3 Tia phân giác của BAC cắt BC tại I, kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AI tại P đường thẳng , CP cắt đường thẳng AO tại Q... Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của
Trang 1Dùng b i d ng h c sinh gi i các l p 8
8
Trang 2NGUYỄN QUỐC BẢO
TUYỂN CHỌN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 8
NĂM HỌC 2022-2023
✓Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8
✓Giúp giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi 8
NHÀ XUẤT BẢN TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Trang 3( )
19 03
86 / 68 - QB
GD- 23 ĐHSG CT 22-23
Trang 4Lêi giíi thiÖu
Bạn đọc thân mến!
Những năm gần đây, đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 đã có nhiều thay đổi về các dạng bài tập toán và cách thức ra đề Vì vậy cấu trúc đề thi, nội dung thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán cũng khó và đa dạng hơn Để đáp ứng nhu cầu cho các đối tượng học sinh ôn luyện kiến thức và rèn kĩ năng giải các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh, tác giả đã tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh trên phạm vi toàn quốc năm
học 2022-2023 tập hợp thành cuốn: Tuyển tập đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp
8 năm học 2022-2023
Bố cục cuốn sách được chia làm hai phần:
Phần 1 Tuyển chọn đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8
Phần này tác giả giới thiệu đến các thầy/cô giáo đang ôn luyện đội tuyển cùng tất
cả các em học sinh yêu thích môn Toán đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh trên phạm vi toàn quốc trong năm học 2022-2023 Hi vọng qua sự phong phú và đa dạng đề thi của các địa phương khác nhau, các em học sinh sẽ tìm thấy những điểm thú vị và niềm đam mê đối với môn Toán
Phần 2 Đáp án và hướng dẫn giải chi tiết
Mục đích của phần này nhằm giúp các em có sự so sánh và đối chiếu kết quả sau khi đã
tư mình bấm thời gian và giải quyết đề thi Một số bài toán tác giả đưa ra thêm một hoặc hai cách giải để các em học sinh tham khảo, nhưng không hẳn là những cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất Mong muốn qua mỗi bài toán các em sẽ tìm được cho mình những lời giải khác hay hơn, sáng tạo hơn
Trong quá trình biên soạn, mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng, song cuốn sách khó tránh khỏi những sai sót, chúng tôi rất mong được tiếp nhận những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc để lần tái bản sau chất lượng sách tốt hơn
Mọi đóng góp xin gửi về:
Điện thoại: 039.373.2038 Zalo: 039.373.2038
Gmail: tailieumontoan.com@gmai.com Website: tailieumontoan.com
Xin trân trọng cảm ơn!
TÁC GIẢ
Trang 5PHẦN 1
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 1 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Trần Mai Ninh- Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
1 Tìm tất cả các số nguyên x và y sao cho x4 + y3 = xy3 +1
2 Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng 2 2
b) Chứng minh HM là tia phân giác của góc BHE
c) Giả sử AHC=1350 Chứng minh 2AH2 =HB2 −HC 2
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN của
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức 22 9 3 2 1
Trang 6c) Tìm giá trị nguyên của x để
2
1.1
=+
Câu 2: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) Giải phương trình (1) với m = 4
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số âm
Câu 4: (7,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA tại
E , tia CX vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
EF
a) Chứng minh CE=CF
b) Chứng minh B D M, , thẳng hàng
c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC
d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác AEFC có diện tích gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD
2 Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 3x−y3= 1
ĐỀ SỐ 3 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Nam Định 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Trang 7Câu 3 (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( 2 ) 3
x x + x+ = y − 2) Giải phương trình:
Cho tam giác ABC nhọn (ABAC) Các đường cao AD BM CN của tam giác , , ABC cắt
nhau tại H Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC, E là điểm đối xứng của H qua O Kẻ CF
vuông góc với đường thẳng BE tại F
3) Tia phân giác của BAC cắt BC tại I, kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường
thẳng AI tại P đường thẳng , CP cắt đường thẳng AO tại Q Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng
ĐỀ SỐ 4 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Hoằng Hóa- Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: x3 −2x2 −5x+ =6 0
2 Cho a, b, c là ba số đôi một không đối nhau thỏa mãn: ab bc+ +ca=5
Trang 8Tính giá trị của biểu thức:
2 Tìm a, b sao cho đa thức ( ) 3 2
f x =ax +bx +10x−4 chia hết cho đa thức ( ) 2
1 Chứng minh tứ giác ADKE là hình chữ nhật, từ đó suy raAM⊥KM
2 Gọi N là giao điểm của AK và BM Chứng minh A M cân và tính số đo của góc ANB D
3 Phân giác góc DCE cắt cạnh AD tại F Chứng minh rằng CF2EF
Thời gian làm bài : 120 phút
2 a) Phân tích đa thức x3 + y3 +z3 −3xyz thành nhân tử
b) Cho hai số thực phân biệt a và b khác 0 thỏa mãn điều kiện
mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với
giả thiết An và Bích cùng đi trên một quãng đường)
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 −4xy+5y2 −16=0
Trang 92 Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện p q 3, p q− =2 Chứng minh rằng p3 +q3chia hết cho 36
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc+ +ca=3
Thời gian làm bài : 120 phút
b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất
2) Cho các số thực ,a b thỏa mãn: a2+b2+ab− + + =a b 1 0 Tính giá trị của biểu thức
3+
Trang 10Thời gian làm bài : 150 phút
f f f có giá trị nguyên Chứng minh rằng 2 , 2a b có giá trị nguyên
2) Cho a, b là hai số nguyên phân biệt lớn hơn 1 thỏa mãn a+2b2−2 là lũy thừa của một
Bài 4 (7,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có B = 2C; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N Đường vuông góc với
BC tại C cắt AM tại K Chứng minh rằng:
a) ABM là tam giác cân và ABC = 2AKC;
b) MA.KN = MN.KA;
c) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp
2) Cho tứ giác ABCD có BCD=BDC=50 ;0 ACD= ADB=300 Gọi I là giao điểm của
AC và BD Chứng minh rằng tam giác ABI cân
Bài 5 (2,0 điểm)
1) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1 Chứng minh:
2 2
Trang 11ĐỀ SỐ 8 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Phú Thọ 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , dựng AE vuông góc với CD và AF vuông góc với CB
( ;E F thứ tự thuộc các cạnh CD và BC), Biết AC=25cm và EF =24cm Khoảng cách từ A đến
trực tâm H của tam giác AEF bằng
Trang 12Câu 12: Cho tam giác ABC có AB=6cm AC, =8cm Các đường trung tuyến BD và CE vuông
góc với nhau Độ dài BC là
KM , BK cắt AC ở N Biết diện tích tam giác ABC bằng 60 cm2, khi
đó diện tích tam giác AKN là
Câu 15 Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải bóng
đá được ghi lại trong bảng sau:
Câu 16: Trong một kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành được các giải thưởng,
trong đó: 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành được số giải nhiều nhất, mỗi em 4 giải Số giải trường A giành được là:
c) Biết a b là các số nguyên dương thỏa mãn ; a2−ab b chia hết cho 9, chứng minh rằng cả + 2
a và b đều chia hết cho 3
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H
a) Chứng minh: ABD ACE
Trang 13Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp (x y, ) nguyên thỏa mãn: x2−4x= y2− 1
Câu 2 (2 điểm) Cho hai số nguyên dương , x y thoả mãn x2−4y+1 chia hết cho
(x−2y)(2y−1) Chứng minh x−2y là số chính phương
Bài 4 (6,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi , E I lần lượt là trung điểm của AC và BC ; M là điểm
đối xứng với I qua E
a Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành
b Gọi N F lần lượt là trung điểm của AD và BD ; K là điểm đối xứng với I qua F ,Chứng minh: ba đường thẳng IN MF KE đồng quy ; ;
c Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD Kí hiệu: S S S lần lượt là diện tích tứ giác ; ;1 2
ABCD , tam giác AOB và tam giác COD Biết S1 =a S2; 2 =b2 với ,a b là các số dương cho trước
Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ( )2
S= a b+
Bài 5 (2,0 điểm) Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2xy= +x y
Trang 14Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2
Thời gian làm bài : 150 phút
Rút gọn và chứng minh P ≥ 4 với mọi x > 1
2 Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn a3+b3+c3 =3abc và abc ≠ 0
Tính giá trị của biểu thức =8(a+b)+3(b+c)−2034(c+a)
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
AB vẽ hai tia Ax; By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D bất kì (D khác A) Qua O kẻ đường vuông góc với OD tại O, cắt By tại C Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD
1 Chứng minh ADH đồng dạng BOH và AHB vuông
2 Gọi I là giao điểm của AC và BD; E là giao điểm của AH và DO; F là giao điểm của BH và
Thời gian làm bài : 120 phút
I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1 Cho x + y = 9, xy = 14 Giá trị của biểu thức x3 +y là 3
Trang 15Câu 6 Giá trị biểu thức A=1002−992+982−972+ + 22−12 là
Câu 12 Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho 1
Trang 16Câu 13 Cho tam giác ABC có AB=12cm AC, =15cm BC, =18cm Trên cạnh AB, lấy điểm M sao .cho AM =10cm trên cạnh AC lấy điểm N sao cho , AN =8cm Độ dài đoạn MN là .
Câu 14 Cho hình vuông ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm
của DF và CE Tỉ số CIF
CBE S
Câu 15 Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE Lấy M, N trên BC sao cho BM =
MN = NC Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE Biết BC = 10cm thì
độ dài IK là
Câu 16 Để lập đội tuyển năng khiếu bóng rổ nhà trường đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi
bạn dự tuyển sẽ được ném 10 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 4 điểm; quả bóng ném ra ngoài thì bị trừ 2 điểm Nếu bạn nào có số điểm từ 22 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển Một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì số quả bóng phải ném vào rổ ít nhất là
II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 −y2 − +x 2y =1
b) Cho số nguyên dương n và các số
Trang 17(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 quận Hà Đông 2022-2023)
Thời gian làm bài : 90 phút
1) Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp
Chứng minh rằng : ab− − +a b 1chia hết cho 48
2) Với ba số thực , ,x y z thỏa mãn x2 + y2 +z2 8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T =507xz−xy−yz
Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
(M B và C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM
1) Chứng minh OEM vuông cân;
Thời gian làm bài : 120 phút
Trang 18Cho tứ giác ABCD có B=D= 90 và ABAD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho
AM =AD Đường thẳng DM cắt BC tại N Gọi H là hình chiếu của D trên AC K ,
là hình chiếu của C trên AN Chứng minh rằng:
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu III (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 +5x y2 2 =37xy−60
2) Cho p là số nguyên tố thỏa mãn 1
Trang 19Hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Kẻ CP vuông góc với đường thẳng
AB tại P , CQ vuông góc với đường thẳng AD tại Q
1) Chứng minh CP AB =CQ AD và CPQ đồng dạng với BCA
2) Gọi M N lần lượt là trung điểm của OB và OA Lấy điểm F trên cạnh AB , sao cho tia ,
FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K Chứng minh BA+ BC =4
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) gọi AD là tia phân giác của góc BAC Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC; E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN
a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF/ /BC
b) Gọi H là giao điểm của BN và CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA và H là
Trang 20Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
Thời gian làm bài : 120 phút
1) Xác định các số thực a, b để đa thức P x( )=x3+ax+b chia hết cho đa thức x2 −1
2) Cho , ,a b c là ba số khác 0 Chứng minh rằng nếu ( )2 2 2 2
Câu 4(6,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC =
AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnhCD lấy điểm E sao cho
CE = CB
1) Chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành
2) Chứng minh các tam giác ADE và ECN bằng nhau
3) Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F Chứng minh tứ giác AENF là hình vuông
4) Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP
II PHẦN RIÊNG
Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau:
Câu 5a (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu 2n (với nN ) là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng *
của hai số chính phương
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 6 2 2
−
=+
x A x
Câu 5b (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức A= +13 23+ + +33 20223+20233 Tìm số dư khi chia số A cho 3
2) Chox, y là hai số dương thỏa mãn x+ =y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 5 5 3
A x y x y
Trang 21ĐỀ SỐ 17 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Diên Khánh 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1: (3 điểm)
a)Tính giá trị của biểu thức sau: A=( 22−3 2 10) +3 11
b)Cho các số thực , ,x y z0 thỏa mãn điều kiện x2 + y2 +z2 + 12 + 12 + 12 =6
a)Chứng minh rằng n5−20n3+64n chia hết cho 768 với mọi số tự nhiên n chẵn
b)Tìm tất cả các số tự nhiên a,b sao cho 2.ab+1 và 3.ab+1 đều là số chính phương
=
+
a b A
Thời gian làm bài : 120 phút
Trang 223) Gọi P là giao điểm của OE và KD Chứng minh rằng: PK = PD
4) Chứng minh ba đường thẳng CK, AD, OE cùng đi qua một điểm
x y
x Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để y nhận giá trị nguyên
2) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
32
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức A 22 9 3 2 4
x −xy= x− y−
Câu 3 (4,0 điểm)
Trang 231) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn: x+ + =y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1) Chứng minh tam giác ABP vuông cân
2) Gọi Q là điểm thứ tư của hình bình hành APQB, I là giao điềm của BP và AQ
Chứng minh ba điểm H I E thẳng hàng , ,
3) Tứ giác HEKQ là hình gì? Vì sao?
Câu 5 (1,0 điểm) Hình vuông có 3 3 ô vuông như hình vẽ, chứa9 số mà tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau được gọi là hình vuông kỳ diệu Chứng minh rằng số ở tâm (x) của một hình vuông kỳ diệu bằng trung bình cộng của hai số còn lại cùng hàng, cùng cột hoặc cùng đường chéo
ĐỀ SỐ 20 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Nông Cống 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
2 Cho các số thực khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn: 1 1 1 0
a+ + = Tính giá trị của biểu b c
Trang 242 Cho ba 3 số hữu tỉ , ,x y z khác 0 thỏa mãn: xyz = và 1
2 2 2
y +z + x = x + y + z Chứng minh rằng trong 3 số , ,x y z phải có 1 số bằng bình phương của số còn lại
Câu III (4,0 điểm)
1 Tìm các cặp số tự nhiên (x y, ) thỏa mãn phương trình ( 2 )( 2 ) ( )
4 2024 1
x y − chia hếty + 1
Câu IV (6,0 điểm Cho tam giác ABC vuông tại , A đường cao AH Gọi I K, lần lượt là giao
điểm của ba đường phân giác trong các tam giác ABH , ACH Gọi M là giao điểm của AI và
CK, N là giao điểm của AK và BI Đường thẳng IK lần lượt cắt AB AC, tại E F,
1 Chứng minh tam giác AMKvuông cân và AM AI =AN AK
2 Gọi O là giao điểm của BI và CK Gọi P Q, lần lượt là hình chiếu của O trên AB AC, Chứng minh: IP QK//
3 Giả sử cạnh BC=akhông đổi Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AEF có diện
Thời gian làm bài : 120 phút
1 Cho hai số hữu tỉ ,a b thỏa mãn: a b3 +2a+ab3+2b+2a2b2+ =1 0 Chứng minh rằng
1− ab là bình phương của một số hữu tỉ
Trang 251 Chứng minh MON vuông cân
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1(4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức a b c2( − +) b c2( − +a) c a b thành nhân tử 2( − )
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:(a+ +b c)2 =a2 +b2 +c 2
Tính giá trị của biểu thức: P=
phần dư khi chia f(x) cho 4n3 + +n 3
b,Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c + + = 1.Chứng minh rằng:
Câu 4(7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC)có AD là tia phân giác của BAC Gọi
M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC E là giao điểm của BN và , DM F là giao ,điểm của CM và DN
a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF/ /BC
b) Gọi H là giao điểm của BN và CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA và H là trực tâm
Trang 26(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Yên Phong 2022-2023)
Thời gian làm bài : 150 phút
2 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số 9 n +11
viết được dưới dạng tích của k số tự
nhiên liên tiếp với k 2
Câu 4 (6,0 điểm):
Cho tam giác ABC có AB AC Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE , ACGH
1 Chứng minh BH =EC
2 Vẽ hình bình hành AEFH Chứng minh rằng AF vuông góc với BC
3 Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC , M và N lần lượt là trung điểm của EH và BC , biết OH =OE Chứng minh tứ giác AMON là hình bình hành
Thời gian làm bài : 120 phút
Trang 272) Cho đa thức f x( ) Tìm số dư của phép chia f x( ) cho (x−1)(x+2), biết rằng f x( )
chia x−1 dư 7 và f x( )chia x+2 dư 1
1) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 21 + 21 + 21
22
+
có diện tích không lớn hơn 2023
2
ĐỀ SỐ 25 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 THCS Hải Hòa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (6.0 điểm) Cho biểu thức:
Trang 28Câu 4: (7.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AE BF cắt nhau tại H Gọi M là trung ,
điểm của BC qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với , HM a cắt AB, AC lần lượt tại I và K ,
a) Chứng minh: ABC EFC
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK b cắt AH, AB theo thứ tự tại ,
Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức
( ) ( )
c) Tìm a nguyên để M nhận giá trị nguyên
d) Tìm giá trị của a để biểu thức M nhận giá trị lớn nhất
Bài 2 (4,0 điểm)
1)Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab bc ca+ + = 1
Tính giá trị của biểu thức ( ) ( ) ( )
x xy y
=+ + với mọi số thực x và y không đồng thời bằng 0
Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H
Gọi M là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng với H qua M
a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
b)Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AK và AH Chứng minh IM là trung trực của EF, từ đó
suy ra AK vuông góc với EF
Trang 29c) Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở T Chứng minh góc BIT là góc vuông
Bài 5 (1,0 điểm) Trên bảng ghi các số 2022, 2023, 2024 Hai bạn Bảo và Đan luân phiên lên bảng
chọn hai số a, b bất kì rồi xóa đi hai số vừa chọn và viết lại hai số a – (a,b) và b – (a,b), với (a,b) là ước chung lớn nhất của a và b Trò chơi kết thúc khi có bạn chiến thắng bằng cách đưa một số về 0 Biết Bảo đi chơi trước, hãy chỉ ra chiến thuật để Đan là người chiến thắng
ĐỀ SỐ 27 (Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thủ Đức 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) Chứng minh: BFC đồng dạng với BDA và BFD= ACB
b) Tia EF cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh: CD FK =CK FD
c) Gọi M là trung điểm của BC Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng
này cắt các đường thẳng AB, AD, AC lần lượt tại P, Q, R Chứng minh: PQ QR=
Câu 5 (1 điểm) Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km Cùng một lúc một xe ô tô khởi hành từ A
và một xe máy khởi hành từ B đi ngược chiều nhau Xe ô tô và xe máy gặp nhau tại điểm C cách A
120 km Nếu xe ô tô khởi hành sau xe máy một giờ thì sẽ gặp nhau tại điểm D cách C một khoảng
là bao nhiêu km? Biết rằng vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h
Câu 6 (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CD, DA Gọi I là điểm nằm trong tứ giác ABCD Tính diện tích tứ giác ABCD biết
Trang 30Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức
2 2 2
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x y2 2 =4x y2 −y3−4x2 +3y2 −1
2) Cho số tự nhiên n2 và số nguyên tố p thỏa mãn p – 1 chia hết cho n đồng thời n3 −1 chia
hết cho p Chứng minh rằng n + p là một số chính phương
Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B,C), qua điểm A
kẻ tia Ax vuông góc với AM cắt tia CD tại điểm F
1) Chứng minh rằng AM = AF
2) Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho , gọi giao điểm của AM,AN với BD lần lượt tại Q và P ; gọi I là giao điểm của MP và NQ Chứng minh AI ⊥MN tại H
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN khi M,N thay đổi
Câu 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1 (5,0 điểm):
a) Cho x+ =1 3
x Tính giá trị của biểu thức
2 2
1
A = x +
x
b) Phân tích đa thức x3 −x2 −4 thành nhân tử
c) Xác định các số hữu tỷ p và q để đa thức x3 + px+q chia hết cho đa thức x2−2x−3
Bài 2 (2,5 điểm): Cho biểu thức
Trang 31a) Chứng minh rằng n n( 2 +11) chia hết cho 6 với mọi nZ
b) Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau
(điểm kiểm tra là một số tự nhiên)
c) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn x+ + =y 4 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( 3 3) ( 2 2)
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức
f x chia cho x2 −4 được thương là 5− x và còn dư
2) Cho , ,x y z đôi một khác nhau và 1+ + =1 1 0
Trang 32Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt
cắt BC tại P và R , cắt CD tại Q và S
a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân
b) QR cắt PS tại H ; M N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là ,hình chữ nhật
Trang 3340432022
Trang 34Vậy các cặp số nguyên (x;y)( ; )x y (0;1); ( 1; 0); (1; )− k với kZ
2 Do AS nên tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn 2 2
* Nếu x, y có cùng số dư khi chia cho 4 ta có:
Trang 35Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có A chia hết cho 4 và
K
E
H
N M
C B
+) Chứng minh tứ giác ABKC là hình chữ nhật
+) Chứng minh tứ giác ABKC là hình vuông
b) Gọi I là trung điểm của CK, F là giao điểm của BI và KN
+) Chứng minh tứ giác BMCI là hình bình hành
Trang 36Vì AGB= AHCGB=HC (2 cạnh tương ứng)
Mà ∆AHG vuông cân tại A
Trang 37 = c)
Trang 38Quãng đường AB dài là 50(x −0, 4) (km)
Nếu giảm vận tốc đi 5km/h, tức là đi với vận tốc 45km/h thì người đó đến B sớm hơn 10
phút, tức 1
6 giờ Thời gian đi của người đó là
1x6
Trang 39Vậy với m = , phương trình có tập nghiệm 4 S = 0, 5
- Nếu m = , thì phương trình trở thành 0.3 x = nghiệm đúng với mọi 0 x 3
- Nếu m , phương trình (2) có nghiệm duy nhất 3 x m 3
Do tứ giác ABCD là hình vuông nên BD là đường trung trực của AC (1)
Ta có EAF vuông tại A có AM là trung tuyến 1
Trang 40Do MCE vuông cân MCE= 45 MCB BCE+ = 45
mà ECA BCE+ = 45 ECA=MCB
Xét ECA và MBC có ECA=MCB; CBM =CAE ECA∽ MCB g g( )
d) Ta có S ABCD=a2
1.2
ACEF CAF AEF
Vậy N là trung điểm của BC thì S ACEF =3S ABCD
21
2
x y z
x y z