Bài giảng Động lực học hệ nhiều vật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Khoa Cơ khí – Bộ môn Cơ học kỹ thuật ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT Tên giảng viên Lương Bá Trường email truonglb@tlu edu vn ĐT 034 8216767 mailto truonglb@tlu edu vn Nội dung môn h[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Khoa Cơ khí – Bộ môn Cơ học kỹ thuật

ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT

email: truonglb@tlu.edu.vn

Nội dung môn học

Trong ngành công nghiệp sản xuất hiện đại, robot đóng vai trò quan trọng thay thế con người thực hiện công việc nhanh chóng, hiệu quả

Nội dung môn học

Giáo trình và tài liệu tham khảo

[1] GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, “Động lực học hệ nhiều vật”,

NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2017

[2] GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, TS Chu Anh Mỳ “Cơ sở robot

công nghiệp”, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ PHÉP TÍNH

MA TRẬN, VÉC TƠ

Cho m, n là hai số nguyên dương, một bảng chữ nhật gồm các phần tử aij

được sắp xếp thành m hàng, n cột được gọi là một ma trận cỡ m × n

§1 Ma trận và các phép tính đại số ma trận

- Các phần tử của ma trận có thể là hằng

số hoặc hàm

- Ma trận có các phần tử là ma trận được gọi là ma trận khối

1.2 Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một hằng số

1.3 Ma trận vuông

a Các định nghĩa

Ma trận vuông: Ma trận A có số hang bằng số cột (m=m) được gọi là ma

trận vuông, hay ma trận vuông cấp n

n n

Ma trận đường chéo: Ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài đường

chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận đường chéo

Ma trận đơn vị: Ma trận đường chéo mà các phần tử nằm trên đường chéo

chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị

Vết của ma trận: Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận

vuông A được gọi là vết (trace) của ma trận A

Định thức con và phần phụ đại số: Định thức con 𝑀𝑖𝑘 của phần tử 𝑎𝑖𝑘 của

ma trận vuông A là định thức cấp n-1 suy ra từ A bằng cách bỏ đi hang thứ

i và cột thứ k Phần phụ đại số của phần tử 𝑎𝑖𝑘 của ma trận vuông A kí

hiệu 𝐴𝑖𝑘, được định nghĩa bởi công thức

  1 i k

Định thức cấp n: Định thức cấp n là một sự sắp xếp 𝑛2 phần tử 𝑎𝑖𝑘 thành một bảng vuông

Khai triển theo cột thứ k

Khai triển theo hang thứ i

Chú ý: det A  det AT, det     Α  n det A

- Nếu detA ≠ 0, ma trận A được gọi là ma trận chính quy

- Nếu detA = 0, ma trận A được gọi là ma trận kì dị

c Ma trận đối xứng và ma trận đối xứng lệch

Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông cấp n Nếu 𝑨 = 𝑨𝑻 thì A được

gọi là ma trận đối xứng, nếu 𝑨 = −𝑨𝑻 thì A được gọi là ma trận đối xứng

lệch (skew symmetric)

Chương 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ

Định lý: Cho A là một ma trận vuông tùy ý Ma trận A luôn có thể được

phân tích thành tổng của một ma trận đối xứng 𝑨𝑠 và một ma trận đối xứng lệch 𝑨𝑎

Định nghĩa: Cho A là ma trận cỡ m × p, B là ma trận cỡ p × n Tích của hai

ma trận A và B là ma trận C cỡ m × n được xác định bởi công thức sau

Nếu tồn tại một ma trận con cấp r (ký hiệu là

𝑨𝒓) của ma trận A mà định thức của nó detA

≠ 0, còn mọi ma trận con cấp r + i khác của

Nếu 𝑟𝑐 là số tối đa các véctơ cột độc lập

tuyến tính của A còn 𝑟ℎ là số tối đa các

véctơ hàng độc lập tuyến tính của A

§2 Véctơ hình học trong không gian ba chiều

c Tích vô hướng (nội tích) của hai véctơ

a b a b   a b  a b

Chương 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ

d Tích hữu hướng (tích véctơ hay ngoại tích) của hai véctơ

§3 Véctơ đại số trong không gian ba chiều

3.1 Định nghĩa véctơ đại số

1 1 2 2 3 3

a a e  a e  a e

Cho véctơ hình học 𝑎 trong không gian ba chiều Trong hệ quy chiếu

R = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} véctơ 𝑎 có thể được biểu diễn dưới dạng

Ma trận cột có các thành phần là các tọa độ của véctơ hình học 𝑎 trong hệ quy chiếu R = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} được gọi là véctơ đại số Ký hiệu là a

a e e Khi cần thiết ta phải

ghi rõ hệ quy chiếu

T

- Véctơ hình học không phụ thuộc hệ QC

- Véctơ đại số phụ thuộc hệ QC

Chương 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ

3.2 Toán tử song của véctơ trong không gian ba chiều

Định nghĩa: Cho véctơ a trong không gian ba

chiều Toán tử sóng của véctơ đại số a là một

ma trận vuông cấp 3 được định nghĩa như sau

Tích vô hướng của hai véctơ

Tích hữu hướng của hai véctơ

§4 Đào hàm riêng theo biến véctơ của hàm ma trận

4.1 Đạo hàm riêng theo biến véctơ của hàm vô hướng

T n



x

Cho α là một hàm vô hướng của biến x:

Gọi x là biến véctơ có n phần tử

4.2 Đạo hàm riêng theo biến véctơ của hàm véctơ

x x

x

Ma trận trên được gọi là ma trận Jacobi của véctơ a theo véctơ x

Chương 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ

4.3 Đạo hàm riêng theo biến véctơ của hàm ma trận

 R m p   , x1 x2 x nT

Cho hàm ma trận và biến véctơ tương ứng

Định nghĩa 3: Đạo hàm riêng của hàm ma trận A(x) theo biến véctơ x được

4.4 Tích Kronecker của hai ma trận

a Tích Kronecker của hai ma trận

1

p ij

Định nghĩa 5: Cho A∈ 𝑅𝑛×𝑝 và B∈ 𝑅𝑞×𝑠 Tích Kronecker của hai ma trận

A⨂B là ma trận cỡ mq×ps được định nghĩa bởi biểu thức

Chương 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ

Chương 1: Một số phép tính Ma trận, véctơ

b Tích Kronecker của hai véctơ

Từ định nghĩa trên ta suy ra tích Kronecker của hai véctơ như sau

CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC VẬT RẮN

1.1 Bài toán định vị và định hƣợng vật rắn trong không gian

e

A

Ar

e

  1 1

e

  1 2

e

  1 3

- Vị trí của điểm A bất kì thuộc vật rắn B

- Vị trí của hệ quy chiếu R1 đối với điểm A

Vị trí của điểm A được xác định bởi véctơ

Xét điểm P bất kì thuộc vật rắn B, vị trí

của điểm P được xác định bởi véctơ

b Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng

e

Ar

B

O   0 2

e

  0 1

e

  1 1

e

  1 2

e

  1 3

T R

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

1.3 Các tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng

Định lý 1: Ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao

1.4 Định lý Euler về chuyển động quay hữu hạn của vật rắn có một điểm cố định

Hệ quả: Chuyển động quay tức thời của vật rắn quanh một điểm cố định O

là chuyển động quay quanh trục tức thời đi qua điêm O cố định đó

Định lý Euler: Cho R0 và R1 là hai hệ quy chiếu có chung điểm gốc tại O

Hệ quy chiếu R1 gắn chặt vào vật rắn B A là ma trận cosin chỉ hướng của

vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0 Ta có thể quay hệ quy chiếu R0 sang hệ quy chiếu R1 bằng một phép quay hữu hạn quanh trục Δ đi qua O Hướng của trục Δ là hướng của véctơ riêng 𝑢 ứng với trị riêng λ =1 của ma trận

cosin chỉ hướng A

Chú ý: Các phép quay hữu hạn không có tính chất giao hoán

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

1.5 Các ma trận quay cơ bản

- Hướng quay dương là hướng quay ngược

chiều KĐH

- Các phép quay quanh các trục x, y, z của hệ

b Phép quay cơ bản quanh trục y và trục z

Xét một vật rắn B chuyển động trong hệ quy

chiếu cố định R0 Lấy 𝑐 là một véctơ tùy ý

khác không thuộc vật rắn B Véctơ 𝑐 có độ lớn

không đổi trong suốt quá trình chuyển động

Vận tốc góc của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0 là một véctơ, kí hiệu

là mà khi nhân với véctơ 𝑐 ta thu được đạo hàm trong hệ quy chiếu cố định

0

dt

2.2 Gia tốc góc của vật rắn

Định nghĩa: Gia tốc góc của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0 là một đại lượng véctơ, ký hiệu là , có được bằng cachs đạo hàm theo thời gian trong hệ quy chiếu cố định R0 của véctơ vận tốc góc của vật rắn B

Chú ý: Khi khảo sát chuyển động cuả vật rắn đối với một hệ quy chiếu ta

có thể bỏ các chỉ số trên ở trong các ký hiệu vận tốc góc và gia tốc góc và viết ngắn gọn là 𝜔 và 𝛼

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

  0 2

e

  0 1

e

  1 2

e

  1 3

Ta gắn chặt vào vật rắn B một hệ quy chiếu

vuông góc R1 có các véctơ đơn vị trên các trục

tọa độ như hình bên

Vận tốc góc của vật rắn B trong hệ quy

chiếu cố định được xác định bởi công thức:

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

b Xác định vận tốc góc của vật rắn từ ma trận cosin chỉ hướng

Cho A là ma trận cosin chỉ hướng của vật

rắn B trong hệ quy chiếu cố định Khi đó

toán tử sóng của véctơ vận tốc góc của vật

rắn trong hệ quy chiếu cố định được xác

0 0

e

A

Ar

e

  1 1

e

  1 2

e

  1 3

đạo hàm 2 véctơ bất kì thuộc vật rắn

Giả sử 𝑎 và 𝑏 là 2 véctơ khác không, thuộc

vật rắn B và không song song với nhau

Khi đó vận tốc góc của vật rắn B được xác



 



Chương 2: Phân tích động học vật rắn

§3 Công thức cộng vận tốc góc và công thức công gia tốc góc

Cho hai hệ quy chiếu như hình bên 𝑅0 là hệ

quy chiếu cố định, 𝑅1 là hệ quy chiếu động

Vận tốc góc của vật rắn B trong hệ quy

chiếu cố định (Vận tốc góc tuyệt đối)

    

3.2 Công thức công gia tốc góc của vật rắn

Đạo hàm theo thời gian công thức công vận tốc góc của vật rắn trong hệ quy chiếu cố định ta được

§4 xác định hướng của vật rắn bằng các tọa độ suy rộng

4.1 Các goac Euler (Euler Angles)

Ba góc ψ, θ, φ được gọi là 3 góc Euler Sử dụng các

góc Euler ta có thể quay hệ quy chiếu 𝑂𝑥0𝑦0𝑧0 sang hệ

quy chiếu Oxyz bằng 3 phép quay như sau

- Quay hệ quy chiếu 𝑅0 = 𝑂𝑥0𝑦0𝑧0 quanh trục 𝑂𝑧0 một góc ψ để trục 𝑂𝑥0chuyển tới đường nút OK Với phép quay này, hệ quy chiếu 𝑂𝑥0𝑦0𝑧0chuyển sang hệ quy chiếu 𝑅1 = 𝑂𝑥1𝑦1𝑧1 với 𝑂𝑧0 ≡ 𝑂𝑧1

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

- Quay hệ quy chiếu 𝑅1 = 𝑂𝑥1𝑦1𝑧1 quanh trục

𝑂𝑥1 ≡ 𝑂𝐾 một góc θ để trục 𝑂𝑧1 chuyển tới trục

𝑂𝑧2 ≡ 𝑂𝑧 Hệ quy chiếu 𝑂𝑥1𝑦1𝑧1 chuyển sang hệ

quy chiếu 𝑂𝑥2𝑦2𝑧2 với 𝑂𝑥1 ≡ 𝑂𝑥2 ≡ 𝑂𝐾

Ma trận cosin chỉ hướng của phép quay Euler

Tọa độ của một điểm P bất thì thuộc vật rắn B trong hệ quy chiếu cố đinh:

z z

Thế các ma trận quay vào ta được

Tương tự các phép quay Euler, ta có các góc Cardan, các góc

Roll – Pitch – Yaw (Đọc giáo trình)

§5 Xác định vận tốc, gia tốc của một điểm bất kì thuộc vật rắn

5.1 Xác đinh vận tốc của một điểm bất kì thuộc vật rắn

P

u

P

Vị trí của điểm P được xác định bởi véctơ

Đạo hàm phương trình trên trong hệ quy chiếu

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

0

y

Ar

Chương 2: Phân tích động học vật rắn

0

y

Ar

P

u

5.2 Xác định gia tốc của một điểm bất kỳ

thuộc vật rắn

Đạo hàm theo thời gian biểu thức (4) trong hệ

quy chiếu cố định ta được

Chiếu phương trình véctơ trên lên hệ quy chiếu

cố định ta được phương trình ma trận sau

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC

HỆ NHIỀU VẬT

1.1 Ma trận cosin chỉ hướng toàn cục và ma trận cosin chỉ hướng

địa phương

Chương 3: Phân tích động học hệ nhiều vật

§1 Các mối quan hệ động học cơ bản của hệ nhiều vật

Cho hệ nhiều vật như hình vẽ bên ma

trận cosin chỉ hướng của vật rắn 𝐵𝑖 đối

với hệ quy chiếu 𝑅𝑖−1(gắn liền vào vật

rắn 𝐵𝑖−1) được gọi là ma trận cosin chỉ

hướng địa phương, ký hiệu là:

Quan hệ giữa các ma trận trên

Ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn 𝐵𝑖 đối

với hệ quy chiếu 𝑅0 được gọi là ma trận cosin

chỉ hướng toàn cục, ký hiệu là:

Xác định vận tốc góc các khâu của hệ nhiều vật

   

   

0 0

i i

Đạo hàm véctơ định vị khối tâm 𝒓𝑖 theo thời gian trong hệ quy chiếu cố định ta được vận tốc khối tâm của vật rắn

Ma trận trên được gọi là ma trận Jacobi tịnh tiến của vật rắn Bi

Khi đó biểu thức vận tốc khối tâm của vật rắn có dạng

Ma trận trên được gọi là ma trận Jacobi quay của vật rắn Bi

Khi đó biểu thức vận tốc góc của vật rắn Bi có dạng

   

   

0 0

§2 Phân tích động học hệ nhiều vật có cấu trúc cây bằng phương pháp

ma trận Denavit – Hartenberg - Craig

r  xe  ye  ze

2.1 Các tọa độ thuần nhất và các ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

a Tọa độ vật lý và tọa độ thuần nhất

y

x

z

Vị trí điểm P trong không gian 3 chiều được

xác định bởi véctơ sau

Các tọa độ (x,y,z) được gọi là tọa độ vật lý

của điểm P trong không gian 3 chiều, kí hiệu:

vlr  x y z

Giả sử σ là một đại lượng vô hướng khác không tùy ý Tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinate) của điểm P trong không gian 4 chiều được định nghĩa như sau

Chú ý: Trong kỹ thuật người ta thường chọn σ = 1

b Biến đổi phép cộng véctơ trong không gian vật lý ba chiều sang phép nhân ma trận trong không gian thuần nhất bốn chiều

Cho 𝑎 , 𝑏 là hai véctơ trong không gian ba chiều

Như đã biết phép cộng hai véctơ được xác định bởi biểu thức:

2.2 Ma trận Denavit – Hartenberg – Craig

a Cách xác định các trục của hệ tọa độ khớp

Tại khớp thứ i của hệ nhiều vật,

người ta xây dựng một hệ tọa độ

khớp (Oxyz) i tuân theo các quy

định như sau

1 Trục 𝑧𝑖 được chọn theo trục

khớp động thứ i

2 Trục 𝑥𝑖 được chọn theo đường

vuông góc chung của hai trục 𝑧𝑖

và 𝑧𝑖+1, hướng từ 𝑧𝑖 tới 𝑧𝑖+1

Nếu 𝑧𝑖 cắt 𝑧𝑖+1 thì hướng trục 𝑥𝑖 được chọn tùy ý miễn là vuông góc

với 𝑧𝑖 Nếu 𝑧𝑖//𝑧𝑖+1 có vô số đường vuông góc chung, trục 𝑥𝑖 được

chọn hướng theo phán tuyến chung nào cũng được

3 Gốc tọa độ 𝑂𝑖 là giao điểm của 𝑥𝑖 và 𝑧𝑖

4 Trục 𝑦𝑖 được chọn sao cho *𝑂𝑥𝑦𝑧+𝑖

là hệ quy chiếu thuận

b Các tham số động học Craig

Vị trí của hệ tọa độ khớp *𝑂𝑥𝑦𝑧+𝑖 đối

với hệ tọa độ *𝑂𝑥𝑦𝑧+𝑖−1 khớp được xác

định bằng 4 tham số sau

+ 𝛼𝑖−1: Góc quay quanh trục 𝑥𝑖−1 để

trục 𝑧𝑖−1 tiến tới 𝑧′𝑖//𝑧𝑖

+ ai−1: Đoạn dịch chuyển tịnh tiến theo trục 𝑥𝑖−1 để 𝑂𝑖−1 tiến tới 𝑂′𝑖

+ 𝜃𝑖: Góc quay quanh trục 𝑧𝑖 để trục 𝑥𝑖−1 tiến tới 𝑥′𝑖 (𝑥′𝑖//𝑥𝑖)

+ 𝑑𝑖: Đoạn dịch chuyển dọc trục 𝑧𝑖 để trục 𝑥′𝑖 tiến tới 𝑥𝑖 (𝑂′𝑖 ≡ 𝑂𝑖)

1;

d

 Là biến nếu là khớp quay

Là biến nếu là khớp tịnh tiến

c Ma trận Denavit - Hartenberg - Craig

- Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục 𝑧𝑖 một đoạn 𝑑𝑖

Ma trận của phép điến đổi 𝑲𝑖 là tích của bốn ma trận biến đổi cơ bản

Ma trận 𝑲𝑖 xác định như trên được gọi là ma trận Denavit - Hartenberg -

Craig địa phương

Áp dụng liên tiếp các phép biến đổi trên ta được

Khi biết được ma trận Denavit - Hartenberg - Craig toàn cục, ta biết được

ma trận cosin chỉ hướng 𝑨𝑖 của khâu thứ i đối với hệ quy chiếu cố định Từ

đó ta có thể xác định vận tốc góc của vật rắn thứ i theo công thức đã biết:

Công thức xác định vị trí khối tâm và vận tốc khối tâm 𝐶𝑖

Xét mô hình robot 2 khâu phẳng như

hình vẽ bên, với các tọa độ suy rộng và

hệ trục tọa độ như trên hình ta có bảng

các tham số động học Craig của robot

Từ đó ta tính được ma trận Craig toàn cục

01

Đạo hàm theo thời gian tọa độ điểm E trong hệ quy chiếu cố định ta được vận tốc điểm thao tác E

E E

dx

dt dy

0 0

CHƯƠNG 4 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Chương 4: Động lực học vật rắn

§1 Tenxơ quán tính khối của vật rắn

1.1 Tenxơ quán tính khối của vật rắn đối

với một điểm thuộc vật

C

dm

Định nghĩa: Lấy 1 điểm A bất kì thuộc vật

rắn B Tenxơ quán tính khối của vật rắn B

đối với điểm A được định nghĩa bởi hệ thức:

Khi A là khối tâm C của vật rắn B và 𝑅1 là hệ quy chiếu quán tính chính thì 𝑰𝐴(1) có dạng ma trận đường chéo

Biểu thức động lượng của vật rắn B trong hệ quy chiếu R có dạng

Động lượng của vật rắn là một đại lượng véctơ

2.2 Biểu thức momen động lƣợng của vật

rắn đối với một điểm thuộc vật

Momen động lượng của vật rắn B đối với

điểm A được định nghĩa bởi biểu thức sau

A

B

l   u vdm 

Chương 4: Động lực học vật rắn

Một vài trường hợp riêng

- Nếu điểm A là khối tâm của vật rắn

Chương 4: Động lực học vật rắn

2.4 Biểu thức động năng của vật rắn

Động năng của vật rắn là một đại lượng vô hướng được xác định bởi

Trong hệ quy chiếu cố định, động năng của

vật rắn được viết dưới dạng ma trận như sau

Chương 4: Động lực học vật rắn

3.1 Định lý biến thiên momen động lượng của vật rắn

Theo định nghĩa biểu thức momen động lượng của vật rắn B đối với điểm A thuộc vật có dạng

Đạo hàm biểu thức trên theo thời gian trong

hệ quy chiếu cố định và thực hiện một số

phép biến đổi ta được