Mũ và Logarit 36 §1 – Lũy thừa và hàm số lũy thừa 36 A
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm sốy =f(x) xác định trênK, ta có
• Hàm số y=f(x) được gọi làđồng biến (tăng) trênK nếu với mọi x 1 , x 2 ∈K,x 1 < x 2 thì f(x 1 )< f(x 2 ).
• Hàm số y =f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x 1 , x 2 ∈K, x 1 < x 2 thì f(x 1 )> f(x 2 ).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung làđơn điệu trên K.
• Hàm số f(x) đồng biến trên K khi và chỉ khi f(x 2 )−f(x 1 ) x 2 −x 1 >0, ∀x 1 , x 2 ∈K, x 1 6=x 2
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. x y O
• Hàm số f(x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi f(x 2 )−f(x 1 ) x 2−x 1
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. x y
• Nếu f 0 (x)>0, ∀x∈(a;b) thì hàm số f(x) đồng biếntrên khoảng (a;b).
• Nếu f 0 (x) f(x₀) với mọi x thuộc (a;b) \ {x₀} Khi đó, giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
• x 0 làđiểm cực đại của hàm sốf nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho (a;b)⊂K vàf(x)< f(x 0 ), ∀x∈(a;b)\ {x 0 } Khi đó f(x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf.
• Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)của hàm số.
• Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x 0 ;f(x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thịhàm số f.
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x 0 ) không nhất thiết là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; nó chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong một khoảng (a;b) nào đó chứa x 0 Khi x 0 là điểm cực đại (cực tiểu), sẽ tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho f(x 0 ) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trong khoảng đó.
• Hàm sốf có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
Với (a;b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b. x y c
Hàm số f đạt cực đại tại x=c Hàm số f đạt cực tiểu tại x=c
C MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý x y x CĐ y CĐ x CT y CT
O Điểm cực đại của đồ thị Điểm cực đại của hàm số
Giá trị cực đại (cực đại) của hàm số Điểm cực tiểu của hàm số Điểm cực tiểu của đồ thị
Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số
• Hàm số f có cực trị khi và chỉ khi y 0 đổi dấu.
• Hàm số f không có cực trị khi và chỉ khi y 0 không đổi dấu.
• Hàm số f chỉ có 1 cực trị khi và chỉ khi y 0 đổi dấu 1 lần.
• Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y 0 đổi dấu 2 lần.
• Hàm số f có 3 cực trị khi và chỉ khi y 0 đổi dấu 3 lần.
Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà đạo hàm của nó triệt tiêu hoặc không xác định.
• Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số, .
Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x₀, cần thỏa mãn điều kiện rằng nếu hàm số này có đạo hàm tại x₀, thì đạo hàm tại điểm đó phải bằng 0, tức là f'(x₀) = 0.
• Đạo hàm f 0 (x) có thể bằng 0 tại điểm x 0 nhưng hàm sốf không đạt cực trị tại điểm x 0
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
Để hàm số f có cực trị tại điểm x₀, cần điều kiện là hàm số này phải có đạo hàm tại điểm x₀, và khi đó đạo hàm f'(x₀) phải bằng 0.
• Nếuf 0 (x)>0trên khoảng (x 0 −h;x 0 )và f 0 (x) 0, thì có thể đưa ra các kết luận về tính chất của hàm số trong khoảng này.
• Nếuf 0 (x 0 ) = 0, f 00 (x 0 )0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x 0
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số.
2 Quy tắc 2 Để tìm cực trị của hàm số y=f(x) ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 1:Tìm tập xác định Tìm f 0 (x).
• Bước 2:Tìm các nghiệm x i (i= 1; 2; .) của phương trình f 0 (x) = 0.
– Nếuf 00 (x i )0 thì hàm sốf đạt cực tiểu tại điểmx i
G MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1 Cực trị của hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d, ( a 6= 0) a) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước.
Cho hàm số y=f(x;m) =ax 3 +bx 2 +cx+d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tạix 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước.
• Bước 1: Tập xác định D =R. Đạo hàm y 0 = 3ax 2 + 2bx+c=Ax 2 +Bx+C.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi đạo hàm y' = 0 có hai nghiệm phân biệt, và đạo hàm này đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
• Bước 3: Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y 0 = 0 Khi đó
3a. Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
• Bước 4: Biến đổi điều kiệnK về dạng tổng S và tích P Từ đó giải ra tìm được m ∈D2.
• Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn m∈D1∩D2.
Hàm số bậc bay =ax 3 +bx 2 +cx+d (a6= 0) Ta có y 0 = 3ax 2 + 2bx+c.
• Hàm số không có cực trị khi b 2 −3ac≤0.
• Hàm số có hai điểm cực trị khi b 2 −3ac >0.
(b) Điều kiện để hàm số có các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.
• Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu, tức là
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, tức là
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt, tức là
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt, tức là
(c) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x 1 ,x 2 thỏa mãn
• Hai điểm cực trị x 1 ,x 2 thỏa mãn x 1 < α < x 2 khi và chỉ khi
• Hai điểm cực trị x 1 ,x 2 thỏa mãn x 1 < x 2 < α khi và chỉ khi
• Hai điểm cực trị x 1 ,x 2 thỏa mãn α < x 1 < x 2 khi và chỉ khi
x 1 x 2 −α(x 1 +x 2 ) +α 2 >0 x 1 +x 2 >2α. b) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng.
(a) Vị trí tương đối của hai điểm với đường thẳng.
Cho hai điểm A(x A ;y A ),B(x B ;y B ) và đường thẳng ∆ :ax+by+c= 0.
• Nếu (ax A +by A +c)(ax B +by B +C)0 thì hai điểm A,B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆.
(b) Một số trường hợp đặc biệt.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía với trục Oy khi và chỉ khi hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu Điều này xảy ra khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt và cùng dấu.
Các điểm cực trị trên đồ thị nằm đối xứng qua trục Oy chỉ khi hàm số có hai điểm cực trị trái dấu, nghĩa là phương trình y' = 0 có hai nghiệm với dấu khác nhau.
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía với trục Ox khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt và đạo hàm bậc hai tại các điểm đó lớn hơn 0.
– Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía trên đối với trục Oxkhi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và
y CĐ ãy CT >0 y CĐ+y CT >0.
– Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía dưới đối với trục Oxkhi và chỉ khi phương trình y 0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và
y CĐ ãy CT >0 y CĐ+y CT