng có các đáp án A, B cho kết quả bằng 0, trong khi đáp án C và D cho kết quả khác 0 Do đó, chúng ta có thể loại bỏ các đáp án C và D, giữ lại A và B.
Ta chọn đƣợc đáp án A.
Giải pháp 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng
Phương pháp d 1 , d 2 a) Cách giải tự luận
- Viết phương trình mặt phẳng P
đi qua điểm A và chứa đường thẳng d 1
- Đường thẳng cần tìm đi qua b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng d đi qua điểm A
Bài tập d 2 (tức kiểm tra:
Câu 5 Viết phương trình đường thẳng d qua
2;3 và cắt cả hai đường x y 1 z 1 thẳn g d :
Lời giải a) Cách giải tự luận
2;3 và chứa đường thẳng d 1 có VTPT: n u d , AM 5;1; 2 là: 5x y 2z 1 0
Tìm B P d 2 B 1; 2;1 Đường thẳng d đi qua A, B có VTCP u AB 0; 4; 2
Phương trình tham số d là y 2 2u Vậy chọn đáp án D.
z 3 u b) Cách thử đáp án ngƣợc
-Kiểm tra ý đường thẳng d đi qua điểm A Ta không loại được đáp án nào.
-Kiểm tra ý d cắt d 1 (tức kiểm tra
+ Kiểm tra đáp án A ta có:
.AM 4 0, nên loại đáp án A. d skkn
+ Kiểm tra đáp án B ta có:
+ Kiểm tra đáp án C ta có
8 0, nên loại đáp án C. skkn
Câu 6 Biết đường thẳng đi qua điểm
A 1;0;1 và cắt cả hai đường thẳng sau
x t và d : y 1 2t Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
0;1 và chứa đường thẳng d có VTPT n
Tìm B P d B 1 ; 3 ; 9 Đường thẳng đi qua A, B có VTCP:
4 có phương trình chính tắc là: x 1
6 3 4 b) Cách thử đáp án ngƣợc
Để kiểm tra xem đường thẳng có đi qua điểm A hay không, ta thay tọa độ của điểm A vào 4 đáp án Kết quả cho thấy đáp án A và D không thỏa mãn điều kiện bằng nhau, do đó, có thể loại bỏ đáp án A và D.
- Kiểm tra ý cắt đường thẳng d và d ' ở hai đáp án B và C (tức kiểm tra skkn
+ Kiểm tra đáp án B cắt d ta có:
+ Kiểm tra đáp án B cắt d ta có:
Giải pháp 5: Viết phương trình đường thẳng song song đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng
Phương pháp d 1 và d 2 a) Cách giải tự luận
- Viết phương trình qua A có VTCP b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng song song đường thẳng d VTCP u a;b;c ,
0) thì ∆ m n p song song d hoặc ∆ trùng d
Câu7 Cho các đường thẳng d : y 2 4u
Gọi là đường thẳng song song với d và cắt hai đường
Phương trình P song song d và chứa d
1 có VTPT n u d ,u d 16;1;4 và đi qua M 1; 2; 2 d 1 là: 16x y 4z 10 0
A P d 2 A 1; 2;1 Đường thẳng đi qua A và có VTCP u 0; 4; 1
x 1 là: y 2 4t Vậy ta chọn đáp án C.
z 1 t b) cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đường thẳng song song đường thẳng d
- Kiểm tra đáp án A: u 0; 4;1 , u 0; 4; 1 , tỉ lệ 4 1 nên loại A.
- Kiểm tra đáp án B: u 1 1; 4; 1 , u 0; 4; 1 , tỉ lệ 0 4 nên loại B.
-Kiểm tra đáp án D: u 1; 4; 1 , u 0; 4;1 ,tỉ lệ 0 4 1 nên loại D.
-Kiểm tra đáp án C: u 0; 4; 1 , u d 0; 4;1 Ta chọn đáp án C.
Câu 8 Cho đường thẳng ∆ song song đường thẳng d : y 1
z 1 t3t và cắt cả hai đường thẳng d : x 1
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là
Lời giải a) Cách giải tự luận
song song d và chứa d 1 có VTPT n u ,u 1 13; 5; 2 và đi qua
A P d A 2 1 ;6; 5 Đường thẳng đi qua A và có VTCP u d 1;3; 1
3 t là: y 6 3t Vậy chọn đáp án C.
3 b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đường thẳng ∆ song song đường thẳng d
- Kiểm tra đáp án A: u 1;3; 1 , u (1;3;1), tỉ lệ 1
- Kiểm tra đáp án B: u 1;3; 1 , u (1; 3; 1) , tỉ lệ 1 3
- Kiểm tra đáp án C: u 1;3; 1 , u (1;3;1), tỉ lệ 1
- Kiểm tra ý đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d 1 và d 2
u ,u d .AM 0 nên loại A Vậy ta chọn đáp án C.
Giải pháp 6: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc mặt phẳng P và cắt hai đường thẳng
Phương pháp a) Cách giải tự luận d 1 , d 2
Viết phương trình mp Q chứa d và d 1
- Viết phương trình đường thẳng d b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bước 1: Kiểm tra ý đường thẳng d vuông góc mp P Ta cần kiểm tra cùng phương.
Bài tập d 2 (tức kiểm tra:
Câu 9 Cho hai đường thẳng : x
z 3 trình đường thẳng vuông góc với mp P : 7x y 4z 0 và cắt hai đường thẳn g 1 và 2 là:
Gọi A 2 Q A 5; 1;3 Đường thẳng ∆ đi qua
P 7 1 4 b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đường thẳng ∆ vuông góc mp P Ta cần kiểm tra phương. cùng
- Kiểm tra đáp án A: u (7;1; 4), n (7;1;4) , tỉ lệ 7 1
- Ta kiểm tra đáp án B: u
- Ta kiểm tra đáp án C: u
-Ta kiểm tra đáp án D: u
- Kiểm tra ý đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
1 và Kiểm tra ở đáp án C skkn có cắt đường thẳng
2 ?(tức kiểm tra u ,u .AM 0, A, M 1 và
.AN 0, A, N 2 ) Vậy ta chọn đáp án C.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sáng kiến kinh nghiệm này giúp nâng cao chất lượng giáo dục và hỗ trợ học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Học sinh sẽ nắm vững các dạng toán và phân biệt được cách viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Đề tài này được áp dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh khối.
Đề tài này cung cấp 12 hệ THPT và tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên dạy môn Toán, giúp họ và học sinh sử dụng bài toán làm cơ sở để giải quyết các bài tập cụ thể Qua nhiều năm giảng dạy lớp 12 ôn thi Đại học và THPT Quốc Gia, đề tài đã nhận được sự đồng tình từ học sinh và mang lại kết quả cao, đặc biệt trong việc nâng cao khả năng giải các bài toán về đường thẳng trong không gian Học sinh cũng thể hiện sự hứng thú học tập hơn, với những lớp được hướng dẫn kỹ, học sinh có trình độ trung bình khá đã phát triển kỹ năng giải bài tập rõ rệt Kết quả kiểm tra đầu năm học cho thấy sự cải thiện đáng kể trong điểm số của học sinh ở cả hai lớp.
Số Hs % Số Hs % Số Hs % Số Hs %
Sau một thời gian giảng dạy theo chuyên đề, tôi đã tiến hành kiểm tra trên cả hai lớp với nội dung tương tự và thu được kết quả như sau: lớp Sĩ số, Điểm Giỏi, Điểm Khá, Điểm Trung Bình và Điểm Yếu Kém.