Giải bài toán bao hình bằng phương pháp hình học vi phân và phương pháp hình học phản xạ ảnh

HCM KHOA TOAN-TIN HOC L4 KHểA LUẬN TỐT NGHIỆP Dộ tai: GIAI BAI TOAN BAO HiNH BANG PHƯƠNG PHÁP HèNH HỌC VI PHÂN & PHUONG PHAP HiNH HOC XA ANH Chuyờn ngành: HèNH HỌC Giỏo viờn hướng dẫn: T

BO GIAO DUC & BAO TAO TRUONG PAI HOC SU PHAM TP HCM

KHOA TOAN-TIN HOC

Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYÊN THÁI SƠN

Sinh viên thực hiện : PHAN THI HOA

Loi nót đâu

Trong việc giảng dạy toán ở trường phổ thông trung học ,

khảo sát hàm số có những vấn để liên quan đến việc tìm bao

hình của một họ đường cong hoặc một họ đường thẳng Do đó, tìm hiểu và nghiên cứu Lý Thuyết Bao Hình là rất quan trọng và rất cần thiết

Đối với bài toán bao hình hiện nay có rất nhiều cách tiếp cận Trong khi hệ thống hoá những tiếp cận nói trên bằng nhiều phương pháp thì phương pháp Hình Học Vị Phân & phương

định trên chúng tôi chọn đề tài “ Giải bài toán bao hình bằng

phương pháp Hình Học Vì Phân & phương pháp Hình Học Xạ

Ảnh ”

Thông qua việc nghiên cứu bài toán bao hình - cụ thể là bao hình của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng ,

chúng tôi cũng đầu tư tìm hiểu bài toán quỹ tích và một số tính

chất của đường bậc hai

Khóa luận gồm 3 chương :

Trong chương Ï, trước khi đi vào nêu phương pháp cụ thể và các bài toán áp dụng việc giải bài toán bao hình của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng bằng phương pháp Hình Học VÌ Phân, chúng tôi trình bày đây đủ Lý Thuyết Bao Hình của họ đường một tham số trong mặt phẳng gồm định nghĩa

, điều kiện cẩn và điều kiện đủ

Ở chương II, bằng cách hệ thống một số kết quả ( định nghĩa , định lý, hệ quả ) đã được học trong chương trình

hình học cao cấp , chúng tôi đã có được phương pháp va áp

dụng giải một số bài toán bao hình của họ đường thẳng và bài toán đối ngẫu của nó - bài toán tìm quỹ tích

Mối quan hệ giữa hai phương pháp giải bài toán bao

hình được nêu ở hai chương trước được trình bay cu thé trong

chuong Ill bằng những bài toán bao hình sơ cấp giải bằng phương pháp hình hoc xa ảnh

Do hạn chế về thời gian và kiến thức , vả lại đây là lần đầu tiên thực hiện việc nghiên cứu khoa học nên chắc chắn khóa luận còn nhiều sai sót và hạn chế Em rất mong nhận Ý kiến đóng góp của Quý Thầy Cô

Em xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thái Son đã giảng dạy em trong những năm học qua tạo nên kiến thức quý báu và đã tận tình hướng dẫn cho em hoàn thành khóa luận này

Em cũng chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô và Ban Chủ Nhiệm Khoa đã giảng dạy em trong quá trình học tập bốn năm qua và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này

TP HỖ CHÍ MINH , tháng 5 năm 2001

Phan Thị Hoa

MUCLUC

Lời nó: đầu

CHUUGNG LPHUONG PHAP HINH HOC VI PHAN GIAI

BÀI TOÁN BAO HÌNH

§1.Bao hình của họ đường một tham số

trong mặt phẳng

§2 Bao hình của họ đường thẳng một tham

số trong mặt phẳng

_CHƯƠNG II;GIẢI BÀI TOÁN BAO HÌNH VÀ BÀI TOÁN

QUY TICH BANG PHƯƠNG PHAP HINH HOC XA ANH

§1.Môt số kiến thức chuẩn bị

§2,Giải bài toán bao hình bằng phương

pháp hình học xa ảnh

§3.Giải bài toán quỹ tích bằng phương

pháp hình học xạ ảnh

CHƯƠNG III:GIÁ! BÀ! TOÁN BAO HÌNH SO CAP BANG

MO HINH XA ANH CUA MAT PHANG EUCLIDE

Chương I: Phương pháp hình học vi phân

CHƯƠNG I

PHUGNG PHAP HINH HOC VI PHAN

GIAI BAI TOAN BAO HINH

Si BAO HINH CUA MOT HO DUONG MOT THAM SO

TRONG MAT PHANG

Ta gọi đường cong #® của mặt phẳng thỏa:

._ Mọi đường C, đều tiếp xúc với ® (tại một hay nhiều điểm)

._ Mọi điểm của #® đều là tiếp điểm của nó với một đường €,

là hình bao của họ đường cong (C,) : s¡

Điểm tiếp xúc của mỗi đường C, với bao hình #Ö gọi là đặc điểm

của C, Nếu M là một đặc điểm của C, thì khi t biến thiên, M vạch nên bao hình (hoặc một nhánh bao hình nếu C, có nhiều đặc điểm) Nói

cách khác, bao hình là quỹ tích các đặc điểm của C

2 - Điều kiện cần cho bao hình - Đặc hình:

Ta cơ, điều kiện giải tích để bao hình ® tổn tại được phát biểu

Chương l: Phương phỏp hỡnh học vị phõn

“V4 #4 rạn PP 4 d0 40 40 4 d4 e4/ẽea4,4œ “.*/Ằ ,,'>ỷ.zZpv.>ễ.”ỷ.ư._w,/ỷ.ư '/ỷL ĩJưỷưĩ ư ư ưỷ ưỷ * ư >ướ BLEDEL LLL LL LLL LLL LE LLC ELL ELLE ELLER RH

Chứ inh:

Giả sử, M là một điểm thuộc bao hỡnh đệ tức M nằm trờn mội

nhỏnh #đẽ nào đú của bao hỡnh Zệ

Giả sử, nhỏnh đ/ là quỹ tớch của một đặc điểm M(U trờn C Suy ra, toa

độ điểm M là cỏc hàm số đơn trị và liờn tục khả vi đối với biến t:

X = x(t)

Đõy cũng chớnh là phương trỡnh tham số của nhỏnh # ' C đ

Do đ ` tiếp xỳc với €, tại M(Đ nờn: x'(U, y'(U phải thỏa:

Tit (1.2.3) va (1.2.5) suy ra, diộu phải chứng minh

1.2.2 - Quỹ tớch cỏc điểm kỳ di:

Suy ra, f, = 0 tai M(x(t), y(t) (1.2.8)

POP BABDAOOE COO OOOCL BLEDEL LLLELE EEL AE LLL â

TRANG 4

“ 6 6, 6 c pc r LOLOL LILLE OE

Chương |: Phuong phap hinh hoc vi phan

a ttl POOPED E BEE ABAEBDLLLEBDLLELBELDE ELLE LE LEO LL ELL EEL LL LLL LAL LLAMA Aw

Từ (1.2.6) và (1.2.8) suy ra, quỹ tích điểm kỳ dị cũng thuộc đặc hình 1.2.3 - Đường dừng của họ (CU ‹«¡:

Định nghĩa: (C,„) là một đường dừng của họ {C,] nếu:

[(x,y,L) = 0 thỏa V x,y Với định nghĩa như trên, rõ ràng đường dừng C,, la thuộc đặc

hình của họ (C,), <1

Kếtluận: Đặc hình của họ đường (C,) ¿; ¡ bao gồm: bao hình, quỹ

tích các điểm kỳ dị và đường dừng của họ

Sau đây, ta nêu ra vài ví dụ áp dụng

Dễ dàng kiểm tra cả hai đường trên đều thỏa định nghĩa bao

hình Do đó, bao hình của họ vòng tròn trên là toàn bộ đặc hình

Ví du2: Tìm bao hình của họ (C,) ; ¿ ạ có phương trình:

Chương I: Phương pháp hình học vị phân

¬.—— — —._— ._.ˆ.“ PDP LAE PPB EF BEBO đe 6x rc 6p p6 6 6e ae 6a 6 6 «cm ®£ «

x#t=0y+t=0

=> X+t=—,Y+l=— 4

Khử tham số t, ta được đặc hình của họ đường (C,), - ạ gồm 2

đường thẳng song song có phương trình: y = x và y = x - 5

Đạo ham x,y theo t ta có: { 24 (1)

Đặt f(x,y,) = (y+UŸ - (x+U`

Ta có: f(x(U, y(U) = -3(x(Ù + U° = > (2)

fy(x(t), y(t) = 2(y() + 0 = = (3)

Tif (1), (2) va (3) ta c6 tai (x(t), y(t): fx + fy = 0 Hay f,x +fyy =0,V (xy) ed,

Vay d, thude bao hình của họ (C,) ¡ ¿ g

* Ta có quỹ tích điểm kỳ dị của họ (C,) ,; ạ được xác định bởi hệ:

=> Quỹ tích điểm kỳ đị của họ (C,), ; ạ chính là đường thẳng d;: y = x

._ Xét tiếp tuyến ở điểm kỳ dị của họ (C,)

Ta có: fx = -6(x+0)

Chương 1: Phương pháp hình học vi phan SE PPE EOE ELLE ELE? FP BBP EF BBB OEE OEE OL LLL ELL LLC LAL LL LLL LALA ALLL 6 6 6

inat

[yy =2 Suy ra, tai diém ky di (-t, -t) ta cd: f,, = 0, hy = 0, fy = 2 Suy ra, tại điểm kỳ dị tiếp tuyến của €, là trục Ox

Vậy đường thẳng d› không thuộc bao hình

Trong bài toán này, đặc hình của họ (C,), gồm hai phần: bao hình là đường thẳng y = 2 và quỹ tích điểm kỳ dị: y = x không thuộc

Vậy, quỹ tích điểm kỳ dị cũng chính là đặc hình,

Tiếp tuyến tại điểm kỳ đị (-t,0) chính là trục Ox: y =0 Vậy quỹ tích điểm kỳ dị thuộc bao hình

Trong trường hợp này đặc hình, bao hình và quỹ tích điểm kỳ dị

là một,

BBL LLL LLL LLL LE EL EL LE LL LOL LLL OLE LL LEE LE LLL LE

TRANG 7

Chương I: Phuong pháp hình học vị phần

.c ~rư A AEF AAO SAAD HALO 2 + CPP APE AAO ELA ALARMS «

Nhân xét: Từ các ví dụ trên ta thấy quỹ tích điểm kỳ dị có thể thuộc

hoặc không thuộc bao hình Cũng như vậy, đường dừng có thể thuộc hoặc không thuộc bao hình

Vậy, các điểm thuộc đặc hình không phải luôn thuộc bao hình Hai định lý nêu sau đây cho ta điểu kiện đủ cho bao hình

A(x, y)

thi diém (x,, y,) thudc bao hinh

Với điểu kiện (1.3.2) ta có, trong lân cận x,„, y„, t, hệ phương trình (1.3.1) xác định một cách duy nhất: x = x(U),y=y() — (1.3.3)

sao cho X(t,) = X„ y(t,) =y„ Các hàm số x(UÙ, y(U khả vi, liên tục và

(1.3.3) là phương trình của một nhánh đặc hình qua điểm (x y,)

Cac dao ham theo L của x(Ù, y(U tại điểm t„ cho bởi hệ phương

Chudng |: Phuong phap hinh hoc vi phan

_ernre “ ưưưn n th Lư n ng -cư nnnm" kL ơn nức

* Néu f° =0 thì hệ (1.3.4) cho x, =y, =0 Suy ra, đường (1.3.3) có điểm lùi tại L

Đạo hàm theo t hai lần các phương trinh (1.3.1) tai x., y, & fox, + fey, =0

aka + fo + fy = 0

Nếu f #0 từ (1.3.5) suy ra x„.y„ không đồng thời bằng 0

và phương trình đầu của (1.3.5) chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm lùi của (1.3.3) cũng chính là tiếp tuyến của đường €,

Nếu Í° =0, ta tiếp tục quá trình trên và chứng minh được sự tiếp xúc giữa đường (1.3.3) với Cụ

1.3.2 - Định lý 2: Nếu (x,„, y„„ tạ) là một nghiệm của hệ (I.3.1) sao cho

(x„ ye) là điểm thường trên C,„ và f# #0 thì (x„ y„) là một điểm của

Thay (x,y) vào trong phương trình đầu của (1.3.1) ta được phương

trình của đặc hình trong lần cận (x y, t„) là:

g(x,Y) = Í(x,y, t(x,y)) = 0 (1.3.7)

Các đạo hàm riêng của g(x,y) là:

¬—_—_—_ ^ “= “<< <<: <5“ ¬—=¬=—====ễ=¬==—============—=———==—=———-._ eal

TRANG 9

Chung [: Phudng phap hinh hoe vi phan

ho tại điểm (x yo)

Ta biết rằng bài toán tìm bao hình là một bài toán khó, đòi hỏi phải có nhiều công cụ mạnh để giải Trong §1, chúng ta đã xây dựng được các điều kiện cần và điều kiện đủ để tìm bao hình

Sau đây, chúng ta vận dụng các kết quả trên để giải một số bài toán tìm bao hình thường gặp Cụ thể, chúng ta sẽ đi khảo sát kỉ hơn

về bao hình của họ đường thẳng một tham số trong mặt phẳng

“ BOOP PEE BELLE ELLE ODE wre - - la PPB EPA BEE EEO OPE OBO P LER

TRANG 10

Chương |: Phudng pháp hình học vi phân

§2 BAO HÌNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG THANG TRONG MAT PHANG

Từ kết quả khảo sát tổng quát về bao hình của họ đường trong mặt phẳng Chúng ta có thể tóm tắt vấn để bao hình của họ đường

thẳng trong mặt phẳng bằng một định nghĩa và một định lý sau:

2.1 - Định nghĩa:

Cho (D,) ,¿¡ là một họ đường thẳng của mặt phẳng có phương

trình: (D) :a(Qx + b(Dy + c(t) = 0 Trong do,

Ta goi dudng cong I cia mat phẳng thỏa:

._ Mọi đường thang D, đều tiếp xúc với F Tạo mỗi điểm của F có một tiếp tuyến và tiếp tuyến này là một đường thẳng thuộc họ (D,),:¡

là hình bao của họ đường thẳng (D)‹e¡

2.2 - Định lý:

Cho (D,) ;«¡ là một họ đường thẳng của mặt phẳng có phương

trinh (D,): a(x + b(t)y + c(t) = 0 (2.1) trong dd, a,b,c: 1 => R thuộc lớp

CỶ và Vtel: MÔ ĐỀU

Chương I: Phương pháp hình học vị phân

SBME EMBL LOPE BEBE EE ODP BEB BOE AOD E EOP PEO BOOB BEBE EE EBLE 6 6 9g 6 €6 90 90 6 6 6 0 6e 46 e4, e6 6 e6

Mặt khác, hệ phương trình (2.2) xác định đặc hình cũng chính là

điều kiện để (2.1) có nghiệm kép theo L

Vậy trong một số trường hợp đặc biệt nếu phương trình của họ đường thẳng có dạng là ; một phương trình bậc hai theo tham số t

A(x.y)U + B(x,y)L+ C(x,y) = 0 hoặc phương trình bậc ba dạng

L`+ P(x,y)L+ Q(x,y) = 0 hoặc phương trình lượng giác cổ điển

D(x.y)cost + E(x,y)sint + F(x,y) = 0 thì phương trình bao hình tương

ứng là B*(x.y) - 4A(x,y)C(x,y) = Ú;

4P'\(x.y) + 27Q°(x.y) = ();

D*(x,y) + EŸ(x.y) = F(x,y)

Bây giờ, ta áp dụng các kết quả đã khảo sát được vận dụng cụ thể vào một số bài toán tìm bao hình sau:

2.2.1 - Xác định hình bao của họ đường thẳng (D,), : ạ có phương trình Descartes: xch”L + ysh”t - ch”2t = 0

Chuiing |: Phương pháp hình học vị phân

6 BEEP EP AOLD ODT PFPA OPPO BPOELLE LEO PAEBPAOLOEE ET Ow ©

2.2.2 - Cho Hypebol có phương trinh (H): x - y = 1 Hai diém A, B thuộc (H) sao cho hoành độ điểm B gấn đôi hoành độ của điểm A Xác định

bao hình của đường thẳng AB

y= 1

Khử tham số t ta được phương trình của bao hình: xy = :

Nhân xét: - Kiểm tra lại, ta thấy rõ ràng phương trình bao hình chính

là điều kiện để phương trình xác định đường thẳng AB là D(U có

nghiệm kép theo t,

- Với mỗi t e R ta có, tiếp tuyến của hypcbol bao hình: xy = 9/8 tại điểm § ` là đường D, thuộc họ đường thẳng AB

2.2.3 - Cho hệ trục tọa độ Descartes vuông góc, hai điểm A thuộc trên

xx', B thuộc trên yy' sao cho: AB = a > 0 (a cố định) Xác định hình bao của đường thắng AB,

COS OOOO EEO POPE IO OOP DOT rer - er PPS EF EEF OOO OPE BELO D ELAR

TRANG 13

Chương I: Phương pháp hình học vị phân

ma —- Š` ˆÁ.cá 7Â) 1771) ,1} 111777, 7.11 1111111 1.111111Ầ 1À) 1Ì `Ì'Ì ` ' 0 Ả

Chứng minh:

._ Chọn t làm tham số, ta có: tọa độ các

điểm A,B là :

A(acost, 0), B(O, sint), t € R

Suy ra, phương trình họ đường thẳng

iu =acostsint

Giải hệ nhương trình trên ta được:

2.2.4 - Tim bao hình của họ đường thẳng D, cắt hai trục của một hệ

trục tọa độ trực chuẩn tại A và B sao cho: OA + OB = a(a là một hằng số)

Chứng minh:

Gia sit, OA =t, OB =a — L Ta có phương trình đường thẳng D là:

Py Fe

t a=t

> +(y—x~— a)L+ ax=Ú (*)

Phương trình (*) có dạng một phương trình bậc hai thco t Do đó,

phương trình xác định bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cần và

đủ để phương trình bậc hai (*) có nghiệm kép Đó là: (y — x - a)” - 4ax = Ú

Phương trình này được viết lại là: x? + y’ — 2ax - 2ay — 2xy + a’ = () Kiểm

© © CPP POBPELOL ELLE LDLLLLL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LE LLL LL LLL ELL LLL LLL LE

TRANG 14

Chương l: Phương pháp hình học vì phần

—_— “_ — — ^ ` -= iil PPPOE AAAOAAAAL ALA e6 0, 90 0 46 0, «#0 40 #0 EEA <‹

tra được, phương trình bao hình là biểu diễn của một parahol có các yếu tố

2.2.5- Cho điểm A cố định có tọa độ A(a,b) Hai diém P, Q lần lượt

thay đổi trên trục tung và trục hoành sao cho AP vuông góc với AQ Xác

định hình bao của đường thẳng PQ

Giả sử tọa độ của P và Q là: P((,0) Q(O, 0)

Suy ra AP= (t—a,—b)

x X phương trình bậc hai theo L

Do đó, ta có phương trình bao của họ

đường thẳng PQ chính là phương trình điều kiện để (*) có nghiệp kép:

(yb - ax— a’ bỶ - 4a(a? + b*)x =(0)

SOCOM ORO REP AEP DBD LDL LALO OPP e PFPODOBLOBPLEL LL LECLELBLECBLLALA LM

TRANG 15

Chương |: Phuong phap hinh hoc vi phan

PPS SOOO PE ABE POPOL SD? PPP OPP BBB BP BBP BB BB BP BLL LLL ee64#eP #e «6

o> ax +b’y’— 2abxy — 2a(a* + b”)x —2b(a’ + b>)y + (a + by = 0 Phương trình hình bao có dạng tổng quát của một conic và kiểm tra ta

được đây là phương trình của một Parabol Có các yếu tố xác định sau:

Đường chuẩn A có phương trình: bx + ay = 0

Tiêu điểm F(a, b)

Giả sử, đường thẳng d lần lượt cắt hai nửa trục Ox, Oy tai A,B

Giả sử, số đo diện tích không đổi để ra là a (đvdU

bao hình của họ đường thẳng d là

điều kiện để (*) có nghiệm kép:

Chương |: Phương pháp hình học vi phan

ren a LđẰŸễìdỷđẰễỷdđdưỷư y Äỷ lÏỷ L hư n n nở ƯÄỶÄÏ In Ỷ “TỶ }*TẰTTẰ Ằ Ằ _IÄ nÄ TT ƯỦ“ỶnnẽƯÐ NA nn tt ưu n kg thư ưu ưu n z2 tư ra T~Ằ

Vậy bao hình của họ đường thẳng d là một nửa (nửa dương) hypcbol

có phương trình y = Sỉ x>U,y>0,

X

2.2.7- Tìm bao hình của họ đường thẳng d lưu động sao cho hình chiếu

H của điểm cố định A xuống D là một đường thẳng I không qua điểm A

vuông góc với AH(- : ,J) nên

phương trình của họ đường thẳng d

là:

c© 2Ú ~ 2yL+ px =0

Ta thấy, phương trình họ đường thẳng d có dạng một phương trình bậc

hai theo tham số t, Suy ra, phương trình xác định bao hình chiếu là phương trình xác định bao hình chính là phương trình xác định đặc hình và cũng là

điểu kiện để phương trình trên có nghiệp kép theo ẩn là tham số t:

yỶ~ 2px=0 Vậy, bao hình của họ đường thẳng d thỏa điều kiện để ra là một parahol có tiêu điểm F trùng với điểm A(p/2, 0), trục đối xứng nằm ngang,

hể löm quay về chiều đương, đỉnh là gốc tọa độ O(0, 0)

“tư #04 4e 8 e6 e6 e6 e,e,.~ee,.ˆeee~,ee£é£e#wốe£/,e,e®e4wew£œ£® -~+Ắ- ~7.~.~-.~~r*PU LE LOL ELELEOLP ELH

TRANG 17

C "hương 1; Phương pháp hình học vị phân

CLEP MABEL EEL LD BDO DED ODD LD ED SOPPPPPOOPLBOOPOOLOOEODEDDL EOE LELLLOL DLL LED OLED OLDE ES

2.2.8- Một điểm M chạy trên Parabol có phương trình (P): y” = 2px (p

> 0 cé định ) Giả sử, (T) là tiếp tuyến của (P) tại M và đường thẳng đối xứng của (T) qua đường thẳng song song với yy` kẻ từ M là (T') Xác định hao hình của họ đường (TẺ)

i s¥ toa dd diémM là: MC—,U(P) p

Suy ra, phương trình tiếp tuyến tại M của (P) là:

Chương I: Phương pháp hình học vị phân

“ ge.e x v6 e6 G6 ma @6«~ewe«+e#£e^e.~e,.®ee+ee+ree+eerRwemee+erevr wứe-®£-ywe®*ekmBe®emapœmyứwr(we®£eœmœmwœ6®ewuwœeme®weme®œeewe”we~wem®wew@weé40?m®©ee®+?e+ + 4909 49 e0 4@e6 4g e6 4e 4e @ee®ep®ee #,e‹

Phương trình đường thẳng (T”) có dạng một phương trình hậc hai theo

ấn t, Suy ra, phương trình bao hình của (T") chính là điều kiện để phương

trình bậc hai theo t có nghiệp kép: yˆ + 6px = 0

Vậy, bao hình của họ đường thẳng (T`) là parabol có phương trình:

*

(P`): y =-6px có tính chất sau: trục đối xứng nằm ngang bê lõm quay

2 kê `2 * af Km s3 ÓÐ ° 3 2

về chiều âm, đỉnh là gốc tọa độ, tiêu điểm rc p., 0), đường chuẩn x = Óp

2.2.9- Điểm M thuộc trên parabol có phương trình y = ax” chiếu M

xuống Oy thành P Gọi N là trung điểm của OM Tìm hình bao của đường

Chương l: Phương pháp hình học vi phân

DPB EPO LLL LL LDL EEL

PP PPE PO PDL OOF EOP ELE BPO LEP ELL OL LE #

* Néu t= 0, phuong trinh ca ho duéng thang PN: at’ - axt— y = 0 (*)

có dạng một phương trình bậc hai theo t Do đó, ta có ngay phương trình xác định đãt hình, phương trình xác định bao hình là một và chính là phương

trình điểu kiện để (*) có nghiệm kép: aˆx” + 4ay = 0

o> x? = y

a

Vậy, theo hình của đường thẳng PN là một parabol có:

Nếu a >(: + Đỉnh là gốc tọa độ O(0, 0), trục đối xứng Oy, bể lõm quay về chiều âm, tiêu điểm F (0, -l/a)

Nếu a < 0: + Đỉnh O(0., 0), trục đối xứng là Oy, bể löm quay về chiều dương, tiêu điểm F(0, -l/a)

2.2.10- Một điểm M chuyển động trên đường tròn O đường kính AB

Đường thẳng AM (tương ứng BM) cắt tiếp tuyến với (O) tại B (tương ứng A)

tại điểm P (tương ứng Q) Xác định hình bao của đường thang PQ

Chứng minh:

- Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn thích hợp sao cho các điểm A, B có tọa độ : A(-R, 0), B(R, 0)

- Do M di chuyển trên đường tròn đường kính AB nên tọa độ M có dạng

(R cost, R sinU, t e R R là bán kính của đường tròn (O) = (AB): x* + y’ = R® Suy

ra, tiếp tuyến với (O) tại A, B là d, d' có phương trình:

Chương 1: Phương pháp hình học vi phân

ea ee ee ee ee ru ư cư ờnm, PPE BEE BBB BLE EE EEO EEE OOO SR - “-

Từ (2) và (3) suy ra, tọa độ giao điểm Q =BMx d là : Q(-R————— sint)

cosL -Ì

Suy ra phương trình đường thẳng PQ:

(PQ): 2xcostsint + ysin°t~ 2RsintL = ()

Ta có, hệ phương trình xác định đặc hình cũng chính là bao hình của

- Tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0, 0)

- Hai tiêu điểm F,(0, 43R), F;(0, -3/3R)

2.2.11- Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng biến thiên qua A cat

BC tại E và CD tại E Gọi I là trung điểm của EB Tìm bao hình đường thẳng

FT,

« _———— “.ễ << -.-<<==<¬-<-<===<“=Ô=¬=¬===Ô=====5==¬===<======s—==s====s=ss=s=sx=ssx=s=es =

TRANG 21

C "hương [: Phương pháp hình học vị phân SC MBL LACM LLL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL LLL LE LEE LO LLL

Ta thấy (*) có dạng một phương trinh bac hai theo k, Do d6, phudng trình hao hình của họ đường thẳng FI chính là phương trình điều kiện để (*)

Vậy , bao hình của đường thẳng FI là đường tròn tâm C.2) bán kính

" Pay chinh là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD,

Chọn t làm tham số, tọa độ điểm A cho bởi A(t,0)

Suy ra, tọa độ tâm € của đường tròn (C) là: C(t,R)

Vậy ,đường tròn tâm € bán kính R có phương trình là:

FH 4 9 2, di de 4 L dd g4 de ee/,eốeốee,em,ee£œwœ£œ®£ ,./ /Ä9 ,'z,L, xáxÄ 'zÄẽ._.áẽ _x7ẽ.xẽ ưẽề CPO Pa PPL LLL PELL LLL LOLOL LB!

TRANG 23

Chương l: Phương pháp hình học vị phân

OPE OOO LODO? PPP POPPA LE PDA L ELLE LALO LLPEL OL EBAE LRA &

(C): (x-0' +(y-RY=R’, Hay x°+y°-2x-2Ry+t=0,

Quy tắc tách đội tọa độ cho ta phương trình đường đối cực D của gốc

toa độ O(0,0) đối với đường tròn (C):

D: t-xt- Ry =0 (*)

Phương trình đường đối cực D, có đang một phương trình bậc hai thco

tL 2o đó, phương trình bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cần va

đủ để (*) có nghiệm kép theo t Đó là, x” + 4Ry = Ú

Phương trình bao hình là phương trình của một parabol có các yếu tế

xác định như sau:

Đỉnh O(0,0); Tham số tiêu p = 2R; Trục đối xứng thẳng đứng: Bề lõm quay về chiều âm; Tiêu điểm F(0,-R): Đường chuẩn y = R

2.2.13- Cho đường tròn (C) và đường thẳng D Một đường tròn (C) bán

kính không đổi R dịch chuyển vuông góc với đường thẳng D Xác định bao

hình của dây cung chung của hai đường tròn (C) và (C))

Chứng minh:

Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho trong đó ta có phương trình

đường tròn (€) là: x? + y = a” và phương trình của đường thẳng D là: y = m

Chọn t làm tham số, họ đường tròn có bán kính R vuông góc với

đường thẳng D có phương trình:

(C): (x—Uˆ+(y- m)'=RŸ

với điểu kiện |R ~a| <v + m? <|R +a|

Hay (R - a)° - m' < < (R+a)°- m°

—< —>

thì hai đường tròn (C) và (C) cất nhau và

` giao điểm là nghiệm của hệ:

Chương | Phuong phap hình học vi phân

“ CPP AAO OE OOO OOO OT “ Ằđ i/đ ả/Ằồớả PAD PEABO PLEABEE ELE BEEBE OOOO Tm ‹

Suy ra, phương trình dây cung chung của hai đường tron (C) va (C’) là:

D: 2x+2ky-U—m ~ a’ +R?>=0

Hệ phương trình xác định đặc hình của họ D,:

21x + 2ky -t? - m? -a? +R? =0 2x -—21=0

Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất theo t:

D Khử tham số t ta được: x” + 2my - R?+r-m =0

Vậy, bao hình của dây cung chung của hai đường tròn (C) và (C') là đoạn parabol có phương trình:

x? + 2my—R? +rỶ—m” =0

(R-a)? —-m? <x? <(R+a)’ -m?

2.2.14- Tìm bao hình đường đối cực của một điểm lưu động M thuộc đường tròn (O) có phương trình: vey = a? đối với đường tròn (C) có phương trình: x” + yŸ—~ 2Rx =0 Xét trong hệ trục trực chuẩn

Chứng minh:

Chọn t làm tham số, tọa độ điểm M cho bởi: M(acost, asinU

Suy ra, phương trình đường đối cực D của M đối với đường tròn (C) là:

(D,): (acosUx + (asinUy — (x + acosUR = 0 Hay (ax = aRÑ)cost + aysint=Rx (1)

Ta thấy, phương trình của họ đường thẳng D, có dạng phương trình

lucing giác cổ điển theo t Phương trình bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm kép theo L

Đó là: (ax T— aR)” + a yÌ = RỶxỶ

Hay: (a”— R”)x” + a°y°— 2a Rx + aˆRỶ = 0 (2)

“roi, ca PC On P6 HP hit dd dd G g9 ợ g4 “sư ợg,ố /,-£,e®ẽweew,e#£®e#e«® OL LLL LLL LLL LLL LL LLL LL LLL LL LL LL LL LL LL 4e 4‹

TRANG 25

Chương 1: Phương pháp hình học vị phân

e Nếu R =a thì (2) là phương trình của một parahol

Phương trình (2) có thể viết lại như sau:

Chương |: Phương pháp hình học vị phân

POP OER OP BABD LEED O DEE

- Thamsé tiéup=R

- Truc d6i xitng nim ngang

- Bé liom quay vé chiéu dương,

- Tiéu diém F (R, 0)

- Đường chuẩn x = 0)

e Nếu R >a thì (2) là phương trình của một Hypcbol

Phương trình này có thể viết lại như sau:

Chương I: Phương pháp hình học ỌC vi phân

° óƯ PC 0 4P 20 22 BLM LLP d4 2n4®6a4ne4®e4e®e4/®e< PPPOE PLD ODD LŨ 6Ô co 6 BPD OL ODO PLE LEE LEBEL ELE LEE ELE ELE EM OO Ow

2.2.15- Tim bao hình của đường thẳng lưu động d biết rằng: quỹ tích các hình chiếu H của một cố định A xuống d là một vòng tròn (C) không đi qua À có bán kính là b

Chứng minh:

Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho: điểm A thuộc trục hoành Ata,0), Gốc tọa độ O(0,0) chính là tâm vòng tròn (C) Suy ra, tọa độ điểm H

là H(hcost, bsinU) với t = (OA,OH)

Ta có, phương trình họ đường thẳng d (qua H và vuông góc với

AH =(bcost - a,bsin L)) là:

d: b(x + a)cost + bysint - (b + ax) =0

e Phương trình đường thẳng d có

y4

H dang phương trình lượng giác cô aoe

điển theo biến t, Suy ra, phương

hi Đo (C) không qua À nên b z a

,Suy ra, bŸ — a” # 0

Chương l: Phương pháp hình hoc vi phan

OPEL ELEM LL BOLL LLL LB LLAMA LALLA LLL LL LL LLL LO 49 44%

Nếu lbl < lai thì bao hình là Hypebol có: tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0,0),

2.2.16- Tim bao hình của các tiếp tuyến D của hyperbol có phương

trình xy = 2À (khi 2 thay đổi) tại những giao điểm của hypcrbol với đường

thẳng x+y = 1

Chứng minh:

Gọi (x„y„) là tọa độ giao điểm của hyperbol có phương trình xy = 2

(2.< 1⁄4) với đường thẳng x + y = l

Suy ra, phương trình tiếp tuyến D tại (x.„y„) với hyperbol là:

X,Y + Y„X = 2À với x„, y„ xác định bởi hệ sau:

Ta thấy, phương trình (*) có dạng một phương trình bậc hai theo biến

là x„ Vậy, phương trình xác định bao hình của họ đường thẳng (*) chính là

điều kiện cần và đủ để phương trình của nó có nghiệm kép thco x„ Đó là:

(y/-—x-2)”— 8x=0

A OAM MM MR RA M— MM < M MM A MM LM La Mh LL LALA LL ALAM ALLL ALLA LL ALLL ALAA AAA A AAA ALLL LE

TRANG 29

Chương |: Phuong phdp hinh hoc vi phan

COP OOOO OPE LOO OT

Hay x + v` - 2xy - 4x - 4y =0 Ta kiểm tra được phương trình này là

phương trình của một parabol có các yếu tố xác định sau:

Đinh parahol chính là gốc tọa độ O(0,0),

Tiêu điểm Fr! < )

+

Phương trình đường chuẩn: x + y + l =0,

Phương trình trục đối xứng: x - y=0

Chương IÍ: Phương pháp hình học xa ảnh * OBE BL BBO LBL LLL LLL LLL LE ELE EEE EEE MEME LEE LE LL LL NOL EA ee

ra một nhận xét chung là với công cụ tương đối sơ cấp ta đã

giải được hầu hết các bài toán tìm bao hình

Tuy nhiên, như đã nói, việc giải bài toán tim bao hinh [a không dễ dàng Chẳng hạn, nếu bài toán đã nêu không được

cho trong hệ trục toạ độ Descartcs vuông góc thì với công cụ

hình học vi phân việc giải rất khó khăn

Do đó , chúng tôi ủm hiểu thêm việc giải bài toán bao hình bằng phương pháp xạ ảnh Ta nhận xét rằng bài toán tìm bao hình là bài toán đối ngẫu của bài toán tìm quỹ tích Vì vậy , trong chương này chúng tôi cùng trình bày song song các công cu và giải các bài toán quỹ tích với bài toán bao hình

§1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI 1.1 Phép chiếu xuyên tâm và phép phối cảnh

I.!.1 Phép chiếu xuyên tâm :

Trong mặt phẳng xạ ảnh P›, ánh xạ xạ ảnh f: { m} => {(m']

giữa hai hàng điểm có giá là đường thẳng m, m' là phép chiếu xuyên

tâm nếu các đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng luôn đi qua một điểm D cố định Điểm cố định đó gọi là tâm phép chiếu

Kí hiệu :{m} 7 [m')

“ êH U d9 me ‹ “4g #' 0g 4# 4# dc 2 L4 Lạt + 4,9®9ố‹ạg 4e87-e42£®ede.eˆee,#£.,."B.£e-.£e-“,œ 7 PPPOE ,ạL a, POLE EPL OL LOL

TRANG 31

Shan BI One eT A anenernerennennanenenenranncnenenenmnns

Điều kiện cần và đủ để ánh xa xạ ảnh giữa hai hàng điểm trở

thành phép chiếu xuyên tâm là giao điểm của giá hai hàng điểm là tự

ứng

I.1.2 Phép phối cảnh : (Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm) Trong mặt phẳng xạ ảnh P;, ánh xạ xa ảnh f: [M] > {M']

uiữa hai chùm đường thẳng {M] và (M'] là phép phối cảnh nếu giao

điểm của các cặp đường thẳng tương ứng luôn thuộc một đường thẳng

d cố định Đường thẳng đó gọi là trục phối cảnh

và tiếp xúc với hai đường thẳng f(MM'), F'(MM')

- hương HH: Phương pháp hình hoc xa ảnh

cho f(mxn) = m'x n la một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải là phép chiếu xuyên tâm

1.3 Phép đối hựp trên đường thẳng và trên conic:

I.3.1 Phép đối hợp trên đường thẳng :

a Dinh nghia phép đối hợp : Một phép biến đổi xa ảnh f: P, -> P„ của ánh xạ xạ ảnh là đối

hợp (gọi tắt là phép đối hợp ) nếu fˆ là phép đồng nhất,

Vậy, phép đối hợp f: Pị > P,, f # Id thi hoặc nó không có

điểm kép nào hoặc nó có hai điểm kép phân biệt ,

1.23 Phép đối hợp trên conic:

a Định nghĩa phép đối hợp trén conic:

OO 4 ”ˆ 4 2Ð 42 A 42 42 4ˆ 4ˆ 4£ di 42t 4£ 4ˆ 4 4ˆ 4ˆ «ˆ dt 4£ 4< 4 4, 402$ «2 426404 40 404 $6406‹40 404040 40 4® 4 «+ +6 4® 496 4e 9e e6 e2 4# 422 e e9 90 e2 4g 4e 6 «4 4e «e6,

TRANG 33