Nghiên cứu sai làm của sinh viên ngành toán trong việc sử dụng tích phân xác định với vai trò công cụ

Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Tích phân xác định của hàm một biến thực TPXĐHMBT là một trong những kiến thức có nhiều ứng dụng trong cuộc sống như tính diện tích hình phẳn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Nhi

NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA SINH VIÊN NGÀNH TOÁN TRONG VIỆC SỬ DỤNG

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Nhi

NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA SINH VIÊN NGÀNH TOÁN TRONG VIỆC SỬ DỤNG

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Ái Quốc, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Tác giả

Trần Thị Thanh Nhi

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS Nguyễn Ái Quốc, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn và đồng hành cùng tôi trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga,

TS Tăng Minh Dũng đã tận tình giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa 30.1, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức bổ ích và thú vị về didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến những người thân yêu trong gia đình Cha mẹ và anh chị đã luôn động viên, tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi yên tâm học tập và hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình

Trần Thị Thanh Nhi

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 15

1.1 Tiến trình dạy học khái niệm toán học 15

1.1.1 Cơ chế hoạt động của khái niệm 15

1.1.2 Các tiến trình khác nhau về dạy học khái niệm 15

1.2 Hợp đồng dạy học 16

1.3 Chướng ngại 17

1.3.1 Chướng ngại thích nghi 17

1.3.2 Chướng ngại theo quan điểm của didactic Toán 17

1.4 Sai lầm 19

1.4.1 Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi 19

1.4.2 Sai lầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo 19

1.4.3 Sai lầm từ quan điểm của didactic Toán 20

1.5 Quy tắc hành động 22

Chương 2 PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC K VÀ S ĐỐI VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 24

2.1 Quan hệ thể chế K đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực 24

2.1.1 Tiến trình dạy học khái niệm tích phân xác định của hàm một biến thực 24

2.1.2 Đặc trưng quan hệ thế chế K đối với vai trò công cụ của tích phân

xác định của hàm một biến thực 29

2.1.3 Kết luận về thể chế K 52

2.2 Quan hệ thể chế S đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực 53

2.2.1 Tiến trình dạy học khái niệm tích phân xác định của hàm một biến thực 53

2.2.2 Đặc trưng quan hệ thể chế S đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực 56

2.2.3 Kết luận về thể chế S 80

2.3 Kết luận chương 2 81

2.3.1 Về đối tượng tích phân xác định 81

2.3.2 Về vai trò công cụ của tích phân xác định 82

2.3.3 Dự đoán những sai lầm của sinh viên khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ gắn liền với vai trò công cụ của tích phân xác định và nguyên nhân của những sai lầm đó 86

Chương 3 THỰC NGHIỆM 89

3.1 Mục tiêu thực nghiệm 89

3.2 Các lựa chọn cố định cho tình huống thực nghiệm 90

3.3 Nội dung thực nghiệm 90

3.4 Phân tích tiên nghiệm 92

3.4.1 Tổ chức thực nghiệm 92

3.4.2 Phân tích bài toán 1 92

3.4.3 Phân tích bài toán 2 99

3.4.4 Phân tích bài toán 3 107

3.4.5 Phân tích bài toán 4 112

3.5 Phân tích hậu nghiệm 115

3.5.1 Phân tích kết quả bài toán 1 115

3.5.3 Phân tích kết quả bài toán 2 119

3.5.4 Phân tích kết quả bài toán 3 122

3.5.5 Phân tích kết quả bài toán 4 126

3.6 Kết luận chương 3 128

KẾT LUẬN 131

TÀI LIỆU THAM KHẢO 133 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

K : Giáo trình "Giải tích – Hàm một biến" được sử dụng giảng dạy ở

trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

S : Giáo trình "Giải tích toán học I phần 2" được sử dụng giảng dạy ở

trường Đại học Sài Gòn

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Bảng thống kê các KNV và nhiệm vụ tương ứng trong giáo trình K 49

Bảng 2.2 Bảng thống kê các KNV và nhiệm vụ tương ứng trong giáo trình S 78

Bảng 2.3 Dự đoán sai lầm và nguyên nhân từ phân tích hai thể chế K và S 87

Bảng 3.1 Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1a 115

Bảng 3.2 Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1b 117

Bảng 3.3 Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 2 119

Bảng 3.4 Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 3 123

Bảng 3.5 Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 4 126

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Tích phân xác định của hàm một biến thực (TPXĐHMBT) là một trong những kiến thức có nhiều ứng dụng trong cuộc sống như tính diện tích hình phẳng, tính diện tích mặt tròn xoay, tính thể tích vật thể tròn xoay, tính khối lượng bản mỏng,

… Sinh viên (SV) đã được tiếp cận một số ứng dụng của tích phân xác định (TPXĐ) ngay từ bậc THPT, tiếp đến là bậc Đại học trong các học phần của Giải tích (hàm một biến) Thực tế dạy học cho thấy, dù tiếp cận ứng dụng TPXĐHMBT

ở lớp 12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2009) và năm thứ nhất Đại học, nhưng vẫn tồn tại ở SV một số sai lầm (SL), chẳng hạn thiết lập không đúng công thức tích phân tính diện tích của miền được giới hạn bởi các đường

Xuất phát từ thực tiễn trên, ngày 26/03/2020 chúng tôi tiến hành một khảo sát ban đầu đối với 14 SV năm nhất đã kết thúc các học phần của Giải tích (hàm một biến): 9 SV tại trường Đại học Sài Gòn (ĐHSG) và 5 SV tại trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHKHTN) Mục đích của khảo sát là nhằm tìm hiểu quan niệm của SV về ứng dụng của TPXĐHMBT sau khi học xong học phần trên Nội dung khảo sát là một bài toán tính diện tích của một hình phẳng (không cho kèm hình vẽ):

“Bài toán: Bạn hãy tính diện tích của hình phẳng ( )H giới hạn bởi

( ) :C x 3y  1 0 và đường thẳng d x y:   3 0.”

Mục tiêu của bài toán này là nhằm tìm hiểu xem SV có tính được diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi hai đường giao nhau bất kì không Chúng tôi đã lựa chọn hình phẳng ( )H giới hạn bởi một đường thẳng và một nhánh của Hyperbol,

nhằm tìm hiểu xem SV sẽ ứng xử như thế nào với một đường cong không phải là đồ thị của một hàm số khi tính diện tích của hình phẳng ( ).H

Một số lời giải mong đợi cho bài toán trên:

Chiến lược 1 Tính theo biến y

Kĩ thuật 1a Dựa vào hình vẽ

Dựa vào hình vẽ, hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị của hàm số

2

x  y  và đường thẳng x y 3 cắt nhau tại hai điểm ( 7; 4)  và ( 2;1).

Từ đó suy ra diện tích của hình phẳng ( )H là:

1

2 4

4

y y

2 4

Chiến lược 2 Tính theo biến x

Kĩ thuật 2 Dựa vào hình vẽ

Dựa vào hình vẽ, hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường cong

2 1

1( ) :

số 8/14 SV đưa ra đáp số sai, có 7 SV sau khi xác định hoành độ giao điểm của ( )C

và d, từ phương trình của ( )C đã chọn một phương trình biểu diễn y theo x và kết

hợp với phương trình của d để thiết lập công thức tích phân tính diện tích Bảy SV

này không vẽ hình Chúng tôi minh họa bài làm của một trong bảy SV vừa nêu

Công thức tích phân tính diện tích mà SV thiết lập cho thấy SV xem ( )H giới

hạn bởi đồ thị của hai hàm số

x  x  Việc xác định các đường giới hạn hình phẳng ( )H như trên cho

thấy SV đã xem đường hyperbol là đồ thị của một hàm số y theo x dẫn đến hình ,phẳng được tính diện tích không phải là hình phẳng cần tính diện tích

Kết quả khảo sát bảy SV này cho thấy nếu giả thiết cho ( )H giới hạn bởi hai đường cho bởi phương trình bất kì thì SV xem ( )H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm

số y theo x và hai hàm số này được suy ra từ phương trình của hai đường giới hạn ,( ).H Nghĩa là, với một đường cong không phải là đồ thị của một hàm số y theo x ,

SV vẫn xem đường cong đó là đồ thị của một hàm số y theo x dẫn đến thiết lập ,không đúng công thức tích phân tính diện tích của hình phẳng ( ).H

SV còn lại sau khi xác định hoành độ giao điểm của ( )C và d đã không viết

được hàm dưới dấu tích phân Chúng tôi không tìm thấy hình vẽ nào trong phiếu khảo sát của SV này

Như vậy, kết quả khảo sát cho thấy tồn tại SL ở SV trong việc thiết lập công thức tích phân tính diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi hai đường trong đó có

ít nhất một đường không phải là đồ thị của hàm số y theo x

Khảo sát thực tiễn ban đầu là một minh chứng cho sự tồn tại SL của SV trong ứng dụng TPXĐ Nếu chỉ nói tồn tại ở SV một số SL thì là nhận định chủ quan, thiếu căn cứ Do đó, việc khảo sát ban đầu được xem là cơ sở thực tiễn cho nghiên cứu của chúng tôi Khảo sát ban đầu mặc dù chỉ tiến hành với mẫu nhỏ SV của hai trường nhưng lại cho thấy sự tồn tại SL ở SV chứng tỏ SL mà SV gặp phải không xuất phát từ sự bất cẩn, vô ý mà có tính hệ thống, và do đó đòi hỏi một phân tích chương trình, giáo trình để tìm hiểu nguồn gốc của chúng

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi xuất phát sau:

Q1 Các ứng dụng của TPXĐHMBT được trình bày như thế nào trong giáo

trình Toán Đại học? Có những dạng toán nào liên quan đến ứng dụng của TPXĐHMBT và những cách giải nào đối với những dạng toán đó?

Q2 SV giải quyết ra sao các dạng toán liên quan đến ứng dụng của

TPXĐHMBT? Có những SL nào tồn tại ở SV khi giải quyết những dạng toán đó? Nguồn gốc của những SL ấy là gì?

1.2 Tổng quan các công trình nghiên cứu liên quan tới vấn đề nghiên cứu

Về cơ sở lý luận liên quan đến đề tài, chúng tôi tham khảo luận án tiến sĩ của

Trần Anh Dũng (2013), Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông Trong luận án này, tác giả đã trình bày chi tiết các yếu tố lý luận liên quan

đến hợp đồng dạy học (HĐDH), chướng ngại (CN), SL do đó chúng tôi sẽ sử dụng lại các kết quả này cho phần nghiên cứu cơ sở lý luận trong luận văn của mình

Về đối tượng TPXĐ, chúng tôi đã tham khảo một số công trình nghiên cứu sau:

 Việc nghiên cứu khó khăn của SV trong việc ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng đã được Soylu YASIN và Tatar ENVER thực hiện nghiên cứu trên 64

SV khoa Giáo dục Tiểu học, trường Đại học ATATURK, Thổ Nhĩ Kỳ Các SV này học môn Toán như một học phần chung Nghiên cứu cho thấy các SV gặp nhiều khó khăn trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hay nhiều đường cong khác nhau, hay miền nằm bên dưới trục hoành Ox

 Việc nghiên cứu khó khăn của SV khi ứng dụng TPXĐ tính thể tích hình khối

được đề cập trong luận án Tiến sĩ của Afonso Henriques với đề tài “Việc dạy và học tích phân bội: Phân tích didactic tích hợp sử dụng phần mềm Maple”

(L’enseignement et l’apprentissage des intégrales multiples: Analyse didactique intégrant l’usage du logiciel Maple) Luận án được bảo vệ tại đại học Joseph Fourier, Grenoble, Pháp, năm 2006 Nghiên cứu của Henriques nhằm xác định các đóng góp của phần mềm Maple trong việc tính thể tích của một vật thể là phần giao của hai vật thể khác trong không gian Tác giả Henriques đã tiến hành phân tích chương trình Toán Đại học của Brazil và Pháp để từ đó cho thấy SV có thể gặp khó khăn trong việc tính thể tích của một vật thể có hình dáng phức tạp, khác với các vật thể mà giáo trình Toán đề cập đến

 Luận án của tác giả Trần Lương Công Khanh (2006), “Khái niệm tích phân trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông: một nghiên cứu so sánh giữa Pháp và Việt Nam” (La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques

au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam) Luận án được bảo

vệ tại Đại học Joseph Fourier, Grenoble, Pháp Luận án nghiên cứu sự khác nhau giữa hai cách tiếp cận tích phân ở Việt Nam và Pháp nhằm làm rõ các quan điểm khoa học luận trong tiếp cận tích phân tại mỗi nước, việc dạy tích phân có dựa trên khái niệm diện tích hay không? Có thiết lập được mối quan hệ với nguyên hàm? Vai trò và ý nghĩa của dấu tích phân và dx theo quan điểm toán học và thể chế là gì?

 Bài báo của Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử” được đăng trên tạp chí khoa học, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 4(38), trang 14 – 26 Các tác giả đã chỉ ra bài toán gắn liền với tích phân và những phương pháp giải quyết đã từng được sử dụng qua các thời kỳ khác nhau Các phương pháp được nhóm lại theo đặc trưng và theo sự tiến triển của chúng

 Luận văn thạc sĩ của Trương Thị Oanh (2018), Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân Tác giả đã trình bày sơ lược lịch sử hình

thành và phát triển khái niệm tích phân, chỉ ra ba cách tiếp cận khái niệm tích phân (tích phân là diện tích của hình phẳng, tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé, tích phân là phép toán ngược của đạo hàm) và đặc trưng của những cách tiếp cận đó Qua nghiên cứu, tác giả nhận thấy hình thức thi trắc nghiệm đem đến những thay đổi tích cực trong giảng dạy khái niệm tích phân của đa số giáo viên trong hai vấn đề là nội dung dạy học và ra đề kiểm tra đánh giá, bên cạnh đó chỉ ra những khó khăn và thách thức của giáo viên Với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay, tác giả mong muốn kĩ năng sử dụng và vận dụng máy tính bỏ túi trong dạy và học nên được quan tâm hơn

 Luận văn thạc sĩ của Dương Văn Tú (2015), Dạy học khái niệm tích phân ở trường cao đẳng Sư phạm Tác giả đã thực hiện một nghiên cứu so sánh việc đưa

vào dạy học khái niệm tích phân trong giáo trình Mỹ và trong chương trình, giáo trình bậc Cao đẳng sư phạm Việt Nam Tích phân được đưa vào dạy học ở trường

Cao đẳng sư phạm ở Việt Nam là tích phân Riemann Qua thực nghiệm, tác giả nhận thấy việc tính tích phân bằng cách sử dụng các công thức tính diện tích có sẵn hiện hữu khá rõ ràng ở SV Trái lại, việc tính xấp xỉ quãng đường hay diện tích bằng một tổng Riemann không còn tồn tại trong phần lớn SV, SV cũng chưa thực sự hiểu mối liên hệ giữa vấn đề diện tích và công thức Newton – Leibniz

Nhìn chung, các tác giả chủ yếu nghiên cứu về khái niệm tích phân ở bậc Trung học phổ thông và bậc Cao đẳng, chưa có nghiên cứu didactic nào liên quan đến SL của SV bậc Đại học trong việc sử dụng TPXĐHMBT để tính diện tích hình phẳng, tính diện tích mặt tròn xoay, tính thể tích vật thể tròn xoay, …

1.3 Xác định lại vấn đề nghiên cứu

Từ các ghi nhận và câu hỏi xuất phát, chúng tôi quyết định chọn đề tài

“Nghiên cứu sai lầm của sinh viên ngành Toán trong việc sử dụng tích phân xác định với vai trò công cụ”

1.4 Lợi ích và tính cần thiết thực hiện đề tài

 Về phương diện học tập – nghiên cứu Toán học: Đề tài nghiên cứu việc học ứng

dụng TPXĐHMBT trong chương trình Toán cao cấp bắt buộc của SV ngành Toán

 Về phương diện lợi ích sư phạm cho giảng viên: Đề tài nêu ra một số SL của

SV khi học ứng dụng TPXĐHMBT đồng thời chỉ ra nguồn gốc của những SL đó Giảng viên có thể xem đây là tài liệu tham khảo để tổ chức cho SV gặp các SL và

sửa chữa các SL ấy khi dạy – học ứng dụng TPXĐHMBT

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactic

Toán, trước hết là các yếu tố lý luận liên quan đến tiến trình dạy học khái niệm toán học, SL, CN, HĐDH và QTHĐ Các yếu tố lý luận này sẽ được chúng tôi làm rõ

trong chương I

Theo Bachelard (1938), "SL không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức" Như vậy, muốn phát hiện được SL của SV thì phải quan sát những

hoạt động mà họ cần thực hiện khi sử dụng TPXĐHMBT với vai trò công cụ

(VTCC) Điều này cho thấy sự cần thiết của công cụ lý thuyết Thuyết nhân học cho

nghiên cứu của chúng tôi, trong đó định đề cơ bản được thừa nhận là: mỗi hoạt

động của con người đều là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ (KNV) T nào đó Việc giải quyết T phải nhờ vào một kỹ thuật  Tính hợp thức của

kỹ thuật  này phải được giải thích bởi một công nghệ  Công nghệ  cho phép xác định kỹ thuật, thậm chí tạo ra nó Và  lại được giải thích nhờ vào lý thuyết 

Trong trường hợp T là một KNV toán học thì bộ bốn ( , , ,T   ) được gọi là tổ chức toán học Tổ chức toán học là một công cụ hữu ích giúp chúng tôi phân tích quan hệ thể chế dạy học toán ở bậc Đại học đối với VTCC của TPXĐHMBT

Chúng tôi còn cần đến Lý thuyết tình huống để thiết kế những tình huống kiểm

chứng SL của SV, từ đó chỉ ra nguồn gốc của các SL ấy Các khái niệm phân tích tiên nghiệm, hậu nghiệm cũng sẽ tác động vào việc thiết kế các tình huống thực nghiệm của chúng tôi

Thuyết nhân học và Lý thuyết tình huống đã được trình bày một cách có hệ

thống trong Bessot et al (2009), Lê Thị Hoài Châu và Comiti (2018) nên chúng tôi

sẽ không giới thiệu chúng ở đây nữa

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

SL của SV ngành Toán trong việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Chúng tôi tập trung vào nghiên cứu SL của SV ngành Toán trường ĐHKHTN

và ĐHSG trong việc sử dụng TPXĐ một lớp của hàm một biến thực với VTCC: tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể và tính diện tích mặt tròn xoay

ĐHKHTN là trường Đại học đào tạo, nghiên cứu về khoa học cơ bản và khoa học công nghệ, trong đó có ngành Toán học (Toán lý thuyết) ĐHSG là trường Đại học đa ngành, trong đó có ngành Sư phạm Toán học và Toán ứng dụng (gồm hai chuyên ngành: Kinh tế định lượng và Toán – Tin ứng dụng) Việc lựa chọn SV ở hai trường này cho phép khảo sát được SL của SV ngành Toán ở các chuyên ngành khác nhau: Toán lý thuyết, Sư phạm Toán học và Toán ứng dụng

Chúng tôi dự định nghiên cứu việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC của SV ngành Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhưng đã không thực hiện được vì nội dung này không có mặt trong các giáo trình giảng dạy giải tích

hàm một biến của giảng viên Có lẽ, nội dung này được thiết kế đưa vào một mô–đun đào tạo liên quan đến chuyên ngành Vật lí với vai trò ứng dụng của Toán học

Chúng tôi ký hiệu K cho giáo trình “Giải tích – Hàm một biến” được sử dụng giảng dạy ở trường ĐHKHTN, và S cho giáo trình “Giải tích toán học I phần 2”

được sử dụng giảng dạy ở trường ĐHSG

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

4.1 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là làm rõ những SL của SV ngành Toán trong việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC và chỉ ra nguồn gốc của những SL đó

4.2 Câu hỏi nghiên cứu

Trên cơ sở phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi đặt lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:

QR1 Quan hệ thể chế dạy học K và S đối với VTCC của TPXĐHMBT có

những đặc trưng cơ bản nào? Có những tổ chức toán học nào liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL và nguyên nhân nào có thể dự đoán từ quan hệ thể chế?

QR2 Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào lên quan hệ cá nhân của SV

trong việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC? Có những SL nào tồn tại ở SV trong việc giải quyết các KNV liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL này có nguồn gốc từ đâu?

5 Giả thuyết nghiên cứu

Qua phân tích, chúng tôi rút ra hai giả thuyết nghiên cứu (GTNC) như sau:

GTNC H1: Tồn tại SL ở SV trong việc giải quyết các KNV gắn liền với

VTCC của TPXĐHMBT:

 Khi giải quyết KNV tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm trong tọa độ cực, tồn tại SL trong việc thiết lập công thức tích phân tính diện tích của hình phẳng đó

 Khi giải quyết KNV tính thể tích của một vật thể xác định bởi một mặt kín, tồn tại SL trong việc tính diện tích thiết diện theo biến x sau khi thiết lập hệ trục

tọa độ Oxyz gắn liền với vật thể

 Khi giải quyết KNV tính thể tích của vật thể tròn xoay nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường quanh một trục song song với Ox hay Oy

(trong đó hình phẳng nằm về hai phía so với trục quay), tồn tại SL gắn liền với việc làm khuyết phần thể tích của vật thể sinh ra

 Khi giải quyết KNV tính diện tích của mặt tròn xoay nhận được khi quay một phần đồ thị của hàm y f x ( ) quanh trục Oy tồn tại SL gắn liền với việc làm ,khuyết phần diện tích của mặt tròn xoay sinh ra

GTNC H2: Tồn tại CN có nguồn gốc sư phạm trong hai thể chế K và S đối với

VTCC của TPXĐHMBT, gắn liền với "công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trong tọa độ Descartes" CN này biểu hiện bằng QTHĐ_R11

và là nguyên nhân gây ra SL của SV như sau:

Khi giải quyết KNV tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm trong tọa độ cực, tồn tại SL trong việc thiết lập công thức tích phân tính diện tích của hình phẳng đó

6 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có để làm rõ những yếu tố lý luận liên quan đến tiến trình dạy học khái niệm

7 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu và trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi xác định những nhiệm vụ sau:

 Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có để làm rõ những yếu tố lý luận liên quan đến tiến trình dạy học khái niệm toán học, SL, CN, HĐDH và QTHĐ

 Phân tích chương trình Toán của khoa Toán – Tin học trường ĐHKHTN, khoa Toán – Ứng dụng trường ĐHSG; phân tích hai giáo trình K, S được sử dụng giảng dạy ở hai trường này để làm rõ đặc trưng quan hệ thể chế dạy học Toán ở bậc Đại học đối với VTCC của TPXĐHMBT và chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến chúng Từ đó, chúng tôi đưa ra giả thuyết liên quan đến quan hệ cá nhân của SV trong việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC, dự đoán những SL có thể tồn tại ở SV

và nguyên nhân của những SL đó

 Thiết kế tình huống thực nghiệm để kiểm chứng các GTNC đã nêu ra và tiến hành thực nghiệm trên SV tại hai trường: ĐHKHTN và ĐHSG Phân tích các kết quả của thực nghiệm để làm rõ những SL của SV khi tiếp cận và giải quyết các KNV liên quan đến VTCC của TPXĐ, đồng thời chỉ ra nguồn gốc của những SL đó

8 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương và phần kết luận

Phần mở đầu

Trong phần này, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, giả thuyết nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu và cấu trúc luận văn Chương 1 Cở sở lý luận

Mục tiêu của chương này là trình bày các yếu tố lý luận liên quan đến tiến trình dạy học khái niệm toán học, SL, CN, HĐDH và QTHĐ

Chương 2 Phân tích quan hệ thể chế dạy học K và S đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực

Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi QR1 Quan hệ thể chế

dạy học K và S đối với VTCC của TPXĐHMBT có những đặc trưng cơ bản nào?

Có những tổ chức toán học nào liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL

và nguyên nhân nào có thể dự đoán từ quan hệ thể chế?

Chương 3 Thực nghiệm

Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi QR2 Quan hệ thể chế

ảnh hưởng như thế nào lên quan hệ cá nhân của SV trong việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC? Có những SL nào tồn tại ở SV trong việc giải quyết các

KNV liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL này có nguồn gốc từ đâu? Phần kết luận

Chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 2 và 3, đồng thời đề xuất hướng nghiên cứu mở cho luận văn

1.1 Tiến trình dạy học khái niệm toán học

1.1.1 Cơ chế hoạt động của khái niệm

R Douady (1986) phân biệt ba cơ chế hoạt động khác nhau của một khái niệm toán học: Cơ chế "Đối tượng", cơ chế "Công cụ ngầm ẩn", và cơ chế "Công cụ tường minh"

 Một khái niệm hoạt động dưới cơ chế Công cụ khi nó được sử dụng một cách

ngầm ẩn hay tường minh như phương tiện để giải quyết một bài toán, một vấn đề

Ta nói đến Công cụ tường minh đối với các khái niệm được vận dụng bởi chủ

thể và chủ thể có thể trình bày, giải thích việc dùng chúng

Ta nói đến Công cụ ngầm ẩn đối với các khái niệm được vận dụng ngầm ẩn

bởi chủ thể, và chủ thể không thể trình bày hay giải thích việc sử dụng này

 Một khái niệm hoạt động dưới cơ chế Đối tượng khi nó là đối tượng được

nghiên cứu (được định nghĩa, được khai thác các tính chất, …)

1.1.2 Các tiến trình khác nhau về dạy học khái niệm

Việc dạy học các khái niệm Toán học có thể được thực hiện theo những quy trình khác nhau Theo Lê Văn Tiến (2005), đa số các khái niệm toán được dạy học theo hai tiến trình cơ bản sau:

 Tiến trình "Đối tượng → Công cụ"

 Tiến trình "Công cụ → Đối tượng → Công cụ"

a) Tiến trình "Đối tượng → Công cụ"

Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện trước hết với cơ chế đối tượng, sau

đó mới được sử dụng như là công cụ để giải quyết các vấn đề trong toán học hay

lĩnh vực khác

b) Tiến trình "Công cụ → Đối tượng → Công cụ"

Tiến trình này xuất phát từ hai quan niệm có nguồn gốc khoa học luận:

 Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của các đối tượng toán học, hầu hết các khái niệm đều xuất hiện trước hết trong cơ chế công cụ ngầm ẩn sau đó chúng mới

có cơ chế đối tượng (được định nghĩa, được nghiên cứu các tính chất….) Khi đã có

vị trí chính thức của một khái niệm toán học, nó lại được sử dụng để giải quyết các vấn đề khác (cơ chế công cụ tường minh)

 Trong toán học, “Bài toán”, “Ý tưởng” và “Công cụ” hình thành nên ba thành phần chủ yếu của hoạt động toán học, trong đó: Bài toán là động cơ của hoạt động, Công cụ là phương tiện giải quyết vấn đề, Ý tưởng là trung gian giữa Bài toán và Công cụ Trong mối quan hệ này, Bài toán cần giải quyết đóng vai trò mấu chốt và Công cụ chính là mầm mống của đối tượng tri thức mới

có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn

Năm 1982, G Brousseau định nghĩa HĐDH như là "tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản

mà mỗi bên (người dạy và người học) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này đối với bên kia"

Theo A Bessot, C Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), "HĐDH quy định các quyền hạn và nhiệm vụ của người dạy và người học qua sự phân chia

và giới hạn trách nhiệm của mỗi bên Nó là tập hợp các quy tắc hoạt động, các điều kiện quy định mối quan hệ giữa người dạy và người học trong lớp học"

Cũng theo các tác giả, việc tôn trọng HĐDH bởi người học không bao giờ tự

nó biến mất Nó thể hiện qua sự đánh giá trung thực sản phẩm của người học và chỉ

có thể được nhận dạng qua thực nghiệm, chứ không thể nhận ra được trong các mối

liên hệ sư phạm

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng công cụ lý thuyết HĐDH để xác định quy

tắc ngầm ẩn trong việc sử dụng các công thức TPXĐ mà thể chế nêu ra để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể, tính diện tích mặt tròn xoay, … được phân tích ở chương 2, đó là hoán đổi vai trò của x và y trong các công thức tích phân Chúng tôi

dựa vào sự ngầm ẩn HĐDH này để đưa ra các chiến lược giải có thể quan sát ở SV trong phần phân tích tiên nghiệm ở chương 3

1.3 Chướng ngại

Theo Lê Văn Tiến, Trần Anh Dũng (2012):

Hiện nay, có hai quan niệm khác nhau về khái niệm CN: CN thích nghi và CN theo quan điểm của didactic Toán

1.3.1 Chướng ngại thích nghi

Quan niệm CN thích nghi gắn liền với khái niệm thích nghi (đồng hóa và điều ứng) trong tâm lí học phát sinh của J Piaget

Theo quan niệm này, CN chính là khó khăn trong việc thích nghi vào một môi trường trong đó khách thể không còn là đối tượng quen thuộc

Các giải pháp khắc phục CN thích nghi thường được khuyên dùng là bổ sung kiến thức cho người học Chẳng hạn, rèn luyện cho người học cách vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau, cách nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau,…

1.3.2 Chướng ngại theo quan điểm của didactic Toán

Didactic toán không dùng khái niệm CN theo nghĩa chướng ngại thích nghi như trên Cụ thể, một CN phải có những đặc trưng (điều kiện cần) sau đây:

 CN là một kiến thức, một quan niệm, chứ không phải là một khó khăn hay sự thiếu kiến thức

 Kiến thức này cho phép tạo ra câu trả lời phù hợp trong một số tình huống thường gặp (gọi là trong phạm vi hợp thức) Nhưng khi vượt ra khỏi những tình huống quen thuộc này nó sẽ sinh ra các câu trả lời sai Để có câu trả lời đúng trong mọi tình huống cần có một quan điểm hoàn toàn khác

 Kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và gây khó khăn cho việc

thiết lập một kiến thức mới hoàn thiện hơn Việc có một kiến thức khác tốt hơn không đủ cho kiến thức cũ này biến mất Do đó, cần phải xác định kiến thức “sai” này và thực hiện loại bỏ nó trong quá trình xây dựng kiến thức mới

 Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được về sự không chính xác của kiến thức này, thì nó vẫn tiếp tục xuất hiện một cách dai dẳng, bất chợt

Ta cần nhấn mạnh thêm một số đặc trưng sau đây của CN theo quan điểm của didactic Toán:

 Đặc trưng 1: CN luôn biểu hiện qua các SL, nhưng các SL này không phải do

bất cẩn hay ngẫu nhiên và không xuất hiện rời rạc Ở một chủ thể người học, các SL này thường gắn kết nhau từ một nguồn gốc chung (một kiến thức cũ, một quan

niệm, một cách nhận biết, …)

Duroux (1982) nhấn mạng rằng: "CN là một kiến thức bền vững Trong những tình huống vượt ra khỏi phạm vi hợp thức của kiến thức này, thì đối với người học, việc loại bỏ kiến thức này còn đắt giá hơn là tìm mọi cách để thích ứng vào tình huống, ngay cả khi điều đó làm cho quy trình giải nặng nề thêm"

 Đặc trưng 2: Để xác định một CN theo quan điểm của didatic Toán, cần thiết

phải xác định các SL và chỉ ra rằng, ở cùng một chủ thể các SL này gắn kết với nhau

từ một nguồn chung (một kiến thức cũ) Ngoài ra, cũng cần thiết xác định những khó

khăn mà kiến thức cũ này gây ra và cả những thành công mà nó mang lại

 Đặc trưng 3: Một số CN có thể tránh được (chướng ngại sư phạm – là CN

sinh ra từ sự chuyển hóa sư phạm, dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ

thống dạy học), một số lại không thể tránh được (CN khoa học luận, CN có nguồn

1.4 Sai lầm

1.4.1 Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi

Theo Lê Văn Tiến (2006), thuyết hành vi quan niệm rằng SL là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục Còn nguyên nhân của SL thường được cho là:

 Do người học bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấn đề cần giải quyết;

 Do người học không nắm vững kiến thức đã học, yếu kĩ năng và khả năng suy luận;

 Do người học thiếu hụt kiến thức;

 Do người dạy trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không

đủ rõ ràng, …

Xu hướng dạy học tương thích với quan niệm trên về SL thường được gọi là

“sư phạm từng bước nhỏ” Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức được phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận, các mục tiêu bộ phận đến lượt nó lại được phân thành các mục tiêu con, để người học có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng cách đi dần dần, lần lượt từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm SL nào Người ta tìm mọi cách có thể để tránh SL Còn nếu như SL xuất hiện, thì cách giải quyết thông thường là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi người học có được lời giải hay câu trả lời đúng (phản xạ đáp lại như mong đợi)

1.4.2 Sai lầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo

Cũng theo Lê Văn Tiến (2006), thuyết kiến tạo về học tập quan niệm rằng trí tuệ của người học không bao giờ trống rỗng Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó chưa được giảng dạy, thì họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn liên quan tới đối tượng kiến thức này Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của người học tạo nên những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới Nhưng cũng có những biểu tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những CN và thường là nguyên nhân dẫn người học tới những SL Khác với thuyết hành vi, thuyết kiến tạo có một cái nhìn tích cực về SL: SL thực sự đóng một vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ Do đó, vấn đề không phải là

phòng tránh SL, mà là chủ động tổ chức cho người học gặp SL và sửa chữa nó như thế nào

Bachelard (1938) cũng nhấn mạnh: “Trong lịch sử các môn khoa học, SL không phải là một “tai nạn”, SL không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức, nó góp phần tạo nên nghĩa của kiến thức Và do đó, cần phải tổ chức dạy học thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các SL”

Mặt khác, trước một SL của người học, nếu như thuyết hành vi đi tìm nguyên nhân từ những kiến thức mà người ta cho rằng người học không nắm vững hay thiếu hụt, hoặc từ sự bất cẩn, vụng về,… của chủ thể, thì thuyết kiến tạo lại nhấn mạnh vào việc tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây:

 Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào được người học vận dụng đã góp phần tạo ra SL này?

 Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay quan niệm đó?

Một điểm khác biệt căn bản giữa thuyết hành vi và thuyết kiến tạo nằm ở cách thức sửa chữa SL Trong khi thuyết hành vi nhấn mạnh vào việc dạy lại và gia tăng luyện tập củng cố, và do đó nhấn mạnh trên vai trò chủ đạo của người dạy, thì thuyết kiến tạo chủ trương sửa chữa SL bằng cách đặt người học vào những tình huống học tập mới gắn liền với SL đó Tình huống nhắm tới tạo ra ở người học những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ SL mà chủ yếu là nhận ra rằng các quy trình hay quan niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí Các tình huống cũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn

Như vậy, thuyết kiến tạo đặc biệt nhấn mạnh trên vai trò chủ động của chủ thể (người học) trong việc sửa chữa SL

1.4.3 Sai lầm từ quan điểm của didactic Toán

Cùng quan điểm với thuyết kiến tạo, nhưng didactic Toán đã có những nghiên cứu sâu sắc hơn về khái niệm SL, nhất là về nguồn gốc của nó

Quan điểm này được Brousseau (1983) khẳng định:

SL không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới Những SL kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên CN Trong hoạt động của người dạy cũng như trong hoạt động của người học, SL có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này.

Didactic Toán không phủ định các nguyên nhân của SL từ quan điểm của thuyết hành vi, nhưng nó quan tâm đến SL do hạn chế về mặt phát triển cá thể và đặc biệt chú trọng nghiên cứu SL có nguồn gốc từ CN và từ HĐDH

 Sai lầm do hạn chế về phát triển cá thể

Con người từ lúc còn nhỏ đến khi trưởng thành trải qua nhiều giai đoạn phát triển cá thể khác nhau cả về tâm lí cũng như tư duy Giới hạn phát triển cá thể ở mỗi giai đoạn cũng là nguồn gốc của SL Ta minh họa điều này từ xem xét câu hỏi sau: Làm thế nào HS khẳng định một mệnh đề là đúng? Nói cách khác, HS kiểm chứng tính đúng đắn của một mệnh đề ra sao?

Balacheff (1982) đã phân biệt hai kiểu kiểm chứng sau:

 Kiểm chứng thực dụng: Xác nhận chân lí của một mệnh đề nhờ vào hành động

và kinh nghiệm

 Kiểm chứng trí tuệ: kiểm chứng không dựa vào kinh nghiệm Đó là những

cách xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính chất tường minh Phép chứng minh là một kiểm chứng trí tuệ đặc biệt

Cũng theo Balacheff, có ba kiểu kiểm chứng thực dụng:

 Kiểm chứng kiểu “Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ”: khẳng định chân lí của

một mệnh đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề khái quát hóa

 Kiểm chứng kiểu “Thí nghiệm quyết đoán”: khẳng định chân lí của một mệnh

đề bằng cách kiểm tra một vài trường hợp mà người học cho là ít riêng biệt nhất Cách làm này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái quát hoá được đặt ra

 Kiểm chứng kiểu “Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc”: kiểm chứng

này cố trình bày rõ ràng những lý lẽ về chân lí của mệnh đề, bằng cách thực hiện những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem như (tưởng tượng như) không có tính đặc biệt và riêng rẽ mà đại diện cho cả một lớp cá thể Trong dạy học toán học, do hạn chế về phát triển cá thể, người ta không thể đòi hỏi học sinh tiểu học biết sử dụng các kiểm chứng trí tuệ nói chung và chứng minh nói riêng Như vậy, nếu yêu cầu học sinh tiểu học xác nhận một mệnh đề đúng hay sai, thì các em thường kiểm tra qua một vài trường hợp đặc biệt hoặc quan sát,

đo trên hình vẽ và kết luận Từ quan điểm khoa học toán học, đó là những cách hợp thức hóa sai

 Sai lầm có nguồn gốc từ chướng ngại

Có thể nói, CN là một trong những nguồn gốc quan trọng của SL

Để tìm dấu vết của CN, didactic Toán đề nghị một tiến trình như sau:

 Xác định những SL thường xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại quanh một quan niệm

 Nghiên cứu xem chúng có tồn tại hay không trong lịch sử xây dựng khái niệm toán học

 Đối chiếu những CN lịch sử với những CN học tập để nếu có thể thì xác định các đặc trưng khoa học luận của CN

 Sai lầm có nguồn gốc từ hợp đồng dạy học

Các yếu tố lý luận trong nhóm tiểu mục 1.3 cho thấy HĐDH với những quy tắc được hình thành một cách ngầm ẩn của nó cũng là một trong các nguyên nhân của SL

1.5 Quy tắc hành động

Theo Bessot et al (2009):

Một QTHĐ là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những

kiến thức mà người học đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ

xác định QTHĐ này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của người học

Tổng quát hơn, QTHĐ là một sự mô hình hóa kiến thức của người học Những kiến thức này có phạm vi hợp thức của nó Trong phạm vi hợp thức của mình, các kiến thức được vận hành một cách nhất quán và tạo ra kết quả chính xác Thông

thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với người học, bởi vì những tình huống mà người học gặp lại gia cố thêm cho nó

Điều này cho phép chúng ta củng cố ý tưởng cho rằng "SL là hợp thành của kiến thức": mọi kiến thức, ở mọi cấp độ, đều có tính địa phương, và ta không thể biết phạm vi hợp thức của nó chừng nào chưa thiết lập được các giới hạn

Chương 2

PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC K VÀ S ĐỐI VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi QR1 Quan hệ thể chế

dạy học K và S đối với VTCC của TPXĐHMBT có những đặc trưng cơ bản nào?

Có những tổ chức toán học nào liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL

và nguyên nhân nào có thể dự đoán từ quan hệ thể chế?

Để trả lời cho câu hỏi trên, chúng tôi nghiên cứu việc dạy học TPXĐHMBT trong chương trình Toán của khoa Toán – Tin học trường ĐHKHTN, khoa Toán – Ứng dụng trường ĐHSG, và phân tích hai giáo trình K, S được sử dụng giảng dạy lần lượt ở hai trường này Về TPXĐ, chúng tôi chỉ trọng tâm nghiên cứu về VTCC của khái niệm này Cụ thể, ở mỗi thể chế dạy học K và S, chúng tôi sử dụng các yếu

tố lý luận đã được trình bày ở chương 1 để làm rõ các vấn đề sau:

 Tiến trình đưa vào dạy học khái niệm TPXĐHMBT;

 Đặc trưng quan hệ thể chế đối với VTCC của TPXĐHMBT

Trên cơ sở đó, chúng tôi dự đoán những SL có thể tồn tại ở SV, và nguyên nhân của những SL này

Từ đây đến cuối luận văn, để thuận tiện chúng tôi gọi tắt thể chế dạy học K là thể chế K, và thể chế dạy học S là thể chế S

2.1 Quan hệ thể chế K đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực

2.1.1 Tiến trình dạy học khái niệm tích phân xác định của hàm một biến thực

Theo chương trình của khoa Toán – Tin học trường ĐHKHTN, TPXĐ được

đưa vào giảng dạy ở học kì I năm thứ nhất của bậc Đại học trong học phần Vi tích phân 1A Thời lượng dành cho học phần này là 60 tiết, gồm 30 tiết lý thuyết và 30

tiết bài tập

TPXĐ được chương trình đưa vào sau khi đã hoàn thiện các đối tượng: số

thực, dãy số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục ở học phần Giải tích 1A SV sử

dụng chung giáo trình K cho cả hai học phần này

Giáo trình K được chia thành bảy chương và ba phụ chương, TPXĐ được

trình bày tường minh ở chương 5 Phép tính tích phân gồm các nội dung:

Định nghĩa 1.1 Hàm bị chặn f : a b,  được gọi là Riemann khả tích, hay vắn tắt là khả tích, khi sup ( , ) inf ( , )

P P





tích phân (xác định) của f trên  a b, , kí hiệu b ( )

a f x dx



(Giáo trình K, trang 146) Như vậy, định nghĩa TPXĐ được thể chế K đưa vào chính là định nghĩa tích phân Riemann Các giá trị L f( , ) và U f( , ) lần lượt được gọi là tổng Darboux dưới và tổng Darboux trên của f trên , a b

Thể chế K cũng chỉ ra ý nghĩa hình học của tích phân: Tích phân của một hàm dương f trên ,a b có thể coi như là diện tích hình thang cong abBA giới hạn giữa

trục hoành, đồ thị hàm y f x ( ) và hai đường thẳng x a x b ,  (xem Hình 2.1)

Đến §2, thể chế K trình bày các định lí cơ bản của phép tính tích phân

Cho f : a b,  là hàm khả tích Với mỗi x a b, , đặt ( ) x ( )

Định lí 2.2 (Định lí cơ bản của phép tính vi tích phân) Cho f : a b, 

là hàm có đạo hàm liên tục trên  a b, Ta có

Định lí 2.2 còn có thể viết lại dưới dạng khác và được biết dưới tên là công thức Newton – Leibnitz:

Nếu F là một nguyên hàm của f trên , ,a b thì

Định lí 2.4 (Công thức đổi biến) Xét các hàm  ,  u a b, f ,

trong đó f là hàm liên tục trên  a b, và u có đạo hàm liên tục trên  , .Ta có

( ) ( )

( 1)!

n n

kĩ thuật của phép tính tích phân Hay nói cách khác, §4 cho thấy VTCC của TPXĐ

Đây chính là trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi

Như vậy, phân tích giáo trình K cho thấy thể chế chọn cách tiếp cận tích phân

hiện đại thông qua các tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới TPXĐ được đưa vào theo tiến trình "Đối tượng → Công cụ" TPXĐ xuất hiện trước hết với cơ chế Đối tượng khi được định nghĩa và khai thác các tính chất, sau đó hoạt động dưới cơ chế Công cụ tường minh khi nó được sử dụng để giải quyết các bài toán như tính

diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể, tính độ dài của cung, tính diện tích mặt tròn xoay, … Các công thức Newton – Leibnitz, công thức đổi biến, công thức tích phân từng phần được sử dụng chủ yếu để giải quyết các nhiệm vụ xoay quanh VTCC của TPXĐHMBT

2.1.2 Đặc trưng quan hệ thế chế K đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực

Thể chế K cho thấy VTCC của TPXĐHMBT thông qua việc trình bày sáu ứng dụng chính của phép tính tích phân ở §4:

a) Tính diện tích hình phẳng

Sau khi phân tích sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất, tác giả Trần Lương Công Khanh (2006) khẳng định: Ở thể chế Việt Nam, học sinh cần thực hiện theo một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng:

Quy tắc 1: Vẽ các đường biểu diễn hình phẳng

Dựa vào biểu thức giải tích của các đường đã cho, SV vẽ trong cùng một hệ

trục tọa độ hình biểu diễn các đường giới hạn hình phẳng cần tính diện tích Nếu

1( )

y f x và y f x 2( ) là phương trình hai đường giới hạn hình phẳng đang xét trên đoạn a b, , việc kiểm chứng bất đẳng thức a b f x, , ( ) 1  f x2( ) bằng hình vẽ là được phép

Quy tắc 2: Xác định các cận tích phân

Trong trường hợp giá trị của các cận tích phân không cho trước, SV phải tính chúng bằng phương pháp đại số bằng cách xem chúng là hoành độ giao điểm của các đường đang xét

Quy tắc 3: Xác định hình phẳng cần tính diện tích

Hình phẳng cần tính diện tích là miền giới nội lớn nhất (không nhất thiết liên thông) có biên khép kín và được hợp thành chỉ từ các đường giới hạn hình phẳng, không có phần nào của các đường giới hạn lại nằm ở miền trong của hình phẳng

Việc tính diện tích hình phẳng trong sách giáo khoa Giải tích 12 hiện hành vẫn

không khác so với sách chỉnh lý hợp nhất trước kia nên các quy tắc của hợp đồng thể chế vẫn được giữ nguyên SV cũng cần tôn trọng các quy tắc này

 Diện tích hình phẳng trong giáo trình K

Diện tích của một hình phẳng cho bởi một hoặc nhiều hàm số khả tích trên một đoạn thẳng nào đó được tính trong ba dạng tương ứng với ba mục:

a) Hình thang cong trong tọa độ Descartes;

b) Hình quạt cong trong tọa độ cực;

c) Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số

Đối với hình thang cong trong tọa độ Descartes, thể chế K xét hai loại:

 Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng song song với Oy ;

 Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

Trước tiên, thể chế K nhắc lại hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm ( ) 0

y f x  xác định trên a b, , trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  có diện tích được tính theo công thức đã được trình bày ngay sau định nghĩa tích phân Riemann (phần ý nghĩa hình học của tích phân) là