Full tài liệu tổng hợp và lời giải đề môn giải tích 1

sin .cosx xdx... Ta có: Thay vào đổi dấu: Đổi biến tsinx dt cosxdx.

0 1

a x x

+) Cách 3: Khai triển Maclaurin (chỉ sử dụng khi đã học Maclaurin)

Chú ý: Các dạng bài toán tính lim khi n (gặp dạng này thì chia cho số mũ cao nhất )

x

x I

0 0

cos 2 x cos3lim

=2

x

x

x

x I

2 0

coslim

( sin )cos

x x

2

2 0

coslim

sin

x x

x

x x

x x

3

0 0

2 cos =lim

sinsin

cos

x x x x

n n

20162016

n n

*) Các dạng bài toán tính lim khi x0

Bài 8 (Đề thi giữa kì K61)

Tính

2 0

coslim

( sin ).cos

x x

4

2 0

2

2 0

coslim

x x

x

x x

x x

2

1 1lim

x x

6

2

2 2

3.2017 lim

2 2017

2

3 2017

2017 2 2017 23

2016 =2016

n n

n

n

n n

n

n n

2017

0

2017 1 1

0

2017 1 lim

2017

2017 2017 1 lim

2017 2

x x





Ta có:

2 = lim

1 = lim

1 =

9

2 0

2

2 0

2 1 0lim

sin

x

x I

sin

x

x I

2 0

2

2 0

0

1 0

2 0

sin lim

cos 1 lim 3

2 lim 3 1 6

sin

sinlim 1

x

x x x x x x x

x x

x x x

2 3 0

x x

x

x x

* Chú ý: Ta đạo hàm (Lopital) đến khi thay số 0 là được

2) Dạng 2: Cách tìm cực trị hàm số dựa vào dấu f( )x

Cho hàm số f khả vi cấp 2 tại x và 0 f x( 0)0

+ Nếu f(x0)0 thì f đạt cực đại tại x 0

+ Nếu f(x0)0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

Tổng quát; Cho hàm số f khả vi cấp n tại x và 0 f x( ) 0   f(n1)( )x0 0

+ Nếu n lẻ thì f không đạt cực trị tại x 0

Đường thẳng  gọi là tiệm cận của đường cong C nếu MC; M ; d(M; ) 0

* Phân loại tiệm cận:

12

+ Miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn

+ Chiều biến thiên, cực trị, lồi lõm, điểm uốn

2

x x

x x

13

2 1

2 2

3 3

3 2

2 31

14

F(x)



32

1



Vậy 3

02

ln(1 2 )

x x

x x x

     nên hàm số liên tục trên R

Bài 2 (Thi giữa kì K63):

Xác định a, b để các hàm sau liên tục trên R

2

1, neu 0( )

cos sin , neu 0

17

2 2

cos sin voi 0

( ) ( )limx x f x f x m

( ) ( )limx x f x f x n

x x x

Không xác định nên hàm số không khả vi tại x0

Bài 5 (Đề thi giữa kì K62): Tìm a, b để:

sin 2

1

; ( )

22

Để hàm số khả vi thì a1 Vậy 1

0

a b

Vậy f(0 )  f(0 )  không thuộc đạo hàm cấp 2

Bài 7 (Đề K61) Tìm a R để f x( ) x 2016 sinax khả vi tại x2016

Do  1 1 nên ( )g x không khả vi tại x1

2) Dạng 2: Khai triển Maclaurin và ứng dụng

- Khai triển Maclaurin của 1 số hàm thường gặp

Chú ý: Khai triển Maclaurin áp dụng khi phân tử x0 hoặc x0 thì u0

Bài 1 (K64): Khai triển maclaurin hàm e x2 đến cấp 5=?

( )1

( )1

Bài 5 (K63- Thi cuối kì)

Viết khai triển Maclaurin của hàm số y(x21)sin 2x với phần dư peano tới x , từ đó 11

Bài 6 (K63- Đề thi cuối kì)

Khai triển Maclaurin của hàm số ( )f x  (1 x).sin 2x đến cấp 10 Từ đó, hãy tính f(10)(0)

27

9

9

2.10!

Bài 7 (K63 – Đề thi cuối kì)

Viết khai triển Maclaurin hàm số ( ) 2

n C

31

8 (8)

x x

f (Đề K58) B3: Tính đạo hàm cấp n của 2

x





32

Chương 3: Tích Phân 1) Dạng 1: Nguyên Hàm Tích Phân Thông Thường Cấp 3

34

2 2

1arc

x dx I

x x





Bài 9: Tính I cos3x sinxdx

cos2x sin cosx xdx

4 x x.

dx x

2 1

dx I

t 3

2

1

2

41

 

3 2

dx I

dx

x x



43

Ta có:

3 3 1

dx I

1-11

x I

.sincos

-13

-

3

- ln -1 2ln 1 - 3ln - 3-1 1 - 3

x tag

  

 

 

* Tích phân hàm lượng giác

Xét tích phân I = Rsin ,cosx x dx

Phương pháp tổng quát tan 2arctan 2 2

dt t

C x

1) Rsin ;cosx x Rsin ;cosx x Đặt tcosx

2) Rsin ; cosx  x Rsin ;cosx x Đặt tsinx

3) Rsin ; cosx  xRsin ;cosx x Đặt ttanx

Ta có: Thay vào đổi dấu:

Đổi biến tsinx dt cosxdx

49

2 2

2) Dạng 2: Tích phân suy rộng (loại 1 và loại 2)

#) Khái quát, định nghĩa về tích phân suy rộng:

2 3 0

sin1

50

Giả sử ( )f x xác định a;và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn: a    x b

+ Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn vô cùng):

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của ( )f x trên a;

+) Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói phân tích suy rộng ( )

a

f x dx



 Là hội tụ +) Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng

*) Chú ý: Khi làm các bài toán về tích phân suy rộng loại 1:

- Nếu kết quả tích phân ra 1 số thì tích phân đó hội tụ

- Nếu kết quả tích phân không ra 1 số mà ra  hoặc  thì ta nói phân kì

*) xet sự hội tụ, phân kỳ cho tích phân suy rộng

Bài 1(k63): xét sự hội tụ của tích phân và xét hội tụ 2

1 1 1lim

  Vậy tích phân hội tụ và I  1 ln 2

Bài 2 (K63) Tích phân suy rộng 2

xdx x

lim

1

b

xdx I

54

               

2

2 2 2

2

02015

1

20152015

55

2015 2015

o

x dx x



 phân kỳ  1=> I phân kỳ

56

Bài 9 (K63) Tính tích phân suy rộng 1

0 1

xdx x

11

x dx x

x dx x









58

Chương 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (*) Lý thuyết

02

- Xét góc phần tám x0,y0,z0 miền này gần giống như hình chóp với đỉnh

a,0,0 đáy là hình vuông trong mặt phẳng yOz thiết diện S(x) là hình vuông

168

0

10

3

x