Dạng 3: Bài toán về khoảng cách potx

 Cách tìm phân giác trong AD của tam giác ABC : ngoài cách tìm chân phân giác D chia đoạn BC theo tỉ số AC AB k   , cách dụng đẳng thức cosAB,AM cosAM,AC với Mx; y thì có thể lập

Dạng 3: Bài toán về khoảng cách

A, lý thuyết và phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai điểm:  2  2

A B A

x

Khoảng cách từ điểm M0x0; y0 đến đường thẳng:

 Ox: y 0 là y0

 d//Ox: yb là y 0 b

 Oy: x 0 là x0

 d//Oy:xa là x 0 a

 d: Ax + By + C = 0 là :  

2 2 0 0

0 ,

B A

C By Ax d M d









Chú ý:

 Đường cao AH của tam giác ABC là d (A, BC)

 Tam giác ABC đều



















0

60

ˆ C

A B

AC AB AC

BC AB

 Tam giác ABC vuông tại A 2 2 2

BC AC



 Phương trình đường phân giác của gocs tạo bởi đường thẳng a

và b là: d(M, a) = d(M, b) với M(x; y)

 Cách tìm phân giác trong AD của tam giác ABC : ngoài cách

tìm chân phân giác D chia đoạn BC theo tỉ số

AC

AB

k   , cách dụng đẳng thức cosAB,AM cosAM,AC với M(x; y) thì có thể lập phương trình 2 đường phân giác rồi chọ phương trình phân giác mà 2 điểm B và C khác phía của nó

 Hai điểm ở cùng phía , khác phía đối với đường thẳng:

Khoảng cách đại số: fx0;y0 Ax0 By0 C từ đó tập hợp

M(x; y) thoả Ax + By + C 0 là một nử mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng Ax + By +C = 0(d)

 Hai điểm P, Q ở cùng phía đối với (d):

fx;y AxByC  0khi fx P;y P.fx Q;y Q 0

 Hai điểm P, Q ở cùng phía đối với (d):

fx;y AxByC  0khi fx P;y P.fx Q;y Q 0

B, Bài tập:

Câu 1: Cho điểm A(-1; 2) và đuờng thẳng



















t y

t x

2

2 1 : Tính diện tích hình tròn tâm A tiếp xúc 

HD:

 



 R2 ,R d A;

S 

Câu 2: Trong mp Oxy cho A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng

d: x – 2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

(Khối B - 2004) HD: Viết PT AB Gọi C(2c+1; c) thuộc d : d(C, AB) = 6















11

27

; 11

43 ,

3

;

C

Câu 3: Trong mp Oxy cho đường thẳng d: 2x – y - 5 = 0 và hai điểm A(1;

2), B(4; 1) Tìm tâm đường tròn thuộc đường thẳng d và đi qua hai điểm A,

B

ĐS: I(1; -3)

Câu 4: Trong mp Oxy cho 3 đường thẳng : d1:x  y 3  0,d2 :x  y 4  0,

0

2

:

3 x  y

d Tìm M  d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d2 (Khối A - 2006)

HD: Gọi M(2y; y), M  d3

ĐS: M(2; 1), M(-22; -11)

Câu 5: Trong mp Oxy cho hình chữ nhật ABCD tâm

0 2 2 :

,

0

;

2

1



















y x

AB

I cạnh AB = 2AD Tìm toạ độ các đỉnh biết đỉnh A có hoành độ âm

(Khối B - 2002)

HD: IA = IB

Toạ độ A,B thoả mãn PT AB và (I, IA)

ĐS: A(-2 ; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(-1; - 2)

Câu 6: Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng d1:x  y 0d2 : 2x  y 1  0 Tìm

các đỉnh hình vuông ABCD biết Ad1,Cd2; B,DOx

(Khối A - 2005)

HD: Gọi A(a; a) ,Ad1 Ca; a (vì B,DOx)

A(1;1); C(1; -1) tâm I(1; 0).IB = ID suy ra B(0; 0), D(2; 0)

Câu 7: Tính khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng a : x = 5 và đường

thảng b : y + 4 = 0

Câu 8: Tính khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng:

a, d: 3x – 4y + 6 = 0

b,















t

y

t

x

3

1

2

3

Câu 9: Tam giác ABC có toạ độ các đỉnh A(1; 1); B(-2; 4); C(-4; -3) Tính

diện tích S và độ dài đường cao AH

ĐS:

53

27

;

2

27



S

Câu 10: Cho 3 đường thẳng AB: x + y – 6 = 0, BC: x- 4y + 14 = 0, và CA:

4x – y – 9 = 0 cắt nau tạo thành một tam giác Chứng minh tam giác cân và tính tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R

ĐS:

10

2 12



R

Câu 11: Tìm M thuộc trục tung và cách đều 2 đường thẳng: 3x – 4y + 6 = 0

và 4x – 3y – 9 = 0

HD: Gọi M(0; y)

Câu 12: Tìm M thuộc d: x – 2y + 1 = 0 và cách đường thẳng có phương

trình 3x + 4y – 12 = 0 một đoạn có độ dài bằng 1

ĐS: M(3; 2) hoặc M(1; 1)

Câu 13: Cho tam giác ABC với A(-1; 0); B(2; 3); C(3; -6) Đường thẳng d

có phương trình: x – 2y – 3 = 0 cắt cạnh nào của tam giác

HD: Xét vị trí cùng phía, khác phía với d

Câu 14: Tính chu vi và diện tích tam giác ABC với A(-2; 8); B(-6; 1) và

C(0; 4)

HD: ABC là tam giác vuông

Câu 15: Tìm tập (H) các điểm M(x; y) thoả mãn hệ:

























0 , 0

0 9 3

2 2

y x

y x

y x

Tính

diện tích hình (H)

ĐS:

2

25



S

Câu 16: Chứng minh đường thẳng d: 5x – 12y + 29 = 0 tiếp xúc với đường

tròn có tâm I(2 ; 0) và R = 3

HD: d(I, d) = R

Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ):

2 2

x y  x y  và đường thẳng d: x + my - 2m + 3=0, với m là tham số.Gọi I là tâm của đường tròn (C ) Tìm m để d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

(ĐH-KA09)

HD : D ùng BĐT :

2 2

2 2

2

2

a b

a b  ab  ab

Từ đó :

1

IAB

S  IH ABIH AH    

Cách 2: Dùng công thức 1 sin

2

S  ab C và sử dụng   1 sinC 1