Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài số 6 mặt bậc 2 và ứng dụng của tích phân

Tuy nhiên, trong cuộc sống chúng ta có thể thấy rằng phép tính tích phân ứng dụng rất nhiều và phổ biến, tích phân có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả như đo chiều dài của một đường

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

5 Tô Nguyễn Hoàng Phúc 2212650

6 Nguyễn Thị Thanh Tuyền 2115207

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5/2023

DANH SÁCH THÀNH VIÊN VÀ BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ

STT MSSV Họ và tên Nhiệm vụ Mức độ

hoàn thành

1 2210097 Nguyễn Quang Anh Bài toán 2 100%

2 2210530 Phạm Bảo Duy Bài toán 3 100%

3 2212220 Lê Đình Nghĩa Bài toán 1 100%

4 2212645 Phạm Minh Phúc Bài toán 2 100%

5 2212650 Tô Nguyễn Hoàng Phúc Bài toán 1 100%

6 2115207 Nguyễn Thị Thanh Tuyền Lý thuyết, tổng hợp word 100%

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

I CỞ SỞ LÝ THUYẾT 2

1.1 Tích phân kép 2

1.2 Tích phân bội ba 3

1.3 Tích phân đường 4

1.3.1 Tham số hóa đường cong 4

1.3.2 Tích phân đường loại 1 4

1.3.3 Tích phân đường loại 2 5

1.4 Tích phân mặt loại 1 6

1.5 Tích phân trong tọa độ cực 7

II BÀI TẬP 9

1.1 Bài toán 1 9

1.2 Bài toán 2 14

1.3 Bài toán 3 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

LỜI NÓI ĐẦU

Chào cô và các bạn sinh viên thân mến, dưới đây là bài báo cáo bài tập lớn môn học Giải tích 2 do nhóm 12 lớp L18 thực hiện

Ở bài tập lớn này, nhóm đã tìm hiểu về nội dung “Ứng dụng của tích phân” Trong

lĩnh vực giải tích, tích phân là một trong những nội dung khó, có tính trừu tượng cao Tuy nhiên, trong cuộc sống chúng ta có thể thấy rằng phép tính tích phân ứng dụng rất nhiều và phổ biến, tích phân có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả như đo chiều dài của một đường cong, tính diện tích của một hình phẳng, tính diện tích bề mặt và thể tích của một vật thể Thông qua bài tập lớn, nhóm đã ứng dụng được tích phân để tính toán chiều dài, diện tích, thể tích của các vật thể đã cho

Để hoàn thành được bài tập lớn này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm

ơn sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thị Xuân Anh Trong quá trình làm báo cáo khó tránh khỏi sai sót mong cô bỏ qua và chúng em rất mong chờ những nhận xét từ cô để chúng

em rút kinh nghiệm cho các bài báo cáo sắp tới

Cho hàm số f(x,y) liên tục trên miền D Nếu D: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥) liên tục trên [a,b] thì:

* Tính chất

1 S(D) = ∬ dxdyD (S(D) là diện tích miền D)

2 ∬ [f(x, y) + g(x, y)]dxdy = ∬ f(x, y)dxdy + ∬ g(x, y)dxdyD D D

3 ∬ Cf(x, y)dxdy = C ∬ f(x, y)dxdyD D (C là hằng số)

4 Chia miền D thành 2 miền không dẫm lên nhau là D1, D2 thì:

∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy = ∬ f(x, y)dxdy

D 2

D 1

D

5 Nếu f(x, y) ≤ g(x, y) trên D thì: ∬ f(x, y)dxdy ≤ ∬ g(x, y)dxdyD D

6 Trên D, hàm f(x,y) đạt GTLN fmax=M, GTNN fmin=m thì

m S(D) ≤ ∬ f(x, y)dxdy ≤ M S(D)

D

1.2 Tích phân bội ba

* Định nghĩa tích phân bội ba

Tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền V là:

Nếu giới hạn này tồn tại, f(x,y,z) được gọi là hàm khả tích trên V

3 ∭ [f(x, y, z) + g(x, y, z)]dxdydz = ∭ f(x, y, z)dxdydz + ∭ g(x, y, z)dxdydzV V V

4 Nếu V được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau V1, V2 thì:

∭ f(x, y, z)dxdydz = ∭ f(x, y, z)dxdydz + ∭ f(x, y, z)dzdydz

1.3 Tích phân đường

1.3.1 Tham số hóa đường cong

Có 3 dạng tham số hóa đường cong thường gặp trong đường cong phẳng:

- Theo tọa độ Descartes: tham số là x hoặc y

- Theo tham số dạng tổng quát t

- Theo tọa độ cực: tham số là r hoặc φ

* Tham số hóa đường cong trong không gian

Nguyên tắc: Tham số hóa cho 2 biến trong mặt phẳng để suy ra tham số cho biến thứ 3

Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp

Bước 2: Tham số hóa đường cong trong hình chiếu (trong mặt phẳng)

Bước 3: Tham số hóa biến còn lại

* Tham số hóa đường cong phẳng dạng tổng quát

Đường cong (C) có dạng: x= x(t), y= y(t); t1 ≤ t ≤ t2

Trường hợp 1: Đoạn thẳng nối 2 điểm A(a1; a2) và B(b1; b2):

* Tham số hóa đường cong phẳng dạng tọa độ cực 𝑟 = 𝑟(𝜑)

Chúng ta có thể tham số hóa như sau: {

x = r(φ)cosφ

y = r(φ)sinφ

α ≤ φ ≤ β

1.3.2 Tích phân đường loại 1

* Định nghĩa tích phân đường loại 1

Cho hàm f(x,y) xác định trên phần đường cong C từ điểm A đến điểm B:

∫ f(x, y)dl = lim

n→∞∑ f(xk, yk)∆l

n

k=1 AB

* Tính chất

Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào đường đi:

1 ∫ 1dlAB = L = Độ dài cung AB⏜

2 ∫ C f(x, y)dl = C ∫ f(x, y)dlAB AB

3 ∫ [f(x, y) + g(x, y)]dl = ∫ f(x, y)dl + ∫ g(x, y)dlAB AB AB

4 Nếu C = C1∪ C2 thì ∫ f(x, y)dl = ∫ f(x, y)dl + ∫ f(x, y)dlC

2

C 1

C

1.3.3 Tích phân đường loại 2

* Định nghĩa tích phân đường loại 2

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector F⃗ = (P(x, y), Q(x, y)) xác định trên cung BC⏜ Phân hoạch cung BC thành n cung nhỏ không trùng lên nhau bởi B0, B1… Bn

Lấy điểm M(xk, yk) trên cung B⏜ và lập thành tổng tích phân: kBk+1

2 Nếu C = C1∪ C2 thì: ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dyC

= ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy

C 2

C 1

1.4 Tích phân mặt loại 1

* Định nghĩa tích phân mặt loại 1

Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ∆Sk, k=1, 2,…, n Trên mỗi mảnh đó ta lấy một điểm Mk tùy ý và lập tổng:

4 Khối lượng mặt cong: Nếu mặt cong S có mật độ tại điểm (x,y,z) thuộc mặt cong

là 𝜌(x,y,z) thì khối lượng mặt là:

m(S) = ∬ ρ(x, y, z)ds

S

1.5 Tích phân trong tọa độ cực

Ta gọi (r,φ) là tọa độ cực của điểm M

Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes là:

{x = rcosφy = rsinφ ⟺ r2 = x2+ y2; φ = arctany

x

* Tọa độ cực trong tích phân kép

Nếu miền lấy tích phân kép là hình tròn có phương trình (x − a)2+ (y − b)2 = r2, ta

sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực bằng cách đặt:

{

x = rcosφ

y = rsinφ

J = rVới D = {(r, φ): α ≤ φ ≤ β, r1(φ) ≤ r ≤ r2(φ)}

⟹ ∬ f(x, y)dxdy = ∫ [ ∫ f(rcosφ, rsinφ) rdr

Khi tâm của hệ tọa độ cực không trùng với tâm của hình tròn thì lúc này r sẽ là hàm phụ thuộc và góc φ

c Người ta dự tính làm mặt phía trên khối bằng vật liệu có hàm mật độ là

𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 9 − 𝑥2+ 𝑧, tính khối lượng mặt này (bỏ qua đơn vị tính)

GIẢI:

a Dùng 1 phần mềm tùy ý vẽ khối

b Tính diện tích mặt phía trên, mặt xung quanh và thể tích của khối biết đơn vị tính trên mỗi trục là mét

 Diện tích S mặt phía trên của khối:

Diện tích của mặt S được tính bởi S = ∬ 1dsS với ds = √1 + z′

x

2+ z′ y

S

r dr ≈ 26.426(m2)

2π

0

 Diện tích mặt xung quanh I của khối:

Diện tích mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, biên dưới là đường C nằm trong mặt phẳng Oxy, biên trên nằm trong mặt z = f(x, y) được tính bởi:

c Dự tính làm mặt phía trên khối bằng vật liệu có hàm mật độ là 𝝆(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝟗 −

𝐱𝟐+ 𝐳, tính khối lượng mặt này

Nếu mặt cong S có mật độ tại điểm (x,y,z) thuộc mặt cong là 𝜌(x,y,z) thì khối lượng của mặt là: m(S) = ∬ ρ(x, y, z)dsS

1.2 Bài toán 2

Dọc theo một dãy nhà hình chữ L, người ta tính làm mái che có hình dạng là 1 phần mặt trụ ellipse như hình vẽ dưới đây Yêu cầu: nơi mái cao nhất (vị trí điểm A) là 2.5 mét, nơi mái thấp nhất (vị trí điểm B) là 1.7 mét, chiều rộng lối đi (độ dài đoạn CD) là 2 mét Thực hiện các yêu cầu sau:

a Tìm phương trình mặt trụ theo kích thước yêu cầu

b Dùng 1 phần mềm tùy ý vẽ mái che

c Sau đó tính diện tích mái che biết chiều dài mái che lần lượt là 50, 75 mét

0,82 +x

2

22 = 1

b Dùng 1 phần mềm tùy ý vẽ mái che

c Tính diện tích mái che biết chiều dài mái che lần lượt là 50, 75 mét

Gọi S1 là diện tích mặt cong (z−1,7)

2 0,8 2 +y2

2 dxdy

Ta có: z = 1,7 + 0,4√4 − x2 ⟹ zx′ = −0,4x

√4−x 2, z′y = 0

1.3 Bài toán 3

Tìm một ví dụ thực tế để áp dụng cùng một lúc 1 trong 5 ứng dụng hình học + 1 trong

4 ứng dụng cơ học + 1 trong 3 giá trị trung bình của tích phân:

a 5 ứng dụng hình học: Diện tích miền trong mặt phẳng Oxy (tích phân kép hoặc tích phân đường loại 2); diện tích mặt trụ song song với trục Oz hoặc độ dài đường cong (tích phân đường loại 1); diện tích mặt cong trong không gian Oxyz (tích phân mặt loại 1); thể tích khối hoặc giá trị trung bình của hàm f(x,y,z) trên khối trong không gian Oxyz (tích phân bội ba)

b 4 ứng dụng cơ học: khối lượng mảnh phẳng, khối lượng khối, khối lượng dây, khối lượng mặt cong

c 3 loại giá trị trung bình: giá trị trung bình của hàm f(x,y) trong miền phẳng Oxy,

giá trị trung bình của hàm f(x,y,z) trên mặt cong S hoặc trong khối Ω trong không gian Oxyz

GIẢI:

Trong quá trình sản xuất nước uống đóng chai, có thể áp dụng các ứng dụng hình học,

cơ học và giá trị trung bình để thực hiện các tính toán cần thiết Dưới đây là một ví dụ:

1 Ứng dụng hình học:

Diện tích mặt phẳng Oxy: Để tính toán diện tích đáy của chai nước, có thể sử dụng tích phân kép hoặc tích phân đường 2 để tính diện tích mặt phẳng Oxy của đáy chai Điều này giúp xác định diện tích để tính toán lượng nước và đảm bảo dung tích đóng chai chính xác

Diện tích mặt cong trong không gian Oxyz: Trong trường hợp chai nước có các hình dạng cong như vòi hoặc các đường cong khác, có thể sử dụng tích phân mặt loại 1 để tính diện tích mặt cong của chai Điều này giúp xác định diện tích các mặt cong để tính toán về vật liệu bao bì hoặc định vị các thành phần khác trên bề mặt chai

2 Ứng dụng cơ học:

Khối lượng mảnh phẳng: Để tính toán khối lượng các thành phần bao bì như nắp chai hoặc nhãn, có thể sử dụng ứng dụng khối lượng mảnh phẳng Điều này giúp đánh giá lượng nguyên liệu cần thiết và tính toán về tải trọng và phân bố trọng lượng trong quá trình đóng chai và vận chuyển

3 Giá trị trung bình:

Giá trị trung bình của hàm f(x, y) trên miền phẳng Oxy: Khi muốn tính toán giá trị trung bình của một thuộc tính nào đó trong quá trình sản xuất nước uống đóng chai, có thể áp dụng tích phân bội ba để tính giá trị trung bình của hàm f(x, y) trên miền phẳng Oxy Ví dụ, tính toán giá trị trung bình của nồng độ chất lọc hoặc pH của nước uống

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 STEWART-Calculus-Early-transcendentals-Sixth_Edition.pdf

2 GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2 – TS BÙI XUÂN DIỆU

3 WIKIPEDIA