Một cách xây dựng khái niệm và các tính chất của hàm ở trường phổ thông trung học

Một tương ứng T giữa tập hợp A và tập hợp B là một quy tắc cho mỗi phần tử x thuộc A ứng với một tập hợp con Tx của B.. TƯƠNG ỨNG >* Ta ký hiệu TỊX là một tập con của B được cấu thành bở

BO GIAO DUC - DAO TAO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM

KHOA TOÁN

s>Í.Ì~+2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT CÁCH XÂY DỰNG KHÁI

NIEM VA CAC TiNH CHAT CUA

HAM G TRUGNG PHO THONG

TRUNG HOC

Chuyén neanh: TOAN GIAI TICH

Giáo viên hướng đẫn: TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Sinh viên thức hiện: LÊ THÁIBAO THIÊN TRUNG

THÀNH PHỔ HỒ CHÍ MINH

5 — 2000

Lei Udi Ddu

EE EE 0 P AP PAP AP Of BRAD EAP PAD ABAD A i AD Mp psp pepe A

LOFHDIBAU

Sh niim duh «a, ham đố, đâm đực nở yea han dany rir pwdngday a

phe thing trang hoc ti nhieng khét niem geist lich vet bein, vit cin théél cho hoc wh fhe ete ede trating dat hoe, cae ding thube cde khét tink (8 hi thudt wd nhdl le cho 5Ã

win khoa lodn ode đường «ve pham Tuy nhibn, 0 trating phi thing, nhibu hoc sinh

gp khé Khan khe tidy ther cde Bhd nit mdi sà kbd tira đương nay So tinh ue

fham me phd» fin cúc đường diều day nhitny khdé niim dé thing thal ddy dd va

chink wde, gdy trd ngat che wie hor lodn caw vip, Trong khéa lain nay, ching le

mudn tink bey eich này dưng cc Khe nedm (rén obi mie dé ling qudl hon, whing

win of ging dém bio tink ur pham Theo ching lit có thé dang khia ludn dé gidng

day che hoc sinh cde lip chuyin, dac Ácệt la dink hering cho cdc em lide luc nghtin ode win mổ (of @ bite dat hoc

Khba latin gim nam phan

Phin 1 nây dựng các khdt nibm vi twong dng, bac gim,: dink nghia (ương ding, dé thé cla tang dng, luring ting ngepe vc hep thank eda hai tang ding Fay đà

các Áuiếm thite chutin by dé xiy dung mit khdé nibm quan trong, db la him — dnh x

Vhin 2 néu dink nghia ham — anh xa, don duh, loin dnh, song Anh, dnh

re ngupe cia mil song dunk wi hodn wt cia mol lip hope

O phan 3, sau bhé why dang khdé nibm him — dank xa ling gudl, ching lbé

atl tnitttng hap ridng cia ni li him số va dh xa bi rbé ub dang ching dé dink nghia

fhuvng brink wa bit phiring tinh

Khde wd cdch trink bay ÁÁd¿ xâm Áàm lễ đền đục trong cde shch yido khoa

hién nay, trong phd» 4, ching lis dd manh dan ub dung dink nghia ut lan luc oda

him trong Khong yan ling gudl lépe, aa dé més han ché vio khing gian dink chadn

RR Han li, hoc vu phi thing 6 thi hidu deve dink nghia ndy nhit rede hink we

bitin didn ON hata giip cde om niim vf dink nghia, ching đổi di dp dung nd ude wise

Kheo wil ue lian tue dia mil é hem eat bein

Vhdn 5 brink bay bhdr niém gibt han cda ham sé theo tink than tang te

Mâm 4

Quang 3

Lai Hi Dau

PE PD SDP AP PP OP PAP AD PAP AP AD AP APD RD Pa,

Khe chon dé tie cho Khia lain, chiing tit nghi, néu hor unk deve trang be

nhitng kiéin thie ny thi ode om sé gap abiéu thudu ba hen đường obec hor lodn env ct

Tuy nhiin, diy chi li nhitng ý điển cÍd quan, cin hebu gud thee ur sò mái: d đi

dung can fect cá thin gian thir nghiim méi dink ged chink mắc deve YẾ Áing đồi rZ

mony nhin dave whiny 9 hiin ding gbp cia Duy Thay Co

Trong gud trink hein think khod twin, ching tee da due CT, Ls The Thin Hoang tin link hing dan, Fs Ngayin Auk Fatin doc ben thio vit che

whiny nhiin vbl guy hha Ain gobi déin hee litin 2È long beet on stu ade oda be

Chin think vim on Luy Thhy C6 thube Khoa Todn, dae bret li Te

Gide Fick, da lin fink ging day ching id sit bin nam hee

Hin cdm on cde ban hoe khéa 96 dé ding win va gidp dé tii trong gud trinh

Phần tử x là đối (hay là biến) và T(x) là ảnh của x qua tương ứng T

A là tập hợp nguồn B là tập hựp đích (Xem H.I)

Tập hợp A” = [x/ x e A và T(x) # Ø| là tập xác định Ta có: A c A

Tập hợp B’ = [y/y € T(x) vax € A ] là tập giá trị Ta có: Bˆ c B

Ta cũng có: B` = {T(xJ/x € A'} (B’ = UT(x)) Ta nói Bˆ được cấu thành bởi

#/ TƯƠNG UNG

H.3 Biểu đồ của tướng ứn+# T

LI Đồ thi của môt tương ứng

Il Biểu đồ của đồ thị môt tương ứng

Ví du: Biểu đổ của đồ thị ở ví dụ 1.3.2 (Xem H.3)

ý TƯƠNG ỨNG

Ta ký hiệu TỊX) là một tập con của B được cấu thành bởi những ảnh T(x)

với mọi phản tử x thuộc X

Mỗi phần tử y của tập hợp B ta cho ứng với tập hợp các tọa độ thứ nhất

của các cặp theo y trong đồ thị G (ta ký hiệu là C(y)1) Như vậy ta cũng xác

định được một tương ứng giữa tập hợp B và tập hợp A: Tương ứng này gọi

là tương ứng ngược của tương ứng T

Ký hiệu: T

Và oT: ,e Bo Ty) =he Cty)

thc,CtLy}: tập hợp các tọa độ thứ nhất của các cặp theo y trong đồ thị G)

Chú ý: Những y nào của B không có trong các cặp của Ö thì tương ứng ngược

T {typ =2

Tap hyp nguồn là B: Tập hợp dích là A

Tâp xác định là B”: Tập giá trị là A (Xem H.4a và H.4h)

VI Hợp thành của hai tương ứng

Cho một tương ứng † giữa hai tập hợp À và B và một tương ứng g giữa hai tập

yr TUONG UNG

3" Đó thị G của T là tập con của AxA = Àˆ(Xem H.Thị

3" Khi T(x) = x tá nói rằng x là bắt biển Xét những cấp (x:x) nằm trên đường

chéo D cúa A` Những phan uf bat bien 1a he, (2 DI,

Oe da ám đh chó dế» se -Eeiìn Số có có ME dể dá Đ sa sẽ de dể ve do d đe do «áo “á đơím để

Ham f là một đơn ánh từ A vào B nếu hai phần tử khác nhau của A có hai

ảnh khác nhau (Xem H.I 3a và HD L3b)

\2 « 1

V Song anh,

2.4.1 Dinh nghia

Nếu hàm f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh, thì f duge goi 1A song

anh Xem H.16a va H.16b)

V Tương ứng ngược của một hàm

1” Cho một hàm f và đồ thị G của nó ( Xem H.L§) C(y) (tập hợp các cấp theo

y trong G), trong trường hợp tổng quát, có thể chứa nhiều hơn một phần tử là

tập hợp f”(y) Nói cách khác f”, chỉ là một tương ứng, không phải là một hàm

$2 HÀM

Tưởng ứng ngược f'”, mỗi xổ y 20 cho ứng với hài xổ đổi +vV và =vy: AI

vậy Fˆ không phải là một hàm

"ids Không phái là một hàm

2" Nếu hàm F là một đơn ánh thì C(y) chỉ chứa môt phần tử (x.y1 duy nhất

Do đó, y là ảnh bởi F của một phần tứ duy nhất x; FÌty) = x

Vậy, nếu hàm fli dun dah, thì tưởng ứng ngược F là một hàm

VỊ Ánh xạ ngược của một song ánh

Cho mot song anh † từ À đến B

2” Hợp thành của hai toàn ánh là một toàn ánh

3” Hợp thành của hai đơn ánh là một đơn ánh

4” Hựp thành của hai song ánh là một song anh,

VIII Hoan vi cba mét tap hợp

2.8.1 Dinh nghia

Mỗi song ánh f từ tập hợp A vào chính nó gọi là một hoán vị của A

Mỗi hoán vị f có một hoán vị ngược f' Hoán vị giữ nguyên các phần tử của A

là hoán vị đồng nhất, Ký hiệu I

1 oe de we ee te de oe fe oe 3m be de be ee we ne ce ee ee 48 oe Fe 8k ee ne oe te ae oe be to de te ide de te te io fh

TFrang 14

Cho và g là hai ánh xa từ E vào R

Ta gọi tổng của ánh xạ f và ánh xạ g là ánh xạ s được định nghĩa bởi:

Định nghĩa trên vẫn phù hợp trong trường hợp F va g là những hàm số với

những x thuộc giao của các tập xác định của f va g

Định nghĩa wén van phù hựp trong trường hợp f là mỏt hàm số có E' c E

p= đf là một hàm số định nghĩa trên E

Cho hai ánh xa f và g từ E vào R

Phép nhân ánh xạ f và ánh xạ g là ánh xạ x được định nghĩa bởi:

Định nghĩa trên phù hợp trong trường hợp [ và g là những hàm, với x thuộc

vào phần giao các tập xác định của f và ø

Cho trước một phần tử b của R, ta đi tìm tất cả các phần tử của E có ảnh

là b Ta nói rằng ta đi giải phương trình f(x) = b

Goi F ` là tướng ứng ngược của É,

[ (bì chỉ tập hợp các phần tử của E có ảnh b bởi f

[ (b) là tập nghiệm của phương tình f(x) = b Néu a £ F (bì, nghĩa là nếu

fla) = b thì a là một nghiệm cụ thể của phương trình F(x) = b

Trong phương trình f(x) = b, x là ẩn số chưa biết Nếu F”(b) = Ø thì phương

trình vỏ nghiệm

Vậy, giải phương trình f(x) = b đồng nghĩa với việc xác định f !(b)

VI, Các phư

Hai phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

(Đây là một quan hệ tương đương, vì quan hệ này thỏa mãn tính phản xạ đối cứng và bắc cầu

Hai phương trình tương đương cùng thuộc vào một lớp tương đương, và một phương trình có thể được thay thế bằng một phương trình tương đương Việc

này được áp dụng trong quá trình giải một phương trình cụ thể)

X Phép nhân một ánh xạ vào phương trình

Cho hai ánh xa f và g từ E vào R

Ta xét hai phương trình sau:

Trong trường hợp tổng quát, ta không thể nhân một ánh xạ (hay hàm số)

vào một phương trình trong phép biến đổi tương đương

2° Tuy nhiên, nếu phương trình g(x) = 0 không có nghiệm trong E ta có thể

nhân g(x) vào phương trình f(x) = 0

XI Bất phương trình

Cho ánh xạ f từ E vào R

I: xe EoRxyeR

Cho trước một tập con Á của R, không rỗng và không suy biến thành một

phần tử Ta đi tìm tất cả các phần tử của E có ảnh nằm trong A Ta nói rằng ta đi giải bất phương trình f(x) €A

f'(A) là tập nghiệm của bất phương trình Các phần tử của f(A) là một

và ae “ Su vem

= tee ir

—e 4

4° Đẻ giải bất phương trình tích có dang: E(x)g(x) > Ú, tạ phải xét dấu E(x).g{x)

và suy ra nghiệm của bắt phương trình

XI Đổi biến số (đổi ẩn số)

u là ẩn số mới Vậy việc giải E, quy về giải E¿, sau đó là giải các phương

trình f(x) = u với mỗi u là nghiệm cua Ey

Ví dụ: Giải phương trình 3.2”*— 2.2" - § = 0 (1) trong N

Ta đặt u = 3` phương trình ( Ì ) trở thành

3u” ~ 3u - 8 =0 có nghiệm duy nhất u = 2 trong N

bây giờ giải phương trình 2° = 2 © x= |

£3 HAM SO VA PHUONG TRINH

*

“1

XIV Tổ hợp tuyến tính của các phương trình

I” Chu hẻ phương trình:

l(x)=U (E¿)

Nếu a và b là các phần tử của R thì phương trình ậf(x) + bg(x) = Ú (E) là một

tổ hựp tuyến tính của hệ phương trình trên Nếu œ là nghiêm của hệ thì

alia) + beta) =O suy ra đ là nghiệm của E

là tương đương nếu ab' ~ ba" = 0

Thật vậy gọi S va S’ la các tập nghiệm tương ứng

Ta cĩ:

.es=| f(œ)= 0 Chủ bg(œ)= 0 nes’

g(œ)=0 |af(œ)+bg(œ)=0 esas ae bgÍœ}= ()

ys HAM SO VA PHƯƠNG TRÌNH

Nghĩa là

((ab’ — ba (œ}= 0

i(ab’ - baJe(a) = 0

Viab’ ~ ba’ <0 nénta co:

Vậy hai hệ X và ®" là tưởng đương

Bina ae ce ae te ce ce oe ae tor tw dar ow ce HH Oe te ne ow Ếm Or de SA s4 de fe ae oe ae % 7 8 se of

TFrang 22

cee

ys SU LIEN TUC

PS ee

$4 SU LIEN TUC

L Lân cân

Một khoảng (œ;B) là một lần cân của x„ nếu ta có œ < Xa < B

Trên tia x'Õx, lấy các điểm Atd!, Bí và Mj1x,) Nếu (d:B) là một lân cận V của x„ thì điểm M—, thuốc đoạn AB (Xem H I9a]

Vi dus (-3;2), 1-10 ` 10”)

La hai lần cần của điểm x.=

F0: 102 sa» -~

| cant a | la lan ein cda x = |

(a.$)— goila | khoảng mở (lần can mi)

|œ.B[ — gọi là | khoảng đóng (mỏi đoạn!

(ơ:B|] hay [œ:8! là các nưa đoan

Khi x, = a, khoảng (x„:B) là một lân cận phải của x„ (Xem H.19b) Khi x,„ = 8, khoảng (œ;x„) là một lân cận trái của x„ (Xem H 19c)

Với là số dương cho trước V = (x, - £: X + £) là một lân cận tâm x,, ban

kính e Mọi điểm x thuộc V đều thủa mãn bất đẳng thức: |x - x;Ì< e V được

gọi là lân cận có tâm (Xem H.19d)

Khoảng (œ;+œ) là lân cận của điểm x„= +;

khoảng (-s;œ) là lân cận của điểm x, = -«

Ví dụ: (0;+) là một lân cận của +2

(~œ;~Š) là một lân cận của -z.,

Aas kho G2 NHÀ G4 5GE'S8246180121/42:406003016010518:44034090040030240Gã2KkãSk:ESLẢE

Frang 23

Hàm F là liên tục trên khoảng (a,B) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc

khoảng (œ.)

Ghi chu

Binh nghia trén cd thé phat biéu cho cdc lda edn cd tim Khi W 1a lin can tim y, =

f(x,,), ban kinh ¢ V 14 lin cin tim x,, ban kinh n thi dinh nghĩa trên trở thành:

Hàm số f liên tục tại x„ nếu, với mọi bán kính ¢ cua lan can W tam

Y„ = f(x„) cho trước, luôn tổn tại một lân cận V tâm x, bán kính rị sao cho

ảnh f(V) của nó chứa trong W,

Hay ta phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Hàm số f là liên tục tại x„ nếu với mọi số dương e cho trước, luôn tồn tại

một số dương rị sao cho:

|x - x„Ì <n = | (x) = yu | <E,

II Những tính chất của các hàm liên tục

Chúng ta chấp nhận các kết quả sau,

Tổng của các hàm liên tục tại x„ là một hàm liên tục tai X,

Tích của các hàm liên tục tai x, là một hàm liên tục tại x

Nếu các ham f, g liên tục tại x„ và nếu g(x„) # 0 thì hàm : là liên tục tai x,,

&

IV Sự liên tục của hàm hằng

Cho hàm hằng f như sau:

t: xeROy=Í(x)=aeR

Hàm f xác định tai moi x e R và Í(X„) = Y„ = 4

Done dein km mm, 5 4 ome be er ene vn Án (CÁ be ee ee eer be we CĐ de me oe ke we te oe me ote So doko te bo to fh * , *

Trang 24

#4 SỰ LIÊN TỤC

“ “ oc = «ef “se x *.e “se sẽ sẻ oe ‘ ` tứ tứ ’ í *

Cho trước một lần cận W =(ơ:J) của y„ = a Tá xét một lần cần V = (Au nao

do cua x, nh của V qua f: (CV) = fa} =W

Vì vậy, hàm hằng É: x —> a liên tục trên R

V Sư liên tục của hàm tuyến tính

Cho hàm tuyển tỉnh F:

[: xeR-+y=fx)=ux+bs<R

Hàm † xác dịnh tại mọi x e R và

|: Xx,€R>y,=Íl(x)=ax,+be R

Cho trước một lần cận W của y,

WE=(y,- œ; v„ + 8) với œ, B là hai số dương cho trước,

Nếu a >ÔÖ tà xét lần cận V eta x,

Néua <0, xétlan can V = x, +i - =

Ly luận tương tự như trường hợp a > Ô: ta có

ÿz GIỚI HAN

§5 GIGI HAN

L “x tién vé x, ”

Cho trước một lân cận tùy ý V của x„ nếu có thể lấy tất cả những điểm x

của lân cận này trừ x„ thì ta nói rằng x tiến về x„

Định nghĩa chỉ ra rằng có thể lấy tất cá các điểm x (trừ x„) trong mọi lần cận

củu x„ Nếu x,= 0 và moi lân cần V có dạng [0,a] thi x tién ve x, bởi những

giả trị dưỡng, hay “x tiến vẻ (ˆ”; tì định nghĩa tướng tự cho *x tiến về Ú—,

Il Giới hạn của môt hàm số

Cho ham t-

L: ‹ẽR-vy=l(xI=<R

Giả sử F xác định trên một lần vận U của x,.trừ điểm x

Ta noi f(x) có giới hạn À khi x tiến về x„ (hay f(x) tiến về À khi x tiến về xu), nếu cho trước một lân cận W nào đó của À, ton tại một lân cận V của x„

f(x) có giới hạn À khi x tiến về x„ nếu với mọi số dương e cho trước, tồn tại

số đương rị sao cho:

lx-x„|Ì <n= ÌWx)-3Í <e

IH Giới han và liên tục

So sánh định nghĩa của sự liên tục và giới hạn của hàm số, ta thấy hàm số f là liên tục tại x„ nếu f xác định tại x, và lim f(x) = f(x,„)

ts,

LV Tính chất của giới hạn

Ta chấp nhân các kết quả sau đầy

Nếu giới hạn của f(x) và g(x; khi x tiến về x,„ lẩn lượt là: lim f(x)=A và