Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 1

a Chứng minh rằng AO vuông góc với BC; + Vì B và C thuộc O nên OB OC O nằm trên đường trung trực của BC + Vì ABvà AClà hai tiếp tuyến tại B và Ccủa O nên AB AC tính chất hai tiếp tu

Chuyên đề: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN TIẾP TUYẾN

A Kiến thức cần nhớ

1 Tiếp tuyến của đường tròn

a) Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đườngtròn

b) Tính chất: d là tiếp tuyến tại A của O R;   d OA OA R, 

c) Dấu hiệu nhận biết: Ta có d OA OA R ,  d là tiếp tuyến tại A của O R; 

2) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

AB AC

  ; OA là tia phân giác của BOC và AO là tia phân giác của BAC (tính chất hai tiếptuyến cắt nhau)

B Các dạng toán

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, chứng minh các quan hệ hình học (hai

góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, song song, )

Bài 1:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính

2

MN  R Kẻ tiếp tuyến Nx tại N Gọi K là

điểm bất kỳ thuộc Nx , MK cắt nửa đường

tròn tâmO tại .I Tính MI MK. theo R

Ta có tiếp tuyếnNxtại N NK MN O MN K Nx (  ,  )

Xét NMK vuông tại N(do NK MN ) mà NI MK (cmt)

ChoO R;  bán kính AO R , dây BC vuông

góc với OAtại trung điểm M của sao OA

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với O R;  tại B, cắt đường

thẳng OA tại E Tính độ dài BE theo R.

c) Chứng minh: BA EC

Lời giải

a)Xét O R;  có: BC OA tại M (gt) MB MC (định lí quan hệ …)

mà MO MA gt ( ); BC AO  M

Tứ giác OCAB là hình thoi

b) Xét O R;  có BE là tiếp tuyến tại B (gt) BE OB t c ( / )

Cho đường tròn ( )O Từ một điểm M ở ngoài

( )O , vẽ hai tiếp tuyến MAvà MBsao cho góc

 MAB cân tại M mà AMB 60 0

 MAB là tam giác đều, MA MB AB 

Mặt khác, chu vi MAB là 18cm, nên MA MB AB   18

3AB 18

   AB 6( )cm

Bài 4:

Cho đường tròn ( ; )O R và một điểm A ở

ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AC và

AB Chứng minh BAC  60 0 khi và chỉ khi

+ OC AC tại C (AClà tiếp tuyến tại Ccủa ( )O )

 AOCvuông tại C sinOAC OC

OA

R OAC

+ OC AC tại C (AClà tiếp tuyến tại ACcủa ( )O )

 AOCvuông tại C sinOAC OC

Cho đường tròn ( )O và điểm A nằm bên

ngoài ( )O Kẻ các tiếp tuyến AB , AC với

đường tròn (B , C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng AO vuông góc với BC;

+ Vì B và C thuộc ( )O nên OB OC O nằm trên đường trung trực của BC

+ Vì ABvà AClà hai tiếp tuyến tại B và Ccủa ( )O nên AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắtnhau)  A thuộc đường trung trực của BC

Suy ra đường thẳng AO là đường trung trực của BC  AO BC

  mà AO BC , suy ra BD song song với AO

c) Tính độ dài các cạnh của ABC biết OB 2cm,AO 4cm

+ Vì ACvà AB là hai tiếp tuyến tại C và Bcủa ( )O nênAB AC là phân giác của BAC (tínhchất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ OB AB tại B (ABlà tiếp tuyến tại Bcủa ( )O )

 AOBvuông tại B

Bài 6:

Cho nửa đường tròn ( )O đường kính AB Vẽ

các tiếp tuyến Ax By, về nửa mặt phẳng bờ

AB chứa nửa đường tròn Trên Ax và By

theo thứ tự lấy M và N sao cho MON   90

Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh

rằng:

a) AB là tiếp tuyến của đường tròn I IO; 

b) MO là tia phân giác của góc MAN

c) MN là tiếp tuyến của đường tròn đường

Lại có: I là trung điểm của MN và MON vuông tại O (gt) nên MIO cân tại I

Hay OMN = MOI (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AMO =OMN Vây MO là tia phân giác của AMN

Bài 7:

Cho đường tròn  O đường kính AB , E

thuộc đoạn AO (E khác A O, và AE EO )

Gọi H là trung điểm của AE , kẻ dây CD

vuông góc với AE tại H

a) Tính góc ACB;

b) Tứ giác ACED là hình gì, chứng minh?

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC Chứng

minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường

kính EB

O'

I C

a) Chỉ ra được tam giác ACB nội tiếp (O) nhận AB là đường kính

nên tam giác ACB vuông tại C  góc ACB = 900

b) Chứng minh được tứ giác ACDE là hình bình hành

Chỉ ra được hình bình hành ACDE là hình thoi

c) Chứng minh được I thuộc đường tròn tâm O' đường kính EB

Chứng minh được HI IO ' tại I

Bài 8:

Cho đường tròn  O đường kính AB Ax By,

là 2 tia tiếp tuyến của  O (Ax By, cùng nửa

Ta có: OAC OBF g c g . OC OE

Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân Khi đó DO

cũng là đường phân giác

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao

AH Đường tròn đường kính BH cắt AB tại

D , đường tròn đường kính CH cắt AC tại

E Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung

Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD OH OE OA  

 ODH cân tại O ODH = OHD

Ta cũng có IDH cân tại I IDH = IHO

Ta có: IDH OHD IHD IHA    90        90IDO    ID DE

Ta có ID DE D ,  I  DE tiếp xúc với  I tại D

Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với  J tại E

Bài 10:

tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE

cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm của BC

Chứng minh rằng ID , IE là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

O H

D E

A

Lời giải

Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:

 OA OD OE  , do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Tam giác OAD cân tại O)   ODA OAD (1)

BDC vuông tại D có DI là trung tuyến 

Từ (1) , (2) và (3) ta có ODA IDC OAD ICD    90     

Ta có OD DI D O ,   ID tiếp xúc với (O) tại D

Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp xúc với  O tại E

Bài 11:

Cho đường tròn O R;  đường kính AB Một

điểm M nằm trên đường tròn (M khác A B, )

Gọi N là điểm đối xứng của điểm A qua

điểm M Gọi E là giao điểm của đường

thẳng BM với tiếp tuyến tại A của đường

tròn  O

a) Nếu biết góc ABE bằng 60 và R 3 cm.

Hãy tìm độ dài cảu đoạn thẳng EA và EB

2) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh

ME là tiếp tuyến của đường tròn  O

=

=

H E

O

N M

C B

A

Suy ra  BMC BNC  90 0 Do đó: BN AC , CM AB ,

Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt nhau tại H

Do đó H là trực tâm tam giác Vậy AH BC

2) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

OB = OM (bán kính đường tròn (O))  ΔBOM cân ở M

Do đó: OMB OBM  (1)

ΔAMH vuông ở M , E là trung điểm AH nên AE = HE = 1

2 AH Vậy ΔAME cân ở E

Do đó:  AME MAE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OMB AME MBO MAH      Mà MBO MAH    90 0(vì AH  BC )nên OMB AME    90 0 Do đó EMO 90 0 Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).3) Chứng minh MN OE  2.ME MO.

4) Giả sử AH BC Tính tan BAC

ΔBNC và ΔANH vuông ở N có BC = AH và  NBC NAH (cùng phụ góc ACB)

ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn)  BN = AN

ΔANB vuông ở N  tanNAB BN  1

AN tanNAB BN AN 1 Do đó tanBAC 1

Bài 13:

Cho đường tròn O R;  và điểm A nằm bên

ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB AC,

với đường tròn ( B C, là các tiếp điểm) Gọi

E là giao điểm của BC và OA

a) Chứng minh: BE vuông góc với OA

b) Chứng minh: OE OA R  2.

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn O R; 

lấy điểm K bất kỳ (K khác B C, ) Tiếp tuyến

tại K của đường tròn O R;  cắt AB AC, theo

thứ tự tại P Q, Chứng minh tam giác APQ có

chu vi không đổi khi K chuyển động trên

OE OA OB R (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Ta có PB PK, là 2 tiếp tuyến kẻ từ P đến  O nên PB PK (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Cho tam giác ABC có

AH BK cắt nhau tại I Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường

kính AI

Lời giải

Vậy đường tròn đường kính AI đi qua K.

b) Ta có ABC cân tại A (gt) mà AH là đường cao (gt)

   OKA cân tại O    (2)AKO KAO

Mà OAK HCA    90 (3) 0 (do AHC  90 ) 0

Từ (1);(2);(3) OKA CKH    90 0 mà OKA OKH CKH      180 0

ChoABC vuông ở A có đường cao AH Lấy

D đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn

Mà Flà trung điểm AE  AHE cân tại H HEA HAE  (1) 

Ta có OE OC R   ECOcân tại O CEO CEO  (2) 

Mà HAE HCA   90 (3) 0 (doAHC  90 ) 0

Cho đường tròn  O , đường kính AB , điểm

M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng

với A qua M BN cắt đường tròn ở C Gọi E

là giao điểm của ACvà BM , F đối xứng với

E qua M.

a) Chứng minh: FA là tiếp tuyến của  O

b) Chứng minh:FN là tiếp tuyến của đường

    mà BO R gt ( ) FA là tiếp tuyến của  O

b) Vì AENF là hình thoi ( cmt) FN FA FE , là tia phân giác của NFA (t/c)

Chứng minh đượcFAB FNB c g c(   )

2

MO

CB  (1)

Mà CB là đường trung tuyến của COM (2) (doBO BM R B OM  ,  )

CO CM

mà C O R gt ;  ( ) MC là tiếp tuyến của  O

b) Xét CMO vuông tại C

(M A B , ) Kẻ hai tiếp tuyến Ax By, với nửa

đường tròn ( Ax By, và nửa đường tròn cùng

nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua M

kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt Ax

và By tại C và D

a) Chứng minh: CD AC BD  và tam giác

COD vuông tại O

a) CA CM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)

DB DM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)

 CD CM MD AC BD   

OC là tia phân giác của góc AOM

OD là tia phân giác của góc BOM

Mà góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù nên COD   90

Vậy tam giác COD vuông tại O

b).Tam giác COD vuông tại O có OM CD

OM2 CM MD. suy ra AC BD R  2

c)Tam giác BMD đều nên SBMD = 3 2 3

4

R đvdtd) Chứng minh MN song song với AC bằng Ta-let đảo

Bài 7:

Cho đường tròn  O , đường kính AB và dây

cung CD vuông góc với AB (AC CB ) Hai

tia BC và DA cắt nhau tại E Gọi H là chân

đường vuông góc hạ từ E tới đường thẳng

Nên ECA + EHA      90 90 180 

Suy ra tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AE

b)

Ta có ACD cân tại A  ACD = 

Ta có EF CD// (EF AB , CD AB )

 FEA =  (So le trong) và AFE =  (so le trong)

mà HCA = FEA (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Do đó AFE = ACH  CHF cân tại H  HC HF

c)

Ta có : OBC = OCB (do COB cân tại O)

 = OBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)   = OCB

Mà ACH =  nên ACH = OCB

Suy ra ACH + ACO = OCB + ACO = 90

Vậy HC là tiếp tuyến của đường tròn  O

Bài 8:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính

AH cắt AB và AC lần lượt tại I và K

Chứng minh:

1) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật

2) IK2 HB HC.

3) Tứ giác BIKC nội tiếp

3) IK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tam giác HKC

Lời giải

1) Ta có AIH, AKH là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Suy ra  90AIH   ,  90AKH  

 90

IAK   (tam giác ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AIHK là hình chữ nhật

2) Trong tam giác vuông ABC tại A có AH vuông góc BC nên AH2 HB HC. (hệ thức lượngtrong tam giác vuông)

Mà AH IK (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Vậy tứ giác BIKC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

4) Tam giác HKC vuông tại K nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của HC

Nên MK MC Tam giác MKC cân tại M  MKC = C

Ta có AIK = C (cmt)

Suy ra MKC = AIK mà AIK = IKH (so le trong do AI song song HK)

Suy ra MKC = IKH

Mặt khác HKM + MKC   90 nên HKM + IKH   90

đi qua tâm O, cắt  O tại B và C ( B nằm

giữa A và C) Các tiếp tuyến với đường tròn

 O tại B và C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH

vuông góc với AO, DH cắt cung nhỏ BC tại

M Gọi I là giao điểm của DO và BC

a) Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: OB=OC=R; DC=DB (t/c của hai tt cắt nhau )

suy ra OD là đường trung trực của BC

ODBC

Xét OHD và OIA có

 ;  90 0

AODchung H I  

Xét OHD ~ OIA nên OH.OA=OI.OD

c) ODC vuông tại C có CI là đường cao OC2= OI.OD (*)

Suy ra AM vuông góc với OM tại M.

AM là tiếp tuyến của đường tròn  O

Bài 10:

Cho đường tròn O r,  đường kính AB và dây

cung CD vuông góc với AB

(AC CB ) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E tới

a) ACB nội tiếp nửa đường tròn đường

kính AB nên vuông tại C.

Suy ra tứ giác AHEC có   1AHE ACE  v nên nội

tiếp được trong đường tròn đường kính AE.

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AHEC là trung điểm của AE, bán kính là .

ADC AEF (so le trong)

Lại có:  AEF ACH (cùng chắn cung AH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC)

Do đó:  AFE ACH  CHF cân tại H HC HF (đpcm)

c) Trong chứng minh ở câu b, ta cũng có  ACH ADC

Lại do: OBC OCB  (do OB=OC),

 

OBC ADC (cùng chắn cung)

Bài 11:

Cho tam giác ABC cân tại A,các đường cao

AD và BE cắt nhau tại H Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE

a) Chứng minh: 1

2

DE BC.b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của

AHE OEH (vì OE=OH)

Mà DBH BHD  90    nên DEH OEH  90   

DE OE  DE là tiếp tuyến của  O

Bài 12:

Từ một điểm ở ngoài đường tròn  O kẻ tiếp

tuyến AB với đường tròn  O ( B là tiếp

điểm) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, kẻ

tiếp tuyến IM với đường tròn  O (M là tiếp

B I

M

Lời giải

a) Theo giả thiết IM IB, là tiếp tuyến của đường tròn  O

 IM IB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà IA IB (gt) suy ra 1

2

MI  AB

Vậy tam giác ABM vuông tại M

b) Trong tam giác BMC ta có OM OB OC  ( Bán kính đường tròn  O )  1

2

MO BC

tam giác BMC vuông tại M

Ta có   90 90 180AMB BMC      

c) Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn  O )  AB OB (t/c tiếp tuyến)

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có BM AC

 AB2 AM AC. ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

 AM AB2

AC

 Thay số được AM 6,4