Một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường

Trang 1 LO em re re BO GIAO DUC - DAO TAO DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAI HOC SU PHAM © MOT LOP BAI TOAN BIEN CHO HỆ PHƯƠNG TRINH VI PHAN THUONG Trang 2 LUẬN VĂN Đ

MOT LOP BAI TOAN BIEN

CHO HỆ PHƯƠNG TRINH VI PHAN

THUONG

LUẬN VĂN THẠC SỈ TOÁN HỌC CHUYỂN NGANI I: TOÁN GIẢI TÍCH

MA SO: 1.01.01 NGUGI THUC HIEN : NGUYEN NGOC CON

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOAN THANH TẠI

TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH

Pho Tién Si ; DAU THE CAP

Khoa Khoa Hoc Co Ban Trường Cao Đắng kỹ thuật Vinhempic

¬ | Chie heen :

NGUYEN NGOC CON

Truong PTE Phan Van Tri

Huyện Châu Thanh, Tinh Cân Thơ

a

LUẬN VĂN KHOA HỌC DƯỢC BẢO VỆ TẠI

HỘI DỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÓ HỒ CHÍ MINH

LOI CAM ON

Ler dtu téu lrong hadin win way, tit ain kink go din Phd Siéin KH NGUYEN ANH TUAN - Khoa CÍndm, ¢ During Pat hoe he fbam

lo 24¿uÁ fhe Ve Chi Oo Monk ; mati ha ⁄ di “an link hing dan va gu dé

tit hoan Uhank udu udu uay, long hithen chin lhanh wa ener T2

Fon he ự te dong hitl un dbe vee gee he Ự, Wea

Nhe Chén HK LUE TAL THIEN HUONG, CXZea OFain,

tự sư đạc Aepham Thank phé Hi Ché Mink

yi Hibn KH : DAU THE CAP ẽ Khoa Kiheoa hoc ca ban,

Trning Cue (# dng = %Í y Mbit 4a inhemfuc

ht doe ban Chae, fhé blink wea phan been che “edn wan

Dew chin hank vim ta que ¢ (ấy “/@tưự Khoa Otodn di tin link

(rte yêu dat kien lhate cho lid (roug serio gue Crinh hoe tafe, ye câu, 2 lhuée

AF hong “ [4# etn © Khow hee ¢ Truciny Gf we hee he fham Cc Thanh ' tý

We Ch olbuk va que Shay VÊ2 /đuậc hong © Ngheen cu Khoa hoc vd

Pao ta wu Lat hoe (ung fi an hoe Gin Thea chi fro met diéu điểm thudn fot gif he bit trong seit hed gran hoc tafe va Chae huén ludn win mary

Wet ition evita, tive yen dink, ban hin ring qe ding „Lợi di ding were,

gu Ae ne lao mo hin fh tén lhudu bed cho let frong que brink hee 7 na hoan

thank lad win wey

CHhank fhe a (2 ahs œ úñ lnk 7999

AL = / ”

OQ [zz„ấ» Ngee én

MUC LUC

Ky hiéu

Lời nói đầu

Chương 1: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN THƯỞNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DANG CAUCHY - NICOLETTL

1.1, Diéu kién can và đủ cho việc tôn tại

nnphiệm của bài toán (0.1), (0.2) .o<-<e<<<sesee ]

UD VG ahh gs IN (in oy tigate 6 cece a 1666004 ,00 9

1.3 Cac tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tổn tai

và duy nhất nghiệm của bài toán (0.1),(0.2) 15 I.4 Về bài toán (0.1), (0.3) và (0.1), (0.4) -< <«- 20

Chương II : MỘT LỚP BÀI TOÁN BIẾN CHO HỆ PHƯƠNG?

TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN

DANG HAM

2.1 Diều kiện cần và đú cho việc tổn tại

nghiệm của bài toán (0.1), (Ú.8) .à.«-cc<cc<e~eeexxee 24

2.2 Dịnh lý vẻ việc tồn tại và duy nhất

nghiêm của bài toán (0.1), (0.B} eeeSĂieeesrisvee 29

2.3 Các tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tồn

tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.1), (0.8) 39

2.3.1 Các tiêu chuẩn cho việc tổn tại và

duy nhất nghiệm của bài toán (0.1), (0.8) 39

2.3.2 Về tập N (<4,b#¿ ấy 2á ÐĐk) Gia 60266 25ssei 42

Tài Hiệu tham khảo

KI HIEU

ILR 1a tap hop cae sé thuc ( duéng thang thuc)

(a,b) = [xeER:a<x<b}- khoang

<a,b> = |xelR:a < x < bị - đoạn

lR" là không gian thực n chiều với các điểm x=(xj* bởi chuẩn

3.5 = (Si, jet la ma tran vudng cap n voi cac phan tu la

4.C„(<a,b>) là không gian các vécto ham n-chiều liên tục trên <a,b>,

6 |(<a,b>) là không gian các ham p kha tich (p21) trên <a,b> với

/

chuan:

b 1/p

Ibias £ LE flora |” vátsp<+ss

Vrai max { [x() |:a <t<b \ VỚI p=†+œ

L,(<a,b>, R,)= { xe LP(<a,b>) : x(t) 3 0, a < t <b}

7.K<a,b> la tap hợp các ham f : <a,b> x R" — R thda man cac điều

kién Caratheodory dia phuong nghia la néu f ¢ K<a,b>, f(-,x) là đo được trên <a,b> với môi xe R"; f(t, -) la lién tuc hau khap nơi trên R" với mọi

9.Nếu (@:C (<a,b>) > Ro, © Cy(<a,b>) (=l,2) và %¿¡( š %›(Ð

với VI ec <a,bh> khi đó La kí hiệu :

V;(;z %;)=inf{p(x) :xeC, (<a,b>) va OC, (t)Sx(t)S,(t) voi Vte<a,b>}

V*(o;z %;)=Sup[(x):x <Œ„(<a,b>) và %¡(x(t)S%;(t) với Vte<a,b>}

LOI NOI PAU

Van dé ton tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho phương

trình ví phân thường là một trong những vấn để quan trọng của lý thuyết phương trình ví phân Nghiệm của bài toán biên liên hệ chặt chẻ với sự

phát triển của bộ môn phương trình vì phân Trong những bài toán đầu

Viên (Bài toán Cauchy, bài toán Cauchy - Nicoletti, bài toán tuần hoàn, )

nghiệm của nó là hàm khả vị liên tục, Trong thế ký này vào những năm

3U cũng với sự ra đời của lý thuyết caratheodory nghiệm của bài toán biên được hiểu là hàm liên tục tuyệt đối ; vào những nãm 50 người ta đã đưa ra

nhiều tiêu chuẩn tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên với các diéu kiên biên khác nhau

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu sự tổn tại và duy nhất

nghiệm của hệ phương trình ví phân với điều kiện biên dạng Cauchy -

nicoletti va diéu kién bién dang, ham

Luan van pom co hai chuong :

Trong, chuong | chung ta sé nghién ctu về việc tổn tại và duy nhất

nvhiém cada hé phương trinh vi phan thuone : 4 ĩ i » 1

thóa mãn điều kiên biên (0.2) :

x(t) =p, (Xu-: Xa) (E1;/⁄ n) (0.2)

trong do f,: <a,b>x R" > R, thỏa mãn điều kiện Carathéodory với

~ 9 <ash< + © ,t © <a,b>, (i=1, ,n) va @ : C,(<a,b>) -> R, (i=1, ,n)

ld cde phiém ham liên tục

hove Thỏa mãn dita kita bien (0.3) hode (0.4) :

X(t) =p) OX pieeeXp) es GE] Sup {X¡(t}: Ast<b | san

¢ Bai todn phan tuần hoan :

xa) > -xifh), (im 1, 9) (0.7)

Bai toan (011, (02) dược nghiên cứu bởi hàng loạt tác giả như II.Kiguradze, l Puza, Kakabadze, trong các công trìnlhi [3L[1],{2]/{8|, UTEP US FEZ vcs

Trong chifong I ching ta sé nghitn eva ve viée lén tai va duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân thường (.L) thỏa mãn điều kiện liền (mét hàm: (8),

[rưởng họp đặc biệt của điều kién bién (0.8) là (0.2) hoặc điều kiện

MOT LOP BAL TOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH V1 PHAN THUONG

voi DIEU KIEN BIPN DANG CAUCHY - NICOLETTI

CHUONG I MOT LOP BAI TOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VI PHAN THUONG VOI DIEU KIEN BIEN DANG CAUCHY - NICOLETTI

1.1 DIEU KIEN CAN VA DU CHO VIEC TON TAL NGHIEM CUA

BÀI TOÁN (0.1),(0.2) :

Dinh lý 1.1: Điều kiện cần và đủ để bài toán (0.1), (0.2) có nghiệm

la t6n tai cac vecto ham:

C(t) = %,(t) = x(t) € AC, (<a,b>) thoa man (1.1) va (1.3)

e Diéu kién du: Dé chứng mỉnh điều kiện đủ trước tiên chúng ta đặt

Jang |

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VIEPHAN THUGNG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCHY- NICOLETTI

O,,(t) với S< %,((t) xXi(tS) = 5 Vol © ,(t) S SS O,,(t)

OC y(t) Sep, (Xg Xea) Š %¿j(t,) với (x) _ C„(<a,b>) (1.8)

va ton tai g* € L<a,b> sao cho:

Bằng cách sử dụng bất đẳng thức này và áp dụng nguyên lý

Schauder's vẻ điểm bất động, ta để dang chứng tỏ rằng hệ (1.7) và do đó

bài toán (1.5),(1.6) có nghiệm

Gia sw x,(t), x,(t) la một nghiệm của (1.5),(1.6) Để kết thúc chứng

mình định lý, ta chứng tỏ rằng nghiệm này thỏa mãn bất đẳng thức (1.4)

Trang 2

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VIPHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCIIY-NICOLETTI

lu do mdi nghiém cúa (1.5), (1.6) thóa mãn (1.4) thì luôn luôn là nghiệm

của (0.1),(0-2)

Giá sứ rằng (1.4) không xãy ra nghĩa là tôn tại £ e {1,2}, ¡ c {1, ,n} và

tL,€ <a,b> sao cho u(t,) > Ú, với u(t) = (-1)' [x,(t) - ~,,(t)]

Do (1.6) và (1.8) ta suy ra rằng tụ # t Không mất tinh tống quát ta

giả sứ r„,> tụ Do x(Ð liên tục nên tốn tại r¡ e <t,,t„ > sao cho :

u(t;) = Ú và u(t) > Ö với L< (ty, tạ (1.9)

(Với t„ < t, ta chứng minh hoàn toàn tương tu) nhưng nếu ta đặt : xị= #,(x(Ð) và sứ dụng (1.3) chúng ta nhận được :

trong do a & t,, & Sb vad, pt, € R (i=1, ,n)

tử định ly 1.1 ta suy ra cac hé qua sau :

Hệ quả 1.1: Diéu kién cần va đú để bài toán (0.1), (1.10) có nghiệm là {On tại các vectơ hàm ;

L,= (Kn), © AC,<a,b> (f=1,2) thỏa mãn (1.1) và bất đắng thức (1.3)

XÂY ra VỚI ;

aS1Sb,Ø®%() < xị< %¿() ,(j=l, n), voi i e [H, n}

Trang 3

MOT DOP HAT TOAN BIEN CHO ME PUONC PRINT V1 PLAN THUCNG

VOLBIFU KIEN MEN JANG CALICEHTY-NICOLETTI hoặc : 3¡ # Ú, ®/(t;) - 3¡ 44 ñ )*IýŠ #“2/(tj - À¡ #2¡( 1; ) (1.11)

hadic: A < 0, %(1} - 3¡2cz( fy } Š dị Lilt) = Ai ul fF )

LIệ quá trên là tổng quát hóa một vải kết quá đã có trước Ví dụ A.V Iinke'Shtain đã chứng, tỏ trong [1] rằng, hệ (0.1) có nghiệm thóa mãn điều kiện biên sau :

x(a) =(1- 9} xb} + pc, G=1, n) néu Ú ZpạŠ 1 và với một số r>(}, ta có :

’

| F(x, +c, ,Xu#+Cu| % oe r với | x | sr a x, | sr Ai=1, _— ,h)

Tư hệ quả 1.1 La nhận được ngay kết quá này băng cách đặt :

%(Ù =e;+€IÖr[1+ ne P.|:¿=a, =b(É=L2;¡=1, n)

Các kết quả của Schmitt [16] và V.D.Ponomarev [14] về việc tổn tại

nghiệm của bài toán tuẳn hoãn và phản tuần hoàn được suy ra trực tiến ti

hệ quả sau Trước hét ta lưu ÿ rằng nếu đặt;

t=a, t; = bthichon A,=1 va néu dat:

t=b t= athichan A,=-1

khi đó từ hệ quả 1.1 la suy ra được ngay hệ quả sau đây :

Hệ quả 1.2 : Bài toán (0.1),(0.6) { bài toán (0.1),(0.7) ] có nghiệm nếu lan tai cae veclo ham:

Cp = (90) e AC <a,b> (f=1,2) va a, e€ {-1L1) (i@L, n) théa

MOT LO? BALTOAN BIEN CHO HE PHUUNG PRINH ¥LPHAN THUONG

VOI BIRU KIEN IRN DANG CAUCIIY-NICOLETTI

trong đó các phiểm hàm ,: C.T<a,b> —> R, (i=1, n} liên tục và không

giám, # (Xkzs „Xa} = gu ÁbXI „Xa)X; Ð g2 X¡, „Xa}, hơn nữa hàm số :

gi; <ab> xR", —> R và g.: Zah>xR".>R (i=1, ,m)

thực hiện điều kién Carathéodory địa phương và môi ham ø¿((t,XỊ, X-}

(=1,2) là các hàm số không giảm đối với các hiến Xị, X;q,XietreXu +

Nếu bãi toán biên

ay

we = [gut: vị xoài Yụ ) ¥, + Bilt vị sects Vn )|sign(t-t); i (1.14)

vi) " *, ( vị hoi Yul) =1, ng lt)

cú nghiệm y= (vy) thi tổn tại nghiệm x = (x)_ của bài toán (0.1),(0.2)

Lhỏa man bat dang thitc| x(t), = y(t} voit e <a,b>

Ching minh Giả sử y “(y)_= AÁC,, <a,b> là nghiệm của bài toán (1.14) Khi đó :

MOP lor BALTOAN BPN CLIO TE MIUONG TRINH ¥ITHAN THUONG

VỚI THÊU KIỆN HIỆN DANG CAUCHY NICOLELTE

ai (= gaátÍ ya(t oad vat) |)

và v¡(t) > l1, Đội (t) 20 verte <a,b> (¡i=l, n}

Lử (1.15 ) suy ra : vựt >0 với a Š tế b (i=l, n)

Dãt Z,( =(J y(Đ (É=L2)

Khi đó : #¡( šs Øsš %:(Ù với c <a,b>

Từ các bất đẳng thức (1.12), (1.13) chúng ta suy ra rằng với mỗi

bof )

m5: (f) =-4 vị ii Vụ ) * Ve eps Hy, Hop S V™ (My WH, ÓC¿) Š

SV (yy! peed yal P= Cait)

vit trén ip hop as ts b, %, (tS x, = %;, (Ð (i=l, ) bắt đẳng thức

sau tÍẦV XÂY Tả :

1 [FLX po X ire MUX t2 Xã}= %.(0] sipn(l-t;) =

` Ft pre X pg Ct ey mut Xj) sign|(t-t)) Z;(] =

[ø¡¡(t,!2;:(0| |2Ez„Ýt)J) Sill) + Baill (Key (OL oo Canlt PY SO

Vậy các vecld hầm %,(0, #;(Ù thóa mãn các điều kiện của dịnh ly

|,1, La đó định lý 1:2 được chúng mình

Từ các định lý 1.1 và định lý 1.2, chúng ta sẽ dưa ra các tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tôn tại nghiệm cua bai toan (0.1),(0.2)

Treaty hét ta dua ra dinh nghia sau day, no la su tổng quát hóa các

dinh nghia cia vie lie pia Y.T Kiguradze va M.A Kakabadze

Định nghĩa 1.1 : Giả sử W,: C,"(<a.b>) > R, (i=l, m) là các phiếm

ham liền tục, không giảm Chứng ta noi rang vecto liam ;

MỘT LỚIP HÀI TUẦN BIẾN CHƠ HỆ PHƯƠNG TRINIT VI PHAN THUGNG

VỚI ĐIỂU KIÊN BIEN DANG CAUCHY-NICOLETTI

g= (g) : <a,b> x R"-+ R” là thuộc lớp N(a,b; t;, ,t,; ° ¡, .„) nêu

‘=

a), Bi (EX) Xpq) ae PE Xp Xp) Xị + B2i(tX‡a Xu), trong, đó

gy, 2 <a,b> x» Rh-› R, (Ế=l2; i=l, m) thỏa mãn điều kiện

Carathéodory địa phương và (-1)' Bj (UXy,-X,) (2=1,2) 1a cac hàm số

không giám theo cac bib xy) Xp Xje pee Xe

b).16n tai hang sé duong c, > 0 sao cho vei méi vécto ham

Định lý 1.3: Giá sứ trong <a,b> x R" bất đắng thưc (1.12) xãy ra và

trong C.(<a,b>) bất đắng thức (1.13) xây ra thêm vào đó :

,:C, <a,b>->R, - (i=l, n) là các hàm số liên tục, không giảm

khi đó bài toán (0.1),(0.2) có ít nhất một nghiệm

Chứng mình

Theo định lý 1.2, ta chí cần chí ra rằng bài toán (1.14) có nghiệm Giả

sử c„ là hằng số dương được xác định trong định nghĩa 1.1

Dat: | nếu S < ne,

x(S) = 2«— ïiÊu 1C, <SS 2nc,, NC,

0 nếu S> 2nc,,

Sang Zz

MOT LOP HDALTOAN BIEN CHO HE PHUGNG TRINH V1 PHAN THUONG

VỚI DIEU KIEN BIEN DANG CAUCHY- NICOLETTI

RO rang ton tai ham sé g,, ¢ L<a,b> va hang số dương r„ sao cho :

| 821 (t,] x) Jove [Xn [JIS Bol VOI Ee <ab>, (x) e R® — (119 je

(i=1, N)

và :|4⁄ (|xị |» [xa |)Í< rạ với (x,)” © C,(<a,b>) /(i=1, n) (1.20) ¡=l

- Xét bài toan biên ;

ax

đi e [- y(t |X) | 1X, |) x) + Bai (th [x [| x, |) ] sign(t-t));

(1.21) x(t) = W(]x, [>zil} (t=1, )

No Lương đương với bài toán sau :

Giống như trong chứng mỉnh định lý 1.1 việc tồn tại nghiệm cua bai

toán (1.22) được suy ra tử định lý Schauder's và các bất đắng thức (1.19)

và (1.20) và tính không âm của các hàm sO py (i=l,

"

Gia su x= (x(t) là nghiệm của bài toán (1.22) tức là nó là nghiệm

¡=l của bài toán (1.21)

Jang &

MOT LOP BALTOAN BIEN CHiO HE PHUONG TRINH VEPHAN THUONG

VỚI ĐIÊU KIÊN HIỆN DANG CAUCHY-NICOLETT!

Tử các tính chất của cac ham Ø2, và WY (i=1, TH, „n) kéo theo bất dang

thức (1.16) đúng Do đó bất đắng thức (1.17) cũng đúng Khi đó theo định

nehia ham ‘taco:

na (t, |x¡() | |xe(Ð |) = øzứ, |xị(Ð [„ |xa(E)|) với t= <a,b>

và do đó x= (x())_ là nghiệm của bài toán (1.14)

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VI PHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIEN DANG CAUCHY: NICOLETTI

b) «, : <a,b> xR, -> R, (i=l, n) là các hàm số không giám theo

biến số thứ hai ø,(s,p )c L<a,b> với pe (0,+z) và:

b fim + fo, (t, p) dt =0 (1.26)

<p | 2 ral, |I"»<a,>+r* |t¡(t, 2 Ix/()ÍÏ1,<a,n> +2 LÍh(c)Ix/(+)Id|]

(1.28)

‹ Yang 10)

MOT LOD BAL POAN BIDN CHO TIE PIIUONG TRINIEVI PHAN THUUING

VỚI Dift: KIDN DER DANG CAUCHY - NICOLETTI

rh š | Phyl] [Seca b3 (i=L, m)

Tu bat dang thiic Hollder vả (1.23) ta có :

l

{flr fryer) dt | [Oca be = | (fry!) dry Py if x(t ) th ult |)!z»”J to<n,b> <

= | hi; |} evant | Js yy" dt | lu | Ifqo —

=||h, Me? Nea bem Irae vidal

> {b- a} Su (qi, J all Hạ a.b> || x(t)" 1

Ix/[i95226-< ba) %5 Ít toe _l9)lh eatol +

+p, x lib aj My (qn) | h il | tsa,b» : (b-a} i" tụ ] | Xj | [loess be

MOT LO? RALTOAN TIEN CHO HE PHUUING TRINILYEPIAN THUUING

VỚI DIU KIEN BIDN DANG CALICHY - NICOLETT

và =0) = (tra) “ð[r+{e,(, Š p)l:-aie ),, ' /=l

Vì các giá trị riêng của màa trận S nhỏ hơm 1 nên từ (1.31) ta suy ra :

E£“(E-SY'#,

Vì vậy :

(1.32) trung đó nạ là giá trị dương, chí phụ thuộc vào ma trận 5 Từ đó và Lừ (1.28) suy ra ranp bat đắng, thức (1.17) là đúng, với chú ý rằng :

Các trưởng hợp đặt biệt của bổ đẻ trên chang hạn như hổ để 1.2

trong, [4] , bo dé trong mục 4.3 của tác giả IT Kiguradze trong [3]

Chư ý : La biết rằng ma trận $= 6.) với S„ 20, Khi do ;

1/Lat ca cac gia tri riêng của ma trận S nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi tất cả

các định thức can chính của S đều đương

.Ã “A” Ä«' ~ ee

2.Diéu kién & % <1 (F“1;->¡0)

Fraug 12

MOL LGP BALTOAN BIÊN CHƠ HỆ PHƯƠNG TRINIE V1 PHAN THUONG

vit DIEU KIEN BIEN DANG CAUCHY - NICOLEFTI

đám báo rằng tất cá các giá trị riêng của ma trận S nằm trong đường tròn

don Vi

Bổ để 1.3: Giả sử

sao cho : - [Iv (spsignis ~ fs

hàm sé g(UXp Xn) duoc dinh nghia trong, (1.25), rụh„ hụ và 6);

riêng của ma trân S= (Su) "` ¡j1 với các phân tử :

Giá sử(x) © AC,(<a,b>) thóa mãn bất đắng, ¡=l thức :

x¡ (0 sipm{|(t)x/(Ð)] <-h/0Ix(0I+> hạ(904(9* oft pol j~ | x(t)

(i=1, m) (1.36)

Từ (1.36) với 6 {1, - m{, ta có :

Jang 13

MOT LOP HALTOAN MEN CHO HE PLIUGNG TRÌNH VỊ PHẨN THƯỜNG?

vot Diftu KILN BIEN DANG CAUCHY - NICOLETTI

f

",(9VBAs “yy xé (sinks - rk

x(t) |S @ | x(t) |+ Ÿ ÍI lhuc)x(9)e F de| +

/=1 ¡ -{h(s)Signs- thê

<eÍ x(t) BL ot, © 9 1)[lu<.»> + jel

+E | [ biel (r)Idr|] jel

MOL LOPAADOOAN BIPN CHO HE PHUGEING TRINH ¥E PHAN THUONG

VCH DIP) KIRN BIPN DANG CAUCIIY ~ NIGOLEDL

"on r +1

Jo tà (OD eae» (I=L ) “

và tử bổ đẻ 1.2 ta suy ra điều phải chứng mình

13 CÁC TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ CHO VIỆC TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIEM CỦA BÀI TOÁN (0.1), (0.2):

Từ các bổ đẻ (1.2), (1.3) và định lý 1.3 chúng ta dé dàng suy ra các định Eý sau đây :

Định lý 1.4: Giả sử trong <a,b> xR” bất đẳng thức sau được thực

hiện - f;(1,x¿, ,x„)sipn[(-t]x;| Š - h1 |x¡|† 2 hy (t) px +o, » x; )

i

+, (I=1 m) (1.38)

va Lrong Cu¢sa,b>) ta co:

ft; (X¡›- ,Xa} Í £ gã Tự lx, rlocgns tr (I=L), (1.39)

-|

trong do ry, 1;, h, hy va ow, (ij=1 0) thu hiện các điều kién a), b) vac) của bể để 1.2 Khi đó bài toán biên (0.1), (0.2) có íL nhất một nghiệm

Định lý 1.5 : Giá sử trong <a,b> x R” bất đẳng thức (1.38) được thực

hiện và trong C (<a,b>®) ta có :

IP¿ (Xus- Xa)|# ` (lx]) Đr, 2(0Z1, a1) (1.40)

trang dar, hy hy Wy, va œ; (i/jEL, ,n) thực hiện các giả thiết của bố đề

I.3 Khi đá bải toán (0, L], (0.2) có ít nhất một nghiệm

Dinh ly 1,6 : Gia sik trang <a,b> x R” bat ding lhúc sau được thực

hiện: [f(teus- ,)~f(teays xạ) | sign[f-)( xịc a0] *

hu(} xị; Xadlt 3 h„(Œ)( xụ- Xz | GL ) (1.41)

J=i thang 15

MOT LOP BALTOAN BIEN CHO HE PHUGNG TRINH VIPHAN THUONG

VỚI DIRU KIEN BIEN DANG CAUCHY - NICOLETTI

và trong C.(<a,b>) ta có ;

(Pj (Xap Xn) | - Ip, (Xatz Xan) |S“ > tụ | XỊj X2i | LÌo%«a,b>

pol

(i=1, ,n) (1.42) trong dé ry, hy vahy (ij=L n) thực hiện các giả thiết của định lý 1.4 Khi đó bài toán (0.1), (0.2) có không quá một nghiệm

ra: x(t)=O ,(i=l, n) Vậy dịnh lý đã được chứng minh

Bằng cách tương tự chúng ta suy ra được định lý sau :

Dịnh lý 1.7 : Giá sử trong <a,b> x R” các bắt đắng thức (1.41) được

thực hiện và trong C,<a,b> taco:

lf ¿ (Xttze.Xin) - 0 / (Xap-.c2Xzn) | Š #gy (Xu Xi) (FFL ) (1.43)

trong doh, hy, va Vy, (ij=1, n) thỏa mãn các giả thiết của định lý 1.5 Khi đó bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm

Từ các định lý trân chúng ta suy ra các hệ quả sau :

ang 16

MOT LOP BAL TOAN BIEN CHO HE PHUGONG TRINH VI PHAN THUONG

VỚI ĐIỀU KIÊN BIPN DANG CAUCHY - NICOLETTI

Hé qua 1.3 ; (Bai toan Cauchy - Nicoletti)

Gia su trong <a,b> x R" taco:

c) S„ = ||h[i‹¿ux (ijE1, m) nếu hạ e L<a,b>

Các kết quả tương tự về sự tôn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy - Nicoletti đầu tiên được đưa ra bới M.SVec, sau đó bởi A.LaSota,

bói AL.Perov và A.V Kibenko,

Từ hệ quả trên ta suy ra hệ quả sau đây :

Hệ quả 1.4: Giả sứ trong <a,b> x R" bắt đẳng thức (1.44) xãy ra và :

Sup [lo,(x) |:x€ Cu<a,b>] <+z, (i“l, n),

ROT LCP DALIOAN DEN CHO HE PHUING TRINH VL PHAN THUONG

VON DIG KIEN IRN DANG CAUCHY - NICOLETT

Hệ quả 1.5 : { Bài toán tuần hoàn)

Giả sử trong, <a,h> x R" các bất đẳng thức sau đây xảy ra :

(,(1,Xy„ ,X„)sipn{(øx;) š - ht) x; +X hyd) Xft; (1) GAL.)

+ (b-al' A (gig) fbi Picts — Gj7L n)

neu hy = 1 fea b> > Ly be 1,1 dạ * qu-

MCU LOP BAL TOAN DIEN CHO HE PIEZING TRINTIVIVMHAN FHUUNG

vor DRG KIEN RIN DANG CAUCHY - NIGOLEIT!

Hệ quả 1.6 : Giả sử trong <a,b> x R” các bất đẳng thức (1.38) [(1.41)|

xây ra, hơn nữa hạ hị và 6ø; (ij=I, m) thực hiện các diều kiện của hố đề

ad i5e oni? | | f°: i=] }

(b-a} AQj.Afa) Li LY <a> (1 pevsren 1)

nêu bi = Pilea toe Ly ae 1,1“ qi S q.-

Hệ quả 1.7 : Giả sứ trong, <a,h> x R" các bất đẳng, thức (1.38) [(L.41)]

xây ra hơn nữa hị, hạ và @, (1JCL, n) thực hiện các giá thiét a) va b) cua