Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 chủ đề 16

BẢNG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC NHÓM STT Họ và tên Cá nhân tự đánh giá kết quả Nhóm đánh giá kết quả GV đánh giá 1 Phùng Khải Minh Hoàn thành tốt, 2 Trần Xuân Sang Hoàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

šžžžRžžž›

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN GIẢI TÍCH 2

Chủ đề 16:

LỚP L41 NHÓM 16

Giảng viên hướng dẫn:

Thành phố Hồ Chí Minh – 05/2023

1 Phùng Khải Minh 2212078

BẢNG ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÔNG VIỆC NHÓM

STT Họ và tên Cá nhân tự đánh

giá kết quả

Nhóm đánh giá kết quả GV đánh giá

1 Phùng Khải Minh Hoàn thành tốt,

2 Trần Xuân Sang Hoàn thành tốt,

MỤC LỤC

NỘI DUNG PHẦN I 4

Câu 1: 4

Câu 7: 4

Câu 13: 5

Câu 17: 6

Câu 19: 7

Câu 21: 8

NỘI DUNG PHẦN II 9

Bài toán 76: 9

Bài toán 77: 10

Bài toán 78: 11

Bài toán 79: 12

Bài toán 80: 13

NỘI DUNG PHẦN I

Câu 1:

Tìm vectơ vận tốc và gia tốc x=2 +t, y =4+t, z= 1-t

Giải

Vectơ vận tốc v là đạo hàm của vectơ vị trí r theo thời gian

𝑉 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 = '

𝑑𝑥

𝑑𝑡 ,

𝑑𝑦

𝑑𝑡 ,

𝑑𝑧

𝑑𝑡, Lấy đạo hàm của phương trình vị trí đã cho theo thời gian, ta được:

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 3,

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 1,

𝑑𝑧

𝑑𝑡 = −1

Do đó, vectơ vận tốc là:

𝑉 = (3, 1, −1)

Để tìm vectơ gia tốc a, chúng ta cần lấy đạo hàm cấp hai của vectơ vị trí r theo thời gian:

=> 𝑎 = 𝑑

!𝑟

𝑑𝑡! = 4𝑑

!𝑥

𝑑𝑡!,𝑑

!𝑦

𝑑𝑡! ,𝑑

!𝑧

𝑑𝑡!5 Lấy đạo hàm của phương trình vận tốc theo thời gian, ta được:

𝑑!𝑥

𝑑𝑡! = 0,𝑑!𝑦

𝑑𝑡! = 0,𝑑!𝑧

𝑑𝑡! = 0

Do đó, vectơ gia tốc là: a = (0, 0, 0)

Trong trường hợp này, vectơ gia tốc bằng 0, cho biết vận tốc không đổi

và không có sự thay đổi về tốc độ hoặc hướng dọc theo đường cong

Câu 7:

Tìm vector vận tốc và gia tốc tính tốc độ Tìm bất kỳ thời gian nào mà nó dừng lại 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡!, 𝑧 = 𝑡"

Giải

Vectơ vận tốc v là đạo hàm của vectơ vị trí r theo thời gian

𝑉 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 = '

𝑑𝑥

𝑑𝑡 ,

𝑑𝑦

𝑑𝑡 , 𝑑𝑧

𝑑𝑡,

Lấy đạo hàm của phương trình vị trí đã cho theo thời gian, ta được:

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 1,

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2𝑡,

𝑑𝑧

𝑑𝑡 = 3𝑡!

Do đó, vectơ vận tốc là:

𝑉 = (1, 2𝑡, 3𝑡!) Tốc độ là độ lớn của vectơ vận tốc:

𝑠𝑝𝑒𝑒𝑑 = |𝑣| = =1 + (2𝑡)!+ (3𝑡!)! = =1 + 4𝑡!+ 9𝑡#

Vì √1 + 4𝑡!+ 9𝑡# ≥ 1 với 𝑡 ≥ 0 do đó vectơ vận tốc |𝑣| không thể bằng 0 nên ta sẽ không thể tìm được thời gian để hạt dừng lại

Câu 13:

𝑥 = 3 + 5𝑡, 𝑦 = 1 + 4𝑡, 𝑧 = 3 − 𝑡, 1 ≤ 𝑡 ≤ 2 Tính chiều dài bằng phương pháp khác

Giải

Lấy đạo hàm, ta được:

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 5,

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 4,

𝑑𝑧

𝑑𝑡 = −1

Sử dụng công thức khoảng cách:

E 1F'𝑑𝑥

𝑑𝑡,

!

+ '𝑑𝑦

𝑑𝑡,

!

+ '𝑑𝑧

𝑑𝑡,

!

𝑑𝑡

!

$

= E =5! ! + 4!+ (−1)!𝑑𝑡

$

= E √42 = √42!

$

Để kiểm tra bằng phương pháp khác, chúng ta có thể sử dụng định lý Pitago để tìm độ dài của vectơ bằng công thức [(∆𝑥)!+ (∆𝑦)!+

(∆𝑧)!]%,'

Ta chia đường cong thành 2 đoạn thẳng AB và BC với điểm ban đầu A = (8, 5, 2) điểm giữa B = (10.5, 7, 1.5) và điểm cuối cùng C = (13, 9, 1)

Ta có:

ΔxAB = 10.5 – 8 = 2.5 , ΔyAB = 7-5=2 , ΔzAB = 1.5 – 2 = -0.5

ΔxBC = 13 – 10.5 = 2.5, ΔyBC = 9-7 = 2, ΔzBC = 1-1.5 = -0.5

Chiều dài AB là:

𝑙() = [(∆𝑥())!+ (∆𝑦())!+ (∆𝑧())!]%,'

= [(2.5)! + (2)!+ (−0.5)!]%,' = √42

2 Chiều dài BC là:

𝑙)* = [(∆𝑥)*)!+ (∆𝑦)*)! + (∆𝑧)*)!]%,'

= [(2.5)! + (2)!+ (−0.5)!]%,' = √42

2 Suy ra chiều dài của đường cong là:

𝑙 = 𝑙() + 𝑙)* = √42 Điều này cũng giống phương pháp sử dụng tích phân

Câu 17:

Tìm các vectơ vận tốc và gia tốc của chuyển động tròn đều và kiểm tra

xem chúng có phải là đơn chất người không Kiểm tra xem tốc độ và độ

lớn của gia tốc không đổi

Giải

Ta đi đạo hàm để có vận tốc và gia tốc:

- Vectơ vận tốc:

𝑣’𝑥 = −6𝜋𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑡), 𝑣’𝑦 = 6𝜋𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡), 𝑣’𝑧 = 0

+ Vectơ vận tốc v là:

𝑣 = −6𝜋𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝑡)𝑖 + 6𝜋𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)𝑗 + 0𝑘

- Vectơ gia tốc:

𝑎+𝑥 = −12(𝜋!) cos(2𝜋𝑡) , 𝑎+𝑦 = −12(𝜋!) sin(2𝜋𝑡) , 𝑎+𝑧 = 0

+ Vectơ gia tốc là:

𝑎 = −12(𝜋!) cos(2𝜋𝑡) 𝑖 − 12(𝜋!) sin(2𝜋𝑡) 𝑗 + 0𝑘

Vectơ vận tốc và gia tốc có vuông góc với mọi t hay không, chúng ta có

thể lấy tích vô hướng:

𝑣 𝑎 = (−6𝜋 sin(2𝜋𝑡))(−12𝜋 ! cos(2𝜋𝑡)) + (6𝜋 cos(2𝜋𝑡))(−12𝜋 ! sin(2𝜋𝑡)) + (0)(0) = 0

=> vectơ vận tốc và gia tốc vuông góc với mọi t

Độ lớn của vectoc vận tốc là

|𝑉| = =(−6π sin(2πt))! + (6πcos (2πt))!+ 0! = 6π

Độ lớn vectoc gia tốc là

|𝑎| = =(−12π!cos(2πt))!+ (−12π!sin (2πt))!+ 0! = 12π!

Vì tốc độ và độ lớn của gia tốc không đổi nên chuyển động này là một ví

dụ về chuyển động tròn đều

Câu 19:

Tìm vectơ vận tốc và gia tốc của chuyển động thẳng đều Kiểm tra xem vectơ gia tốc chỉ cùng hướng với vectơ vận tốc nếu tốc độ tăng và ngược hướng nếu tốc độ giảm

Giải

Ta đi đạo hàm:

- Vectơ vận tốc

𝑉’𝑥 = 2𝑡, 𝑣’𝑦 = −2𝑡, 𝑣’𝑧 = −2𝑡

Do đó, vectơ vận tốc v là:

𝑣 = 2𝑡𝑖 − 2𝑡𝑗 − 2𝑡𝑘

- Vectơ gia tốc:

𝑎’𝑥 = 2, 𝑎’𝑦 = −2, 𝑎’𝑧 = −2

Do đó, vectơ gia tốc a là:

𝑎 = 2𝑖 − 2𝑗 − 2𝑘

Để kiểm tra xem vectơ gia tốc có cùng hướng với vectơ vận tốc nếu tốc

độ tăng và ngược hướng nếu tốc độ giảm hay không, chúng ta có thể sử dụng tích vô hướng hoặc tích vô hướng Tốc độ của chuyển động được cho bởi độ lớn của vectơ vận tốc |v|, đó là:

Đạo hàm theo thời gian của vận tốc là:

Do đó, nếu tốc độ đang tăng (,|.|

,/ > 0), thì vectơ gia tốc và vectơ vận tốc chỉ cùng hướng, có nghĩa là tích vô hướng (a · v) dương Ngược lại, nếu tốc độ đang giảm (,|.|

,/ < 0), thì vectơ gia tốc và vectơ vận tốc ngược hướng, có nghĩa là tích vô hướng (a · v) âm

Câu 21:

Tìm phương trình tham số của tiếp tuyến tại t=2 cho bài tập 10

Giải

𝑥 = (𝑡 − 1)!, 𝑦 = 2, 𝑧 = 2𝑡!− 3𝑡!

Ta đi đạo hàm:

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 2(𝑡 − 1) = 2,

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 0,

𝑑𝑧

𝑑𝑡 = 4𝑡 − 6𝑡 = −4 𝑣ớ𝑖 𝑡 = 2 Thế t=2 vào ta được điểm (x, y, z)= (1, 2, -4)

Phương trình tham số tiếp tuyến:

y=y0 + bt y= 2+0t

z= z0 + ct => z=-4-4t

x=x0+at x=1+2t

NỘI DUNG PHẦN II

Bài toán 76:

Trong tọa độ cầu, khối Ω được xác định bởi "0

# ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜑 ≤ 0

# và

𝜌 ≤ 1 Vẽ khối Ω và tính thể tích của nó

Giải

Ta có:

𝜌! = 𝑅! => 𝑥! + 𝑦!+ 𝑧! = 1 𝑀à 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑟

2 Thay 𝜃 = "0

# , 𝜃 = 𝜋 ta có phương trình sau:

𝑧 = −=𝑥! + 𝑦! , 𝑧 = 0, vẽ thêm 1 đường 𝑦 = 𝑥

Tính thể tích khối này

Hình ảnh minh họa 1.1 khối Ω

Bài toán 77:

Cho S là phần mặt cong 3 + 4 = 12 giới hạn bởi z = 1 + cos 5x và z

= 0 Tính diện tích của S

Hình ảnh minh họa 1.2

Giải

Đổi biến theo tọa độ cực:

,

Tính diện tích S

𝑆 = E (1 + cos(10 cos(𝑡)))=(2 sin(𝑡))!0 !+ 3(cos(𝑡))!𝑑𝑡 ≈ 9.07

%

Bài toán 78:

Trong tọa độ cực (x = r cos φ, y = r sin φ), miền phẳng D được xác định bởi là r ≤cos2φ, ≤ φ ≤ Cho C là biên định hướng âm của D

Tính

Giải

Vì miền (C) kín và (C) là biên định hướng âm suy ra:

g 𝑥!𝑑𝑦 = − h 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

1

*

Thay 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑), 0 ≤ 𝑟 ≤ cos(2𝜑) ,20

# ≤ 𝜑 ≤0

# ta được:

− E 𝑑𝜑 E345(!7)i2𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑)j 𝑟𝑑𝑟

%

0

#

20

#

= − E 2𝑟"cos(𝜑)

345(!7)

𝑑𝜑

0

#

20

#

= − E 2 cos(2𝜑)"cos(𝜑)

0

#

20

#

≈ −0.43099

Bài toán 79:

Mặt cong S là mặt phía dưới của mặt tròn xoay khi quay đường cong

z = 2y, 0 ≤ y ≤1, quanh trục Oz Tính ∬ 𝑦9 !𝑑𝑥𝑑𝑦

Giải

(𝑆): 𝑧 = 2𝑦 => 𝑧+𝑥 = 0, 𝑧+𝑦 = 2

𝐷:; = {𝑥!+ 𝑦! ≤ 1} => Đặ𝑡 r𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑)𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑)=>r 0 ≤ 𝑟 ≤ 1

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋

𝐷;< = {𝑧 = 2𝑦} => (𝑂𝑧, 𝑛tttt⃗) > 90 =

=> ∬ 𝑦9 !𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬ (0,0, 𝑦1 !)(0, −2,1)𝑑𝑥𝑑𝑦

!"

= − E 𝑑𝜑 E 𝑦! 𝑟𝑑𝑟

$

%

!0

%

= − E 𝑑𝜑 E (𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑))$ ! 𝑟𝑑𝑟

%

!0

%

= − E 𝑠𝑖𝑛(𝜑)!𝑑𝜑 E 𝑟$ "𝑑𝑟

%

!0

%

= −𝜋 4

Bài toán 80:

Viết phương trình mặt cong S và tính diện tích của mặt S trong Bài toán 79

Giải

Để tính diện tích của mặt cong S, ta có thể sử dụng công thức sau cho diện tích của một mặt cong trên mặt phẳng:

𝑆 = h 1𝑑𝑠

9

Ta có: 𝑧 = 2𝑦 => r𝑧𝑧++𝑥 = 0𝑦 = 2 => 𝑑𝑠 = √1 + 0 + 2!𝑑𝑥𝑑𝑦 = √5𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷:; = {𝑥!+ 𝑦! ≤ 1} => Đặ𝑡 r𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑)𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑)=>r 0 ≤ 𝑟 ≤ 1

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Suy ra:

𝑆 = h 1𝑑𝑠

9

= h √5𝑑𝑥𝑑𝑦

1:;

= E 𝑑𝜑 E √5𝑟𝑑𝑟 = 𝜋√5$

%

!0

%