(Tiểu luận) báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài số 6 mặt bậc 2 và ứng dụng của tích phân

Tuy nhiên, trong cuộc sống chúng ta có thể thấy rằng phép tính tích phân ứngdụng rất nhiều và phổ biến, tích phân có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả như đochiều dài của một đường c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ

MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5/2023

DANH SÁCH THÀNH VIÊN VÀ BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ

hoàn thành

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

I CỞ SỞ LÝ THUYẾT 2

1.1 Tích phân kép 2

1.2 Tích phân bội ba 3

1.3 Tích phân đường 4

1.3.1 Tham số hóa đường cong 4

1.3.2 Tích phân đường loại 1 4

1.3.3 Tích phân đường loại 2 5

1.4 Tích phân mặt loại 1 6

1.5 Tích phân trong tọa độ cực 7

II BÀI TẬP 9

1.1 Bài toán 1 9

1.2 Bài toán 2 14

1.3 Bài toán 3 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

LỜI NÓI ĐẦU

Chào cô và các bạn sinh viên thân mến, dưới đây là bài báo cáo bài tập lớn mônhọc Giải tích 2 do nhóm 12 lớp L18 thực hiện

Ở bài tập lớn này, nhóm đã tìm hiểu về nội dung “Ứng dụng của tích phân”.

Trong lĩnh vực giải tích, tích phân là một trong những nội dung khó, có tính trừu tượngcao Tuy nhiên, trong cuộc sống chúng ta có thể thấy rằng phép tính tích phân ứngdụng rất nhiều và phổ biến, tích phân có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả như đochiều dài của một đường cong, tính diện tích của một hình phẳng, tính diện tích bề mặt

và thể tích của một vật thể Thông qua bài tập lớn, nhóm đã ứng dụng được tích phân

để tính toán chiều dài, diện tích, thể tích của các vật thể đã cho

Để hoàn thành được bài tập lớn này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm

ơn sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thị Xuân Anh Trong quá trình làm báo cáo khó tránhkhỏi sai sót mong cô bỏ qua và chúng em rất mong chờ những nhận xét từ cô để chúng

em rút kinh nghiệm cho các bài báo cáo sắp tới

2 S(D) = ∬ D dxdy (S(D) là diện tích miền D)

3 ∬ D [f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∬ D f(x, y)dxdy + ∬ D g(x, y)dxdy

3 ∬D Cf(x, y)dxdy = C ∬D f(x, y)dxdy (C là hằng số)

4 Chia miền D thành 2 miền không dẫm lên nhau là D 1 , D 2 thì:

∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy

D

D

5 Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) trên D thì: ∬ D f(x, y)dxdy ≤ ∬ D g(x, y)dxdy

6 Trên D, hàm f(x,y) đạt GTLN fmax=M, GTNN fmin=m thì m S(D) ≤ ∬ f(x, y)dxdy ≤ M S(D)

D

2

1.2 Tích phân bội ba

* Định nghĩa tích phân bội ba

Tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền V là:

Nếu giới hạn này tồn tại, f(x,y,z) được gọi là hàm khả tích trên V

3 ∭ V [f(x, y, z) + g(x, y, z)]dxdydz = ∭ V f(x, y, z)dxdydz + ∭ V g(x, y, z)dxdydz

∭ f(x, y, z)dxdydz = ∭ f(x, y, z)dxdydz + ∭ f(x, y, z)dzdydz

5 Nếu f ≤ g trên V thì: ∭ V f(x, y, z)dxdydz ≤ ∭ V g(x, y, z)dxdydz

1.3 Tích phân đường

1.3.1 Tham số hóa đường cong

Có 3 dạng tham số hóa đường cong thường gặp trong đường cong phẳng:

- Theo tọa độ cực: tham số là r hoặc φ.

Nguyên tắc: Tham số hóa cho 2 biến trong mặt phẳng để suy ra tham số cho biến thứ 3.

Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp

Bước 2: Tham số hóa đường cong trong hình chiếu (trong mặt phẳng)

Bước 3: Tham số hóa biến còn lại

* Tham số hóa đường cong phẳng dạng tổng quát Đường cong (C) có dạng: x= x(t),

y= y(t); t 1 ≤ t ≤ t 2 Trường hợp 1: Đoạn thẳng nối 2 điểm A(a1 ; a 2 ) và B(b 1 ; b 2 ):

X = A + t(B − A); 0 ≤ t ≤ 1 ⟺ { x = a 1 − t(b 1 − a 1 ) ; 0 ≤ t ≤ 1 y = a 2 − t(b 2 − a 2 )

Trường hợp 2: Đường tròn (x − a)2 + (y − b) 2 = R 2

x = a + Rcost {y = b + Rsint; 0 ≤ t < 2π(hoặc − π ≤ t ≤ π)

Trường hợp 3: Ellipsex2 + y2 = 1

a 2

x = acost {y = bsint; 0 ≤ t ≤ 2π

* Tham số hóa đường cong phẳng dạng tọa độ cực = ( ).

Chúng ta có thể tham số hóa như sau: {y = r(φ)sinφ

1.3.2 Tích phân đường loại 1

* Định nghĩa tích phân đường loại 1

Cho hàm f(x,y) xác định trên phần đường cong C từ điểm A đến điểm B:

3 ∫ AB [f(x, y) + g(x, y)]dl = ∫ AB f(x, y)dl + ∫ AB g(x, y)dl

4 Nếu C = C 1 ∪ C 2 thì ∫ C f(x, y)dl = ∫ C 1 f(x, y)dl + ∫ C 2 f(x, y)dl

1.3.3 Tích phân đường loại 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector F = (P(x, y), Q(x, y)) xác định trên cung BC.

Phân hoạch cung BC thành n cung nhỏ không trùng lên nhau bởi B 0 , B 1 … B n

* Tính chất

tích phân sẽ đổi dấu:

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy

2 Nếu C = C 1 ∪ C 2 thì: ∫ C P(x, y)dx + Q(x, y)dy

= ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy

1.4 Tích phân mặt loại 1

* Định nghĩa tích phân mặt loại 1

Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S Chia S thành n phần tùy ý không dẫm diện tích của mỗi mặt đó là ∆S k ,

k=1, 2,…, n Trên mỗi mảnh đó tùy ý và lập tổng:

lên nhau Gọi tên và ta lấy một điểm

M k

n

k=1

Cho max{d(∆S k } → 0 (d(∆S k ) là đường kính của mảnh S k ), nếu tổng trên dần 1 giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách lấy điểm

M k thì ta gọi đó là tích phân mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S:

là (x,y,z) thì khối lượng mặt là:

m(S) = ∬ ρ(x, y, z)ds

S

6

1.5 Tích phân trong tọa độ cực

Ta gọi (r,φ) là tọa độ cực của điểm M.

Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes là:

* Tọa độ cực trong tích phân kép

Nếu miền lấy tích phân kép là hình tròn có phương trình (x − a) 2

+ (y − b)2 = r2, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực bằng cách đặt:

* Diện tích mặt cong S

Mặt cong S được cho bởi phương trình z = z(x,y), D xy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy Khi đó:

dS = √1 + z′2 + z′2dxdyvà

∬ f(x, y, z)dS = ∬ f(x, y, z(x, y)) √1 + z′2 + z′2dxdy

8

( , , ) = 9 − 2 + , tính khối lượng mặt này (bỏ qua đơn vị tính).

a Dùng 1 phần mềm tùy ý vẽ khối.

b Tính diện tích mặt phía trên, mặt xung quanh và thể tích của khối biết đơn vị tính trên mỗi trục là mét.

Diện tích của mặt S được tính bởi S = ∬ S 1ds với ds = √1 + z′2x + z′2y dxdy

Diện tích mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, biên dưới là đường C nằm trong mặt phẳng Oxy, biên trên nằm trong mặt z = f(x, y) được tính bởi:

11

12

c Dự tính làm mặt phía trên khối bằng vật liệu có hàm mật độ là ( , , ) = − + , tính khối lượng mặt này.

1.2 Bài toán 2

Dọc theo một dãy nhà hình chữ L, người ta tính làm mái che có hình dạng là 1 phần mặt trụ ellipse như hình vẽ dưới đây Yêu cầu: nơi mái cao nhất (vị trí điểm A) là 2.5 mét, nơi mái thấp nhất (vị trí điểm B) là 1.7 mét, chiều rộng lối đi (độ dài đoạn CD) là

2 mét Thực hiện các yêu cầu sau:

c Sau đó tính diện tích mái che biết chiều dài mái che lần lượt là 50, 75 mét.

14

b Dùng 1 phần mềm tùy ý vẽ mái che

c Tính diện tích mái che biết chiều dài mái che lần lượt là 50, 75 mét.

1.3 Bài toán 3

Tìm một ví dụ thực tế để áp dụng cùng một lúc 1 trong 5 ứng dụng hình học + 1 trong

4 ứng dụng cơ học + 1 trong 3 giá trị trung bình của tích phân:

tích phân đường loại 2); diện tích mặt trụ song song với trục Oz hoặc độ dài đường cong (tích phân đường loại 1); diện tích mặt cong trong không gian Oxyz (tích phân mặt loại 1); thể tích khối hoặc giá trị trung bình của hàm f(x,y,z) trên khối trong không gian Oxyz (tích phân bội ba).

khối lượng mặt cong.

Oxy, giá trị trung bình của hàm f(x,y,z) trên mặt cong S hoặc trong khối Ω trong không gian Oxyz.

18

Trong quá trình sản xuất nước uống đóng chai, có thể áp dụng các ứng dụng hình học,

cơ học và giá trị trung bình để thực hiện các tính toán cần thiết Dưới đây là một ví dụ:

1 Ứng dụng hình học:

Diện tích mặt phẳng Oxy: Để tính toán diện tích đáy của chai nước, có thể sửdụng tích phân kép hoặc tích phân đường 2 để tính diện tích mặt phẳng Oxy của đáychai Điều này giúp xác định diện tích để tính toán lượng nước và đảm bảo dung tíchđóng chai chính xác

Diện tích mặt cong trong không gian Oxyz: Trong trường hợp chai nước có cáchình dạng cong như vòi hoặc các đường cong khác, có thể sử dụng tích phân mặt loại 1

để tính diện tích mặt cong của chai Điều này giúp xác định diện tích các mặt cong đểtính toán về vật liệu bao bì hoặc định vị các thành phần khác trên bề mặt chai

2 Ứng dụng cơ học:

Khối lượng mảnh phẳng: Để tính toán khối lượng các thành phần bao bì như nắpchai hoặc nhãn, có thể sử dụng ứng dụng khối lượng mảnh phẳng Điều này giúp đánhgiá lượng nguyên liệu cần thiết và tính toán về tải trọng và phân bố trọng lượng trongquá trình đóng chai và vận chuyển

3 Giá trị trung bình:

Giá trị trung bình của hàm f(x, y) trên miền phẳng Oxy: Khi muốn tính toán giá trịtrung bình của một thuộc tính nào đó trong quá trình sản xuất nước uống đóng chai, cóthể áp dụng tích phân bội ba để tính giá trị trung bình của hàm f(x, y) trên miền phẳngOxy Ví dụ, tính toán giá trị trung bình của nồng độ chất lọc hoặc pH của nước uống

TÀI LIỆU THAM KHẢO

20