phân loại và phương pháp giải toán bất đẳng thức

Với mục đích giúp độc giả yêu thích bất đẳng thức có thể sử dụng thời gian học một cách hiệu quả, hợp lí hơn, các tác giả đã biên soạn cuốn “Phân loại và phương pháp giải toán bất đẳng thức” Với hơn 200 bài toán được hệ thống một cách logic, cuốn sách sẽ giúp độc giả có được tầm nhìn bao quát về thế giới bất đẳng thức nói chung cũng như những “bí quyết tìm đường” trong việc giải toán nói riêng....

AO ki e BE k8 Ôi nàii THỂ TH TH TÚ

- Lời tựa -

“Hãy để lời giải thể hiện phương pháp” đó chính là phong cách viết trong cuồn sách nãy, Độc giả cá thể sẽ không tìm thây toàn bộ cúc định lý, học thuyết, cũng như sự giải thích cận kế về từng phương pháp Nhưng bù lại, bạn sẽ khúm phá được những

Đài toán dẹp dị kêu: với những lúa giải hay, Song song vôi việc chúng mim bit ding

“hức, cúc tt giá đã hạn che ii da vide su dụng cúc phương phap nang đáo, vì vậy da

số lới giải déu don giản, sơ cầp và đây tình tế

Chia khóa giáu quyết vẫn để ở đây là các kỹ năng văn dụng những biểu thức đại số và

cách ứng dụng-đu dạng của những bất đăng thức cả bàn Đỏ chính la yêu tô khiến chủ

cuấn sách không hể khô khan xẻ mạt học thuật Thậm chí cả những em học sinh lớp

3, lúp 9 cũng có thế hiểu được phần lớn nội dụng,

Tân chắc rắng khi đọc cuốn sách này, đối khu bạn sẽ cảm thấy ngục nhiền một cách thú

VỊ với cạn đường mã các tác giá giải quyết vẫn đề, Có thể bạn aẽ thối lên rằng: “Thật

don giản, tại sao mình lại không nghĩ ra nhí?”, Cuẩn sách này hoàn toàn có thể thám

kháo với mục dịch tìm tôi, Những nêu bạn thật sự muốn rút ra mộc điều gì đó thì sao”

Ngạc thiền thôi là chưa đủ, Bạn nên ngh thứ xem: "Phương pháp này có li đâu? Tác

gia dé lam thé nao dé tim ra nd?" Pap cin cho cầu hoi này không hé đơn giản và có

lẽ bạn sẽ không thể tim: dược ngay cầu trả lời với chỉ mỗi phương pháp Hãy có gắng

tìm rá đấp an từ những phương pháp khác nhau Nếu làm theo con đường này, bọi sẽ thành công, vũ vỏ chính lá diễn các tác giả mong độc giú hướng dến

Trường Pai hoe Khoa học Tự nhiên thành phô Hồ Chí Minh

(Để thí Đại học khôi I3 năm 2009)

1.2 Cho a va b là các xô thực đương thóa mãn aŠ ‡ ' = 9, Chứng minh rằng

eas

a aks siti t neta

(Để thí Dại học khôi A năm 2006)

14 Cho a vi b là các sb thye théa min 9a? + Sub + Tô” < Ú Chữg mình rằng

Ta + 56+ 1808 < 0,

“6 Vasile Cirle - Vi Qube Ba Cin Ten Qube Anh

LS, Cho @ vi 6 Hi ede 96 thie thou min 3i0 +0) > 2lab + 1| Chúng mình rằng

Cae bất dũng thực hai biển số

1.16 Cho œ vũ b là các số thực thỏa man a? +4? > 0 Ching mình rằng

LAB, Cho «vib lacie 56 thye dudng Chetng minh rang

(e+) (org arm) s*

1.19 Nếu ø và b là các số thực không âm, thì

Tết VT+82+ v{f=ajf+(1= Bễ > (L + v8) (1 = ah).

& s 3 Vasile Cirtouje - V5!

1.20 Choa va h fi ede 96 thực không âm #höa min a + b= 2 Chứng n

Đo z ý không âm và tực bentet0 Su (Tế : LY =¡ se

Tư đây đưa đến -

Vasile Cirtoaje - Võ Quốc Bá Cẩn - Tri

_Niiện xót Ta cũng có thể tuy bài toún về việc khảo sit ham mot bin ô

‘Mla aleg titecde catng minh tương đương với

oad hal + 3b! 2 Ba*h

ae ie tel pt Ne dat 2b = 2d0t OF

Đăng thức xảy rụ khí và chỉ khÍ ø = b = 3 ute ey — 5

Bồi 14 Cho a vũ là các số thực tháa mda Yat + Sab + TP < 0 Chứng mình nẵng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =

Bai 13 Chờ ø vỏ b là các sổ thực thia man 3(a +h) 2 Jah + 1) Ching minh ring

đ(a” + 0È] > Jaể” +1

Tài ái

Để ý rằng ah? — ab + 1 > Ú, đo vậy tạ có

ia +l = ab + 1)0?h? —nh + 1Ị( = lab+ L(a?U? —mh+-1)

= lab + I||tưb + 1)? — 3aÖi

Sử dụng giả thiết, tà được

Job + Hit + 1Ị? — 8 nh} < sta +h) [Fe +hy — su

Đ ela + b}{3a? + ab + Bt}

ee iwi +1 < at Wyk teh eae, mỹ

Độ đó, chứng mình sẽ hoàn tất nễu ta chỉ nụ được rằng

Đẳng thức xảy rú khi và chỉ khí a = 6 Le dd le!

“Cách 2 ĐỀ ÿ rằng với mại ø, J/ > II tá cả saa

gt pe ras

sẽ

WEP Gal se GPF Bab

và bằng cách công hai bật đẳng thúc trên tal, be eo

Sử dụng AM - GẶM tú cả dể < MỀ + 1> Ảnh, di « 8 2 du va +2 2 3b Mật khác, -dn ø# + ðŸ = 3, nên có 1

abel đec 1~9 She da

Sidˆ=pty=< ĐỊ»QuEdjf >didpred sai die

iu này mâu (huÏn vi giá tiỗt phần chứng: Như vấy la phải có `

Đẳng thức xây ra khi va chi khi a = y= U

Bài L8 lo: tử hải củế thực hôa hận #1 = 1, Chứng minh rằng

“Sau khi thú gọn, tị dước bất đẳng thúc hiển nhiền đồng (ø he So

‘Bai toán dược chiing minh xong, Đăng thức xảy +ạ khí và chị khía = bo

2 xảy sek

“điểm rơi trang bắt dong thule AM

ida bho ola vd? wake?

aut < (= 2En— 1) 34h — HỆ

ae 7 ‘we

l1 1E eM ey

0 Ea ch ow sân = eet set

Bài LỰA, Cho ú tê b là các wi thức đường, Clas niin

tat cults VISE, ok

peli? ley 3izet

“bề — 20” oe

Vậy tú chỉ cần chẳng mình Em ăn TH

18 Vasile Cirtoaje - Vo Quéc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh

se 5 < Lva (a — 1)? > 0 nén bat dang thite cudi hién nhién ding, va phép

chứng minh của ta được hoàn tất Đăng thức xáy ra khi và chí khí a = b= 1

Cách 2 Bằng phép đổi biển, thay thé œ và b bởi 1 và ` bat dang thức cần chứng mình trở thành = é

1+3 0122585171 Dit s = a+b vap = ah, Theo bất đẳng thức Cauel — Schuarz, tà có

Hoàn toán tưởng tự, ta cũng có

roe <a (area):

Do vay, dé dàng nhận thấy

1 4 fate 2}

(ve+vt) (Tay * rem) <3 (G08) =2

Bang thức xảy ra khi va chi khi a — b

Bai 1.19 New a vd b ld cde 86 thee khong dm, thi

Vive + Vit + (1a 0 - bP 2 (1+ v5) (1 ab)

22 Vasile Cirtoaje - Võ Quốc Bá Cẩn - Tran Quéc Anh

Chứng mình f1) Đặt

4=l+v1l+ta+b#+Vv1+a+ v1+02, B= vVT+(a+?+ w+af1+Đ),

Chưững minh: (2) Ta có bắt đãng thức (2) tướng đương với

Vñab > /1 + (1—a —b)? — J — a)? + 0 — by,

Các bất đẳng thức hai biển số 23

Đăng thức xây ra khí và chỉ khi ú — 5 và 5 = 0, hoặc a =Dwàb= 2

Nhận xét Bằng phương pháp tướng tự, ta chứng mình được bất đẳng thức mạnh hơn:

Nếu ø và b là các sơ thực khơng ẩm, thì

1+à2+VI+f+ =SP+~ + (L+ v8) ab > 1+ võ

Bài 1.20 Cho ủ và b là các số thực khơng dm théa man a+b = 2 Chứng mình nẵng

2

ae (3) <2

Khơng mắt tính tống quát, pid sta > b Tir gid thiét, a suyra0 <a ~ 1 <1 va

0< h< 1, từ đĩ ta cĩ thể sử dung bát đẳng thức Bernoulli như sau

Với giả thiết ø > 6, đẳng thức xây ra khi a = b = 1, hofica = 2 vab = 0,

Bài 1.21, Cho z vẻ là hai số thực chương thỏa mãn z-++ v(939 + 220 + 3u? = 4 Tim gid tri lon nhất của +:®u

Từ giả thiết đã cho, ta để dàng nhận thấy z + w < 4 Do đĩ, nĩ cĩ thể được viết lại

š tước bay (aby? s1 Bling te yng bài V3 < ®C” =1, eo AM i

28 Vasile Cirtoaje - Võ Quốc Bá Cấn - Trân Quốc Anh

Do gíc) > (l nến g(z) là hàm tăng thực sự

Trong trường hợp thứ nhất (tức e > 1), tù có ;(c) > g(1) = 0, suy ra ƒ'{c) > 0 nên

Íc) Eà hàm tầng thực sự, từ đỗ suy ra ƒ(c) > ƒ(1) = 0

Trang trường hợp thứ hai (tức (l < © < 1] ta có g(e) < g(1) = tl, suy ra ƒf(£) < U,

vì vậy ƒ(c) là hãm giám thực sự và ta suy ra ƒíe) > /(1) = 0

đài 126 Mẫu à và b là các số thực dương, thì

app aa

tài giải

Vi bắt đẳng thức hiến nhiên đúng khi a — ñ nên không mất tính tổng quát, tạ có thể

giả sử a > b Ta có hai trường hợp để xét la ø > 1 và € b< m< 1

Trung hop 2.0 <b <a < 1 Đặt € — a", đ = vap =F (o> dp> 1), bất

dang tnic của ta trở thành

Do g'(c) = 2(p + Uele?! — 1) > U nên ø{c) tăng nghiêm ngặt với mọi e > 1, suy

ra g(c]} > g(1) = 0 với e > 1, bay Ƒ'{e) > 0 với e > 1 Điều này chứng tô ƒ(à) là

hằm tăng ngạt với mọi c > 1, và ta có ƒÍc} + ƒÚ1) — D với c > 1,

30 Vasile Cirtoaje - Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh

(Bề thị Đại học khôi Ð năm 2007)

2.3 Cho + g > là các số thực dương thỏa mãn +/: = | Tìm giá trị nhỏ nhất của

hiểu thức

+8ry*x ory +3UV/0

(Để thị Đai học khối A nam 2007)

3.3, Cho 0, ụ > là bạ số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Jena G+)

(Đẻ thị Đại học khỏi B năm 2007)

34 Vasile Cirtoaje’- Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh

24 Cho x,y, = lũ các số thực đương thỏa mãn z{r + y +2) = 3> Chứng mình

(rag) 4 (assy +lr + gÌ(u + e)(s + x) < 5íp + ‡)®

(Để thị Đại học khối Á năm 2009)

3.5, Cho ø, b là các số thực không âm thỏa man a + b+ = 1 Tim gid trị nhỏ

nhất của biếu thức

AI = (4212 + bÊcÈ + c?u?)-† (nh +ồc+ rà) + 9V na? 2+,

(Đề thị Đại học khôi B năm 2010)

2.6 Chứng mình rằng với mọi số thực đương ái, b ố, ta đều có

2.18, Chom boc la ede so thye dufdng, Chitag minh rằng

3+ £ŸE.x 66h + RE ea 1)

di T {ơ — bJ(b + cú: + mì”

Cae bat dang thife ba bién s6 39

2.40 Cho a b «1a cae xố thực đương, Chứng mình rang

2.42 Cho a b, c lá các số thực đương thỏa tấn abe = 1 Ching minh rang

SIÚ? + 11002 + Mer +1) <Slatbseyl

2.43 Cho a, b,c Ji cde số thực không âm thỏa mãn a + ñ + © = 2 Chứng mình rằng

(a? + ab + + be + AGA + eg + a2) <3,

3.44 Choa, b, © la cae 6 thue duong, Ching mink rang

40 "¬ Vasile Cirtoajc - Võ Quốc Bá Cấn - Trần Quốc Anh 2.47 Choo, b, rà các sổ thực không âm shóa mana +b +c = 1 Chứng mình rằng

Vite + n/ie Ie tev de + Bet Ỷ

2.48 Cho œ, b r là các số thực đương Chứng mình rằng

seal et ab + be ce te

gb+ be + cư — besten” Beith c?+ nhị be

2.49, Cho a b,c li các sổ thực không ñm thỏa mắn ø + b ~ ¿ = 3 Chứng mình rằng

Viste pre Viewsat \ ooo e

2.50 Chor, b, ¢ la các xố thực không âm thõa mãn ä + b + e = 3 Chung minh ring

Ob +R ber eR gt a8 ~ 3

2.51 Chow, b, ¢ la cae sé thye không âm thỏa mãn ø + b> ¢ = 3 Chimg minh ring

p(thte _ eta) | dat)

att b+T etl

3.52, Cho, bạ c là các sẻ thực không dm thỏa mãn œ ‡ Ù + e > 0 Chứng mính rằng

3alie(oŸ = bÊ}?

dine “We 2 fo sh+ eyed bb + er eal

2.54 Cho ø, b, 01a cite sb thue không âm Ching minh ring

a! +b + cỄ + tube > ab 2a +P) + hé V S1 + c?] + ca V225 051,

(MOSP 2004)

vere VPA versa Wz

2.55, Choo b.« li ede sé thye khong am thow min a® + HP + 6° ~ anh = 1 Chứng mình rằng

a 40) pe = dale < V3:

256, Cho 0 «Ha ce wb te dung thea main (w= — 2) TS — 2) = 4

Ching minh rang

‘ee

wiataey (a+ a > 2304

2.57 Chow, b « la cde sé thực không âm Chứng mình rằng

(a2 + ab = be (U2 + be + en + cứ + nhị > (nh + hệ + ray

41 Vasile Cirtoaje - Vo Quée Ba Can - Trần Quốc Anh 3.61 Cho a bà ¿ lá các số thực không âm thỏa mân aÈ < bé + ca > 0 Chứng mình

tạ ~ hị? = +e2 "feb az] m4

(ranian Mathematical Olympiad 19961 (ab +t ea) | ‘ t | :

2.64 Cho 4, ¢ li cde số thực dương, Chứng mình rằng

Cúc bắt dụng thức ha hiển số 43 3.68, Cho ø.b.£ 1ù các xỗ thực đương Chứng múnh rằng

4a hệ” (n+b~ clh + e— alles a bia! be e+ abe)

2.69, Choa bor la cde <6 thee duang théu min uh + be + ca = 1 Ching minh ring

+ (cea)? c2 +{a +h)? ˆ Va+ti+e? = Va

LAL Choa h ¢ là các số thực đương thỏa mana + b+ ¢ = 3 Ching minh ring

ab lle va 9-2 0-2" =F =

2.84 Cho ú h s là các số thực đương thoa mãn ; + : + : = 5 Chet minh rang

3⁄85 Cho a, be li eile sé thye duong., Chững mình rằng

Ba(b +c) ~ 2be BMesu)— Bea Bela +b) — Bob 3

Bashi db-4 | Dec wesa | Gera iarh

3⁄86 Cho ¿„ b, là cúc số thực dương thỏn min Yabo = £ < 1 Chứng mình rằng

“k«ErbtlcEr + Foal Gol Pie

2.94 Choa be va È là các xổ thực dương Chứng minh ring

gota £„ tu‡t hha kesh

°h "ự wo hee Reta hah

jag et cal iah + hee ea = (a = With +ca\(e+ab) _

2.95 Choa, b « Ti ede số thực dang thia mina = b+e 23,

2.96 Cho a b ¢ Hvedc 98 thie hing âm thỏa man a? + 4? +e & 0 Chitng minh

Cie bat dang thite ba bién số 4u

3.111, Cho n, 6, e là các số thực khác nhau từng đối một, Chứng mình rằng

4 (Ee = s0) @®- ve= 0) >3 (Sey - ew)"

3.114 Cho ø ñ ¢livede 36 thực không ãm thôa mãn ab + he + ca > 0 Ching minh

ring

Vie Jit 10 a vetoh Sabtbe +o

3.115 Cho a, b c là các số thực không fim Ching minh ning

Sta Hh eee 2 (la? sie + VỀ + ca + Var ab)

2.116 Cho ei, b © li cae sé thue thỏa man a? +b? +c? = Qab+ be + en) > 0

Chứng mình rằng

cm S.|Ế 8} - _#a- bị b z3

Vat + the es Ta Va + anh a

2417 Chom b ¢ lacie s6 thye không im thoa mano = 2b + 3 = 4 Chứng mình

ring

(eth =e + a + abe yee" + bee + ce? + ube) <8

50 Vasile Cirtoaie - Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh

2.121 Nêu n.b.c € | A) thi

(1a tab}? = (L-b+ te? £0 =e tea}? > 5

2.122 Choo, b ¢ ti cie s6 thye dudng Chitng minh rằng

(a? ~ bel fo? ibe + (0? — eu) f= den + (ce? — ab) yc? + dab > 0,

2.124, Ching minh ring néu a bh, © Va cic 96 thue detong thou man abe = 1, thi

(Bulgarian Mathematical Olympiad 1997)

52 Vasile Cirtoaje - Vo Quéc Ba Can - Trin Quốc Anh

3.134 Cho œ, Í, £ là các số thực khðng âm thỏa mãn không có bui số não đồng thời

bing 0, Chung minh ring

@ + fb + € + ab Ta be ca ca 52s 9

b+c Vera eth” {a4+h? (heer (et+ay2 = 4

2.135 Chứng mình rằng với mọi a, È, + dương, tạ có

d3 + ahé + bổ ˆ bì + qục+et ˆ el+ nhé+ gà ^^ n?+ PP +?

3.136 Cho ø ñ c lì các số thực không âm thủa mãn ab + be + ea = 1 Chung minh

2.138 Cho a, b, e là các số thực dương thỏa man œ6 ‡- hc + eu = 3, Chứng mình

răng bất đẳng thức sau đúng với mọi # 3> 0

TP SƠN: TÊN tạ cối g fat kb” (he key | fee kal “(TIẾT

a

mes 1 Binge yeu Ww i 2 “ “ca

ø 5, l các số thọ ương thôn mm ys = 1 Tìm giá tị nhỏ nhật

56 Vasile Civtoaje - Võ Quốc Bá Cẩn - Tran Quốc Anh

Vậy bài taán quy về chứng mình

b+ ie cate a+ 2h ^—~

với # = VEU = yt, = 2/5

Quả thực, bất đẳng thức cuỗi hiển nhién ding theo Cauchy = Schwarz vi

“ b + ¢ z (ø+bh+el a 1 at+bt+c +221 2

a+2b 7 Slab+be+ca} 8 ab+be+ea 37

b+ Qe @+2a

Bài toán được giải quyết xong

Nhận xét Mẫu chốt để giảt quyết bài toán này chính là chuyển bài toán cần chứng

minh vé dang đẳng bậc (hay chuẩn iấc) Khí đó, ta cố thể nhìn rô được hán chất của bài toán để tìm ra cách giải quyết nó Vù đ đây, bất đẳng thúc AA - GA đóng vài trò

là công cụ cho bước chuyển ấy

Bài 2.3 Cho r 1, = la ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất rủa biểu thức

Vặy La dự đoán min Í* = đạt được khi £ = 1=: = 1,

Lời giải Sử dụng bắt đẳng thức quen thuộc z? + y? 4+ 22 > ay + ys + or ket hop