Dịch chuyển đỏ Đường chân trời ( Thuyết tương đối tổng quát )

Dịch chuyển đỏ Đường chân trời ( Thuyết tương đối tổng quát ) tài liệu môn trường hấp dẫn của bộ môn vật lý lý thuyết vật lý toán trường đại học quốc gia thành phố hồ chí minh Đại học Khoa Học Tự Nhiên

Nguyễn Thị Thúy Quỳnh

Lớp: VLLT&VLT_K23

MSHV: 1331010

Dịch chuyển đỏ

Giả sử Mặt Trời là đứng yên so với Trái Đất, khi quan sát các vạch quang phổ của quang phổ Mặt Trời, ta sẽ thấy chúng phân ra thành ba vùng Vùng ở giữa là vùng thông thường, vùng có bước sóng nhỏ (tần số lớn, năng lượng lớn ) là vùng cực tím, vùng có bước sóng lớn (tần số nhỏ, năng lượng nhỏ ) là vùng hồng ngoại

Nếu bây giờ Mặt Trời dịch chuyển ra xa Trái Đất với một vận tốc đủ lớn thì ta sẽ thu được bộ ảnh quang phổ mới của Mặt Trời sẽ dịch chuyển về phía vùng có bước sóng lớn, nghĩa là toàn bộ quang phổ của Mặt Trời sẽ trở nên đỏ hơn khi Mặt Trời chuyển động ra xa chúng ta, hiện tượng đó người ta gọi là dịch chuyển đỏ Ngược lại, khi Mặt Trời chuyển động đến gần Trái Đất thì toàn bộ quang phổ của Mặt Trời mà chúng ta thu được sẽ trở nên tím hơn

Trong thực tế, khi thu ảnh quang phổ của các thiên hà, của các sao trong vũ trụ thì người ta nhận thấy tất cả các phổ đều bị dịch chuyển đỏ so với bộ ảnh quang phổ lẻ ra nó phải có Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này nhưng ở đây ta sẽ chỉ lý giải hiện tượng này dựa trên lý thuyết của dịch chuyển đỏ thông qua hiệu ứng Doppler: tần số của các sóng phát ra từ một nguồn đang chuyển động ra xa một quan sát viên, sẽ được quan sát viên này nhận biết như là nhỏ hơn tần số thật sự tại nguồn phát Hiện tượng dịch chuyển đỏ cung cấp cho vật lý thiên văn những bằng chứng quan sát trực tiếp nhất chứng

tỏ vũ trụ đang giãn nở

Công thức tính độ dịch chuyển đỏ tổng quát cho mô hình vũ trụ học Robertson-Wallker với metric không thời gian:

( ) {

( )

( )

Mô hình vũ trụ Robertson – Wallker

Xét một sự kiện P1 tại thời điểm , là sự kiện một quan sát viên đẳng hướng thư nhất phát ra một photon với tần số

Xét một sự kiện P2 tại thời điểm , là sự kiện một quan sát viên đẳng hướng thứ hai nhận được photon vừa nêu trên với tần số

Nếu tìm được tần số của photon tại sự kiện P2 từ đó tìm ra độ dịch chuyển đỏ

Giản đồ không – thời gian mô tả sự bức xạ của một tín hiệu ánh sáng phát ra từ P1 và

truyến đến P2 Tại thiên hà xảy ra sự kiện P1 ta dựng một siêu mặt , trục thời gian và tiếp tuyến

Ở Trái Đất nơi xảy ra sự kiện P2 ta dựng siêu mặt , trục thời gian và tiếp tuyến Tới đây ta sẽ phải sử dụng tới một khái niệm mới, đó là khái niệm về vector Killing Vector Killing là vi tử của các vector sinh của các phép biến đổi đồng đẳng (trong một nhóm các phép biến đổi đồng đẳng người ta chỉ chọn ra các yếu tố sinh (vi tử) của nhóm

đó để mô tả) Khi ta tịnh tiến một vật với một độ dài tùy ý nào đó, vector sinh là vector đơn vị của sự tịnh tiến đó Người ta thường mô tả vector sinh dưới dạng các đạo hàm

Vector sinh là một trường vector bảo toàn metric, nghĩa là khi ta tịnh tiến một vật rắn thì khoảng cách giữa các điểm trên vật rắn đó phải không thay đổi, nghĩa là vật đó phải không bị biến dạng Như vậy khi ta tịnh tiến một vật thể dọc theo vector Killing thì vật đó không bị biến dạng

Các bài toán dịch chuyển đỏ trong lý thuyết tương đối hẹp và lý thuyết tương đối rộng

bị chi phối bởi hai yếu tố:

1 Trong xấp xỉ quang hình học, khi ánh sáng truyền trên các đường trắc địa thì các

đường trắc địa đó phải là các đường null của nón ánh sáng (v=c), mà không phải là đường timelike (v<c) và đường spacelike (v>c)

Nón ánh sáng của sự kiện P

2 Tần số của một tín hiệu ánh sáng có vector sóng được đo bởi quan sát viên và 4-vector là vector tiếp tuyến trên quỹ đạo timelike là:

là vector tiếp tuyến của quỹ đạo timelike của các quan sát viên đứng yên

Ta luôn luôn có thể tìm thấy tần số quan sát được bằng cách tính những đường trắc địa null được xác định từ những giá trị ban đầu của ở điểm phát ra tín hiệu ánh sáng rồi sau đó tính vế phải của phương trình ở điểm quan sát

Tuy nhiên, khi tính đối xứng tồn tại, ta có thể có cách làm ngắn hơn cho cách tính này bằng cách sử dụng những dữ kiện đã được chứng minh trong bảng phụ lục C3:

 Gọi là trường vector Killing, là trường vector sinh ra một nhóm đồng đẳng một–tham số

 Gọi là vector tiếp tuyến đối với đường trắc địa

 là một hằng số không đổi dọc theo đường trắc địa mà ta đang xét Tức là nếu

ta lấy vector Killing nhân với tiếp tuyến đường trắc địa thì ta sẽ được một hằng số không đổi dọc theo đường trắc địa

Ta có thể chọn trường vector Killing không-thời gian sao cho nó vừa hướng dọc theo phương chiếu của vào ở , vừa hướng dọc theo phương chiếu của vào

ở Tức là khi vector sóng truyền đi trong không gian cong nói chung, ta có thể chọn trường vector Killing sao cho ở sự kiện P1 nó song song với , ở sự liện P2 nó vẫn song song với bằng cách ta tịnh tiến trường vector Killing

Giả sử không gian là phẳng, ở P1 ta chọn vector là vector tiếp tuyến với đường trắc địa dọc theo phương ( ) , khi đó ta có:

) (

) sao a từ chỉ số trên đổi thành chỉ số dưới rồi?

 ( ) và (

) đóng vai trò như các trường vector Killing

Do (

) và (

) là những trường vector Killng nên các tích này cũng triệt tiêu tại

P2

Vì thế hình chiếu của vào tại điểm P2 cũng theo phương (

) nên (

) cũng cần phải là trường vector Killing

Tương tự, có thể chứng minh sự tồn tại của trong trường hợp mặt cầu và hyperbol Trong mọi trường hợp (phẳng, cầu, hyperbol), độ lớn của vector Killing ở P2 được biến đổi từ độ lớn của nó ở P1 Sự biến đổi này phải tỷ lệ thuận với độ biến đổi về độ lớn

của hệ số kích thước của vũ trụ a từ đến :

( ) | ( ) ( ) | ( ) Trường vector Killing phụ thuộc vào kích thước vũ trụ tại một điểm

Ánh sáng đi trên đường trắc địa null nên là vector tiếp tuyến null nên nó vuông góc với chính nó Do đó, ở tại một điểm bất kỳ, các phép chiếu của lên phương phải có cùng độ lớn khi ta chiếu lên mặt và

Chiếu lên tại điểm P, nghĩa là chiếu lên vector Killing , ta thu được độ lớn: Tại P1: [ ( ) ] sao từ chữ a đổi thành chữ b rồi, và chỉ số

trên thành dưới nữa?

Tương tự: [( ) ( ) ]

Ngoài ra, tích trong của vector Killing và vector tiếp tuyến đường trắc địa tại P1 và P2:

[( )] [( )]

Dựa trên công thức của và ta có:

[( )]

*( ) +

[( )]

*( ) +

[( )]

[( )]

[( ) ] [( ) ]

[( ) ] [( ) ]

( ) ( )

* ( ) > ( ) : vũ trụ giãn nỡ, kết hợp với biêu thức trên ta có:

 : Khi vũ trụ đang tăng kích thước thì tần số photon phát ra tại P1 khi nhận tại P2 được sẽ giảm đi (bước sóng tăng lên) Dịch chuyển đỏ có được là do vũ trụ của chúng ta đang giãn nở, kích thước ngày càng tăng

* ( ) < ( ): vũ trụ co lại (giảm kích thước), ta có:

 : Khi vũ trụ đang giảm kích thước thì tần số photon phát ra tại P1 khi nhận tại P2 được sẽ tăng lên (bước sóng giảm xuống), bây giờ ta có dịch chuyển xanh (còn gọi là dịch chuyển tím)

Gọi z là hệ số dịch chuyển đỏ, là bước sóng ánh sáng tại P1, là bước sóng ánh sáng tại P2, ta có:

( ) Đối với những ánh sáng phát ra từ những thiên hà ở tương đối gần nhau đủ để thời riêng được đối xử gần gần giống như thời gian tọa độ Gọi khoảng cách giữa các thiên hà

là R (R ở đây rất lớn so với khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời), ta có:

Khai triển Taylor của ( ) dựa theo độ lệch của ( ) và ( ), ta có:

( ) ( ) ( ) ̇ ( ) ̇

Từ đó, ta có thể viết lại z:

( )

( )

( ) ̇ ( )

( ) ( )

̇ ( )

̇ Với H là hằng số Hubble

Phương trình này là hệ thức tuyến tính giữa khoảng cách và dịch chuyển đỏ mà Hubble đưa ra Đây là công thức tính dịch chuyển đỏ sử dụng trong thiên văn học

Hệ số dịch chuyển đỏ giữa các điểm khác nhau trong vũ trụ phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng Các hành tinh hay các thiên hà ở càng xa nhau thì hệ số dịch chuyển đỏ càng lớn so với các hành tinh hay các thiên hà ở gần

Vũ trụ của chúng ta đang giãn nở nên dịch chuyển đỏ được sử dụng rất phổ biến trong vật lý thiên văn Nó là phương tiện duy nhất để chúng ta biết về các hành tinh, các thiên

hà trong vũ trụ vì chúng ở quá xa chúng ta, có những thiên hà ánh sáng phát ra tư chúng phải mất vài trăm năm mới tới được Trái Đất chúng ta nên ta phải biết dịch chuyển đỏ để đánh giá phổ thật sự của các thiên hà này trong vũ trụ, trên cơ sở đó mới tiến hành nghiên cứu chúng

Đường chân trời

Trên nguyên tắc, tại sự kiện P cho trước thì phạm vi quan sát được trong vũ trụ của chúng ta là bao nhiêu?

Trong trường hợp đặc biệt củamô hình vũ trụ học Robertson-Wallker, những quan sát viên đẳng hướng nào (tức là các thiên hà) có thể phát đi tín hiệu nằm trong phạm vi ảnh hưởng của quan sát viên đẳng hướng tại sự kiện P?

Ranh giới giữa các đường định vị một vật thể trong không – thời gian (đường vũ trụ)

có thể quan sát được ở P và các đường vũ trụ không thể quan sát được ở P được gọi là đường chân trời đối với sự kiện P

Khi vũ trụ “co dần về kích thước không” gần như là điểm kỳ dị Big Bang, một điều có thể mong đợi là các quan sát viên đẳng hướng có thể trao đổi các tín hiệu cho nhau vào thời điểm rất sớm trong lịch sử vũ trụ vì các quan sát viên ở rất gần nhau Tuy nhiên ta sẽ thấy điều này không thể xảy ra trong các mô hình của Robertson-Wallker với khả năng giãn nở đủ nhanh từ điểm kỳ dị Big Bang Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đường chân trời trong mô hình Robertson-Wallker bao gồm tất cả các trường hợp trong bảng 5.1

Ta sẽ bắt đầu từ trường hợp của mặt phẳng:

( )( ) (5.3.10) Thực hiện phép biến đổi tọa độ :

( )

( )

Ngoài ra: ∫ ( )

Thay vào metric của mặt phẳng ta có:

( ) ( )( )

Ở dạng này, metric đơn thuần chỉ là một bộ phận của metric không – thời gian phẳng Minkowski và được gọi là metric phẳng conformally (co lại hoặc giãn ra mà không bị biến dạng).Từ phương trình trên chú ý rằng một vector sẽ là timelike, null, hay spacelike khi và chỉ khi nó cũng là timelike, null, hay spacelike (một cách tương ứng) trong metric phẳng:

Vì thế, có thể truyền một tín hiệu giữa hai sự kiện (tức là liên kết hai sự kiện bằng những đường cong timelike hay null) trong metric phẳng của phương trình (5.3.12) khi

và chỉ khi việc truyền tín hiệu này có thể thực hiện được trong metric phẳng (5.3.13) Với chú ý này, không khó để thấy rằng một quan sát viện tại sự kiện P sẽ có thể nhận tín hiệu

từ tất cả quan sát viên đồng đẳng khác khi và chỉ khi tích phân (5.3.11) phân kỳ hay hội

tụ ở gần điểm kỳ dị Big Bang, , cụ thể:

 Nếu tích phân phân kỳ, khả năng ứng với trường hợp này là ( ) khi với

là hằng số, mô hình Robertson-Wallker không bị biến dạng khi co lại hay giãn ra (conformally) sẽ liên hệ với không – thời gian Minkowski (tức là ) nên mỗi quan sát viên ở P đều có thể nhận được tín hiệu tất cả các quan sát viên đẳng hướng khác, vì thế sẽ không có đường chân trời

 Nếu tích phân (5.3.11) hội tụ, ta sẽ thu được một giá trị hữu hạn Vậy thời gian truyền – nhận tín hiệu hữu hạn, vì thế một quan

sát viên không thể quan sát được tất cả tất

cả các quan sát viên khác trong vũ trụ Mô

hình Robertson-Wallker conformally sẽ chỉ

liên quan đến phần không – thời gian trên

một mặt ứng với t = hằng số nào đó, và đường chân trời sẽ tồn tại

Hình vẽ cho thấy nguyên nhân của cấu trúc mô hình Robertson – Wallker ở gần điểm

kỳ dị Big Bang Do các đường chân trời tồn tại mà quan sát viên không thể “nhìn thấy” các quan sát viên đẳng hướng khác

Như đã thấy trong bảng 5.1, với k = 0, ngay cả với trường hợp vũ trụ bụi ta có ( ) ( ) lớn nếu P > 0, với mọi nghiệm Robertson-Wallker trong phương trình tích phân của Einstein, phương trình (5.3.11) sẽ hội tụ khi và đường chân trời sẽ thực sự xuất hiện

Đối với trường hợp không gian cầu và hyperbol, khi , cách hành xử của ( ) sẽ trở nên giống với trường hợp trong mặt phẳng vì số hạng chứa k trong phương trình

̇

có thể bỏ qua Một phân tích tương tự cũng cho thấy rằng những đường chân trời giống như trường hợp vũ trụ phẳng cũng tồn tại đối với mọi nghiệm

Đối với trường hợp vũ trụ cầu, phạm vi không gian của vũ trụ hữu hạn, vậy đường chân trời có tồn tại và khi vũ trụ co lại đến “big crunch” thì chúng có còn hiện diện hay không? Trong bảng 5.1, đường chân trời tồn tại ngay lúc sự giãn nở là lớn nhất, tức là một tín hiệu ánh sáng được phát ra từ vụ nổ lớn sẽ đi nửa đường xung quanh vũ trụ bằng xung lượng lớn nhất của sự giãn nở, lúc này một quan sát viên có thể nhận được các tín hiệu từ các quan sát viên đẳng hướng khác Tuy nhiên sự bức xạ chiếm toàn bộ vũ trụ cầu, một tín hiệu ánh sáng sẽ đi nữa đường tròn xung quanh vũ trụ trong toàn bộ lịch sử của vũ trụ vì thế đường chân trời vẫn hiện diện cho đến khi vụ co lớn

Sự tồn tại của đường chân trời trong các mô hình vũ trụ Robertson-Wallker dẫn đến một số vấn đề: Từ tài liệu cơ bản về sóng vũ trụ cực ngắn, ta có lý do chắc chắn để tin rằng vũ trụ hiện tại là đồng nhất và đẳng hướng với độ chính xác cao, tức là việc đo tín hiệu đến từ bất kỳ hướng nào cũng cho kết quả như nhau Hiện tại, nhiều hệ thông thường chẳng hạn như hệ khí bị giam trong một cái hộp thường được tìm thấy trong các trạng thái cực kỳ đồng nhất và đẳng hướng Tuy nhiên, giải thích thường gặp của việc tại sao các hệ như vậy là vì trong các trạng thái đồng nhất và đẳng hướng chúng có khả năng tự tương tác và nhiệt hóa (self-interact and thermalize) Vì thế, ngay cả hệ khí bị giam trong hộp ở trạng thái ban đầu, những tính không đồng nhất sẽ nhanh chóng bị “rửa sạch” với thời gian tỷ lệ với thời gian đi qua hộp Tuy nhiên sự giải thích này không thể áp dụng vào vũ trụ với đường chân trời khi các nơi khác nhau của vũ trụ thậm chí không thể truyền tín hiệu đến nhau, tương tác đủ gần (far less interact sufficient) để nhiệt hóa lẫn nhau Để giải thích khác về sự đồng nhất và đẳng hướng của vũ trụ hiện tại, phải giả định rằng: hoặc

(a) Vũ trụ được “sinh ra” trong một trạng thái cực kỳ đồng nhất và đẳng hướng, hoặc

(b) Vũ trụ sơ khai khác biệt đáng kể với mô hình Robertson-Wallker vì không có đường chân trời (no horizons were present) Tính không đồng nhất và không đẳng hướng (dị hướng) “damped out” (mất dần) có lẻ do ảnh hưởng của độ sệt của vật chất hay do sự tái phản ứng (back-reaction) của sự tạo thành xung lượng hạt, và vũ trụ dần đi gần đến mô hình Robertson-Wallker

Sự giải thích ban đầu có lẻ trái với tự nhiên nhưng giải thích thứ hai đã được kiểm chứng rộng rãi với sự chú ý đến sự mất dần của tính dị hướng Nhưng nó vẫn chưa thành công trong việc đưa ra bức tranh hợp lý về sự tiến hóa từ một trạng thái “hỗn độn” ban đầu đến mô hình Robertson-Wallker Vũ trụ từ lúc sơ khai có lẻ đã trải qua một thời kỳ

“lạm phát” dẫn đến sự mở rộng rất lớn của đường chân trời trong mô hình Robertson-Wallker