Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 1 - Nguyễn Trần Phi Phượng

Đơn đồ thị vô hướng G = V,E bao gồm V là tập cácđỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tửkhác nhau của V gọi là các cạnh.. Không phải đơn đồ thị vô hướng do có các cặp cạ

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

1.1 Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 1.

Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập cácđỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tửkhác nhau của V gọi là các cạnh

Ví dụ

a Đơn đồ thị vô hướng b Không phải đơn đồ thị

vô hướng do có các cặp cạnh nối cùng một cặp đỉnh

c Không phải đơn đồ thị

vô hướng do có cạnh nối một đỉnh với chính nó.

1.1 Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 2.

Đa đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập cácđỉnh, và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tửkhác nhau của V gọi là các cạnh Hai cạnh e1 và e2 đượcgọi là cạnh song song nếu chúng cùng tương ứng một cặpđỉnh

1.1 Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 4.

Đơn đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V là tập cácđỉnh, và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khácnhau của V gọi là các cung

Ví dụ

a Đơn đồ thị có hướng b Không phải đơn đồ thị

có hướng do có cặp cạnh nối cùng một cặp đỉnh

1.1 Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 5.

Đa đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V là tập cácđỉnh, và E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khácnhau của V gọi là các cung Hai cung e1, e2 tương ứng vớicùng một cặp đỉnh được gọi là cung song song

Ví dụ

e2 e1

Đa đồ thị có hướng e1 và e2 là các cung song song

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Xét đồ thị vô hướng G = (V,E)

– Nếu e = (u,v) là một cạnh của G thì:

• Hai đỉnh u, v được gọi là hai đỉnh kề nhau

• Cạnh e được gọi là cạnh liên thuộc với đỉnh u vàđỉnh v

• Đỉnh u, đỉnh v được gọi là đỉnh đầu của cạnh e

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Đỉnh có bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập

Đỉnh có bậc 1 được gọi là đỉnh treo

Định lý Xét đồ thị vô hướng G = (V,E) Khi đó, tổng bậc

của tất cả các đỉnh của đồ thị sẽ bằng hai lần số cạnh củanó

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

 Xét đồ thị có hướng G = (V,E)

– Nếu e = (u,v) là một cung của G thì:

• Đỉnh v được gọi là đỉnh kề của đỉnh u

• Cung e được gọi là cung đi ra khỏi đỉnh u và là cung đi vào

đỉnh v

• Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu của cung e, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cạnh e

– Bán bậc ra của một đỉnh v (deg + (v))

là số cung đi ra khỏi nó.

– Bán bậc vào của một đỉnh v (deg-(v))

là số cung đi vào nó.

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Định lý Xét đồ thị có hướng G = (V,E) Khi đó, tổng

bán bậc ra của tất cả các đỉnh sẽ bằng tổng bán bậc vàocủa tất cả các đỉnh và bằng số cung của đồ thị

deg ( ) deg ( ) | |

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Định nghĩa Xét đồ thị G = (V,E) Đồ thị H = (W,F) là

một đồ thị con của G nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của Hcũng là đỉnh của G và mọi cạnh/cung của H cũng làcạnh/cung của G (W V, F E)

5 4

5 4

Đồ thị con của G

3 2

1

5 4

Đồ thị con của G

3 2

1

5 4

Không là đồ thị con của G

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Định nghĩa

Cho hai đồ thị G=(V,E) và G’=(V’,E’) Ta nói rằng G đẳngcấu G’, ký hiệu G G’, nếu tồn tại song ánh f:V→ V’ saocho:

uv là cạnh của G f(u)f(v) là cạnh của G

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

Định nghĩa 1.

Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số

nguyên dương trên đồ thị G=(V,E) là dãy

x0, x1, …, xn-1, xntrong đó u = x0, v = xn, (xi, xi+1) E, i = 0, 1, 2, …, n-1.

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình

Đường đi không có cạnh/cung nào xuất hiện quá một lần

được gọi là đường đi đơn

Đường đi không có đỉnh nào xuất hiện quá một lần được gọi

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

Chu trình sơ cấp (hiển nhiên đơn)

Chu trình đơn (không sơ cấp) Chu trình không đơn (không sơ cấp)

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

f

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

Một đồ thị không liên thông là hợp của nhiều đồ thị conliên thông rời nhau Mỗi đồ thị con này được gọi là một

thành phần liên thông của đồ thị ban đầu.

Đồ thị trên có 3 thành phần liên thông

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

Định nghĩa 3.

Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh (đỉnh khớp) nếu việc loại

bỏ v cùng với các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị.

Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị.

Ví dụ:

Đỉnh khớp: e, x, y Cầu: (e,x), (y,w)

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông

Đồ thị có hướng không liên thông yếu

Đồ thị có hướng liên thông mạnh

(hiển nhiên cũng là liên thông yếu)

1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Đồ thị đầy đủ.

Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là Kn là đơn đồ thị vô hướng

mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó luôn có cạnh nối.

Số đỉnh: n

Số cạnh:

Bậc của mỗi đỉnh: n-1

( 1) 2

n n

1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Đồ thị lập phương.

Đồ thị lập phương Qn là đồ thị với các đỉnh biểu diễn 2 n chuỗi nhị phân độ dài n Hai đỉnh của nó kề nhau nếu hai chuỗi nhị phân tương ứng chỉ khác nhau 1 bit.

Số đỉnh: 2 n

Số cạnh: n.2 n-1

Bậc của mỗi đỉnh: n

1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Đồ thị lưỡng phân (đồ thị hai phía).

Đơn đồ thị G=(V,E) được gọi là lưỡng phân nếu như tập đỉnh V của nó có thể phân hoạch thành hai tập X và Y sao cho mỗi cạnh của đồ thị chỉ nối một đỉnh nào đó trong X với một đỉnh nào đó trong Y.

1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Đồ thị lưỡng phân đầy đủ.

Đồ thị G=(V,E) được gọi là lưỡng phân đầy đủ nếu G là đồ thị lưỡng phân và mọi cặp đỉnh giữa hai tập X và Y đều được nối với nhau.

1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Ví dụ

?Không là đồ thị lưỡng phân

Đồ thị lưỡng phân

Định lý:

Một đồ thị vô hướng là đồ thị lưỡng phân khi và chỉ khi nó

không chứa chu trình với độ dài lẻ