“Sử dụng bản đồ tư duy giúp học sinh nắm vững kiến thức trong việc giải bài toán về quan hệ vuông góc hình học không gian 11”

Việc sử dụng bản đồ tư duy như một công cụ hỗ trợ quá trình học tập giúp học sinh ghi chép nhanh chóng , dễ dàng tiếp thu, tổng hợp và nắm vững kiến thức hơn. Sử dụng bản đồ tư duy giúp các em hệ thống và nắm được bài toán một cách liền mạch, từ đó định hướng được cách hoàn thành bài toán mà không bị trùng lặp ý. Và dễ dàng tìm các cách giải khác nhau trong cùng một bài toán.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Ngô Thị Bích Thủy, người cô đã giúp

đỡ, tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận của em không tránh khỏi còn nhiều hạn chế và thiếu sót cần được góp ý và sửa chữa, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo để hoàn thiện hơn nữa đề tài của mình

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 11 năm 2020

Sinh viên

Trần Nguyễn Nhật Uyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẢN ĐỒ TƯ DUY: 4

1.1.1 Bản đồ tư duy là gì? 4

1.1.2 Lợi ích khi sử dụng bản đồ tư duy trong dạy học: 5

1.1.3 Quy trình tạo nên bản đồ tư duy: 5

1.1.4 Những lưu ý khi vẽ bản đồ tư duy: 6

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11: 6

1.2.1 Hai đường thẳng vuông góc: 6

1.2.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: 6

1.2.3 Hai mặt phẳng vuông góc: 7

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 8

2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NHAU: 9

2.2 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: 14

2.3 DẠNG 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NHAU: 18

MỞ ĐẦU

- Lý do chọn đề tài:

Hình học là một phần không thể thiếu trong Toán học và đó cũng chính là phần mà học sinh gặp khó khăn nhiều nhất trong việc tiếp nhận kiến thức và giải bài tập Đa phần khả năng tư duy hình học trong việc giải bài tập của các em gặp rất nhiều khó khăn, đặc biệt là trong hình học không gian Các bài toán chứng minhhình học không gian nói chung và bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian - Hình học lớp 11 nói riêng đòi hỏi học sinh phải rèn luyện thao tác tư duy, phân tích bài toán tìm ra lời giải

Ngoài ra giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết cách tự tổng hợp, khái quát lại kiến thức đã học một cách hệ thống, giúp học sinh phát huy vào việc giải bài tậpmột cách sáng tạo nhất Việc sử dụng bản đồ tư duy như một công cụ hỗ trợ quá trình học tập giúp học sinh ghi chép nhanh chóng , dễ dàng tiếp thu, tổng hợp và nắm vững kiến thức hơn Sử dụng bản đồ tư duy giúp các em hệ thống và nắm được bài toán một cách liền mạch, từ đó định hướng được cách hoàn thành bài toán

mà không bị trùng lặp ý Và dễ dàng tìm các cách giải khác nhau trong cùng một bài toán

Với mong muốn giúp tăng sự hứng thú trong việc học tập môn Toán cho học sinh nói chung cũng như trong việc giải bài toán về quan hệ vuông góc trong không

gian - Hình học lớp 11 nói riêng Em đã chọn đề tài “Sử dụng bản đồ tư duy giúp học sinh nắm vững kiến thức trong việc giải bài toán về quan hệ vuông góc hình học không gian 11”.

- Mục đích nghiên cứu:

Tìm hiểu về Bản đồ tư duy và những dạng toán về quan hệ vuông góc hình học không gian 11 Ứng dụng của bản đồ tư duy trong việc giải bài toán về quan hệvuông góc hình học không gian 11, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả trong dạy học môn Toán hiện nay

- Nhiệm vụ nghiên cứu:

-Nghiên cứu cơ sở lý luận

-Nghiên cứu cách sử dụng bản đồ tư duy trong giải bài toán

-Nghiên cứu đặc điểm, nội dung chương trình SGK về kiến thức HHKG – Quan hệ vuông góc lớp 11 trường THPT

-Ứng dụng sử dụng bản đồ tư duy giúp học sinh nắm vững kiến thức trong việc giải bài toán về quan hệ vuông góc hình học không gian 11 trường THPT

- Phương pháp nghiên cứu:

-Nghiên cứu tài liệu: Sách báo, Internet,… có liên quan đến phần “Quan hệ vuông góc trong không gian” lớp 11 trường THPT

-Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa môn Toán phần “Quan hệvuông góc trong không gian” lớp 11 trường THPT

- Nghiên cứu cách sử dụng bản đồ tư duy trong giải toán

- Bố cục luận văn: Luận văn gồm có hai chương sau:

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẢN ĐỒ TƯ DUY

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

2.1 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau

2.2 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

2.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẢN ĐỒ TƯ DUY:

1.1.1 Bản đồ tư duy là gì?

Bản đồ tư duy hay còn gọi là sơ đồ tư duy, lược đồ tư duy, là một hình thức ghi chép sử dụng màu sắc và hình ảnh, để mở rộng và đào sâu các ý tưởng Ở giữa bản đồ là một ý tưởng hay hình ảnh trung tâm Ý tưởng hay hình ảnh trung tâm này

sẽ được phát triển bằng các nhánh tượng trưng cho những ý chính và đều được nối với ý trung tâm.1

Bản đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy hoạt động thông qua các nguyên tắc Tưởng tượng và liên kết của não bộ để tăng tối đa sức sáng tạo 2 Cách vẽ cũng rất đơn giản bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết phù hợp và còn rất nhiều tiện ích khác khiến cho Bản đồ tư duy ngày càng trở nên phổ biến toàn cầu

1.1.2 Lợi ích khi sử dụng bản đồ tư duy trong dạy học:

 Sử dụng bản đồ tư duy trong việc giảng dạy sẽ giúp giáo viên:

- Giúp học sinh tập trung và hứng thú đối với chủ đề

- Dễ dạy, dễ ôn tập lại kiến thức cũ

- Dễ dàng hệ thống kiến thức đã học một cách ngắn gọn, dễ hiểu

- Tạo điều kiện cho học sinh động não, sáng tạo

 Sử dụng bản đồ tư duy trong việc học sẽ giúp học sinh:

- Kích thích hứng thú học tập

- Tăng khả năng sáng tạo

- Tiết kiệm thời gian

- Phát huy tối đa khả năng ghi nhớ và vận dụng của não bộ

- Hình thành tư duy logic

- Nắm bắt kiến thức một cách dễ dàng và hệ thống

1.1.3 Quy trình tạo nên bản đồ tư duy:

Trước khi tạo nên một bản đồ tư duy, ta cần chuẩn bị: giấy, bút màu,…Sau

đó tiến hành theo các bước sau:3

- Bước 1: Vẽ chủ đề chính của trung tâm

Xác định nội dung kiến thức trọng tâm Bắt đầu từ TRUNG TÂM của

tờ giấy trắng, vẽ một hình ở giữa tượng trưng cho ý chính

- Bước 2: Vẽ nhánh cấp 1

1 Sách “ Bản đồ tư duy trong công việc” – Tony Buzan

2 Sách “Lập bản đồ tư duy” – Tony Buzan

Từ chủ đề chính của trung tâm, vẽ các nhánh chính Các nhánh cấp 1

là các nội dung chính của chủ đề

- Bước 3: Vẽ nhánh cấp 2, cấp 3,…

Các nhánh cấp 2 là nội dung bổ trợ cho các nhánh cấp 1 Nhánh cấp 3

là nội dung bổ trợ cho các nhánh cấp 2,…

- Bước 4: Hoàn thiện bản đồ tư duy

1.1.4 Những lưu ý khi vẽ bản đồ tư duy:

- Sử dụng nhiều màu sắc

- Sử dụng hình ảnh minh họa nếu có

- Các nhánh có màu sắc khác nhau, nhánh màu nào thì chữ viết trên nhánh màu đó Càng gần trung tâm thì đường kẻ càng được tô đậm

- Nên dùng các đường cong nhiều hơn đường thẳng

- Tránh ghi nguyên một đoạn văn dài dòng, ghi chép quá nhiều ý

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11:

1.2.1 Hai đường thẳng vuông góc:

a Góc giữa hai đường thẳng : Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

b Định nghĩa : Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

1.2.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

a Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α ) nếu d

vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α )

b Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

b Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

c Định lí: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG KIẾN THỨC TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Để nâng cao năng lực cho học sinh trong quá trình giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11, việc sử dụng Bản đồ tư duy giúp cho người học nắm vững kiến thức lâu dài Trong đề tài này, tôi đưa ra các dạng toán và

từ đó hướng dẫn cách sử dụng Bản đồ tư duy để phân tích tìm lời giải ứng với mỗi dạng giúp học sinh nhanh tìm ra lời giải cho bài toán.

2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NHAU:

2.1.1 Phương pháp:

Cho hai đường thẳng a và b Để chứng minh a b ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: Nếu hai đường thẳng a , b được đưa về cùng một mặt phẳng (P) thì sửdụng các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng:

áp dụng định lý đảo các hệ thức lượng trong tam giác vuông, hai đường chéo hình thoi, hai cạnh kề của hình chữ nhật, góc nội tiếp,…

 Cách 2: Dùng định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian và chứng

minh góc đó bằng 90°

 Cách 3: Sử dụng tích vô hướng: Tìm hai vectơ chỉ phương u và v của hai đường thẳng a,b và chứng minh u v   0 Đặc biệt, nếu AB  CD =0 thì

AB CD

 Cách 4: Dùng nhận xét “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai

đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”

 Cách 6: Sử dụng định lý ba đường vuông góc: “ Cho đường thẳng a nằm

trong mặt phẳng ( ) và b là đường thẳng không thuộc ( ) đồng thời không vuông góc với ( ) Gọi b là hình chiếu vuông góc của b trên ( ) Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b”

2.1.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Tất cả cáccạnh bên và cạnh đáy của hình chóp đều bằng a Chứng minh: SA SC

*Phương pháp giải: Sử dụng các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc

*Sơ đồ tư duy:

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Chứng minh: AB CD

*Phương pháp giải: Dùng nhận xét “Một đường thẳng vuông góc với một trong

hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh SA=SC.

E là trung điểm SB Chứng minh: AC SD

Bài 1: (Bài 4 SGK/98) Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có

chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M , N , P ,Q lần lượt là

trung điểm của các cạnh AC, CB, BC, C A Chứng minh rằng:

b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN AB và MN CD

2.2 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:

2.2.1 Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P),ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: Dùng định lý : “ Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy” Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P)

( ), ( )

 Cách 4: Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng

này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng, cũng vuông góc với mặt phẳng kia

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng SA vuông góc với mặt phẳng chứa hình thoi ABCD

Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn SB và SD sao cho

SI SK

SB SD

Chứng minh: IK (SAC)

Xét hình thoi ABCD có : ACBD (Hai đường chéo của hình thoi) (1)

Vì SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Suy ra SA BD (2)

Xét SBD có:

SI SK

SB SD

Theo định lý Talet đảo ta được: IK  BD (4)

Từ (3) và (4), suy ra : IK (SAC)

*Phương pháp giải: : Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong

mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng, cũng vuông góc vớimặt phẳng kia

*Hình vẽ:

*Sơ đồ tư duy:

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi H là trung điểm

AB Chứng minh: SH (ACD)

Bài 2:(Bài 7 SGK/105) Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC) và có tam giác ABC vuông tại B Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho

SM SN

SB SC Chứng minh rằng:

 Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90

 Cách 2: Vận dụng định lý : “Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông

góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng kia, tức là:

( )

( ) ( )( )

P

P Q Q

Q P

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối

xứng của của A qua I Dựng đoạn

62

a

SD 

vuông góc với (ABC) Chứng minh: mặt phẳng (SAB)  mặt phẳng (SAC)

+ Vận dụng định lý : “Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia”

*Hình vẽ:

*Sơ đồ tư duy:

Kẻ CK SA

*Lời giải:

Vì SD(ABC)  SDBC

Ta có : Tam giác ABC có I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua I

Suy ra ABDC là hình vuông ⇒ BC AD (Hai đường chéo của hình vuông)

a)Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD)

b)Tam giác SBD là tam giác vuông

Bài 2:(Bài 11 SGK/114) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi

tâm I cạnh a và có góc A bằng 60 , cạnh

62

a

SC 

và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a)Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K Hãy tính độ dài IK

c) Chứng minh ^BKD = 90 và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã làm được một số việc sau:

- Khái quát được kiến thức cơ bản liên quan đến phần quan hệ vuông góc

trong hình học không gian lớp 11

- Khái quát được kiến thức cơ bản về sơ đồ tư duy.

- Đưa ra 4 dạng toán.

- Đưa ra các ví dụ minh họa các phương pháp ứng với mỗi dạng đề xuất.

Do thời gian nghiên cứu hạn chế nên trong quá trình làm khóa luận không thể không mắc các thiếu sót Kính mong quý thầy cô cùng các bạn góp ý, bổ sung để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa.

Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh,

Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2009), Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục [2] Tony Buzan (2018 ) , Bản đồ tư duy trong công việc, Nhà xuất bản Lao động-

Xã hội

[3] Tony Buzan ( 2018), Lập bản đồ tư duy, Nhà xuất bản Lao động- Xã hội

[4] TS Nguyễn Cam (Chủ biên), Th.S Nguyễn Văn Phước, Th.S Nguyễn Hoàng

Nguyên (2007), Tuyển chọn 400 bài tập hình học tự luận và trắc nghiệm 11, Nhà

xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[5] Nguyễn Tài Chung, Lý thuyết và bài tập quan hệ vuông góc có lời giải

[6] Các trang Website trên Internet