Gradient của hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là tập mở trong R p Khi đó, gradient của hàm u: Ω→R, kí hiệu là ∇u, xác định bởi:
Nếu u: Ω→R p thì ∇u là ma trận cấp k×p:
Không gian Lebesgue
Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω là tập mở trong R p và 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian Lesbegue
L p (Ω) là không gian các hàm f đo được Lesbegue trên Ω sao cho kfk L p (Ω) (U).
Từ đó, các vector l k thường được gọi là các vector riêng trái, và các vector r k thường được gọi là các vector riêng phải của ma trận A.
Bây giờ, giả sử hệ (1.1) là hyperbolic ngặt Khi đó, l > i (U)r j (U) = 0, ∀i6=j, ∀U ∈Ω (1.2) Thật vậy, ta có λ j (U).[l i > (U).r j (U)] = l > i (U).[λ j (U).r j (U)]
Các bài toán cơ bản
Định nghĩa 1.4.3 Bài toán Cauchy đối với hệ (1.1) là bài toán tìm hàm U : R×
[0,+∞)→Ω là nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu
U(x,0) =U 0 (x), x∈R (1.3) trong đó, U 0 :R→ Ω là 1 hàm cho trước. Định nghĩa 1.4.4 Bài toán Riemann đối với hệ (1.1) là bài toán Cauchy trong trường hợp hàm điều kiện đầu U 0 (x) có dạng
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Phương trình Burgers
= 0 (1.5) có thể xem như là giới hạn của phương trình nhớt (parabolic) Burgers khi cho ε →0 :
2 là hàm lồi, khả vi liên tục.
Ví dụ 2 : (Hệ p) Mô hình khí động học đẳng entropy một chiều trong tọa độ
(1.8) trong đó v = v(x, t) là dung tích riêng của chất khí, u = u(x, t) là vận tốc, p = p(v) là áp suất Với khí lý tưởng đẳng entropy, ta có phương trình trạng thái p=p(v) =κ.v −γ , với κ >0 và 1< γ < 5/3.
Ma trận Jacobi của hệ là
Nếu p 0 (v) < 0, ta sẽ tìm được các giá trị riêng của hệ là λ 1 (U) = −p
−p 0 (v) Vậy hệ này là hyperbolic ngặt.
Ví dụ 3 : Phương trình khí động học một chiều trong tọa độ Euler.
Một trong những hệ bảo toàn quan trọng nhất là Phương trình khí động học
Euler là một trong những khái niệm quan trọng trong động lực học chất lưu Phương trình Navier-Stokes, dạng cơ bản của động lực học chất lưu, mô tả chuyển động của chất lỏng và khí Tuy nhiên, phương trình này còn bao gồm tác dụng của tính nhớt, ảnh hưởng đến hành vi của chất lỏng trong các tình huống khác nhau.
Tính "nhầy" của chất lưu và phương trình liên quan không chỉ phụ thuộc vào các biến mà còn vào gradient của chúng, vì vậy phương trình không thể có dạng (1.1) Tuy nhiên, đối với chất khí, điều kiện về tính "nhầy" có thể được bỏ qua, cho phép chúng ta chuyển đổi về dạng Hyperbolic.
Giả thiết lưu chất có một số tính chất đối xứng, ta có hệ phương trình khí động học một chiều trong tọa độ Euler sau:
(1.9) trong đó ρ = ρ(x, t) là độ trù mật, u= u(x, t) là vận tốc, p= p(x, t) là áp suất, ε =ε(x, t) là nội năng (trên một đơn vị khối lượng), và e =e(x, t) = ε+ |u| 2
Với khí lí tưởng, ta có phương trình trạng thái p = p(ρ, ε) = (γ −1)ρε, γ > 1
Ta thấy với hệ (1.9) có thể viết dưới dạng (1.1), với U = (ρ, ρu, ρe) > và F(U) (ρu, ρu 2 +p, ρue+pu) >
Ví dụ 4 : Mô hình Euler đẳng Entropy.
Trong nghiên cứu về khí lý tưởng đẳng entropy, mật độ khí được biểu thị bằng ρ=ρ(x, y), vận tốc là u=u(x, t), và áp suất là p=p(x, t) Phương trình trạng thái của khí lý tưởng được mô tả bởi công thức p=p(ρ) = κ.ρ^γ, với κ > 0 và 1 < γ < 5/4, cho thấy mối quan hệ giữa áp suất và mật độ của chất khí.
Ta thấy hệ (1.10) có thể viết dưới dạng (1.1), với U = (ρ, u) > , F(U) = (ρu,1
2u 2 + κγ γ−1ρ γ−1 ) > Khi đó, ma trận Jacobi A(U) của hệ là:
Ma trận A(U)có hai giá trị riêng λ 1 =u−cvà λ 2 =u+c, trong đó c=p κγρ γ−1 và ta có thể chọn hai vector riêng là: r 1 = (ρ,−c) > , r 2 = (ρ, c) >
Vậy đây là hệ hyperbolic ngặt.
Nghiệm cổ điển
Định nghĩa 1.4.5 Hàm U :R× [0, +∞) → Ω được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1.4.3) nếu U là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn các phương trình (1.1), (1.3) tại từng điểm.
Xét bài toán Cauchy (1.4.3) và giả sử U 0 =U(x,0)∈L ∞ loc (R p ) Giả sửU là nghiệm cổ điển và hàm ϕ∈C 0 ∞ (R× [0, +∞)) p là một hàm thử Khi đó:
Sau đó tích phân từng phần, ta được
Tức là nghiệm cổ điển U thỏa mãn đẳng thức tích phân
Rõ ràng (1.11) có nghĩa chỉ với giả thiết U ∈L ∞ loc (R× [0, +∞)) p
Nghiệm yếu
Định nghĩa 1.4.6 Hàm U ∈ L ∞ loc (R× [0, +∞)) p được gọi là nghiệm yếu của bài toán Cauchy (1.4.3) nếu U(x, t)∈Ωh.k.n và thỏa mãn (1.10) với bất kỳ hàm thử ϕ∈C 0 ∞ (R×
Rõ ràng một nghiệm cổ điển cũng là nghiệm yếu.
Hệ thức Rankine-Hugoniot
Chúng ta sẽ xem xét các nghiệm yếu của phương trình (1.1), trong đó hàm U được định nghĩa là hàm trơn từng mảnh và có gián đoạn Cụ thể, một hàm U được coi là C 1 (R× [0, +∞)) p từng mảnh nếu tồn tại một số hữu hạn các mặt định hướng trơn P trong mặt phẳng (x, t), sao cho hàm U là C 1 (R× [0, +∞)) p ngoài các mặt này và có gián đoạn trên các mặt đó.
Cho trước một mặt gián đoạn P củaU, ký hiệu n= (n 1 , n 2 ) > là vector pháp tuyến của
P và gọi U + , U − là các giới hạn mỗi bên của U tại P
U ± = lim ε→0 ± U((x, t) +εn) Định lí 1.4.7 Giả sử U :R× [0, +∞) → Ω là hàm C 1 từng mảnh Khi đó U là nghiệm yếu của (1.1) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn
(i) U là nghiệm cổ điển của (1.1) trong miền mà U là C 1
(ii) U thỏa mãn điều kiện bước nhảy
(U + −U − )n 2 + (F(U + )−F(U − ))n 1 = 0 (1.12) tại các mặt gián đoạn. Định lý được chứng minh trong [1].
Trong trường hợp một chiều, ta giả sửP là một đường cong trơn có tham số hóa(t, ξ(t)). Khi đó, n= (−c,1), c= dξ dt. Khi đó, điều kiện Rankine-Hugoniot trở thành:
Với phương trình số thực, ta thu được: c= [F(U)]
Điều kiện entropy
Khi biến đổi tương đương phương trình đạo hàm riêng, chưa chắc nghiệm yếu được bảo toàn Ví dụ, xét phương trình Burgers: u t +
= 0 Nhân hai vế của phương trình cho 2u, ta thu được
3u 3 x= 0 Khi đó, phương trình mới thu được cũng là phương trình Burger, có nghiệm cổ điển chung Tuy nhiên, nghiệm yếu của chúng lại khác nhau (tham khảo [1]).
Trong một số trường hợp, nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng có thể không phải là duy nhất Để xác định nghiệm yếu phù hợp với yêu cầu thực tế, cần thiết phải bổ sung thêm các điều kiện Một trong những điều kiện quan trọng là điều kiện entropy.
Giả sử U là một nghiệm trơn của hệ luật bảo toàn (1.1) Giả sử V : Ω→R là hàm khả vi Nhân cả hai vế của (1.1) với V 0 (U) ta được
Nếu tồn tại hàm khả vi G(U) sao cho
V 0 (U).F(U) =G 0 (U), U ∈Ω, (1.14) thì hệ (1.13) có thể được viết dưới dạng bảo toàn
Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa một hàm lồi V : Ω → R là một entropy của hệ (1.1) nếu tồn tại một hàm khả vi G: Ω → R, được gọi là thông lượng entropy, thỏa mãn hệ thức (1.14) Cặp (V, G) được xem là một cặp entropy cho hệ các định luật bảo toàn (1.1) Hơn nữa, một nghiệm yếu U của bài toán Cauchy (1.4.3) được gọi là nghiệm entropy nếu với mọi cặp entropy (V, G), điều kiện entropy được thỏa mãn.
V t +G(U) x ≤0 (1.16) được thỏa mãn theo nghĩa phân bố, có nghĩa là với mọi hàm thử ϕ∈C 0 ∞ (R× [0, +∞)), ϕ≥0, ta có
Bài toán Riemann cho hệ tuyến tính với hệ số hằng
Đầu tiên, chúng ta sẽ nghiên cứu hệ tuyến tính cấp một Hyperbolic với hệ số hằng:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình vi phân với điều kiện ∂x = 0, trong đó x thuộc R và t lớn hơn 0 Vector U = (u1, , up) T được định nghĩa là một vector cột, trong khi A là ma trận vuông với p dòng và p cột Chúng ta giả định rằng hệ thống này là hyperbolic ngặt, có nghĩa là ma trận A sở hữu p giá trị thực phân biệt, được ký hiệu là λ 1 < λ 2 < < λ p.
Khi đó A có thể được viết là A =R.M.R −1 trong đó M là ma trận chéo, R là ma trận mà các cột của R là các vector riêng.
Ta xây dựng một biểu thức tường minh cho nghiệm u của bài toán Cauchy sau đây:
U(x,0) =U 0 (x). Đặt V = R −1 U Nhân hai vế của hệ với R −1 , ta được R −1 U t +R −1 AU x = 0,⇔ R −1 U t +
M R −1 U x = 0 Do R −1 là ma trận hằng, khi đó V t +M V x = 0 Do M là ma trận chéo, khi đó, ta có
(V k ) t +λ k (V k ) x = 0 với k= 1, , p. Đây là phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, với nghiệm là V k (x, t) =V k (x− λ k t,0).
Lưu ý rằng, theo định nghĩa của V, ta có V(x,0) = R −1 U 0 (x) Khi đó, nghiệm của phương trình ban đầu có dạng U(x, t) =R.V(x, t).
Bây giờ, xét bài toán Riemann cho hệ tuyến tính cấp một Hyperbolic với điều kiện đầu:
Giả sử hệ là hyperbolic ngặt với ma trận A có p giá trị thực phân biệt λ 1 < λ 2 < < λ p và p vector riêng tương ứng r 1, r 2, , r p Do các vector riêng r 1, r 2, , r p độc lập tuyến tính, điều này cho thấy sự phân bố của chúng trong không gian vector là độc lập và có thể tạo thành một cơ sở cho không gian tương ứng.
X k=1 β k r k Bằng cách lập luận như trên, ta có
Bằng cách đánh số lại và đặt K là giá trị lớn nhất của k sao cho x−λ k t >0 Khi đó
Như vậy, ta có nghiệm U của bài toán Riemann (1.4) như sau:
Gián đoạn ban đầu phân tách thành p sóng gián đoạn, di chuyển với vận tốc đặc trưng λ k, trong đó 1≤k≤p Qua mỗi đường gián đoạn x=λ k t, hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot được thỏa mãn.
Nghiệm yếu của bài toán Riemann
Bài toán Riemann (1.4.4) với F là hàm thông lượng từ R p vào R p cho thấy rằng nghiệm yếu chỉ chứa p sóng, bao gồm sóng giãn, sóng sốc chấp nhận được và sóng contact Trong khóa luận tốt nghiệp này, chúng tôi sẽ tập trung vào việc trình bày về sóng giãn và sóng sốc chấp nhận được.
Cho U L và U R lần lượt là hai trạng thái bên trái và bên phải Chúng ta mong muốn tìm một nghiệm trơn từng điểm U : (x, t)→U(x, t), thỏa (1.1) và nối U L với U R
Ta xét nghiệm tự đồng dạng, tức là U(x, t) =V x t
Giả sử nghiệm trên trơn từng điểm và thỏa (1.1), tức là
V 0 (ξ) = 0, hoặc tồn tại chỉ số i∈1, , p sao cho
Với trường hợp đầu tiên thì V là hàm hằng, với ξ < ξ L hoặc ξ > ξ R Với ξ L < ξ < ξ R , đạo hàm λi(V(ξ)) =ξ theo biến ξ, ta thu được
∇λ i (V(ξ)).r i (V(ξ)), ξ L ≤ξ ≤ξ R và V(ξ L ) = U L , trong đó ξ L =λi(U L ). Định nghĩa 1.4.10 Sóng giãn thứ i là một nghiệm yếu có dạng:
U R x > λ i (U R )t. trong đó V i (ξ) được gọi là là đường cong sóng giãn nối hai trạng thái U L và U R , chỉ phụ thuộc vào biếnξ =x/t và thỏa mãn các điều kiện sau đây:
2 Sóng sốc Định nghĩa 1.4.11 Sóng sốc thứ i là một nghiệm yếu của (1.1) có dạng:
Vận tốc shock σ i thỏa mãn bước nhảy Rankine-Hugoniot trong bất đẳng thức Lax được định nghĩa bởi điều kiện U R x > σ i t Sóng sốc thứ i được xem là chấp nhận được nếu nó đáp ứng điều kiện λ i (U R )< σ i (U L , U R )< λ i (U L ).
Từ đây về sau, chúng ta chỉ xét sóng sốc chấp nhận được.
Bài toán Riemann cho mô hình Euler đẳng Entropy
Xét bài toán Riemann cho mô hình Euler đẳng Entropy (1.10), tức là tìm U = (ρ, u) > thỏa phương trình
∂ t (ρu) +∂ x (ρu 2 +p) = 0,trong trường hợp của bài toán Riemann (1.4.4).
Sóng giãn
Dựa vào phương trình (1.19), chúng ta có thể xác định sóng giãn thứ nhất (i=1) từ phương trình (1.10) Khi i = 1 và với trạng thái bên trái U L = (ρ L , u L )>, đường cong sóng giãn thứ nhất R 1 (U L ) được xác định bằng cách giải phương trình (1.19) Cụ thể, ta có công thức cho vận tốc du và mật độ dρ theo biến ξ như sau: du = 2 γ + 1 dξ và dρ = -ρ.
Đường cong sóng giãn thứ nhất R1(U L) bao gồm tất cả các trạng thái bên phải U có khả năng liên kết với U L thông qua một đường cong sóng giãn.
Theo công thức (γ+ 1)√ κγ (ξ−ξ L ) ξ ≥ξ L, ta có thể xác định đường cong sóng giãn thứ hai R 2 (U L) cho trạng thái bên trái U L Đường cong này bao gồm tất cả các trạng thái bên phải U có thể liên kết với U L thông qua một đường cong sóng giãn.
Sóng sốc
Sóng sốc là một nghiệm yếu có dạng là:
U R , x > σt, trong đó, vận tốc sốc σ phải thỏa mãn hệ thức Rankine-Hugoniot, tức là:
Dựa trên trạng thái bên trái U L, chúng ta sẽ xác định các trạng thái bên phải U có khả năng kết nối với U L thông qua một sóng sốc bằng các phép tính cụ thể.
" u= u L +p κ(1/ρ L −1/ρ)(ρ γ −ρ γ L ) (a) u= u L −p κ(1/ρ L −1/ρ)(ρ γ −ρ γ L ) (b) Mặt khác, sóng sốc phải thỏa bất đẳng thứcLax,λi(U R )< σ(U L , U R )< λi(U L ), i= 1,2
Ta xét trường hợp i= 1 và u thỏa (a):
(vô lí) Do đó, ta không thể chọn u thỏa (a) trong trường hợp i= 1.
Bằng cách làm tương tự, cho trước trạng thái U L , đường cong sóng sốc thứ i (i= 1,2)
S i (U L ) gồm tất cả các trạng thái U có thể liên kết với U L là:
Nghiệm Riemann của mô hình Euler đẳng Entropy
Dựa vào các kết quả trên, ta sẽ tìm được nghiệm của bài toán Riemann của mô hình Euler đẳng Entropy, cụ thể như sau:
Cho trước trạng thái U L , hai đường cong W 1 , W 2 gồm tất cả các trạng thái U có thể liên kết với U L là:
Lược đồ Roe cho mô hình Euler đẳngEntropy
Lược đồ số
Sai số và hội tụ
Chúng ta mong muốn hiểu rõ về nghiệm xấp xỉ U j n và định nghĩa sai số toàn cục, tức là sự khác biệt giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ Trong nghiên cứu nghiệm trơn, sai số được xem xét tại từng điểm cụ thể.
E j n =U j n −u n j , trong đó U j n xấp xỉ cho nghiệm chính xác u n j Ta có thể định nghĩa thêm hàm sai số: Định nghĩa 3.1.2 Hàm sai số được định nghĩa là E k (x, t) =U k (x, t)−u(x, t), trong đó
U k là hàm hằng từng khúc và u là nghiệm chính xác.
Sự hội tụ của lược đồ được định nghĩa như sau: một lược đồ sẽ hội tụ với một chuẩn k.k bất kỳ nếu giá trị kE k (., t)k tiến tới một giá trị cụ thể.
0 nếu k →0, với mọi giá trị t ≥0 cố định và mọi giá trị đầu u 0
Thông thường, ta xét chuẩn-1 sau: kU n k 1 = ∆xX j
Tương thích và ổn định Định lý Lax-Equivalence
Sai số chặt cụt L k (x, t) là một chỉ số quan trọng để đánh giá độ chính xác của mô hình công thức sai phân so với phương trình đạo hàm riêng ở mức độ cục bộ Chỉ số này được xác định bằng cách thay thế nghiệm xấp xỉ U j n trong công thức sai phân bằng nghiệm chính xác u(x j , t n ).
Sai số chặt cụt cho phương pháp two-level được định nghĩa qua lược đồ U j n+1 = H k U n, với sai số được tính bằng L k (x, t) = 1 k[u(x, t+k)− H k (u(., t);x)] Một lược đồ được coi là tương thích nếu kL k (., t)k tiến tới 0 khi k tiến tới 0 Đồng thời, lược đồ được gọi là ổn định nếu tại mỗi thời gian T, tồn tại hằng số C S và một giá trị k0 >0 sao cho kH m k k ≤C S cho mọi mk ≤T và k < k 0.
Trong định nghĩa trên, kH m k k= sup kU n k≤1
Hàm F được định nghĩa trong lược đồ cân bằng (3.2) được coi là liên tục Lipschitz tại u=u(x, t) nếu tồn tại hằng số K ≥0, có thể phụ thuộc vào u, thỏa mãn điều kiện nhất định.
|F(v, w)ư F(u, u)| ≤K.max{|vưu|,|wưu|}, với mọi v, w trong đó |vưu|, |wưu| đủ nhỏ.
Hàm F được coi là liên tục Lipschitz nếu nó thỏa mãn tính chất này tại mọi điểm Theo Định lý 3.1.8, một lược đồ viết dưới dạng cân bằng (3.2) sẽ tương thích khi hàm F liên tục Lipschitz Định lý 3.1.9 chỉ ra rằng để đảm bảo lược đồ cân bằng ổn định, điều kiện CFL phải được thỏa mãn cho ∆t.
, j ∈Z, n ∈N ≤ 1. Định lí 3.1.10 Lax-Equivalence Điều kiện cần và đủ để một lược đồ hội tụ là tương thích và ổn định.
Các định lí trên được chứng minh trong [1].
Lược đồ Roe
Một trong những phương pháp giải phương trình Riemann phổ biến hiện nay là lược đồ Roe, được giới thiệu bởi Roe vào năm 1981 Lược đồ này thay thế lời giải chính xác bằng lời giải xấp xỉ cho các bài toán Riemann trong hệ tuyến tính với hệ số hằng, trong đó ma trận A phụ thuộc vào U L và U R.
Ma trận Roe A(U L , U R ) được định nghĩa trong bài toán Riemann 1.4.4 với các tính chất sau: i) Hiệu số f(U R )−f(U L ) bằng tích của ma trận A(U L , U R ) với hiệu U R −U L ; ii) Ma trận A(U L , U R ) có các giá trị riêng thực và một hệ thống đầy đủ các vector riêng; iii) Ma trận A(U L , U R ) hội tụ về A(U) theo chuẩn toán tử khi U L và U R tiến tới U.
Điều kiện i) chỉ ra rằng khi U L và U R được kết nối qua một sóng sốc, nghiệm xấp xỉ sẽ khớp với nghiệm chính xác của bài toán Riemann Điều kiện ii) là điều kiện cần thiết để xác định rằng hệ thống là hyperbolic và có thể giải quyết được Cuối cùng, điều kiện iii) đảm bảo tính tương thích của lược đồ.
Khi đó, ta xét bài toán Riemann đã được tuyến tính hóa sau:
(3.4) trong đó nghiệm của bài toán có dạng w(x, t) = w R (x/t, U L , U R ) được định nghĩa như (1.18).
Ta xây dựng lược đồ Roe như sau:
Theo [3], để các sóng từ các điểm x j−1/2 và x j+1/2 không tác động đến nhau, ta giả sử rằng:
Và nếu giải bài toán Riemann địa phương với dữ kiện đầu w(x,0) =w n (x), x∈R ta thu được: w(x, t) =w R x − x j+1/2 t ;w n j , w n j+1
Giá trị xấp xỉ w j n+1 được tính như sau: w n+1 j = 1
Khi đó, (3.6) được viết lại là: w j n+1 = 1
Theo [3], ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.2.2 Nếu điều kiện CF L≤ 1
)(w j n −w j−1 n )}, trong đó |A(v, w)|= [r1 r2, , rm].diag(|λ1|, |λm|).[r1 r2, , rm] −1
Lưu ý rằng trong định nghĩa ma trận Roe, ta có A(w j n , w j+1 n )(w j+1 n −w n j ) = F(w n j+1 )−
F(w j n ), do đó, lược đồ Roe có thể viết dưới dạng bảo toàn: w n+1 j =w j n − ∆t
, (3.10) trong đó thông lượng số g :R m×m →R m được cho bởi: g(v, w) := 1
2|A(v, w)|(v−w), trong đó,|A(v, w)|= [r 1 r 2 , , r m ].diag(|λ 1 |, |λ m |).[r 1 r 2 , , r m ] −1 và∆tthỏa điều kiện
2, (3.11) trong đó, λ p là giá trị riêng của ma trận Roe.
Lược đồ Roe cho mô hình Euler đẳng Entropy
Ta xây dựng lược đồ Roe cho mô hình Euler đẳng Entropy. Đầu tiên, ta phải xây dựng ma trận Roe thỏa (3.2.1) Đặt z =ρ −1/2 U, i.e, z " z 1 z 2
Xét hai trạng thái U L = (ρ L , ρ L u L ) > và U R = (ρ R , ρ R u R ) > , ta có z L = (ρ 1/2 L , ρ 1/2 L u L ) và z R = (ρ 1/2 R , ρ 1/2 R u L ) Ta đặt biến z trung bình như sau: z = 1
Khi đó, ta có thể kiểm tra rằng
Khi đó, F(U L )−F(U R ) = ˆC.Bˆ −1 (U L −U R ) Đặt A=A(U L , U R ) = ˆC.Bˆ −1 , ta thu được ma trận
Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ma trận trên thỏa các yếu tố của (3.2.1).
Ma trận Roe có hai giá trị riêng λ 1 =u−√ ρ, λ 1 =u+√ ρvà các vector riêng tương ứng là: r 1 "
Do đó, ma trận trị tuyệt đối của A(U L , U R ) được tính như sau:
Khi đó, lược đồ Roe của bài toán Riemann cho mô hình Euler đẳng Entropy sẽ được xác định như (3.10).
Chúng tôi sẽ so sánh nghiệm thu được từ lược đồ Roe cho hệ Euler đẳng Entropy với nghiệm của bài toán Riemann trong mô hình Euler đăng Entropy Thuật toán được triển khai trên phần mềm Octave và nghiệm sẽ được khảo sát trên đoạn [-1, 1] với thời gian tối đa t_max = 0.5.
CF L= 0.5 và các sai số được xét theo chuẩn-1.
Test sóng giãn
Ta khảo sát bài toán Riemann với
U R = (0.6,2.599073683906427) > Lúc này, nghiệm của bài toán là sóng giãn thứ 1 từ U L đếnU R
Hình 4.1: Sóng giãn thứ 1 trong trường hợp N0
Hình 4.2: Sóng giãn thứ 1 trong trường hợp Np0
Bảng sai số trong trường hợp sóng giãn thứ 1.
Test sóng sốc
Ta khảo sát bài toán Riemann với
U R = (2,0.992172352775338) > Lúc này, nghiệm của bài toán là sóng sốc từ U L đến U R
Hình 4.3: Sóng sốc trong trường hợp N0
Hình 4.4: Sóng sốc trong trường hợp Np0
Bảng sai số trong trường hợp sóng sốc.
Test nghiệm Riemann
Đối với bài test này, nghiệm được khảo sát trên đoạn [−1,2].
Ta khảo sát bài toán Riemann với
U R = (1.5,1.853144049456374) > Lúc này, nghiệm của bài toán bao gồm một sóng sốc nốiU L đếnU ∗ = (1.3,1.653046980561625) > ,tiếp nối bởi một sóng giãn nối U ∗ đến U R
Hình 4.5: Nghiệm Riemman trong trường hợp N 0
Hình 4.6: Nghiệm Riemman trong trường hợp N00
Bảng sai số trong trường hợp nghiệm Riemann.
Trong bài luận tốt nghiệp này, tôi đã trình bày được một số vấn đề:
1 Đưa ra bài toán Riemann của mô hình Euler đẳng Entropy và xác định được sóng giãn và sóng sốc và nghiệm Riemann của bài toán.
2 Trình bày lược đồ Roe, lược đồ Roe cho bài toán Riemann của mô hình Euler đẳng Entropy.
3 Sử dụng thuật toán Roe bằng Octave để xấp xỉ nghiệm của bài toán Riemann của mô hình Euler đẳng Entropy.
Tuy nhiên, tôi vẫn có một số vấn đề muốn tìm hiểu thêm như:
1 Chứng minh định lí về bước nhảy Rankine-Hugoniot và định lý Lax-Equivalence.
2 Chứng minh lược đồ Roe tương thích, ổn định.
Sau khi hoàn thành khóa luận, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Đào Huy Cường vì sự hướng dẫn tận tình và động viên của thầy đã giúp tôi hoàn thành bài luận này Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các bạn trong nhóm đã hỗ trợ tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình nghiên cứu.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2022,
