Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 2

Dạng 3: Bài toán tổng hợp: chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến, đẳng thức tích,...a Vì B và C thuộc O nên OB OC Onằm

Dạng 3: Bài toán tổng hợp: chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến, đẳng thức tích,

a) Vì B và C thuộc ( )O nên OB OC Onằm trên đường trung trực của BC

+ Vì ABvà AClà hai tiếp tuyến tại B và Ccủa ( )O nênAB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắtnhau)

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC

Suy ra đường thẳng AO là đường trung trực của BC  AO BC

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một

điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M kẻ

tiếp tuyến MA với đường tròn ( M là tiếp

điểm) Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt

đường tròn O R;  tại hai điểm C và D (C

nằm giữa M và ) Gọi I là trung điểm của

dây CD, kẻ AHvuông góc với MOtại H

a) Tính OH OM. theo R

b) Chứng minh: Bốn điểm M A I O, , , cùng

D

thuộc một đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của OIvới HA Chứng

minh KC là tiếp tuyến của đường tròn O R; 

 thuộc đường tròn đường kính OM

Hay bốn điểm M A I O, , , cùng thuộc một đường tròn ( đpcm)

Cho nửa đường tròn tâm ( )O , đường kính

AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường

tròn cùng phía đối với AB Từ M trên nửa

đường tròn (M khác A B, ) vẽ tiếp tuyến với

nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C

và D

a) Chứng minh COD là tam giác vuông

b) Chứng minh MC MD OM  2

c) Cho biết OC BA  2R Tính AC và

BD theo R

Lời giải

a) Chứng minh COD là tam giác vuông

+ Vì CA và CMlà hai tiếp tuyến tại A và M của ( )O nên OClà tia phân giác của AOM (tínhchất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Vì DB và DM là hai tiếp tuyến tạiBvàM của ( )O nên OD là tia phân giác của DOM (tínhchất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Mà AOM và DOM là hai góc kề bù nên OC và OD vuông góc với nhau

b) Chứng minh MC MD OM  2

+ Vì OC và OD vuông góc với nhau nên COD vuông tại O

+ Vì CDlà tiếp tuyến tạiM của ( )O nên OM CD

+ Xét COD vuông tại O, OM CD tại M ta có: MC MD OM  2 (hệ thức về cạnh và đườngcao trong tam giác vuông)

c) Cho biết OC BA  2R Tính AC và BD theo R

+Vì CA là hai tiếp tuyến tại Acủa ( )O nên OA AC tại A Suy ra, COAvuông tạiA, theoPytago ta có:

Cho đường tròn  O có dây AB Qua O kẻ

đường thẳng vuông góc với AB , cắt tiếp

tuyến tại A của  O ở điểm C

a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường

tròn O

b) Cho bán kính của  O bằng 15cm và dây

24

AB cm Tính độ dài đoạn thẳng OC

Lời giải

a) Xét ABO có OA OB R gt  ( )  ABOcân tạiO

Mà OC AB (gt) OC là tia phân giác BOA (t/c)  

Vậy BC là tiếp tuyến của O R;  (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến )

b) Ta có OC AB (gt) mà OC là một đường kính; AB là dây cung

Gọi OCcắt AB tại I IA IB (định lí quan hệ vuông góc đường kính và dây )

Cho nửa đường tròn ( )O đường kính

2

AB R Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax,By

nằm cùng phía đối với nửa đường tròn) Gọi

M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( C

khác A và B ) Tiếp tuyến tại M với nửa

đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D

a) Chứng minh COD   90

b) Chứng minh 4 điểm B,D,M , Onằm trên

một đường tròn Chỉ ra bán kính của đường

tròn đó

c) Chứng minh CD AC BD 

d) Chứng minh tích AC BD. không đổi khi M

thay đổi trên ( )O

e) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường

tròn đường kính CD

g) Gọi giao điểm của AD và BC là N

Chứng minh MN và AC song song

h) Gọi BN là tia phân giác của ABD ( N

thuộc OD) Chứng minh: 1 1 2

BO BD BN  

Lời giải

a) Chứng minh COD là tam giác vuông

+Vì CAvà CMlà hai tiếp tuyến tạiA và M của ( )O nênOClà tia phân giác của AOM (tính chấthai tiếp tuyến cắt nhau)

+VìDBvàDM là hai tiếp tuyến tạiBvàM của ( )O nên OD là tia phân giác củaDOM (tính chấthai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Mà AOM và DOMlà hai góc kề bù nên OC và OD vuông góc với nhau

b) Chứng minh 4 điểm B, D, M , Onằm trên một đường tròn Chỉ ra bán kính của đường trònđó

+ Ta có BODvuông tại B(DB là tiếp tuyến tại Bcủa( )O nênOB BD )  B,D,O nằm trênđường tròn đường kính OD

+ Ta có MODvuông tại M (DM là tiếp tuyến tại M của ( )O nênOM MD )

M ,D,O nằm trên đường tròn đường kính OD

Vậy 4 điểm B, D, M , Onằm trên đường tròn đường kính OD

c) Chứng minh CD AC BD 

d) Chứng minh AC BD. không đổi khi M thay đổi trên ( )O

+ Vì OC và OD vuông góc với nhau nên CODvuông tại O

+ Vì CDlà tiếp tuyến tạiM của ( )O nên OM CD

+ Xét CODvuông tại O, OM CD tạiM ta có:

2 2

MC MD OM R (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông) Mặtkhác,MC MD AC BD R   2màR2không đổi

Suy ra AC BD. không đổi khi M thay đổi trên ( )O

e) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

+ Ta có tứ giácABDClà hình thang (AC BD/ / vì cùng vuông góc với AB)

+ Gọi I là trung điểm của CD

+ Mà Olà trung điểm của AB

Suy ra IOlà đường trung bình của hình thang ABDC  IO AC/ / Mà AC AB

Suy ra IO AB mà O thuộc đường tròn tâm I đường kính CD

nên IO là tiếp tuyến của tròn tâm I đường kính CD

g) Gọi giao điểm của AD và BC là N Chứng minh MN và AC song song

+ Xét ACN có ACsong song với BD, theo Ta-lét ta có: AC CN

BD NB

Mà AC CM BD DM ;  nên CM CN

MD NB  MN và AC song song với nhau

h) Gọi BN là tia phân giác của ABD (N thuộc OD) Chứng minh: 1  1  2

Cho nửa đường tròn ( ; )O R có đường kính

AB Dựng dây AC R và tiếp tuyến Bx với

nửa đường tròn Tia phân giác của góc BAC

cắt OC tại M , cắt tia Bx tại P và cắt nửa

đường tròn tâm O tại Q

a) Chứng minh: BP2 PA PQ.

b) Chứng minh: bốn điểm B P M O, , , cùng

thuộc đường tròn tìm tâm

c) Đường thẳng AC cắt tia Bx tại K Chứng

minh: KP 2.BP

Lời giải

a) Ta có AQB nội tiếp đường tròn đường kính AB  AQB vuông tại Q => BQ AP

Xét ABP vuông đường cao BQ  BP2 PA PQ.

b) AC AO R   ACO cân tại A mà AM là phân giác  AM là đường cao

OMQ  90 màBPO  90 (Bx là tiếp tuyến)

 M B, cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của OP

Cho ABC cân tại A nội tiếp  O Gọi Dlà

trung điểm của AC ; tiếp tuyến của  O tại

Acắt tia BD tạiE Tia CE cắt  O tại điểm

thứ hai F

a) Chứng minh đường thẳng BC song song

với tiếp tuyến tại A của  O

b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình

hành

c) Gọi I là trung điểm của CF và G là giao

điểm của các tia BC và OI So sánh các

BACvàBGO.

Lời giải

a) Vì ABC cân tại A (gt)  AB AC  Athuộc đường trung trực của BC

nên AO là đường trung trực của BC  AO BC (1)

mà AE là tiếp tuyến của  O tại A  AO AE (2)

Từ (1);(2)BC AE//

 phân giác củaBAC BAC 2.BAH(3)

Ta có ABH BAH 900 màBGO ICG 900

Lại có tứ giácABCElà hình bình hành (cmt) AB CE// ABH ICG (đồng vị)

 BAH BGO(4)

Từ(3);(4) BAC 2.BGO

Bài 8:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB

Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d

với đường tròn Gọi E F, lần lượt là chân

đường vuông góc kẻ từ A B, đến d vàH là

chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB

a) Chứng minhCE CF

b) Chứng minh AE BF không phụ thuộc

vào vị trí củaC trên nửa đường tròn

c) Chứng minh AC là phân giác củaBAE.

d) Chứng minh đường tròn đường kính EF

Từ (1);(2)   CAO CAE  AC là phân giác củaBAE.

Vậy ABlà tiếp tuyến của đường tròn tâm C đường kinh EF

Hay đường tròn đường kính EF tiếp xúc với AB

2 2

4

  C là điểm chính giữa của nửa đường tròn tâmOđường kính AB

kính AB

Bài 9:

Cho đường tròn ( )O Từ một điểm M ở

ngoài đường tròn ( )O , vẽ hai tiếp tuyến ME

và MF sao cho EMO = 300 Biết chu vi

 MFE là tam giác đều, ME MF FE 

Mặt khác, chu vi MFE là 30cm, nên :

Cho tam giác ABC cân tại A I là tâm

đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn

bàng tiếp trong góc A Gọi O là trung điểm

a) Chứng minh bốn điểm ; ; ;B I C K cùng thuộc một đường tròn ( )O

+ Vì ( )I là đường tròn nội tiếpABC nên AB, AC, BC là tiếp tuyến của ( )I

+ Gọi tia đối của tia BA và tia CA lần lượt là Bx và Cy.

+ Vì ( )K là đường tròn bàng tiếp trong góc Acủa ABC nên Bx, Cy , BC là tiếp tuyếncủa ( )K

+ Vì ABvà AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tạiB của ( )I nên tiaBI là tia phân giác của ABC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ VìBx và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của ( )K nên tia BK là tia phân giác của

xBC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ MàABCvàxBClà hai góc kề bù

đường tròn ( )O

+ Tương tự, ta có ; ;I C K cùng thuộc một đường tròn ( )O

Vậy ; ; ;B I C K cùng thuộc một đường tròn ( )O

b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ( ;O OK)

+ Ta có BI là tia phân giác củaABCnên B B1 2

+ K B12 (cùng phụ với I ) ;1 K B13(OBKcân tại O)  B B2  3

Bài 11:

Từ điểm A ở ngoài đường tròn ( ; )O R kẻ hai

tiếp tuyến AB AC, (với B và C là các tiếp

a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi

+ Vì AB AC là hai tiếp tuyến tại, B và C của ( )O nên BO AB CO AC ; 

BOCH là hình thoi OH là tia phân giác củaBOC

Mà OA là tia phân giác củaBOC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra ba điểm A, H , O thẳng hàng

c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn ( )O

Ta có rứ giác BOCH là hình thoi  OB BH R 

Để H nằm trên đường tròn ( )O thì HO R

 BOH đều BOH 600  BAO 300 HB 1AO

2

   AO 2HO 2R  Vậy Acách O một khoảng 2Rthì H nằm trên đường tròn ( )O

Bài 12:

Cho tam giác cân ABC AB AC  , các đường cao

,

ngoại tiếp tam giác AHE

1) Bốn điểm A E B D, , , cùng nằm trên một đường

tròn

2) Chứng minh 1

2

ED  BC 3) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn

A là đường cao => ADBC  BDA  900

Lấy I là trung điểm của AB IA  IB  ID  IE

Vậy bốn điểm B A E D, , , cùng nằm trên một đường tròn đường kính AB

2) Vì tam giác cân ABC cân tại A nên đường cao AD đồng thời là đường trung tuyến

D là trung điểm của BC

Xét BEC vuông tại E có D là trung điểm của BC  1

2 =

ED DB DC  BC

3) Vì ED DB nên tam giác DEB cân tại D = BED DBE

Xét (O) có  OAE A O E

Mà EBD DA E(Cùng phụ với C ) BED OEA

BED HEO OE     A HEO OE DA HE 90O

DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

4) Theo giả thiết AH = 6cm

 OH  OE  3cm; DH  cm 2 OD  5 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác OED vuông tại E có:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  O

vẽ hai tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C,

là tiếp điểm) Qua O vẽ đường thẳng vuông

góc với OB, nó cắt CA tại M Chứng minh :

a) Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

b) Tam giác MOA cân

ABO 90   (tính chất của tiếp tuyến) (1)

ACO 90   ( tính chất của tiếp tuyến ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABO ACO 180    

Do đó tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kình OA

b) Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB  OB

Mà OM  OB (gt)

Do đó OM // AB  BAO  AOM ( so le trong ) (3)

Mặc khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BAO MAO (4)

Từ (3) và (4) suy ra MOA cân tại M

c) Gọi I là giao điểm của AO và BC

Ta có OBC cân tại O

 OI là đường ohân giác cũng là đường cao  OA  BC tại I

2

8 = 4 (cm)

IBO vuông tại I ta có: OI  OB BI 2  2  5 4 2  2  9 3  (cm)

AB R, dây cung AC Gọi M là điểm chính

giữa cung AC Đường thẳng kẻ từ C song

song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở

D, OD cắt AC tại H

1 Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp

2 Chứng minh CD MB và DM CB

3 Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn

 O để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn

4 Trong trường hợp ADlà tiếp tuyến cửa nửa

đường tròn  O , tính diện tích phần tam giác

ADC ở ngoài đường tròn  O theo R

//

=

O

M H

K D

C

B A

Ta có: ACB 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình 2

Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành Suy ra: CD = MB

và DM = CB.

3 Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn

AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)  AD AB ADCcó AK  CD và DH  AC nên M

là trực tâm tam giác Suy ra: CM  AD

K D

C

B A

Gọi S là diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O); S1 là diện tích tứ giác AOCD;

S2là diện tích hình quạt góc ở tâm AOC

R  (đvdt)

Bài 2:

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C

là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó (C 

A&B) M, N lần lượt là điểm chính giữa của

các cung nhỏ AC và BC Các đường thẳng

BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và

BC cắt nhau ở P Chứng minh:

a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K của

đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường

tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc

với một đường tròn cố định

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó:

Ta có   90ACB ANB  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Do đó: ICP INP  90   

Tứ giác ICPN có ICP INP  180   nên nội tiếp được trong một đường tròn Tâm K của đườngtròn ngoại tiếp tứ giác ICPN là trung điểm của đoạn thẳng IP

b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn  O

Tam giác INP vuông tại N, K là trung điểm IP nên KN KI 12IP Vậy tam giác IKN cân ở

K Do đó   (1)

Mặt khác NKP NCP  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN đường tròn (K)) (2)

N là trung điểm cung CB nên   CN NB Vậy NCB cân tại N

Do đó :  NCB NBC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra   , hai góc này ở vị trí đồng vị nên KN BC//

Mặt khác ON  BC nên KN  ON Vậy KN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Chú ý: * Có thể chứng minh KNI ONB    90 KNO 90

* hoặc chứng minh KNA ANO    90 KNO 90

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc vớimột đường tròn cố định:

H

/ /

=

=

P O

K I

N M

C

B A

Ta có   (gt) nên  AOM MOC Vậy OM là phân giác của .

Tương tự ON là phân giác của COB , mà  và COB kề bù nên  90MON  

Vậy tam giác MON vuông cân ở O

Cho đường tròn O R,  có đường kính AB

Trên đường tròn O R,  lấy điểm M sao cho

 60  

MAB Vẽ đường tròn B BM,  cắt đường

tròn O R,  tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến

a) Ta có  AMB ANB  90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))

Điểm M và N thuộc B BM, ; AM  MB và AN  NB nên AM ; AN là các tiếp tuyến của

N

M

B A

MN và JN  MN Vậy ba điểm N, I và J thẳng hàng.

Tam giác MJI có BO là đường trung bình nên IJ  2.BO  2R Tam giác AMO cân ở O (vì

OM = OA), MAO 60 0nên tam giác AMO đều

AB  MN tại H (tính chất dây chung của hai đường tròn (O) và (B) cắt nhau)

Cho đường tròn  O đường kính AB bằng 6

cm Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao

cho AH  1 cm Qua H vẽ đường thẳng

vuông góc với AB , đường thẳng này cắt

đường tròn  O tại C và D Hai đường thẳng

BC và DA cắt nhau tại M Từ M hạ đường

vuông góc MN với đường thẳng AB ( N

d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O cắt

NC ở E Chứng minh đường thẳng EB đi

qua trung điểm của đoạn thẳng CH

K

N M

D

C

B A

Lời giải

a) Ta có ACB 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra MCA  90 0 Tứ giác MNAC có N C    180 0 nên nội tiếp được trong một đường tròn.b) Ta có AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm)  HB = 5 (cm)

Tam giác ACB vuông ở C, CH AB  CH2  AH BH  1.5 5  CH  5 (cm)

 

DAB MAN (đối đỉnh) và MAN MCN  (cùng chắn MN )

Suy ra:  EKC ECK  KEC cân ở E Do đó EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyếncắt nhau) nên EK = EA

KBE

 có CI // KE  CI BI

KE BE và ABEcó IH // AE  IH BI

AE BE Vậy CI IH

KE AE mà KE = AE nên IC = IH (đpcm).

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn tâm

O đường kính AC Đường tròn  O cắt BC tại

điểm thứ hai là I

a) Chứng minh AI2 BI CI.

b) Kẻ OM BC tại M, AM cắt  O tại điểm thứ hai

là N Chứng minh AIM đồng dạng với CNM và

suy ra AM.MN CM  2

c) Từ I kẻ IH AC tại H Gọi K là trung điểm của

IH Tiếp tuyến tại I của  O cắt AB tại P Chứng

minh : ba điểm C , K, P thẳng hàng

d) Chứng minh: OI là tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp IMN