2/ Tìm giá trị của m để d cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.. Qua điểm H cố định nằm giữa O và B, kẻ một đường thẳng d vuông góc với AB.. Gọi M
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
BÌNH THUẬN NĂM HỌC: 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN – LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Đề này có 01 trang (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ
Bài 1: (4 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = (m + 1)x +2m + 3 có đồ thị là đường thẳng (d); ( với m R)
1/ Tìm tọa độ điểm C để (d) đi qua C với mọi giá trị của m
2/ Tìm giá trị của m để (d) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức
2
1
A
x x
1/ Rút gọn A
2/ Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 3: (4 điểm)
2
z
x zy yx
Bài 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định Qua điểm H cố định nằm giữa O và B, kẻ một đường thẳng (d) vuông góc với AB Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn (O), M không trùng với A, B và các giao điểm của (d) với đường tròn (O) Các đường thẳng AM, BM và tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt (d) theo thứ tự tại C; D và E Đường thẳng BC cắt đường tròn (O) tại F
1/ Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MCFD nội tiếp được trong đường tròn
b/ Điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD
2/ Khi M di chuyển trên (O):
a/ Hỏi tâm I của đường tròn qua 4 điểm A; M; D; H chuyển động trên đường nào? b/ Chứng minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5: (2 điểm)
Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng có giá trị nhỏ nhất
- HẾT - (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
Phòng thi: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (4 điểm)
1/ Tìm tọa độ điểm C để (d) đi qua C với mọi giá trị của m
Giả sữ đường thẳng (d) đi qua điểm cố định C (xo; yo) với mọi giá trị của m
Ta có yo = (m + 1)xo +2m + 3
Vậy tọa độ điểm C (-2; 1)
2/ Ta có 0; 2 3 ; 2 3; 0
1
m
m
với m 1 OAB vuông cân tại O khi đó OA = OB 2 3 2 3 1 1
m m
Vậy m = 0 hoặc m = -2 thì (d) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức
2
1
A
x x
1/ Rút gọn A: ĐKXĐ:
2 0
2 2
x
x x
x
nếu x
A
x
2/ Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
+ Nếu 2x3: A có giá trị nguyên khi 4 ( x2) x
+ Nếu 3x : Đặt m x2> 0 Khi đó A 2m 4
m
A có giá trị nguyên khi 4mm1; 2; 4x3; 6;18
Bài 3: (4 điểm)
1/ Giải hệ phương trình: 17 2 2013
(I)
+ Nếu xy > 0: (I)
482 9
x
y
(nhận)
+ Nếu xy < 0: (I)
9
18
(loại vì xy < 0)
+ Nếu xy = 0: (I) x = y = 0 (nhận)
Vậy hệ đã cho có nghiệm 0; 0 ; 9 ; 9
482 1009
Trang 3Cách khác:
nếu xy hoặc
5
nếu xy
y xy
x
y
Vậy hệ đã cho có nghiệm 0; 0 ; 9 ; 9
482 1009
2/ Tìm tất cả các giá trị của x; y; z sao cho: 3
2
z
x zy yx
ĐKXĐ: x 0; z y 0; y x 0 z y x 0
3
2
1 0
1 0
z
x
y x
Bài 4: (6 điểm)
1/ Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MCFD nội tiếp được trong đường tròn
AMB AFB (góc nội tiếp chẵn nữa đường tròn)
ABC
có 2 đường cao BM và CH cắt nhau tại D
AD BC
Mà AF BC
Nên A; D; F thẳng hàng
Do đó DF BC
Tứ giác MCFD có DMF DFC 180 o
Vậy MCFD nội tiếp
b/ Điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD
2
DME sđ MB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
1
1 2
D sđ MB (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn do sđ KBsđ JB)
1
DMED Nên EMD cân tại EEMED
Suy ra
1 1
C M EMC cân tại EEMEC
Vậy E là trung điểm của CD nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD
2/ Khi M di chuyển trên (O):
1 1
2 1
K
J
B
H E
O
F
N
C
M
A
P
Trang 4a/ Hỏi tâm I của đường tròn qua 4 điểm A; M; D; H chuyển động trên đường nào?
Tứ giác AMHD nội tiếp nên tâm I là trung điểm của AD
Tam giác AHD vuông tại H có HI là đường trung tuyến
1
2
Vì A và H cố định nên khi M di chuyển trên (O) thì I di chuyển trên đường trung trực AH cố định và I nằm ở phần bên trong (O)
b/ Chứng minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định
Gọi N là giao điểm của đường thẳng MF với tia AB
OE là đường trung trực của đoạn thẳng MF nên OE vuông góc với MF tại P
Tam giác OME vuông tại M có MP là đường cao
Ta có OP.OE = OM2 = R2
Mặt khác, OHE ∽ OPN (g – g)
OH ON OP OE
Do đó OH.ON = R2
Vì OH không đổi nên N cố định
Cách khác: Xét OHF và OFN , ta có O là góc chung
1 2 180o
OHF C C (vì tứ giác ACFH nội tiếp)
180o
OFH OFA AFM (vì kề bù)
1 2
C OAFOFA và C AFM sđ MD Nên OHFOFN
Do đó OHF ∽ OFN (g – g)
2
ON
Vì OH không đổi nên N cố định
Bài 5: (2 điểm)
Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng có giá trị nhỏ nhất
Gọi số cần tìm là: abc a b c( , , N; 0a9; 0b c, 9)
Theo đề bài ta có 100 10 ( ) 99 9 1 99 9
Ta thấy tử số không còn xuất hiện c nên để
abc
a b c đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trị c lớn nhất tức là c = 9
Ta thấy tử số không còn xuất hiện b nên để
abc
a b c đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trị b lớn nhất tức là b = 9
Biểu thức trên đạt GTNN thì 1701
18
a lớn nhất , khi đó mẫu a+18 nhỏ nhất
=> a = 1
Vậy các số cần tìm là 199
GIÁO VIÊN GIẢI: PHAN QUỐC BÌNH (Tổ Toán – Lí – Trường THCS Lương Sơn – Bắc Bình – Bình Thuận)