Thuyết trình sự hội tụ manh và yếu của phép lặp

Thuyết trình sự hội tụ manh và yếu của phép lặp Sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn được xây dựng dựa trên 3 chương: Chương 1: Sự hội tụ mạnh của phép lặp. Chương 2: Anh xạ nén. Chương 3: Sự hội tụ yếu của phép lặp.

Trường đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng & Tin học

Sự hội tụ mạnh và yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn

Giáo viên hướng dẫn : TS TRẦN QUỐC BÌNH Sinh viên thực hiện : NGUYỄN VĂN CƯỜNG Lớp : Toán tin 1 – K54

Mục lục

• Chương 1 Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

• Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn.

• Chương 3 Sự hộ tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Chương 1 Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không

giãn.

Định lý 1.1 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và T là ánh xạ liên tục từ D

vào X sao cho

(1.1)

(1.2) Với mỗi và mọi

(1.3) Tồn tại

với

Khi đó { } hội tụ đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi

Chương 1 Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Định nghĩa 1.1 Gọi T là ánh xạ từ vào D.

- T được gọi là chính quy tiệm cận tại nếu

- T được gọi là chính quy tiệm cận trên D nếu với mọi ta có

Chương 1 Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Định nghĩa Ta gọi ánh xạ là tựa không giãn có điều kiện nếu T là tựa không

giãn khi

Chương 1 Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Định lý 1.2 Cho D là tập con đóng trong không gian Banach X, và T là ánh xạ liên tục từ D vào

X Giả sử

(1.1)

(1.2) T là tựa không giãn.

(1.3) Tồn tại thuộc D sao cho

Chương 1 Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Định lý 1.4 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X T là ánh xạ tựa không

giãn có điều kiện từ D vào X Giả sử

với nào đó thuộc D Khi đó dãy

hội tụ mạnh đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi

(1.4) T là chính quy tiệm cận tại

(1.10) Tồn tại một tập compact K sao cho

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa

không giãn.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định nghĩa: Nửa compact

Ánh xạ T từ vào X là nửa compact tại f nếu mọi dãy bị chặn thuộc D sao

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định nghĩa: Không giãn ngặt

được gọi là không giãn ngặt nếu với x và y thuộc G.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Hệ quả 2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập lồi, đóng, bị chặn thuộc X

và T là ánh xạ không giãn từ D vào D sao cho T thỏa mãn một trong hai điều kiện

sau:

(2.1) Ánh xạ (I - T) biến tập đóng thuộc D vào tập đóng thuộc X.

(2.2) T là nửa compact tại 0.

Với bất kì, , ta định nghĩa

Và với mọi thì phép lặp , hội tụ mạnh tới điểm bất động của T thuộc D.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định nghĩa 2.1

- Độ do không compact Kuratorskii được xác định là có thể được

phủ bởi một số hữu hạn các tập mà đường kính nhỏ hơn hoặc bằng d }.

phủ với một số hữu hạn các hình cầu có tâm thuộc X và bán kính r.}

- Tương ứng với ta có ánh xạ k-ball-contraction, k-set-contraction, ball-condensing, set-condensing.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Hệ quả 2.3 Cho X là không gian Banach và D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X

Gọi T là ánh xạ không giãn của một set-condensing hoặc một ball-condensing từ D vào D Giả sử thêm rằng X là lồi chặt hoặc T là không giãn ngặt Với bất kì,

đến điểm bất động của T thuộc D.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Bổ đề 2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con của X, và T là ánh xạ từ

D vào X sao cho và T là tựa không giãn Nếu tồn tại x0 thuộc D và thuộc

(0,1) sao cho được xác định và nằm trong D với mỗi và , khi đó

nghĩa là là chính quy tiệm cận tại

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định lý 2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con mở, bị chặn của X, và Cho T là ánh

xạ 1-set-contractive hoặc 1-ball-contractive từ D vào X sao cho

(2.4) Tồn tại y thuộc D sao cho với tất cả x thuộc D và

(2.5) T là tựa không giãn có điều kiện.

(2.6) Tồn tại và sao là xác định và nằm trong D với mỗi

(2.7) T là tiền conpact tại 0 hoặc là ánh xạ từ tập đóng vào tập đóng X.

Khi đó dãy hội tu mạnh đến một điểm bất động của T trong D.

Chương 3 Sự hộ tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không

giãn.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định lý 3.1 Cho X là không gian Banach, D là tập con lồi, đóng của X và T là ánh xạ từ D vào X

sao cho

(3.1) Tồn tại thuộc D sao cho với và là conpact dãy yếu

(3.2) T là tiệm cận chính quy tại

(3.3) Nếu là dãy con bất kì của sao cho và

với , thì Khi đó T có điểm bất động thuộc D, thu được như một giới hạn (yếu) của dãy con hội tụ yếu , hơn thế nữa, mỗi một dãy con hội tụ yếu có giới hạn như là điểm bất động của T Nếu

bổ sung, chúng ta giả thiết T có nhiều nhất một điểm bất động, thì là hội tụ yếu và giới hạn yếu là điểm bất động duy nhất của T.

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định lý 3.2 Cho X là không gian Banach phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh xạ

liên tục từ D vào X sao cho

(3.5)

(3.6) T là tựa không giãn.

(3.7) Tồn tại thuộc D sao cho với

Nếu T thỏa mãn điều kiện (3.2) và (3.3) của Định lý 3.1, thì chứa một dãy con hội tụ yếu

với giới hạn thuộc F(T), hơn thế nữa, mọi dãy con hội tụ yếu của có một điểm giới hạn thuộc

F(T) Giả sử rằng F(T) chứa một điểm duy nhất, gọi là p, thì chỉ sự hội tụ yếu với

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định lý 3.4 Cho X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh

xạ liên tục từ D và X sao cho

(3.5)

(3.6) T là tựa không giãn.

(3.7) Tồn tại thuộc D sao cho với

(3.2) T là tiệm cận chính quy tại

(3.3) Nếu là dãy con bất kì của sao cho và

với , thì

Chương 2 Ánh xạ nén và tựa không giãn

(3.8) Không gian X có tính chất Opial Nếu là dãy bất kỳ thuộc X mà hội tụ yếu đến thuộc X thì

với mọi

Khi đó dãy hội tụ yếu đến điểm bất động của T thuộc D.

Xin chân thành cảm ơn