Làm đầy không gian không gian sobolev

Làm đầy không gian - Không gian Soboleu ——=—— LOI GIGI THIEU Trong luận văn này , em trình bày về vấn để làm đẩy đủ một số không gian.. Tuy không phải tất cả mọi không gian định chuẩn đề

lrường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Khoa Toán

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

tử đGb

Giáo viên hướng dẫn : Thầy LÊ HOÀN HÓA Sinh viên thực hiện : LÊ THỊ LAN PHƯƠNG

| Trường Đai-H22-°-r ° hạn TP, HO-C cy riley NH

—.~-——*_ - Năm học 1999 - 2000

LUẬN VĂN TET NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

MỤC LỤC

Lời cảm dn :

Chương l: Làm đẩy không gian ~ Không gian lebesque L? & không gian Hiibert L* 4

1.1 Định lý làm đầy không gian định chuẩn :

[.2 Một số không gian thường gặp : TỔ

1.3 Không gian Lebeque L? (G), p > l

1.4 Khong gian Hilbert L* (G)

Chương [I : Không gian Sobolev

II.1 Kết qủa cần thiết :

II.2 Không gian Sobolev WÌ? (G)

[I.4 Không gian Sobolev H’ (G) va H’p (G) vi Gc R*

1.5, Không gian HỶ (G) và định lý nhúng tổng quat cia Sobolev

lá l4

16

28

Chuong II] : Một vài ví dụ trong không gian Sobolev :

[I.1 Kết qủa cần thiết :

HI.2 Bài toán về “ Điều kiện Dinichlet thuần nhất” trong R' :

III.3 Bài toán về “ Điều kiện Neumemn thuân nhất" trong RÌ

32

32

36

111.4 Bài toán về * Điều kiện Dinichlet thuần nhất” trong RẺ :

Tài liệu tham khảo :

38

42

LUAN VAN TỐT NGHIÊ? Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

——=——

LOI GIGI THIEU

Trong luận văn này , em trình bày về vấn để làm đẩy đủ một số không gian

Tuy không phải tất cả mọi không gian định chuẩn đều đẩy đủ , chẳng hạn không gian

các hàm liên tục mà chuẩn định bởi tách phân , nhưng người ta đã đưa vào một quan hệ

các lớp tương đương thích hợp để làm đây những không gian ấy

Nội dung của luận văn được chia làm ba phần :

- Trong phần 1 : Chúng ta sẽ đưa vào định lý làm đẩy không gian định chuẩn

để làm đẩy không gian các hàm liên tục , với chuẩn định bởi tích phân , thành không gian Lebesgue L? hay không gian Hilhert LÌ

- Trong phần 2 : Chúng ta sẽ xét không gian các hàm có đạo hàm cấp l liên tục

, chuẩn được định bởi tích phân Làm đẩy của không gian này là không gian Sobolev W'° trường hợp riêng là không gian Hilbert HỈ

- Trong phan 3 : Đây là phần mà các vấn để bài toán biên trị được nêu rất tổng

quát trong tài liệu tham khảo , nhưng luận văn chỉ để cập đến một vài bài toán biên trị thuần nhất về những hàm trong không gian Sobolev một chiểu hay ba chiểu

Qua qúa trình thực hiện luận văn , em được học thêm cách làm việc và nghiên

cứu một vấn để mới Đặc biệt , khi phát hiện được một vấn để mà trước đây mình

chưa biết , điểu đó cho em một động lực mới để tìm tòi , học hỏi Tuy nhiên , với kiến thức còn hạn hẹp , chắc bản luận văn còn nhiễu thiếu sót , và có thể còn đôi điểu em

chưa hiểu được một cách sâu sắc , kính mong sự tận tình chỉ bảo của thầy cô , cũng như

những ý kiến đóng góp của bạn bè để giúp em có thể theo học môn toán nói chung ,

và ngành giải tích nói riêng

Sinh viên thực hiện

CHƯƠNG! LAM BAY KHÔNG GIAN

KHÔNG GIAN LEBESQUE L” & KHONG GIAN HILBERT L?

1.1 Định lý làm day không gian định chuẩn

1.1.1 Đa tạp tuyến tỉnh

Cho E là không gian vectơ Tập E, ECE „ được gọi là đa tạp tuyến tính nếu: với mọi

x ye E, 2, là các vô hướng, ta có Âx + we E

I1.2 Dinh ly lam đẩy không gian định chuẩn

Moi khôae gian định chuẩn E có thể được xem như một đa tạp tuyến tính trò mật trong không gian Banach £

Két tất cả đây Cauchy {x„} trong E Ta nói hai đẫy (x„}, (x, } là tương đương nhau

nếu lim lka—=n|| = 0, ky higu IA {x,}~1x, }

Quan hé “~" 14 quan hệ tương đương trong tập hợp các dãy Cauchy trong E Với x =

|x,], đặt x = =Ẳ„)x- y} là lớp tương đương của x

Đặt E là tập hợp tất cả các lớp tương đương, Nếu {x.} thuộc lớp x, viết (c„Ìex ta

gọi [x,} là phần tử đại diện cho lớp x

“a

Bước 2: Xây dưng £ là không gian vectơ

a Trên © ta xay dung phép toan cong

Goi day Cauchy [x,}, [y,} lần lượt là phin tir dai diện của x,ye£ Khi đó

r+ ye Ela lớp sao cho day Cauchy {x, +y,}e x+y,

Định nghĩa x+ y độc lập với việc chọn đại diện các lớp x và y Thật vậy, nếu [x,}

|x„ | cùng thuộc lớp x, (y„|, |y„ | cùng thuộc lớp y, thì Ix, -x | —0,Ìy -y | — 0 khi

LUAN VAN TỐT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev

Suy ra: |, +ÿ,—(X,+V, |, <|x, - ||, + I ~y.| —>Ô,n->®

Do đó k ty, }- te + y, } hay t + yÌ cũng là đại diện cho lớp xe y

b Trén # xảy dựng phép nhàn lớp x với v6 hudng A

Gọi (x,} là đại điện của x Khí đó lớp 4 x là lớp nhận dãy Cauchy ( Äx„| làm đại

diện Tương tự, định nghĩa 4 x độc lập với việc chọn đại diện của lớp x

Với hai phép toán trên, E cũng là không gian vecto Phan tit khong trén Z là lớp Ø có

phần tử đại diện là dãy dừng {0}

Bước 3: Trang bị cho ¿ một chuẩn:

Cho day Cauchy [x„| trong E đại diện của lớp x e€E.Ta định nghĩa:

Giới hạn trên tốn tại vì ([x, là dãy Cauchy trong E, ta có

llx.|-||x„|| < [x„ - x„—>0,m.n =>, suy ra x | là dãy Cauchy trong ®, do dé day

{I< |} hội tụ theo tiều chuẩn Cauchy đối với dãy số

Ngoài ra „ giới hạn này độc lập với cách chọn đại diện của lớp x

Thật vậy, nếu {x,] |x, | cùng thuộc x thì Íx, -x,[—>0,n=>œ

Suy ra: lz.|-Ìx.|| <|x - x.|—>0.n—>=œ kết quả là: tim x, | = tim] x,|

Hon nữa, (I.1.1) thoả ba tiên để của chuẩn:

(Ì) Ix >0, VxeE Vì E là không gian định chuẩn nên |x„|>0,Yx, e £

id fey] =timf, +9, stim |, +p 9=timps,|, tiny), =f +

ức 4: ding minh £ là không gian đấy đủ

œ> E đóng nhất với mỏt đa tạp tuyến tính trong E

Dong nhat phan te xe E với lớp chứa dãy dừng {x}, tite la x, x, x, ., ky hiệu lớp d6 la x R6 rang lép 2x chita day dimg { Ax }, lép x+y chifa day dimg {x+y} Vay tap tất cả các lớp chứa những đây dừng là đa tạp tuyến tính trong E , do cách đồng nhất trên, đa tạp đó chính là E

B> E trù mắt trong ¿

a E, bao déng cita E, là tập con của Edo sự đóng nhất ở (œ)

b Nếu x là lớp trong E thì x cũng là phấn tử trong £ (hay nói cách khác:

với mọi x thuộc E , cho trước số & duong, ton tai day Cauchy {x,}trong

KE sao cho Ix, -x]<e) That vay, xét lép x e E, tén tai day Cauchy {x,}

trong E sao cho Íx,}e x Theo tiều chuẩn Cauchy ta có:

Vẽ > 0,3N :Vm,n > N:[x,=x„ <5 (1) trong đó (x,}, (x„) đếu thuộc lớp tương đương x

Theo (a), lop x„ có đại diện là dãy dừng (x„) trong E, ta có:

Kết luận: Đa tap tuyến tính E tri mat trong E

y> Elà khỏng gian Banach

Can chi ra rang: Moi day Cauchy x" } trong E ta có:

(i) im oid =0

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

Neen —=—=-—_ _—

(ii) x là lớp tương đương trong E (hay chỉ ra tồn tại một dãy

Cauchy {x„) trong E là đại diện của x)

That vay, do x" la day Cauchy trong Enén lượng |: - “| tiến vé 0 khi m,

x„—X„Ì; = lim |x, =x„|, =Ïx, = x„|„, suy ra (x,) cũng là dãy Cauchy trong E Theo

Vay E la khong gian Banach

I1.3 Làm đấy không gian được trang bị bởi một tích vô hưởng

Xét không gian E được trang bị tích vô hướng (x,y) Làm đầy E như việc làm đầy

cho một không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng: |x||= \Œx,x) (1.1,2)

ta nhân được không gian Banach £ chứa các lớp tương đương x của những dãy Cauchy {x,} trong E

E được trang bị tích vô hướng sau: giả sử x, y e £ lần lượt có các đại diện {x,},

(y,| là những dãy Cauchy trong E, khi dé: (x, y) = lim(x,,¥,) (L13)

và chuẩn tương ứng: I = tim||x, =lim(x,,x,) = (x, x) (1.1,4)

K ˆ "n—

Làm đấy của không gian được trang bị tích vô hướng là không gian Hilbert

I.4.4 Phép đẳng cấu - Đẳng cự - Nhúng các không gian định chuẩn và các không gian

Banach

i hia 1: Hai không gian định chuẩn X, X đẳng cấu nhau nếu tồn tại một song

ánh J_ X —>» X tuyến tính sao cho: với mọi x trong X, tồn tại hằng số

a, Ø dương thoả a|x| < |J(x)| < ؆x|

Nếu |J(x)||= |x{ ta nói Xvà X đẳng cự với nhau

Định nghĩa 2: Không gian định chuẩn X được nhúng trong khóng gian định chuẩn

X nếu tổn tại ánh xạ tuyển tỉnh J: X + X sao cho: với mọi x thuộc

X tổn tại số dương thoả: |J(x)< Ø|r|

Nếu ||J(x)|| =|[|x| ta nói X và x đẳng cự với nhau

e Phép đẳng cấu là phép nhúng hai không gian định chuẩn, trong đó có một hoặc

cả hai là không gian Banach

1.2 Một số không gian thường gặp

1.2.4 Khéng gian C(G)

Xét G là một tập mở bị chặn, liên thông, Ở là bao đóng của G trong không gian

9” Không gian định chuẩn C(Ở) chứa tất cả các hàm u liên tục trên G , với chuẩn :

là không gian Banach

12.2 Khénggian C'(G),k 21

Dinh nghia:

C'(G)là không gian định chuẩn chứa tất cả các hàm u có đạo hàm cấp k liên tục

trên Œ, với chuẩn: eels > 3, max D*u(x) => “| 3 (I.2,2)

Trong đó X =(X,, X„) e R”

œ =(0,, Œ_), œ, >0, Ws = làm

lằdl =œ,+ œ; + + Œ„

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

—— D"“=

Và ký hiệu: Ð, = , D*“=0hÐD:.D"

C+(G) là không gian Banach

1.3 Không gian Lebesque L(G), p > 1

13.1 Không gian L' [a,b]

Không gian Ƒ[a,ö] là không gian định chuẩn chứa các hàm x liên tục trên [a,b], với chuẩn:

Không gian Banach £! (z,bJ là làm đấy của /{a,b]

Áp dụng định lý làm đẩy không gian, L' [a,b] gồm các lớp tương đương x có đại

diện là dãy Cauchy |x_] trong [a6]

Dãy các hàm liên tục trên (a,b} là dãy Cauchy trong /'[a,ở] nếu: Với mọi e >0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n>N, với mọi số tự nhiên p ta có:

sion = L Ree) -* (lat <0

Hai day ham lién tuc trén [a,b]: {x,} va {x,"} gọi là tương đương trung bình hay thudc cùng một lớp x của L'fab] nếu và chỉ nếu có:

ir, - x; tes) = x, - x(o|de + 0 khi n~>®

Núi cụ thể về hơn về các lớp trong L!a,b]:

Goi x là hàm liên tục trên [a,b] Đồng nhất lớp có dãy dừng {x} làm đại diện

với hàm x, lớp này cũng chứa các hàm x* không hiển tục, chẳng hạn chúng chỉ khác

x tại một số hữu hạn điểm (hai dãy dừng (x}, (x*} thuộc cùng một lớp tương đương

vì |x— x*{—› 0)

Khi dãy Cauchy (x„) có giới han là một hàm x gián đoạn, ta có thể xem hàm

này là một lớp x của L{a,bhJ

Từ những cơ sở trên cho phép ta xây dựng không gian Banach £!/a,bj, chuẩn

được định nghĩa theo tích phân Lebesgue, mọi phần tử của L'(a,bjđược đồng nhất với

một hàm liên tục, hay một hàm gián đoạn tại một số hữu hạn điểm

Ta sẽ chứng tỏ rắng [x„} là dãy Cauchy trong /*[—1,+l] hội tụ theo chuẩn trong £?

về một hàm x Nhưng x không liên tục trên (-1,1}, tức là x không thuộc Z{[—1 +1] Do đó

L?[-1,+1] khong day đủ

Thật vậy, do định nghĩa hàm x„ ta có |x„()|<1 với mọi n

Suy ra |x„ „(£)~ x,(0| s\r,.,

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev

Vậy, cho trước số £ dương tuỳ ý, tổn tại `: với mọi số tự nhiên

- Phan) Z J

Suy ra Ìx , Fall ety

Mat khác, tại mỗi diém te[-1,1], x,(0) tién vé x(0) khi 2 9 & voi:

a> Làm đầy không gian định chuẩn U (G) ta được khOng gian Banach L’(G) Theo dinh

lý làm đẩy không gian, /”(G) gồm các lớp tương duong u 6 dai dién Id day Cauchy

(u,) trong L(G)

Dãy các hàm liên tục trên Ở là day Cauchy trung bình lũy thừa p nếu:

lu, —z„|ˆ _ = Í|u„(x)—u„(x)|Ï de > 0, khi n,m —>œ,

wm) ý

Hai day { u,} và {u,*] tương đương nhau theo chuẩn trong /”(G) ký hiệu

(u.)~[u,*} hay thuộc cùng lớp w của /7(G) nếu:

lu, —u

Néu [u,} 1a dai diện của lớp M thì ta định nghĩa chuẩn trong /”(Ớ) như sau:

hs = limp, = lim (fu, (x}” de)? (1.3,7)

vie) re = 3

ae = flex) a u?(x)|"de —>0, khi n —>®© (13.6)

a

ta có thẻ viết:

Ẳ ` Vv

cic) G

Tất cả các hàm liên tục trên Ở và những hàm gián đoạn nào đó tại một số hữu han

điểm trên Œ có thể đồng nhất với những lớp nào đố của /”(G)

Tích phân trong (I.3,7) là tích phân Riemann m-lớp Tích phân trong (1.2,7") 14 tích phản Lebeseue m-lớp

b> L*(G) la khong gian khả ly

That vay, theo dinh ly Weierstrass, tap hợp các đa thức là tập không quá đếm được trù mat trong C(G ), hay với mọi hàm u liên tục trên Œ , có dãy đa thức |P,] hệ số hữu tỷ sao cho ||P, ~ ull 5, ~— 0,120

Mà |P, — n|” - = [|P„(x)~w(x]” & < ||, tỆ^ 2, đx —> 0,n —>© nên tập các đa thức

trù mật trong L(G)

Mat khde, theo dinh ly lm ddy khong gian, L’(G) tra mat trong L’(G) Do dé, tap cdc

đa thức hệ số hữu tỷ không quá đếm được trù mật trong /”(Œ) Vậy L7(Œ) là khả ly

I4 Không gian Hilbert L’(G)

Không gian vectơ /2(Ø) trang bị một tích vô hướng Theo phần 1.1.3, làm đầy không „

gian trên là không gian Hilbert /2/G), tích vô hướng trên L2(G) được định nghĩa bởi:

(9) 2¿ø; = lim(w,,v,), = lim, J u, (x)v, (xa (1.4,1)

Trong đó các day Cauchy (u,}, {v„] trong L(G) là các đại diện tương ứng của các

Đặc biệt lấy v(x)=l là lớp có đại điện (1) là dãy dừng, ta sẽ nhận:

[uœ)& = lim J u,(x)de voi xeG,ue L(G) (14.3)

LUAN VAN TỐT NGHIỆP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

xm= =smmmmm—————————————————-

Tích phan Lebesque của lớp u trong E?/G) là giới hạn của tích phân Riemann của các

CHƯƠNG II KHÔNG GIAN SOBOLEV

lI.1 Kết quả cẩn thiết

[I1 Hamcógiá bị chân:

Ta nói hàm x xác định trên [a, b] có giá bị chặn nếu tốn tại đoạn [a`, b'], a < ä',b< b`, sao cho x(L) = Ø ở ngoài (a', b’}

Hàm có giá bị chặn trên ]-, +œ[ nếu nó bằng 0 ở ngoài một khoảng bị chặn

II.1.2 Bất đảng thức Hỏlder:

Cho f, g lăn lượt là các phần tử trong không gian L”, L*, với l < p <+#, với Ì < q <+%

thỏa -_+-_=1, Khi đó: P 4q

1.1.3 Bat dang thc Minkowski:

Cho , g thuộc L, l< p<+œ Khi đó:

Không gian vectơ G) chứa các hàm u, u: G + cd dao hàm cấp £ liên tục trén G

(đạo hàm théo nghĩa thông thường) là lông gian định chuẩn, với chuẩn là:

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev

11.2.2 Khong gian Sobolev #'”(G}

* Xét đãy Cauchy {wv} cdc ham có đạo hàm cấp £ liên tục trong không gian định chuẩn

* Làm đầy không gian W (G) thanh khong gian W'*(G) goi 1d khong gian Sobolev

w'*(G) gém céc Iép tuong đương u có phần tử đại điện là dãy Cauchy {u, }trong

tee:

W (G), ki hiệu {u,Jew, u 1a gidi hạn các dãy hàm {u, }c6 dao him(theo nghia thong thường) cấp ý liên tục trên, đạo hàm của u trong ƒ'?ÍGÌ là đạo hàm phân bố

Vậy các hàm có đạo hàm cấp / liên tục #„ (theo nghĩa thông thường) cố thể được đồng

nhất với một hàm u có đạo hàm phân bố cấp £ (trong không gian Sobolev), và chúng

thuộc một lớp tương đương u, khi đó ||w„ — | ø'”(g) —> 0,n > œ

Mặt khác: nếu limÏØ“u„ ~ wÌ|‹z = 0 thì w là đạo hàm riêng phân bố cấp ø của u

© Trường hợp /=1, ta định nghĩa W"”ÍG} là tập hợp các hầm u trong L?(G) có đạo

hàm u' trong L(G) như sau:

W'*(G)= ụ € L*(G), 3ø e L*(G) sao cho Í'= ~Íww,Vve c6) (1.22)

G G

Kí hiệu: u” = w là đạo hàm phán bố của u trong Jjÿ'”(G)

15

¢ Trường hợp p = 2, kí hidu W'*(G)=A'(G) 1a khong gian Hillbert, lam d4y cia

s03 5 không gian W (GÌ với chuẩn tương ứng xuất phát từ tích vô hướng:

(u,v)= `3 [Ð*u(x) D"v(x)& (11.2;3)

isje|s! 2

II.3 Không gian Hillbert 0! '[a.»]

I34 Khônggian Z'Ía, b]

Không gian H ‘fa, b] chứa tất cả các hàm u(x) khả vi liên tục trên [a,b], trang bị tích vô

11.3.2 Khong gian H' [a,5]

a> Làm đảy không gian định chuẩn H : [a,b] được trang bị tích vô hướng cho ta không

gian Hi(tbert H' [a,b]

Dãy các hàm Ấz„ }có đạo hàm liên tục trên [a,b] la day Cauchy trong #7'[a,b] nếu:

lu, =ư„[ = fhes =) —us (2) dk => 0, m,n —> 2°

Hai dãy Cauchy {u, }, t;} trong H'|a, 6] gọi là tương đương nhau, kí hiệu fu} ~ t;}

hay thuộc cùng một lớp u, nếu: b -M_ |; ~> 0, ~» œ

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Sobolev

Không gian Lr|a,b| là đẩy đủ nên tồn tại u, w trong LÌ[a,b] sao cho các dãy

Cauchy §u, Ì, us} tiến về u, w đặt w = u" là đạo hàm phản bố của u trong không gian

Sobolev H' a,b]

Ta có thể định nghĩa: /'Ía ð]gổm những lớp u trong L7{a,b] sao cho u 6 dao

hàm phản bố u` trong L[a,b]

b> Dao ham phân bố trong không gian H' [a,»]

Gọi u là lớp tương đương trong /J '&.»] đạo hàm phân bố u” không định nghĩa tại

những điểm cô lập mà xét trên toàn bộ tập [a.2] được định nghĩa đưới dau tích phân Lehesque

That vậy, giả sit {v,}, {v,} là các dãy Cauchy các hàm khả vi liên tục trên [a,b]

Chúng là đại diện cho các lớp u, v của #'Ía,b]

Ta có:

(u,.¥, }s = fu, Cy, (ede + fu; (x)w, (x)dx

leelje = € [m‡()&+ [t¿)}& }? ;

Chuyển qua giới hạn của các tích phân Riemann trên, ta được tích phân Lebesgue, va dao

hàm dưới tích phân Lebesgue IA dao him phan bé trong H'[a,6]:

(u,v)„ = [u()w(x)& + Ju’ (xv (ade

lel = l + fu coe)

“ “đ

e_ Ta có thể định nghĩa /7'Ía,ö]dưới dang:

H' [a,b] = {u é LÍ[a,b] 3w e L2[a,ð] sao cho

fu(z)v (x) = -[xœw(),vv £ Ci (H.3, 3)

w =u' li dao ham phan bố của u

Định nghĩa trên chấp nhận được Thật vậy, biết cha.» gốm tất cả các hàm v, có

giá bị chân liên tục trên (a,bị Xét dãy Cauchy {v,}kha vi lién tục đại diện cho lớp

17

we H' [a,b], day Cauchy {w,}céc ham liên tục đại diện cho lớpw € / 2Ía,b], với mọi

thi [ue (xv (yee + ƒ* (xw(x)& = fle cx) - w-(x)| v(x) dx 0, Vve cùk«.»]

Giả sử fw -u | thuộc lớp z = w- u" trong L,[a,b], chuyển qua giới hạn ta có

b

[z(xw(x& =0,Vve Cha, 5]

Suy ra z w—1s 0hay w = u`, đây là chính là đạo hàm phân bố của u

e Tinh chat cla dao ham phản bố:

Nếu u,, u„ là các lớp tuong duong trong H' [a,b], 2,,4, 1a cdc sé thuc thi:

Cần chỉ ra rằng tổn tại số k dương sao cho lel „IŠ 2 2] (I.3,5)

That vậy, xét hàm khả vi u liên tục trên [a, b], theo định lý giá trị trung bình: tồn tại

LUAN VAN TOT NGHIEP Làm đầy không gian - Không gian Soboleu

Ap dụng bất đắng thức Cauchy-Bouniakovski cho (I1.3;7):

u(x) s flu'(sas + —— Jus)

Suy ra |i] 4) = Menl(x) < k|i (11.3; 8)

Nếu {w,} 1a diy Cauchy trong H' [a,6] thì cũng là diy Cauchy trong Cfa,b} do (I1.3;8):

lw, — Walesa} < k\u, - Wallis fos) —> ©, m,n —>

Mat khdc, C[a,b] Jd khong gian Banach nén u„ hội tụ về u, ø e CÍa,ð] và nó là hội tụ đều

Sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên (a,b} dẫn đến sự hội trung bình, tức là:

Trong #'Ía,ð], xét lớp u có đại diện là É,} dãy Cauchy các hàm có đạo hàm

liên tục trên [a,b], u' là đạo hàm phân bố của u

Khi đó tồn tại £ = a@sao cho: w„(x)= fu; (s)ds +u, (a)

19

Lay giới hạn hai vẽ khi —> œ:

x

lim @ (x)= lim fur (s)ds+ fim wu (a)

Suy ra u(x) = fu (s)ds + u(a) @

lI.4 Không gian Sobolev HÌ(G) và HÌ (G) với G=%Ẻ

Nếu u có phần tử đại diện là diy Cauchy {u,} trong py! (G),va néu {u,} cing nhu céc

đạo hàm riêng thông thường của ˆ là | 2 LÊ: Lệ | là dây Cauchy trong Lˆ(G)