Báo cáo nghiên cứu khoa học " LẬP LUẬN XẤP XỈ VỚI MODUS PONENS TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ " potx

Trong bài này, một câu S chứa thông tin mơ hồ được tách biệt ra bởi một trạng từ adverb  và một mệnh đề P, ở đây  diễn tả cấp độ câu S thỏa mãn tính chất P là , chúng ta sẽ gọi  là c

LẬP LUẬN XẤP XỈ VỚI MODUS PONENS

TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ

Nguyễn Thế Dũng

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

I MỞ ĐẦU

Xét cơ sở tri thức bao gồm các câu gồm hai phần cơ bản: phần rõ ràng và phần mơ hồ được biểu diễn dưới dạng các luật If then khi đó cơ sở tri thức của ta bao gồm các luật có dạng như sau:

If "The student is more young" and "He is a very good student" then "The student is quite a good candidate"

54

Ở đây các sự kiện "X is hA" (với h là các từ nhấn như more, very ) có thể viết lại là: "X (is h) A" hay h là cấp độ đúng (true degree) của câu "X is A"

Nói cách khác, câu "X is hA" is true  "X is A" is h true

Ở đây h true thể hiện cấp độ đúng của câu "X is A"

Chẳng hạn "He is a very good student" có thể viết lại là: "(He is a good student) is very true", hay “Robert is old” được viết lại "(Robert is old) is true"

Các câu phức tạp hơn như: "It is quite likely that the snow is almost white" có

thể biểu diễn ở dạng "(The snow is white) is almost true) is quite true"

Trong bài này, một câu S chứa thông tin mơ hồ được tách biệt ra bởi một trạng từ (adverb)  và một mệnh đề P, ở đây  diễn tả cấp độ câu S thỏa mãn

tính chất P là , chúng ta sẽ gọi  là cấp độ đúng (true degree) của câu S Bên

cạnh đó với một câu S, chúng ta quan tâm đến mức độ tin cậy hay còn gọi là độ chắc chắn của ta về câu S đó Trong bài này sẽ ký hiệu  là cấp độ thể hiện sự tin

cậy - chắc chắn (certain degree) của câu S

Ví dụ: Trong câu "(The snow is white) is almost true) is quite true" trên thì P="The snow is white", ="almost" còn ="quite"

Việc quan tâm đến mức độ tin cậy của một câu S vẫn thường thấy khi thu thập tri thức trong các hệ chuyên gia Khi thu nhận một tri thức từ các chuyên gia, chúng ta vẫn thường đặt vấn đề mức độ tin cậy - chắc chắn về tri thức ấy

Trong [2][4][12] đã biểu diễn các câu trên ở dạng S(x,u) với x là biến còn u

là khái niệm mơ hồ và một khẳng định A=(S(x,u),t) với t thể hiện cấp độ đúng của câu S Như thế cách biểu diễn trong bài này là tương tự cách biểu diễn câu khẳng định trong [2][4] [12], ở đây câu S hiểu theo nghĩa trên sẽ là một khẳng định S=(S(x,u), true) với x là biến còn u là khái niệm mơ hồ, còn  true chính là

t trong cách biểu diễn trong [2][4] [12]

Lưu ý, trong bài này chúng ta tách biệt khái niệm mơ hồ u trong câu thông qua trạng từ  và mệnh đề P

Ví dụ: Với câu S="Lan học rất chăm chỉ là có thể đúng" với cách biểu diễn trong [4][12] sẽ là S(học(Lan, rất chăm chỉ), có thể đúng) Còn với cách biểu diễn trong bài này sẽ là S(học(Lan, chăm chỉ), rất đúng, có thể đúng) ở đây

="rất đúng" còn  ="có thể đúng"

Như vậy cấp độ ngữ nghĩa t theo cách biểu diễn trong [4][12] tương ứng chính là true degree " true" trong cách biểu diễn của bài này Cách biểu diễn của chúng ta tách biệt được phần rõ ràng và phần mơ hồ của câu, bên cạnh đó thể hiện được độ tin cậy (certain degree) của một câu Ví dụ với câu "Lan học rất chăm chỉ là có thể đúng" nói trên thì phần rõ ràng là: "Lan học chăm chỉ" và phần mơ hồ là: "rất chăm chỉ" nói cách khác là "Lan học chăm chỉ là rất đúng" thì phần rất đúng là mơ hồ, còn câu phát biểu "(Lan học chăm chỉ là rất đúng) là

có thể đúng” thì “có thể đúng” thể hiện độ chắc chắn của phát biểu này

Trong bài này các cấp độ đúng true và cấp độ tin cậy true nói trên được xét trên đại số gia tử của biến chân lý true AX=(X,,G,LH) với G={True,

56

False}, LH là dàn phân phối sinh bởi các gia tử Như đã biết AX là một dàn đầy

đủ, nên có thể định nghĩa các phép và ( -cận trên) , hoặc ( -cận dưới) giữa hai phần tử bất kỳ của AX, hơn nữa như trong [1] cũng đã bổ sung các phần tử kí

hiệu bởi I, O, W được định nghĩa như sau: I > x > W > y > O với mọi x  LH(True), yLH(False) và hI =I, hO=O, hW=W với mọi hLH Các phần tử I,

O, W có thể được hiểu như các giá trị ngôn ngữ tương ứng là: completely true, completely false và unknown Từ đó không mất tính tổng quát có thể giả thiết

rằng AX được sinh bởi tập các phần tử sinh G={I, true, W,false,O}

Trong [1] cũng đã xây dựng các toán tử joint (), toán tử meet () trong dàn AX, bên cạnh đó toán tử concept-implication x=>y cũng được định nghĩa:

x=>y = xy với mọi x, y AX Ở đây, x= x- (phần tử đối nghịch của x trong AX) Khi đó AX cùng với các toán tử hai ngôi , , =>; tập các toán tử

một ngôi LH và {} cùng 5 toán tử 0 ngôi true, false, O, W, I trở thành một đại

số De-Morgan AX bao hàm đại số Lukasiewicz ba phần tử {O,W, I } như một

đại số con, hơn nữa AX cũng là một đại số Kleen Lúc này toán tử concept implication là một mở rộng của toán tử kéo theo kinh điển trong đại số Bool hai

phần tử {O, I }

Bên cạnh đó trong [1] cũng đã xây dựng toán tử giả bù ~ và giả bù tương đối  cũng như đưa ra các kết quả tính toán cho toán tử giả bù tương đối Lúc đó

X'=<X,LH, ,,, LH,~,True, W, False, O, I > là đại số Heyting và  là một mở

rộng của toán tử kéo theo, theo nghĩa kinh điển Do đó có thể nói rằng AX là một

cơ sở logic tốt cho việc lập luận xấp xỉ

Để lập luận trên các luật If then một qui tắc suy diễn thường được sử dụng đó là modus ponens

Với cơ sở tri thức có dạng trên qui tắc này sẽ là:

If A then B is true; If A is true

B is true

Trong bài này, phần II chúng ta sẽ mở rộng qui tắc trên trong một số trường hợp mà các mệnh đề A, B trong các luật được hiểu là có các cấp độ đúng và cấp

độ tin cậy khác nhau trên đại số gia tử AX vừa nói trên

Đồng thời chúng ta cũng sẽ mở rộng các luật trong lập luận xấp xỉ trên các biến ngôn ngữ trong [12], tập trung thảo luận các trường hợp liên quan đến modus ponens

Các qui tắc lập luận của chúng ta trong bài này được phân chia ra các trường hợp (9 trường hợp) có thể có khi vận dụng modus ponens Qua các trường hợp được phân chia trong phần sau, chúng ta sẽ thấy rằng các qui tắc lập luận sử dụng trong bài này tuân theo bản chất lập luận dựa trên khoảng cách và tính sắp thứ tự của đại số gia tử như trong [4][12] Vì một số qui tắc RT1, RT2 trong [12] về qui tắc modus ponens là một trong các trường hợp của bài này Trong các trường hợp 3 và 4, chúng ta sử dụng hàm modus ponens tổng quát như trong logic mờ, nhưng cách tính toán của chúng ta bỏ qua được các bước xây dựng hàm thuộc, khử mờ của logic mờ, nhưng cho kết quả hợp lý

58

Bên cạnh đó một heuristic để lựa chọn luật cháy (fire rule) khi lập luận trên

cơ sở tri thức có dạng nói trên cũng được đưa ra trong bài, ở cuối phần II

II LẬP LUẬN XẤP XỈ TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ

Một câu hỏi thường được đặt ra trong lập luận xấp xỉ là:

Giả sử đã biết {A is  true and (A  B) is  true} lúc đó có kết luận gì về B? Hoặc đã biết {(A  B)is true and B is  true}, có kết luận về A? Trường hợp đầu là modus ponens, còn trường hợp sau chính là modus tollens mở rộng cho lập luận xấp xỉ Trong bài này chúng ta tập trung quan tâm đến modus ponens

Để cho tiện ký hiệu chúng ta sẽ viết A thay cho "A is  True", còn nếu viết A được hiểu là "A is true" và (A) được hiểu "A is True" với cấp độ chắc chắn (certain degree) là True Như vậy khi viết A thì hiểu true degree và certain degree của câu A đều là True

Ví dụ: Với câu "The student is more intelligent is very true" có thể viết thành "(((The student is intelligent) is more true) is very true)", lúc này A="The sudent is intelligent", ="more" và ="very"

Trước hết ta thấy rằng giữa true degree và certain degree có thể chuyển đổi như sau:

(A)  (A)  A

Ví dụ:

Câu "(Lan rất chăm chỉ) là có thể đúng" được viết lại là:

"((Lan chăm chỉ) rất đúng) là có thể đúng"  "((Lan chăm chỉ) đúng) là rất có thể đúng"  "((Lan chăm chỉ) rất có thể đúng) là đúng"

Câu "(Quả cà chua đỏ) rất đúng) là ít đúng"  "((Quả cà chua đỏ), đúng) là rất đúng"  "((Quả cà chua đỏ), rất ít đúng) là đúng)

Với quan niệm trên thì cơ sở tri thức của chúng ta sẽ bao gồm các luật If then có dạng như sau:

[If [[X is A] is true] then [[Y is 'B] is 'true]] is true Ở đây  là certain degree của luật, còn ' chính là true degree của luật

Dưới đây chúng ta sẽ xem xét các trường hợp mở rộng của modus ponens cho lập luận xấp xỉ trên cơ sở tri thức có dạng trên

Chúng ta sẽ ký hiệu modus ponens ở dạng:

A  B

60

A'

B'

Vấn đề đặt ra là với các trường hợp khác nhau của A, B, A' hãy tính true degree và certain degree của B' Ta có các trường hợp sau:

TH 1:

A  B

A

B

Đây chính là trường hợp modus ponens thông thường

TH 2:

A  B

A

B

Khi giả thiết A và kết luận B của luật là True và nếu ta có đầu vào là A thì đầu ra là B, tức ta gán cấp độ đúng của đầu vào cho đầu ra

TH 3:

A  B

A

B

Với  được tính như sau: True = True  (True, True)

Ở đây ,  tương ứng là toán tử meet và toán tử giả bù tương đối trên đại

số gia tử AX đã nói ở mục trên [1] Các tính toán liên quan đến toán tử  xin xem thêm trong [1]

Cách tính  ở trên dựa trên ý tưởng của modus ponens tổng quát (generalized modus ponens - GMP) trong logic mờ Với cơ sở RH đại số gia tử

AX nói trên, chúng ta có đầy đủ công cụ để tính toán GMP, nhưng ở đây chúng

ta không phải tính toán thông qua hàm thuộc (membership function) Hơn nữa lập luận của chúng ta cũng rất tự nhiên trên ngôn ngữ như cách lập luận thông thường của con người

62

Như vậy, khi giả thiết A của luật là không mờ và kết luận B của luật là  true, còn đầu vào là A is  true, khi đó cấp độ đúng của đầu ra được tính toán theo công thức trên và ta thấy chúng là hoàn toàn hợp lý trong thực tiễn

Để làm rõ hơn cách tính kết luận B, ta chứng minh mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1

Toán tử M(x, y)=xy với x,y AX thỏa mãn các tính chất của một hàm modus ponens tổng quát (modus ponens generating function) Tức là:

a) M(0, I ) = M(I ,O) = M(O,O) =O và M(I, I)= I

b) M(x,y) không tăng theo x và theo y

c) M(x,(x,y)y; M(I,y)=y và (I,y)=y

Chứng minh:

a) và b) là hiển nhiên theo định nghĩa toán tử meet  trong AX Hơn nữa,

theo định lý 3.5 trong [1] trang 78, ta có (x  (x,y))  y và (I,y)=y với mọi x, yAX Còn Iy=y là dễ thấy, nên c) được chứng minh Mệnh đề chứng minh

xong

Các vấn đề liên quan đến hàm modus ponens tổng quát (modus ponens generating function) xin xem thêm trong [12]

TH 4:

A  B

(A)

(B)

Với  được tính theo công thức sau: True = True(True,True)

Tóm lại, khi giả thiết A của luật là true và kết luận B là  true, còn đầu vào

là (A is  true) is  true Khi đó ta gán certain degree True cho đầu ra, còn true degree True của đầu ra được tính theo công thức tương tự trường hợp 3

TH 5:

A  B

(A)

(B)

64

Ví dụ:

Nếu cà chua khá đỏ thì rất ngon

Nếu cà chua khá đỏ là có thể đúng

Khi đó theo qui tắc trên dễ thấy rằng kết luận thu được sẽ là: Cà chua rất

ngon là có thể đúng

Khi giả thiết A của luật là  true và kết luận B là  true, còn đầu vào là (A

is  true) is  true - cấp độ đúng của giả thiết và đầu vào là như nhau Khi đó ta gán certain degree True cho đầu ra và gán true degree True của kết luận B cho đầu ra

Lưu ý rằng, khi cấp độ đúng của giả thiết và đầu vào là khác nhau ta không thể suy luận được gì trong trường hợp này

TH 6:

A  B

(A) với   

Không thể suy diễn được gì thêm

Ví dụ:

Nếu cà chua khá đỏ thì rất ngon

Nếu cà chua rất đỏ là đúng

="Khá"; ="Rất", trong thực tiễn ta thấy ở đây không thể suy diễn được gì thêm

Từ trường hợp 2 và trường hợp 4 ta có:

TH 7:

A  B

(A)

(B)

Kết hợp với qui tắc RMP và qui tắc RT1 trong [12] ta có:

TH 8:

(A B)

66

A

(B)

Đây chính là qui tắc liên quan đến modus ponens RMP trong [12]

TH 9:

((A B))

A

(B)

Đây chính là sự kết hợp giữa qui tắc chuyển đổi gia tử RT1 trong [12] và trường hợp TH7 ở trên và cũng chính là qui tắc RPI1 trong [12]

Tóm lại ta có:

Nếu kết luận B của luật là true thì gán true degree và certain degree của đầu vào cho đầu ra

Ngược lại,

Nếu giả thiết A của luật là true thì tính toán các cấp độ true degree

và certain degree cho đầu ra theo các công thức trong các trường hợp 2, 3,

4

Ngược lại,

Nếu true degree của giả thiết A bằng true degree của đầu vào thì gán certain degree  của đầu vào cho đầu ra và gán true degree  của kết luận B cho đầu ra

Ngược lại, không thể suy diễn gì thêm

Hơn nữa cũng lưu ý rằng khi lập luận xấp xỉ trên cơ sở tri thức bao gồm các câu như đã xét ở các phần trên nếu xảy ra trường hợp đụng độ khi lựa chọn luật

để suy diễn - luật cháy (fire rule), trong trường hợp này một heuristic để lựa chọn luật là: lựa chọn luật cháy là luật có certain degree lớn nhất, khi có nhiều luật như thế ta chọn luật có true degree lớn nhất

Ví dụ 1:

Giả sử ta có các luật sau:

68

Cùng các sự kiện sau: A và B với ="Khá" và ="Rất" Áp dụng heuristic ta thấy luật R2 sẽ được chọn để lập luận và thu được kết luận là: C

Ví dụ 2:

Giả sử ta có các luật sau:

R1: (If A then B is very true) is very true

R2: (If A then C is more true) is very true

Cùng sự kiện A, khi đó cả 2 luật R1, R2 đều có thể chọn để cháy, tuy vậy

áp dụng heuristic trên, ta thấy luật R1 được chọn và ta thu được kết luận là: B

III KẾT LUẬN

Trong các phần trên chúng ta đã mở rộng và tính toán cho các trường hợp của modus ponens Các mở rộng trên cùng với các qui tắc RT1,RT2, RMP, RE trong [12] tạo cơ sở vững chắc cho việc lập luận xấp xỉ trên biến ngôn ngữ

Hơn nữa cách biểu diễn câu của chúng ta làm tách biệt được hai phần cơ bản của tri thức con người là: phần rõ ràng và phần mơ hồ Đồng thời thể hiện

được độ tin cậy của câu, điều này thường gặp khi lập luận trên cơ sở tri thức thu thập từ các chuyên gia trong các hệ chuyên gia

Bên cạnh đó cách kí hiệu (A) tạo điều kiện dễ dàng khi cài đặt một mô

tơ suy diễn trên cơ sở tri thức có dạng nói ở phần I

Cũng cần nói thêm với cơ sở là đại số gia tử chúng ta có thể định nghĩa các toán tử giả bù tương đối, qua đó xét toán tử M trong mệnh đề 1 thỏa mãn các tính chất của hàm modus ponens tổng quát, nhưng việc lập luận xấp xỉ ở trên của chúng ta không phải thông qua việc tính toán dựa vào hàm thuộc trong logic mờ

mà lập luận trên biến ngôn ngữ như cách suy nghĩ thông thường của con người

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Huỳnh Văn Nam, Một cơ sở đại số cho logic mờ Zadeh và tính toán

trên các từ, Luận án Tiến sĩ Toán học, Hà nội (1999)

2 Lê Xuân Việt, Thuật toán suy diễn trên thông tin không chắc chắn,

Luận văn thạc sĩ khoa học, Đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán, Trường ĐHKHTN, Hà Nội ( 2001)

3 N.C Ho, T.D Khang, H.V Nam, N.H Chau, Hedge Algebras,

Linguistic-Valued and Their Application to Fuzzy Reasoning, Inter