Tai lieu boi duong hoc sinh gioi olympic chuyen de day so

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ - Phương pháp tìm số hạng của dãy số cho bởi một hệ thức truy hồi tuyến tính.. XÁC ĐỊNH DÃY SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP, PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.. Để chứng minh mệnh đề c

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT TÂY NINH

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

- Phương pháp tìm số hạng của dãy số cho bởi một hệ thức truy hồi tuyến tính

- Liên phân số

- Sai phân

- Các phương pháp tìm số hạng của dãy số

- Các khái niệm dãy con, dãy tuần hoàn và chu kì

- Mối liên hệ giữa tính hội tụ của dãy số và dãy con

- Tìm giới hạn của dãy số

- Các bài toán thường gặp về dãy số

PHẦN I XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

A XÁC ĐỊNH DÃY SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP, PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1 Xác định dãy số bằng phương pháp quy nạp

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên dương n ( bằng phương pháp quy nạp), ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở hay bước khởi đầu): Kiểm tra A(n) đúng với n = 1

Bước 2 (bước quy nạp): Giả sử A(n) đúng với n=k (k≥1,k∈N)

ta chứng minh A(n) đúng với n = k+1

Bước 3: Kết luận: A(n) đúng với mọi số nguyên dương n

Bài 1: Cho dãy số ( )x n như sau: 1

n n

, 1, 2,

n n

1 3

n n

2 Xác định dãy số bằng phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ)

x = x + =ax + +  =bx c n trong đó

2

20,

3 Một số phép biến đổi bởi công thức lượng giác

Bài 3: Xác định dãy số ( )y n thỏa điều kiện y1R y; n+1=2y n2−  =1, n 1, 2,

Giải

* Nếu y 1 1 thì tồn tại  sao cho cos  = y1

Khi đóy2 =2cos2− =1 cos 2 , y3=cos 22, ,y n =cos 2n−1

* Nếu y 1 1 xét số thực β sao cho

,2

n n

, 1, 2,

2

n n

* Nếu y 1 1 thì tồn tại  sao cho cos  = y1

Khi đó: y2 =4cos3−3cos=cos3 , y3=cos3 , ,2 y n =cos3n−1

* Nếu y 1 1, xét số thực β sao cho 2 1 12

2

n n n

, 1, 2,

2

n n

Bài 5: Xác định dãy số ( )u n như sau: 3 ( ) *

2

n n

n

x u

2

n n n

n n

2 1

2 2

n n

2

2 2

2

1 1

11

n

n n

2

* 2

,1

n n

n

u   n N

 

+ +

Bài 2.Cho dãy số ( )x n được xác định như sau: 1 5; 1 5 4, *

2

n n

x x

+

=+

42

c c

c c

bd d b d

a d a d dc

Bài 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )x n cho như sau: 1 ; 1 8 2, 1, 2,

4

n n

x

x x

n n

x

x x

Vậy: Số hạng tổng quát của dãy số ( )x n là

n n

x

x x

Vậy: Số hạng tổng quát của dãy số ( )x n là

2 1

2

n

n n

x x

u u

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

b) Chứng minh rằng ( )u n là dãy số giảm

C XÁC ĐỊNH DÃY SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

• Cho dãy số ( )x n Xét phương trình a x0 n k+ +a x1 n k+ −1+ + a x k n = g n( ) ( ) 1 Trong đó g(n) là hàm

số theo n, và a a0, , ,1 ak là các hẳng số khi dó phương trình a x0 n k+ +a x1 n k+ −1+ + a x k n =0 2( )được gọi là Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương trình (1)

a  +a − + + =a được gọi là Phương trình đặc trưng của (2)

• Nghiệm tổng quát của phương trình (1) sẽ có dạng *

, 1, 2,

x =x +x  =n Trong đó x n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2), còn x n* là nghiệm riêng của phương trình (1)

I./PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT

1/ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc nhất

Định nghĩa:Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc nhất với hệ số hằng là

phương trình có dạng: ax n+1+bx n=0 , n=0,1,2,3…(1.1) Trong đó a≠0,b≠0 là những số cho trước

Phương trình đặc trưng của (1,1) aλ + b = 0 ,phương trình nầy có nghiệm là λ = -b

a

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (1.1) có dạng:x n=C.n,n=1, 2,3

Ví dụ: x n+1=2x n và x = −1 3 n = 0,1,2,3…có công thức tổng quát x = − n ( )3 2n

2/ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất bậc nhất

Định nghĩa : Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất bậc nhất là phương

trình có dạng: ax n+1+bx n=d n , n=0,1,2,3…(1.3) Trong đó a≠0, b là những hằng số, dn là các số nào đó

Ta thường viết dưới dạng :x n+1=qx n+d n n = 0,1,2,3… (1.4)

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình x0=1; 5x n+1+3x n =2 ,n n=1,2,3

n n

x =

Nghiệm tổng quát của phương trình là 3 1.2

5 13

n n

x = −  +

 

 

Dưới đây ta sẽ ta tìm nghiêm riêng của phương trình sai phân

Nếu q = 1 thì (u n ) là cấp số cộng có công sai d = b nên : u n u1 n 1 b

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất u n+1=u nlà u n=C Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là *

n

u =c n Thay vào phương trình ta được u n+1= +u n dta được c n( + =1) cn+  =d c d

Nghiệm tổng quát của phương trình là u n= +C nd

Vì u0 =x0 cho trước thì u n= +x0 nd hay u n u1 n 1 b Đây chính là công thức tổng quát của cấp số cộng

Nếu q≠1 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất u n+1=q u nlà u n=C q n

d = b là đa thức bậc 0 với mọi n nên phương trình có nghiêm riêng *

1

n n

n

u = a

Nghiệm tổng quát của phương trình là u n=C.3n+ a

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất u n+1=3u nlà u n=C.3n

Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là *

n n

n n

n

u

n u u

n

u

n u u

2

n n

n

x

n x x

x

Tìm công thức tổng quát của dãy số (xn ) theo n

u qu f n trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n, q là hằng số

Nếu q = 1 ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

n

u =n g n với n g n ( ) là đa thức bậc k+1 của n có hệ số tự do bằng 0

Nếu q ≠1 ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

Phương trình đặc trưng − = có nghiệm 1 0 = 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là u n =C

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

Phương trình đặc trưng − = có nghiệm 2 0  = 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là u n =C.2n

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( ) ( )

n

u =g n = an b+

Ta phân tích 3n 1 an b 2 a n 1 b

12

Nghiệm tổng quát của phương trình làu n=C.2n− − 5n 3

Vì u =1 2 thì 2 =C.2 5.1 3 − −  =C 5 Vậy công thức tổng quát u n 5.2n 3n 5 n 1

với n Q n k( ) là đa thức bậc k+1 của n có hệ số tự do bằng 0

Nếu q ≠α ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

Phương trình đặc trưng − = có nghiệm 3 0  = 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là .3n

n

u =C Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

.2n

n

u =g n =a Thay vào phương trình ta được 1 1

b) u1 3,u n u n 1+3.4 n n 2

Phương trình đặc trưng − = có nghiệm 1 0 = 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là u n =C

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

.4n

n

u =g n =a Thay vào phương trình ta được 1 1

.4n 4n 3.2n 4

a + =a + +  =a ta được * ( ) 1

4n n

Phương trình đặc trưng − = có nghiệm 3 0  = 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là u n =C.3n

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là * ( )

.3n

n

u =n g n =a

Thay vào phương trình ta được ( ) 1 5

II./ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC HAI

I Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số hằng là

phương trình có dạng:ax n+2+bx n+1+cx n=0,n=0,1,2,3…(1.1).Trong đó a≠0,b,c là những số cho

trước

Nếu c = 0 Phương trình nầy là phương trình tuyến tính bậc nhất

Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng aλ + b2 +c= 0 có 2 nghiệm là λ , λ1 2 ( 12)

Thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (1.1) có dạng: x n=C1.1n+C22n

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình sai phân 0 1

Phương trình đặc trưng 2−3−28= có 2 nghiệm 0 1= −4;2= 7

Nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng x n =C1( )−4 n+C2.7n

Với điều kiên ban đầu

n = 0,x =0 7, ta cóx0= +C1 C2=7; n = 1,x = −1 6

ta cóx1= −4C1+7C2= −6 suy ra C1=5;C2=2

Vậy nghiệm tổng quát phương trình với điều kiện ban đầu là x = n 5( )−4 n +2.7n

LƯU Ý: Với điều kiên ban đầu x0=5;x1= −9 thì ( ) 1

x

Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng aλ + b2 +c= 0 có nghiệm kép là λ1=2

Thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (1.1) có dạng: x n=C1.1n+C n2 1n

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình sai phân 0 1

n

x = C +nC Với điều kiên ban đầu n = 0,x = −1ta cóx =C = −1;

n = 1,x =1 2, ta cóx1=(C1+C2).5=2suy ra 1 2

71;

Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng 2

aλ + b+c= 0 vô nghiệm

Thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (1.1) có dạng: x n =r C n( 1 cosn+C2sinn)

n = 1, 1

12

x = ta có 1 1cos 2.sin 1

x =C  +C  =suy ra C1=1;C2=0

Vậy nghiệm tổng quát phương trình với điều kiện ban đầu là cos

II Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai

Định nghĩa : Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất là phương

trình có dạng: ax n+2+bx n+1+cx n=d n , n=0,1,2,3…(1.2) Trong đó a,b,c là những hằng số, dn là hàm số của biến số tự nhiên n n = 0,1,2,3… (1.4)

n d u

Phương trình đặc trưng 2−4+ = có 2 nghiệm 3 0 1=1;2= 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng 1.3n 2

n

u =C +C Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng * 5.2

5.2

4 8 3

n

n n

Nên nghiệm tổng quát của phương trình có dạng u n =C1.3n+C2−5.2n

Với u0 1ta được C1+C2− = −5 1; Với u1 3 ta được 3C1+C2−5.2 3=

Phương trình đặc trưng 2−5+ = có 2 nghiệm 6 0 1=2;2= 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất u n =C1.2n+C2.3n

Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:

Nên nghiệm tổng quát của phương trình có dạng 1 2

5.2 3 2

2

n

u =C +C − n Với u0 1ta được C1+C2= −1; Với u1 3ta được 2C1+3C2− =5 3

Phương trình đặc trưng 2−4+ = có 2 nghiệm 4 0  1= 2= 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng u n =(C1+C n2 ).2n

Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ( ) 2 ( )

3 1 22

n

n n

3

22

1; 2 (1)

2 (2) 3

a u bu c u f n trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k

* Nếu a b c+ +  thì nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là 0

Phương trình đặc trưng 2−5+ = có 2 nghiệm 6 0 1=2;2= 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất u n =C1.2n+C2.3n

Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng * 2

Phương trình đặc trưng 2−3+ = có 2 nghiệm 2 0 1=1;2= (a+b+c=0) 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất u n =C1.2n+C2

Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng *

Cho lần lượt n=0,n=1 ta có hệ phương trình

* Nếu phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệtx x x1, 2, 3 Thì u n p x 1n q x 2n k x 3n

* Nếu phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệtx1 x2 x3 Thì u n p qn x1n k x 3n

* Nếu phương trình (*) có nghiệm bội 3x1 x2 x3.Thì u n p nq k n 2 x1n

Bài 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi:

Trường hợp đặc biệt d n f n là đa thức bậc k của n.Tìmg n là đa thức cùng bậc f n

* Nếu phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệtx x x1, 2, 3 Thì x*n g n

* Nếu phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệtx1 x2 x3 Thì *

n

* Nếu phương trình (*) có nghiệm bội 3x1 x2 x3.Thì * 2

Thay vào điều kiện ban đầu x0 4; x1 26; x2 74suy ra p 5; q 1; k 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là u n n3 2n2 5n 5 2n 3n

* Nếu phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt cóx1 Thì x n* p n n n

* Nếu phương trình (*) có nghiệm bội 3x1 x2 x3 Thì x n* n p n2 n

Bài 6: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi :

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có dạng x n p q.2n k.3n n.2n n.3n

Thay vào điều kiện ban đầu u1 3; u2 20; u3 89suy ra 1; 1; 1

3

Vậy số hạng tổng quát của dãy số làu 1 n 1 2n 3n 1 3n 1

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG

Bài 1: Tìm công thức tổng quát của 2 dãy số 0 1

DẠNG 11 Dãy số phân tuyến tính

1

1 1

2

n n

y là nghiệm của phương

n

u

n u

u u

vậy

1 1

n n

n

u

n u

Vậy dãy số ( )x n thỏa điều kiện x1= 1; x2 = 3; xn+1− 4 xn+1− = xn 0, n  1.

Phương trình đăc trưng: 2 4 1 0 2 5; 2 5

Do đó công thức tổng quát (2 5) (2 5)

n

1

1 1

n

u

n u

n

u

n u

V PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA

1) Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính

Bài 1: Cho dãy số

2 1 2

1 32

n n n

n x

x x

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên

Do x1 x2 1nguyên nên xn 4 xn 1 xn 2của dãy số đã cho đều là số nguyên

Bài 2: Cho dãy số 1

2 1

Tìm số hạng tổng quát của dãy số dưới dạng xn axn 1 bxn 2 c (*)

Cho n=3,4,5 ta được x2 3; x3 11; x4 41; x5 153thay vào (*) ta được

Bằng quy nạp ta chứng minh đượcxn 4 xn 1 xn 2 là dạng tuyến tính của dãy số đã cho

Do x1 1; x2 3nguyên nên xn 4 xn 1 xn 2của dãy số đã cho đều là số nguyên

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tuyến tính hóa phương trình x0 0;x n 1 5x n 24x n2 1

Bài 2: Tuyến tính hóa phương trình x0 1,x1 2;x n 2 x n2 1x n3

Hướng dẫn: lấy lôgarit cơ số e 2 vế x n 2 x n2 1x n3 lnx n 2 2lnx n 1 3lnx n

n

n

x x

Vậy 11

3) Phương pháp biến đổi tương đương

Tìm nghiệm của phương trình u0 2;u1 6 33;u n 1 3u n 8u n2 1

Suy ra un 1 6 un un 1 0 Phương trình đặc trưngx2 6 x 1 0có nghiệm x 3 2 2

Số hạng tổng quát của dãy số dưới dạng u n k 3 2 2 n l 3 2 2 n

Từ các giá trị ban đầu u0 2;u1 6 33 suy ra 8 66; 8 66

PHẦN 2 XÁC ĐỊNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy Số

1 Định nghĩa giới hạn dãy Số

Định nghĩa 1: Ta nói dãy số ( )x n có giới hạn hữu hạn là a ( ký hiệu lim n

→+ = ) nếu với mọi số dương ε cho trước ( nhỏ bao nhiêu tùy ý ) tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho :

đó ta còn nói dãy số ( )x n hội tụ về a Một dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ

Định nghĩa 3: Ta nói dãy số ( )x n dần tới dương vô cực (ký hiệu lim n

→+ = +) nếu với mỗi số dương M (lớn bao nhiêu cũng được ) tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho:xn  M ,   n n0

Định nghĩa 4: Ta nói dãy số ( )x n dần tới âm vô cực (ký hiệu lim n

→+ = −) nếu với mỗi

số âm m (nhỏ bao nhiêu cũng được ) tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho :xn    m , n n0

2 Giới hạn riêng, dãy con

Định nghĩa 5: Cho tập hợp A≠∅ và A R

Số x được gọi là cận trên của tập A nếu với mọi a  A ta có a Lúc này ta nói tập A bị x

Nếu tập hợp A bị chặn trên thì tồn tại dãy số ( )x n trong A sao cho lim n sup

Dãy số ( )x 2n (tức là dãy số x x x2, , , 4 6 ) là dãy con của dãy số ( )x n

Dãy số (x2n−1) (tức là dãy số x x x1, , , 3 5 ) là dãy con của dãy số ( )x n

Hai dãy ( )x 2n và (x2n−1) được gọi là 2 dãy con kề nhau của dãy số ( )x n

Định nghĩa 7: Dãy con ( )x n k của dãy số ( )x n là hội tụ thì giới hạn của nó được gọi là giới hạn riêng của dãy số ( )x n

Ví dụ : Xét dãy số ( )x n với x n = −( )1 ,n  =n 1, 2,3, khi đó dãy số này không có giới hạn, tuy nhiên 1 và -1 là các giới hạn riêng của dãy số ( )x n vì lim 2n 1

Định lý 6 : Mọi dãy số thực ( )x n đều có giới hạn trên và giới hạn dưới

Hệ quả 1: Mọi dãy bị chặn ( )x n , Nếu x là giới hạn trên của dãy thì

Hệ quả 2: Mọi dãy bị chặn ( )x n ,

Nếu x là giới hạn trên của dãy thì ∀ε>0 và ∀k∈N,tồn tại :

Định lý 7 : dãy số ( )x n hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn và lim n

Định lý 8 : dãy số ( )x n có giới hạn (hữu hạn hoặc ±∞) khi và chỉ khi

lim sup n lim inf n

→+ = →+ Khi đó lim n lim sup n lim inf n

3 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 9: Ta nói dãy số ( )x n là dãy Cauchy hoặc dãy cơ bản nếu với mọi số dương ε cho trước tồn tại số tự nhiên n0 sao cho x n−x m  , n m, n0

→+ = nghĩa là x n có thể lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn

Định lý 9 (Tiêu chuẩnCauchy): dãy số ( )x n hội tụ khi và chỉ khi dãy số ( )x n là dãy

Vì dãy số ( )x n bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho xn  M ,  = n 1,2,

Vậy dãy số ( )x n là dãy số hội tụ

Bài 2 (Đề thi vô địch Matxcơva) Chứng minh rằng dãy số ( )x n với ( )2

Ta có sin(x−y) = sin cosx y−cos sinx y  sinx cosy + siny cosx

Do đó: sin(x−y)  sinx + siny Giả sử ( )2

sin 2 = sin 2n+ −3 2n+  1  sin 2n+3 + sin 2n+1 2 +2 =4

Do đó : sin 2 4 4 1 sin 2 1 sin 2

a



 Khi đó với mọi số tự nhiên m n  +0 k ta có: