Độ nhạy của thanh dò kính viễn vi lực nguyên tử trong tương tác với mẫu vật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  TRẦN NGUYÊN THẮNG ĐỀ TÀI ĐỘ NHẠY CỦA THANH DÒ KÍNH HIỂN VI LỰC NGUYÊN TỬ TRONG TƯƠNG TÁC VỚI MẪU VẬT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



TRẦN NGUYÊN THẮNG

ĐỀ TÀI

ĐỘ NHẠY CỦA THANH DÒ KÍNH HIỂN VI LỰC NGUYÊN

TỬ TRONG TƯƠNG TÁC VỚI MẪU VẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



TRẦN NGUYÊN THẮNG

ĐỀ TÀI

ĐỘ NHẠY CỦA THANH DÒ KÍNH HIỂN VI LỰC NGUYÊN

TỬ TRONG TƯƠNG TÁC VỚI MẪU VẬT

Thuộc tổ bộ môn: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

TS NGUYỄN DUY VỸ

Thành phố Hồ Chí Minh, 04/2022

Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 04 năm 2022

Xác nhận của Giảng viên hướng dẫn

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng 04 năm 2022

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng

LỜI CẢM ƠN

Điều đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy PGS

TS Phạm Nguyễn Thành Vinh, khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ

Chí Minh và Thầy TS Nguyễn Duy Vỹ tại Viện tiên tiến Khoa học và Công nghệ (STAI)

– Trường Đại học Văn Lang đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện

đề tài khoá luận này Tôi xin cảm ơn hai Thầy đã dạy dỗ và cung cấp cho tôi những kiến

thức Vật lí, kỹ năng cần thiết trong quá trình làm nghiên cứu và những bài học trong

cuộc sống Đồng thời xin cảm ơn sự giúp đỡ, những khích lệ tinh thần của hai Thầy đã

dành cho bản thân tôi để tôi có thể hoàn thiện bài khoá luận tốt nghiệp của mình

Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến ThS Lê Trí Đạt tại Viện tiên tiến Khoa

học Vật Liệu (AIMaS) – Trường Đại học Tôn Đức Thắng cùng với anh Lương Hoàng

Sang tại khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã hướng

dẫn tôi về mặt kĩ thuật, các phương pháp tiếp cận và sử dụng ngôn ngữ lập trình Python,

Mathematica, … để phục vụ cho bài khoá luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô tại khoa Vật lý – trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và tuyền đạt cho tôi những kinh

nghiệm, bài học để giúp tôi có được nền tảng kiến thức vững chắc để hoàn thành khoá

luận của mình cũng như là chuẩn bị hành trang vững chắc trong bốn năm đại học để

phục vụ cho công việc trong tương lai

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn quý báu đến gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi về

mặt vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể tập trung vào việc học của mình Đặc biệt là lời

cảm ơn đến các Thầy Cô, anh chị, các bạn và các em gần xa trong AMO Group đã luôn

bên cạnh, nhiệt tình giúp đỡ tôi trên quãng đường đại học

TP.HCM, ngày 12 tháng 04 năm 2022

Sinh viên

Trần Nguyên Thắng

MỤC LỤC

DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH SÁCH HÌNH VẼ iii

DANH MỤC BẢNG iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Tổng quan về Kính hiển vi lực nguyên tử (AFM) 4

1.1 Lịch sử ra đời và phạm vi ứng dụng 4

1.2 Nguyên tắc hoạt động của Kính hiển vi lực nguyên tử (AFM) 5

Chương 2: Lý thuyết về độ nhạy của thanh dò kính hiển vi lực nguyên tử 8

2.1 Lý thuyết Euler-Bernoulli về dao động của thanh dò 8

2.2 Phương trình tần số 14

2.3 Phương trình độ nhạy 17

Chương 3: Kết quả tính toán 21

3.1 Tần số của AFM cantilever theo các thông số hình học 21

3.2 Độ nhạy của AFM cantilever theo các thông số tương tác với mẫu vật 24 Kết luận và hướng phát triển 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

PHỤ LỤC 34

DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt Thuật ngữ Tiếng Anh Thuật ngữ Tiếng Việt

Microscope

Kính hiển vi lực nguyên

tử

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1 Mô hình kính hiển vi lực nguyên tử [21] 5

Hình 2 Hoạt động của thanh dò ở chế độ tĩnh 6

Hình 3 Hoạt động của thanh dò ở chế độ đánh dấu (tapping mode) 7

Hình 4 Hình vẽ mô tả sự dao động của thanh cantilever 8

Hình 5 Xét trên một vi phân độ dài ds của thanh 9

Hình 6 Xét cung tròn AB với bán kính R có góc chắn cung d 9

Hình 7 Mặt cắt dọc của thanh uốn được mô tả với trục trung hoà 10

Hình 8 Xét trên một đơn vị thể tích của thanh dò khi dao động 10

Hình 9 Khảo sát dao động uốn bên bề mặt cắt của thanh dò 11

Hình 10 Các lực tác động lên một phần tử thể tích gây ra sự biến dạng của thanh dò 12

Hình 11 Đồ thị biểu diễn biên độ dao động của thanh dò ứng với từng mode dao động. 16

Hình 12 Hình ảnh của thanh dò AFM khi tương tác với mẫu vật có hằng số tương tác là k 17

Hình 13 Đồ thị biểu diễn tần số dao động theo từng hệ số độ cứng bề mặt k tsvới biến chạy là độ dài ứng với bốn mode dao động của cantilever hình chữ nhật đăng trong không khí 22

Hình 14 Đồ thị biểu diễn tỉ số tần số của thanh dò khi tương tác với mẫu vật so với thanh dò ở trạng thái dao động tự do 23

Hình 15 Đồ thị khảo sát độ nhạy ở chế độ uốn của cantilever hình chữ nhật trong không khí khảo sát theo độ cứng bề mặt vật liệu 24

Hình 16 Đồ thị biểu diễn ngưỡng độ nhạy của vật liệu làm AFM cantilever khảo sát 26

Hình 17 Đồ thị biểu diễn ngưỡng độ nhạy của từng vật liệu khác nhau 27

DANH MỤC BẢNG Bảng 1 Các điều kiện biên của thanh khi dao động tự do 15 Bảng 2 Nghiệm của phương trình cho thanh dò ứng với các mode dao động 16 Bảng 3 Các điều kiện biên của thanh dao động khi tương tác với mẫu vật 18 Bảng 4 Các thông số của AFM cantilever để tính toán 26

MỞ ĐẦU

Vào những năm 1986, G Binnig đã chế tạo ra kính hiển vi lực nguyên tử (Atomic Force Microscope – AFM) như là một kĩ thuật mới [1] lần đầu tiên được sử dụng để ghi lại hình ảnh của cấu trúc bề mặt vật liệu với độ phân giải cao thông qua tương tác đầu

dò – mẫu [2, 3] Với các đặc điểm nổi bật đó, AFM đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như sinh học, hoá học, vật lý, công nghệ nano và khoa học vật liệu [4-8] Thiết bị này giúp phát hiện các đặc tính vật lý của mẫu như độ dẫn điện, ma sát, từ trường hoặc

sự phân bố điện tích, … Nó có thể hoạt động trong các môi trường khác nhau như chân không, không khí, chất lỏng [9], … và cho kết quả có độ phân giải rất cao Đồng thời, AFM còn có các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như tạo hình bề mặt vật liệu

ở cấp độ nguyên tử [1, 10, 11], đặc biệt là sử dụng rộng rãi trong các thí nghiệm gần đây

để đo lường trong sinh học (bio-sensing) Các ứng dụng của AFM đang thu hút được nhiều sự quan tâm nhờ vào các yếu tố sau: (i) cho ra độ phân giải cực cao ở thang đo nanomet đối với các chất bán dẫn, polyme và các phân tử sinh học, (ii) các tham số độ nhạy với tương tác đầu mẫu (biên độ, tần số, độ dịch pha và độ lệch của cantilever), (iii) những khó khăn của đầu dò khi tương tác với bề mặt và (iv) tiềm năng phát triển các phương pháp định lượng để mô tả những tính chất vật liệu ở thang đo nanomet

Bộ phận quan trọng nhất của một AFM chính là đầu dò nhọn (sharped tip) được gắn

ở gần cuối của một thanh dò (microcantilever hay cantilever) Thanh dò thường được làm bằng silicon hoặc silicon nitride Thông qua việc quét đầu dò này trên bề mặt khảo sát đồng thời theo dõi độ lệch của thanh dò, một bức tranh ba chiều (topography của bề mặt mẫu) về cấu tạo bề mặt của mẫu có thể được ghi nhận Nhiều phương thức khác nhau của kỹ thuật cơ bản này hiện đang được sử dụng để trích xuất hình ảnh bề mặt bằng AFM tùy thuộc vào các thuộc tính của mẫu và thông tin cần ghi nhận [2, 12] Chẳng hạn, thông thường người ta sẽ xác định được độ lệch (uốn) của thanh dò dựa trên

sự phát hiện quang học hoặc dựa trên các cảm biến điện tích hợp để đo đạc sự thay đổi

đó Đây được xem như là một kỹ thuật mở rộng phát triển hơn so với chế độ cũ trước

đó [12] Thậm chí, kỹ thuật của AFM còn được dùng để khảo sát vi sinh vật nhờ vào

cách để khảo sát sự tương tác của các vi sinh vật ở thang đo nanomet và cấp độ tế bào [10 - 12] Để có thể chụp ảnh bề mặt của mẫu vật với độ tương phản cao, việc xác định được tần số cộng hưởng và độ nhạy của AFM có vai trò quan trọng [13] Một số công trình nghiên cứu đã được thực hiện nhằm phân tích sự ảnh hưởng của độ cứng bề mặt mẫu vật đến độ nhạy của AFM [14–18] Tuy nhiên, mỗi chế độ sẽ có độ nhạy tương ứng phụ thuộc vào sự thay đổi độ cứng của bề mặt mẫu vật Độ nhạy này ảnh hưởng trực tiếp đến độ tương phản, chất lượng của hình ảnh mẫu vật mà ta đang khảo sát [14] Do

đó, dựa vào độ cứng bề mặt mẫu vật khác nhau ta sẽ sử dụng mode dao động của cantilever tương ứng để cho ra được hình ảnh mong muốn (hoặc nhằm mục đích để cải thiện độ tương phản) Phần lớn các nghiên cứu chủ yếu tập trung đến hoạt động độ nhạy của AFM trong không khí và vẫn đang là một trong những hướng nghiên cứu sôi động trên thế giới [13 – 18]

Chính vì thế, từ những đặc tính của AFM đã nêu trên và tính phổ biến trên thế giới,

chúng thôi thực hiện đề tài “Độ nhạy của thanh dò kính hiển vi lực nguyên tử trong tương tác với mẫu vật” Trong khóa luận này, dựa vào cấu trúc phổ biến của các thanh

dò là dạng hình chữ nhật và bằng việc sử dụng lý thuyết Euler-Bernoulli, chúng tôi sẽ khảo sát tần số dao động và độ nhạy của thanh dò trong AFM thông qua tương tác đầu

dò – mẫu để từ đó đưa ra được các số liệu về các mode dao động tương ứng của cantilever ứng với độ cứng bề mặt mẫu khảo sát, cũng như là so sánh tần số dao động của cantilever trong trường hợp tự do với trường hợp cantilever tương tác với mẫu vật thông qua ngôn ngữ lập trình Python và Mathematica Trong bài khoá luận này, tôi sẽ trình bày ở các phần sau:

Chương 1 Tổng quan về kính hiển vi lực nguyên tử: Trong phần này, tôi sẽ trình

bày sơ lược về lịch sử ra đời, các ứng dụng – nguyên tắc hoạt động cũng như là các chế

độ hoạt động phổ biến của kính hiển vi lực nguyên tử

Chương 2 Lý thuyết về độ nhạy của thanh dò kính hiển vi lực nguyên tử: Trong

phần này, tôi sẽ trình bày cơ sở lý thuyết của lý thuyết Euler-Bernoulli về dao động của thanh dò Từ đó sẽ dẫn ra các phương pháp tiếp cận để có thể tính toán tần số dao động

và độ nhạy của thanh dò kính hiển vi lực nguyên tử

Chương 3 Kết quả tính toán: Đây là phần tôi sẽ trình bày kết quả tính toán về tần

số dao động của thanh dò cantilever khi tương tác với mẫu vật so với tần số dao động của thanh dò khi ở trạng thái tự do khi tăng dần độ cứng bề mặt mẫu vật Tương tự chúng tôi sẽ khảo sát độ nhạy của cantilever tương ứng với các mode dao động khác nhau để đưa ra nhận xét về độ nhạy khi tăng dần độ cứng bề mặt mẫu vật

Chương 1: Tổng quan về Kính hiển vi lực nguyên tử (AFM) 1.1 Lịch sử ra đời và phạm vi ứng dụng

AFM được biết đến như là một kĩ thuật dùng để ghi lại hình ảnh cấu trúc bề mặt vật liệu với độ phân giải cao thông qua tương tác đầu dò – mẫu, lần đầu tiên được

G Binnig và cộng sự đề xuất vào những năm 1986 [1, 3] AFM đã nổi lên như một nền tảng mạnh mẽ để nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, hoá học, vật lý, công nghệ nano, y tế và khoa học vật liệu [4 – 8, 19] Khác với những công cụ hiển vi đầu dò khác (chẳng hạn như thiết bị đầu dò ống nano carbon, hoặc đầu dò vi điện tử, …), AFM được vận hành trong các điều kiện sinh lý, bên cạnh việc khảo sát dưới mức độ nanomet với lực tương tác ở phạm vi pico-Newton (pN) [19] nó còn giúp phát hiện các đặc tính vật lý của mẫu như độ dẫn điện, ma sát, từ trường hoặc sự phân bố điện tích, … Bên cạnh đó, AFM có thể hoạt động trong nhiều môi trường khác nhau và thường được biết đến nhiều nhất là trong chân không, không khí hoặc chất lỏng [9] Đồng thời, AFM còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như tạo hình bề mặt vật liệu ở cấp độ nguyên tử [1, 10 ,11], và gần đây được rất nhiều nhà khoa học quan tâm trong việc thực hiện hàng loạt các thí nghiệm trong việc đo lường sinh học (bio-sensing)

Thành phần cốt lõi của kính hiển vi điện tử là thanh dò microcantilever hoặc là cantilever với một đầu nhọn được gắn ở đầu tự do của thanh Thanh dò thường được làm bằng silicon hoặc silicon nitride Trong phần lớn khả năng có được của AFM, nó được sử dụng để vận hành đầu dò để thu thập các thông tin về những đặc tính cơ học của mẫu vật mà ta cần khảo sát Trong quá trình quét trên bề mặt mẫu vật, sự biến dạng của cantilever sẽ được thể hiện dưới dạng là hàm biểu thị độ lõm của đầu dò khi khảo sát [20] Dựa vào hàm biểu thị đó, người ta sẽ tái tạo lại một không gian ba chiều của mẫu (tophography của bề mặt mẫu) tại khu vực đang khảo sát Để có thể cho ra hình ảnh bề mặt của mẫu vật với độ tương phản cao, việc xác định được tần số cộng hưởng

và độ nhạy của AFM có vai trò quan trọng [13]

1.2 Nguyên tắc hoạt động của Kính hiển vi lực nguyên tử (AFM)

Hình 1 Mô hình kính hiển vi lực nguyên tử [21]

Hệ thống của AFM được thiết lập như Hình 1 Các thành phần của nó bao gồm một

nguồn laze, một cantilever và một bộ cảm biến quang học Bộ phận chính và cũng là

bộ phận quan trọng nhất của AFM là cantilever, nó hoạt động tương tự như một lò xo

cơ học Ở gần cuối của cantilever được gắn thêm một đầu dò nhọn (shared tip) [22], các nguyên tử trên bề mặt của mẫu sẽ tác động lên các nguyên tử của chóp nhọn đầu dò và làm thay đổi độ võng hoặc tần số của cantilever Khi đầu dò được đưa đến gần bề mặt mẫu (khoảng vài nanomet), lực tương tác giữa đầu dò và mẫu sẽ làm cho cantilever bị lệch hướng Sự thay đổi về độ lệch này sẽ dẫn đến sự thay đổi góc của tín hiệu phản xạ

và dẫn đến sự dịch chuyển điểm trên cảm biến quang học Sự dịch chuyển này được chuyển sang tín hiệu điện tử và thông tin cấu trúc bề mặt được hiển thị trên màn hình máy tính Người dùng có thể thiết lập các tham số phản hồi, đồng thời các tham số này được giữ cố định ở giá trị điểm đặt Nếu tín hiệu phản hồi bị lệch ra khỏi giá trị điểm đặt ban đầu, được gọi là tín hiệu lỗi Nhờ vào tín hiệu lệch ấy ta có thể xác định được cấu trúc bề mặt khảo sát [23]

Nguyên nhân chính gây ra tín hiệu lỗi là do sự tương tác giữa đầu dò và mẫu vật mà

ta đang khảo sát Trong tương tác này, có thể là tương tác đẩy hoặc tương tác hút (ta còn được biết đến là lực Van der Waals), điều đó phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng

Trong khoảng cách ngắn, tương tác đẩy chiếm ưu thế, do đó cantilever sẽ bị đẩy ra khỏi mẫu Còn trong khoảng cách xa, tương tác hấp dẫn chiếm ưu thế, do đó cantilever sẽ bị kéo về phía mẫu vật

Hoạt động của AFM thường được chia ra làm hai loại: Chế độ tĩnh (còn gọi là chế

độ tiếp xúc) và chế độ động Hơn nữa, các chế độ có thể được mô tả như một hàm của lực theo khoảng cách

a Chế độ tĩnh (chế độ tiếp xúc)

Ở chế độ tĩnh, đầu dò luôn tiếp xúc với bề mặt của mẫu (Hình 2) Khi đầu quét trên

bề mặt, lực tương tác giữa chúng (lực đẩy) ảnh hưởng đến cantilever Hình dạng cấu trúc bề mặt có độ cao lớn hơn hoặc thấp hơn so với vị trí gốc, do đó tương tác giữa mẫu

và đầu dò bị thay đổi tại các vị trí đó Tương tác thay đổi dẫn đến sự thay đổi độ võng, nhờ vào đó mà ta có thể thu được ảnh bề mặt của mẫu vật đang xét Chế độ tĩnh (tiếp xúc) có một số ưu điểm là cho ta độ phân giải cao ở cấp độ nguyên tử: như tốc độ quét nhanh và chế độ hoạt động đơn giản Trong quá trình quét, mũi đầu dò được kéo lê trên bề mặt và cho ra hình ảnh bề mặt Chính vì thế nhược điểm của chế độ này là sẽ dễ làm hỏng bề mặt mẫu và mũi đầu dò Ngoài ra còn phải chịu ảnh hưởng nhiều của lớp vật chất hấp thụ trên bề mặt mẫu Chính vì thế sự ra đời của chế độ động sẽ giúp ta khắc phục được những khó khăn của chế độ tĩnh

Hình 2 Hoạt động của thanh dò ở chế độ tĩnh

b Chế độ động

Đối với chế độ động, cantilever được điều khiển để có thể dao động ở một tần số nhất định Dựa vào nguyên tắc này, người ta có thể khắc phục được các nhược điểm ở chế độ tĩnh Các tham số phản hồi có thể là tần số hoặc biên độ dao động của thanh dò Trong điều kiện thiết lập ban đầu, các tham số đó đã được thiếp lập tại giá trị điểm đặt Nếu cấu trúc bề mặt không bằng phẳng sẽ làm cho các tham số phản hồi bị thay đổi

Sự thay đổi này sẽ đưa ra một số tín hiệu lỗi và phản ánh hình ảnh bề mặt của mẫu vật Chế độ động là kỹ thuật tạo ảnh độ phân giải cao đầu tiên được thực hiện trên AFM trong môi trường chân không cao Chế độ đánh dấu (tapping mode) là một chế độ

điển hình trong chế độ động được thể hiện tại Hình 3 Trong chế độ đánh dấu, tương tác

giữa đầu dò và mẫu bao gồm hai loại: tương tác đẩy và tương tác hấp dẫn Với những

ưu điểm mà chế độ này mang lại, nó được sử dụng phổ biến trong thí nghiệm và chế tạo Một loại chế độ động khác là chế độ không tiếp xúc (non-contact mode) Giống như chế độ đánh dấu, cantilever được cho dao động, tuy nhiên ở chế độ này, khoảng cách giữa đầu dò và mẫu được thiết lập và cố định Nó khắc phục được nhược điểm của chế độ tiếp xúc, thế nhưng nó vẫn có một vài nhược điểm, chẳng hạn như độ chính xác

sẽ bị thấp đi nếu bề mặt mẫu vật khảo sát có một lớp ẩm

Hình 3 Hoạt động của thanh dò ở chế độ đánh dấu (tapping mode)

Chương 2: Lý thuyết về độ nhạy của thanh dò kính hiển vi lực

nguyên tử 2.1 Lý thuyết Euler-Bernoulli về dao động của thanh dò

Lý thuyết Euler-Bernoulli về dao động của thanh dò (còn được gọi là lý thuyết dầm

cổ điển) [24] là một sự đơn giản hoá lý thuyết đàn hồi tuyến tính cung cấp một phương tiện để tính toán các đặc tính chịu tải và độ võng của cantilever

Nó bao gồm trường hợp tương ứng với độ lệch nhỏ của chùm chỉ chịu tải trọng bên trong bằng cách bỏ qua sự ảnh hưởng của biến dạng cắt và quán tính quay Đây chính một trường hợp đặc biệt của lý thuyết chùm Timoshenko Nó được công bố lần đầu tiên vào những năm 1750 [25] nhưng vẫn chưa được áp dụng rộng rãi cho đến khi có sự phá triển của Tháp Eiffel và bánh xe Ferris vào cuối thế kỉ 19 Sau những công bố này, nó đã nhanh chóng trở thành một nền tảng của kĩ thuật và là yếu tố thúc đẩy cuộc Cách mạng Công nghiệp lần thứ hai

Để có thể xác định được tần số dao động và độ nhạy của thanh dò, thông thường ta

có thể chọn cách tiếp cận dựa trên lý thuyết Euler-Bernoulli Trong lý thuyết này, ta sẽ

giả sử xét một thanh dò đang dao động trên trục Oy với độ lệch y và hợp với trục Ox

một góc 

Hình 4 Hình vẽ mô tả sự dao động của thanh cantilever

Xét một khoảng rất AB rất nhỏ trên thanh với độ dài cung là ds

Hình 5 Xét trên một vi phân độ dài ds của thanh

Hình 6 Xét cung tròn AB với bán kính R có góc chắn cung d

Gọi k là sự thay đổi độ dốc của thanh dò Khi đó ta có được biểu thức tính độ cong k:

Thông thường để thuận tiện trong việc tính toán, người ta thường xét với góc lệch

 là rất bé Khi đó giá trị dxds, từ phương trình (2.2) ta có thể suy ra được:

Hình 7 Mặt cắt dọc của thanh uốn được mô tả với trục trung hoà

Dựa vào giải thuyết đó, ta có thể xác định được độ dịch chuyển của một đơn vị

thể tích trong thanh được biểu thị qua Hình 8

Hình 8 Xét trên một đơn vị thể tích của thanh dò khi dao động

Khi thanh dò dao động (hay uốn) sẽ tạo ra một sự dịch chuyển vị trí của các phần tử của khối rắn Ta gọi sự thay đổi này là sự biến dạng của thanh Để có thể tìm ra được

sự biến dạng này, thông thường ta có thể áp dụng chúng vào toạ độ cực Gọi R là khoảng cách từ gốc toạ độ đến trục trung hoà, z là khoảng cách từ trục trung hoà đến

độ uốn mà ta cần xét Khi đó, độ biến dạng của thanh được xác định thông qua biểu thức

với E lúc này là ứng suất Young (Young’s modulus)

Tiếp tục ta xét một phần tử nhỏ của thanh dao động như trên hình:

Hình 9 Khảo sát dao động uốn bên bề mặt cắt của thanh dò

Vector vi phân lực cắt dF do ứng suất uốn trên một vi phân diện tích sẽ được

biểu thị như sau:

với  là mật độ mặt của thanh

Dựa vào đó, vi phân vector moment uốn được thể hiện:

I =z dydz là moment diện tích thứ hai [13, 26, 27] Đồng thời khi ta xét góc lệch

đủ nhỏ, khi đó dựa vào biểu thức (1) và (3) ta suy ra được

R dx = dx Từ đó biểu thức (2.8) còn được viết dưới dạng như sau:

2 2

d u

M EI

dx

với u là biên độ dao động của thanh

Tiếp theo, để có thể thu được tần số dao động và thông số mode dao động của thanh

ta cần có một phương trình dao động Để thực hiện được điều này, chúng ta xét một phần tử thể tích nhỏ của thanh

Hình 10 Các lực tác động lên một phần tử thể tích gây ra sự biến dạng của thanh dò

Khi thanh bị uốn, các lực xuất hiện tác động lên phần tử thể tích thanh như trên hình Chọn trục quay đi qua vị trí B, sử dụng quy tắc cân bằng moment uốn của thanh, các lực được biểu diễn như sau:

( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) 0

M x =M x +M x dx V x dx+  M x +V x dx= (2.11) Qua đó, lực biến dạng của thanh được viết lại:

Đây cũng chính là phương trình Euler-Bernoulli về dao động của vật thể với u x t ( ),

là biên độ uốn tại vị trí x dọc theo thanh dò vào thời điểm t