4.1.Cd. Quan He Chia Het Tren Tap So Nguyen.doc

CHƯƠNG I CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ CHIA HẾT I LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa 2 Tính chất Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m n Nếu tích a b chia hết cho c, t[.]

CHUYÊN ĐỀ: QUAN HỆ CHIA HẾT

Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c

Với p là số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho pKhi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau

Trong n n 1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n

Nếu a b;  dthì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d 

Ta có: a n b n a b a  n 1 bn 1 a n b a b n  

Ta có: a n b n a b a  n 1 b n 1 a n b a b n  

         với n là số tự nhiên lẻGiả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau

9 Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n

10 Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích

II LUYỆN TẬP

Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp giải :

Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó

Ta có: n35nn3 n6n , như vậy ta cần chứng minh n3  n 6 n n  1 n 1 6

Do n n  1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3

Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7 (đpcm)

Là tích của 7 số nguyên liên tiếp

Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5Tồn tại 2 bội của 3 ( chia hết cho 9)Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bôi của 4 nên chia hết cho 16Vậy A chia hết cho 5040

A n n  n n n là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120.

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi n chẵn ta có: A n 36n28 48n

Vì n lẻ nên n – 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp  có 1 số chia hết cho 4  tích 2 số chẵn

chia hết cho 8, mặt khác n2 + 1 là số chẵn  chia hết cho 2  A8 2 2 (2)2  7

Thay m2k1 vào A ta được : A8k2 k1k

Vì k k 1 k2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A48

A n n n n , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp =>A3

Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số  4Vậy A 8

A n  n  n  n n n  n n là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A3

Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1

số chia

hết cho 4, Nên A8

Bài 17: CMR: n4  2n3  n2  2n chia hết cho 24 với mọi nZ

HD:

Ta có:n4 2n3 n2 2n n n n  2  2  n 2 n n 1 n1 n 2

là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3

Thấy: n1 n n1 3 3n1 n n1 9 Vậy A9

Bài 25: Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng : a3 b3 c3  6 khi và chỉ khi a b c   6

Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n n,  1,n 2, ,n 1989 (1)

Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n n,  1,n 2, ,n 999 phải có 1 số chia hết cho 1000,

giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0

Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n n0, 09,n0 19, ,n0899

Có tổng các chữ số lần lượt là: s s,  1,s 2, ,s 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27

Bài 32: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b  1 chia hết cho 48

Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48

Bài 33: Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192

HD:

Lại có: n + 1 + n – 1 = 2n chia hết cho 2 nên n + 1 và n – 1 cùng tính chẵn lẻ

N + 3n + 2 = 4n + 2 chia hết cho 2 nên n và 3n + 2 cùng tính chẵn lẻ

n   n n n   vì tích của hai số chẵn liên tiếp

Ta đi chứng minh A chia hết cho 5

Xét n = 5k + 1 ; n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 đều thỏa mãn chia hết cho 5

Bài 38: Cho n số x1, x2, …xn mỗi số chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1

CMR: Nếu x1x2 + x2x3 + … +xnx1 = 0 thì n chia hết cho 4

Có k số trong n số y1 , y2 , … , yn = 1 và k số trong n số y1 ,… yn bằng -1

Vậy k phải chẵn Suy ra k = 2q vậy n = 4q chia hết cho 4 (đpcm)

Bài 39: Có bao nhiêu số có 5 chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho 3 và có ít nhất 1 số 3

Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n n 2  7 7  n 7 6

HD:

Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2

Lấy n chia cho 3 ta được : n 3k r k N   ,0  r 2

Với r 0 n3k  A 3

Với r 1 n3k 1 2n 7 6k9 3 A3

Với r  2 n 3k 2  7n  1 21k 15 3  A 3

Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng: A 4a2  3a  5 6

Khi đó: 2n  1 11 hoặc 2n  3 11n11m6 hoặc n 11m 7,m N 

Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n  2 1 5 và chia hết cho 13

HD:

Đặt n 65k r k N ,  ,0  r 64

Chọn r sao cho 4r2   1 65  r 4, Vậy với mọi số n65k4 đều thỏa mãn

Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì A 3 2n 3 1 13, n Nn   

Với r 2 n 3k 2 2 1 2n 3 2k 1 4 2 3k 1 3

Mà 2 3k 1 7 2 1n

    chia 7 dư 3 Vậy với n 3 ,k k N   thì 2n 1 7

Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích a.b

Tính giá trị của biểu thức: A a2 b2

p B q

HD:

Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4

Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b    7 và a b 7 a7 b777

Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n2  n 1 9  n 2 n 1 3 9 

Vì 3 là số nguyên tố nên n  2 3 hoặc n  1 3

Nếu n 1 3 n 2 n 1 3 nhưng không chia hết cho 9

Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2  4n 18 289,   n N

HD:

Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 4n2 4n18 289 2n1217 17 2 2n1 17

Vì 17 là số nguyên tố nên 2n 1 17 2n1 2892 Khi đó: 2n 12 17 289

Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b;  sao cho: a b 2 a b2 1



Lại có :

2 13

8241 ( 1) 8242 13 (8351) 1

   , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 Vậy M3

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 a b c2 , , 2 2 chia 5 dư 1 hoặc 4

2 2

b c

  chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 a2 b2 c2 ,

Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M5

Nếu a, b, c là các số lẻ b c2 , 2 chia 4 dư 1 b2 c2  2 mod 4  a2 b2 c2

Do đó 1 trong hai số b, c phải là số chẵn

Giả sử b là số chẵn:

+ Nếu c là số chẵn => M4+ Nếu c là số lẻ, mà a2 b2 c2 a là số lẻ b2 a c a c    

Bài 27: Chứng minh rằng: 36n2  60n 24 24 

HD:

Ta có:  36n2  60n 24 12 3  n n  5 24 ,

Thấy n n ;3 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n n3  5 2 => ĐPCM

Bài 28: Cho a, b là các số tự nhiên không chia hết cho 5 Chứng minh rằng p.a4m + q.b4m chia hết cho 5 khi và chỉ khi p + q chia hết cho 5 ( p, q, m thuộc N )

Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học

n = 1  A(1) 2 2 1Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là ta có: A(k1)(k2) 2 2kk

Ta đi chứng minh đúng với n = k + 1

Dạng 6: TỒN TẠI HAY KHÔNG TỒN TẠI SỰ CHIA HẾT

Bài 1: Tìm n thuộc N sao cho 2n 1 7

3 3 3 3 3

n k        BS  BS  BS  BS BS 

n = 3k + 2 thì cũng không chia hết cho 9

Vậy n là bội số của 3 thì thỏa mãn bài toán

Bài 3: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của chúngcũng chia hết cho 3

Dạng 7 : TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ XẢY RA QUAN HỆ CHIA HẾT

Bài 1: Tìm n thuộc Z để giá trị biểu thức A n 32n2 3n chia hết cho giá trị biểu thức22

Bài 3: Tìm n thuộc Z sao cho