Bài toán đẳng chu trong hình học vi phân và thể hiện trong hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Thiện Hiền BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ THỂ HIỆN TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Thiện Hiền

BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC VI PHÂN

VÀ THỂ HIỆN TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Thiện Hiền

Chuyên ngành : Hình học và Tôpô

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáctài liệu, trích dẫn, kết quả nêu trong đề tài luận văn tốt nghiệp có nguồngốc rõ ràng, trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì côngtrình nào khác.

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về sự cam kết này

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 11 năm 2021

Học viên thực hiện luận văn

Lê Thiện Hiền

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Toán−

Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, nhất là quý Thầy

Cô tổ Hình học, cũng như quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 30trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạytôi trong suốt khóa học vừa qua

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh

Vũ, người Thầy đã gợi mở hướng nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề mộtcách khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trong Ban giám hiệu,Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh BìnhThuận, Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp trường THPT chuyênTrần Hưng Đạo tỉnh Bình Thuận đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi đi học

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, cácbạn học cùng khóa, những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 11 năm 2021

Học viên thực hiện luận văn

Lê Thiện Hiền

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

1.1 Không gian Rn và En 4

1.2 Đường và siêu mặt trong không gian Euclide En 6

1.2.1 Đường trong En 6

1.2.2 Siêu mặt trong En 7

1.3 Đa tạp vi phân 9

1.3.1 Đa tạp tôpô 9

1.3.2 Atlat khả vi – Cấu trúc khả vi 9

1.3.3 Đa tạp vi phân 10

1.3.4 Đa tạp con 10

1.3.5 Tích các đa tạp vi phân 10

1.3.6 Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân 10

1.4 Thể tích trên đa tạp 11

1.5 Trường vectơ Gradient và Divergence 12

I = ha, bi : Là một trong các tập sau: (a; b) , (a; b] , [a; b) , [a; b].

χ (M ) : Tập các trường vectơ khả vi trên đa tạp M

F (M ) : Tập hàm nhẵn trên đa tạp M

grad f : Trường vectơ Garadiăng của hàm f trên M

div X : divecgiăng của trường vectơ X

MỞ ĐẦU

Các bài toán đẳng chu là một trong những bài toán cổ xưa củaphép tính biến phân và có lịch sử từ thế kỷ thứ 3 trước công nguyên Nóvừa là một trong những bài toán cổ điển và nổi tiếng nhất của Toán học

sơ cấp, lại vừa là một trong những bài toán thời sự nhất của Toán họchiện đại

Mặc dù các bài toán đẳng chu được đề cập đến từ thời cổ đại, nhưngnghiên cứu có tính đại cương đầu tiên về bài toán đẳng chu chỉ được công

bố lần đầu tiên trên thế giới bởi nhà Toán học nổi tiếng Bernoulli năm

1697 Nhà Toán học L Euler chính là người đầu tiên nghiên cứu bài toánđẳng chu một cách có hệ thống năm 1732

Để tìm lời giải cho mỗi bài toán đẳng chu, người ta tìm cách chứng

Khi cố định thể tích n−chiều F của siêu mặt S của không gian

ta sẽ nhận được các bất đẳng thức đẳng chu mới (mà đối với chúng, dấubằng có thể xảy ra) và các bài toán đẳng chu tương ứng mà tràn đầy tiềmnăng ứng dụng trong toán học nói riêng (kể cả Toán học sơ cấp), trongkhoa học và thực tiễn nói chung

Có thể nói, các bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu cómối quan hệ chặt chẽ với nhau và ngày càng thu hút sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà Toán học thuộc các lĩnh vực khác nhau trên khắp thếgiới

Như vậy, bài toán đẳng chu là một vấn đề thời sự và có tính “tân

cổ giao duyên” Nó vừa hiện đại, lại vừa có thể soi sáng các vấn đề sơ cấp.Mặt khác, mặc dù bài toán đẳng chu đã xuất hiện từ thời cổ đại trongToán học sơ cấp, nhưng cho đến thời điểm này vẫn còn quá ít tài liệu,nhất là tài liệu tiếng Việt đề cập đến bài toán này một cách hệ thống Bởivậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về bài toán đẳng chu Cụthể, chúng tôi muốn hệ thống lại các quan điểm từ cổ điển đến hiện đại vềbài toán đẳng chu, trình bày các chứng minh cổ điển cũng như chứng minhhiện đại về một số bất đẳng thức đẳng chu Đồng thời trên cơ sở một số

bài toán đẳng chu cổ điển nổi tiếng, chúng tôi sẽ cố gắng tìm ra một lớpmới các bài toán đẳng chu trong hình học sơ cấp phẳng và không gian làmtài liệu tham khảo cho các giáo viên chuyên Toán cũng như tài liệu bồidưỡng học sinh giỏi Toán hệ trung học phổ thông Chính vì vậy, chúng tôi

đã lựa chọn đề tài mang tên “Bài toán đẳng chu trong hình học viphân và thể hiện trong hình học sơ cấp”

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chủ yếu trình bày lại một cách đại cương các kiến thức

đề tài Các tính chất, định lý sẽ được giới thiệu không có chứng minh Tàiliệu tham khảo chủ yếu của chương này là các cuốn [1], [2], [3], [8], [10],[11] Bạn đọc nào muốn tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề vừa nêu xin xemthêm các tài liệu tham khảo đã kể trên

1.1 Không gian Rn và En.

Chúng ta rất quen thuộc với

Rn := {x = (x1, , xn) | x1, , xn ∈ R}

nhiên vừa là một không gian tôpô với tôpô thông thường (hay tôpô chínhtắc)

a, b, c, Đặc biệt, vectơ không là 0 := (0, 0, , 0) ∈ Rn Cơ sở chínhtắc trong Rn là :

C(n) := e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, , 0, 1)

như dưới đây

1 Tích vô hướng chính tắc của hai vectơ

với mọi x1 = x11, x21, , xn1
, , xn−1 = x1n−1, x2n−1, , xnn−1
∈ Rn.

4 Định hướng

gọi là cùng hướng nếu ma trận đổi cơ sở giữa chúng có định thức dương,trái lại thì chúng được gọi là ngược hướng

ngược lại được gọi là hướng phản chính tắc hay hướng âm

5 Không gian Euclide En.

En đã chọn cố định một mục tiêu trực chuẩn {O; u1, u2, , en} gồm mộtgốc tọa độ O cùng một cơ sở nền (u1, u2, , un) trực chuẩn nào đó của

bộ tọa độ của nó trong mục tiêu đã chọn

thông thường trong Hình học Giải tích sơ cấp chính là hình ảnh minh họa

và E3 ≡ Oxyz

1.2 Đường và siêu mặt trong không gian Euclide En

1.2.1 Đường trong En

là một khoảng (mở, đóng, nửa mở, nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc

(C, c) được gọi là một đường tham số với tham số hóa c và tham số t C

Định nghĩa 1.2 (xem [11], trang 4) Cho đường tham số c : I → En.Nếu c0(t) 6= 0 thì t (hay c(t)) gọi là điểm chính quy còn những điểm mà

c0(t) = 0 gọi là điểm kỳ dị Với mỗi t ∈ I mà c0(t) 6= 0, chúng ta gọi

t

r : J → En gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi ϕ : I → J sao cho

c = r ◦ ϕ

Nếu ϕ0 < 0 thì c0 và r0 ngược chiều nhau Trong trường hợp này ta

Nếu ϕ0 > 0 thì c0 và r0 cùng chiều Trong trường hợp này ta nói c

Định nghĩa 1.4 (xem [11], trang 5) Độ dài cung của một đường tham sốchính quy c : I → En, từ điểm t0 đến t, với t0, t ∈ I, t0 < t, được định

Do c0(t) 6= 0 nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và ds

gian vectơ chỉ phương sinh bởi hệ vectơ

n

ru01(u), ru02(u), , ru0n−1(u)o gọi

là siêu phẳng tiếp xúc của S tại P, ký hiệu TpS

của r tại p ∈ S

Chọn tọa độ (x1, x2, , xn) trong En thì tập con S của En được

p ∈ S có lân cận mở (trong S) là một siêu mảnh hình học (n − 1) −chiều

mảnh Sα = rα(Uα), rα : Uα ⊂ Rn−1 → En, α ∈ I sao cho {Sα/α ∈ I} là

3 Siêu mặt định hướng

đã chọn cố định chính cái hướng xác định bởi hệ vectơ chỉ phương của nó

1.3 Đa tạp vi phân.

1.3.1 Đa tạp tôpô

1.3.2 Atlat khả vi – Cấu trúc khả vi

Cặp (U, ϕ) xác định như thế được gọi là một bản đồ địa phương

cho ϕ(y) = (x1(y), , xn(y)) , ∀y ∈ U Ta nói {U ; x1, , xn} là hệ tọa

Hai tập bản đồ A1 = {(Ui, ϕi) : i ∈ I} và A2 = {(Vj, ψj) : j ∈ J }

M

1.3.3 Đa tạp vi phân

đa tạp nhẵn

1.3.4 Đa tạp con

ϕ : U → U0 ⊂Rn sao cho ϕ (x) = 0 và ϕ(U ∩ P ) = {0} ×Rk
∩ U0

1.3.5 Tích các đa tạp vi phân

B = {Vj, ψj}j∈J Trên không gian tôpô Hausdorff M × N xét atlat khả vi

A × B = {Ui× Vj, ϕi × ψj}i∈I,j∈J. thì M × N là đa tạp khả vi và gọi là

1.3.6 Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân

tại p ∈ M nếu với mọi bản đồ (U, ϕ) quanh p và (V, ψ) quanh f (p) = q

mà f (U ) ⊂ V thì ánh xạ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) khả vi tại điểm

phôi

Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa là

k = ∞, từ “khả vi” được thay bởi từ “nhẵn”

1.4 Thể tích trên đa tạp.

tích của B Nếu Γ là một đa tạp con (n − 1)−chiều của M, thì chúng ta

A (Λ) là diện tích của Λ

(−1)i−1xidx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1∧ · · · ∧ dxn

và liên quan đến tọa độ cầu, chúng ta đã biết

dV (tξ) = tn−1dt dµn−1(ξ)

Đối với một phép tính cụ thể về thể tích của Sn−1, đó là cn−1 =:

1 Trường vectơ Gradient

Định nghĩa 1.7 Cho hàm f (x1, x2, , xn) ∈ C1 lớp C1 trên Rn, trường

2 Divergence của trường vectơ

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN ĐẲNG CHU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

ĐẲNG CHU

Chương này chúng tôi giới thiệu bài toán đẳng chu và bất đẳng thức

chúng tôi sẽ đưa ra chi tiết hai phép chứng minh, một chứng minh sơ cấpcủa Steiner (mà còn chưa chặt chẽ) và một chứng minh cao cấp hoàn toànchặt chẽ có sử dụng các kiến thức của giải tích nhiều biến và hình học

chúng tôi sẽ chỉ đưa ra chứng minh chi tiết trong trường hợp riêng khimiền được xét là vật thể tròn xoay, sau đó sẽ giới thiệu sơ lược một phépchứng minh trong trường hợp miền tổng quát Cuối chương sẽ dành cho

quát Tài liệu tham khảo chủ yếu của chương này dựa vào các tài liệu [1],[4], [5], [6], [7]

2.1 Bất đẳng thức đẳng chu trên mặt phẳng.

2.1.1 Bài toán đẳng chu tổng quát trên mặt phẳng

Bài toán đẳng chu được biết đến từ thời cổ đại Bằng vẻ đẹp tựnhiên của mình, bài toán đẳng chu có một lịch sử vô cùng hấp dẫn (xem[4]) Công trình cốt yếu nhất giới thiệu được một chứng minh tương đốichặt chẽ cho bài toán đẳng chu được công bố năm 1841 bởi Jacob Steiner

cuộc tranh chấp giữa hai phương pháp giải tích (tức là dùng các phép tính

vi phân) và phương pháp tổng hợp của hình học thuần túy Mặc dù thừanhận giá trị của phương pháp giải tích, Steiner chỉ dùng phương pháp tổnghợp Chứng minh của Steiner có một thiếu sót mà sau này được chỉnh lýlại bằng phương pháp giải tích Để hiểu rõ hơn bản chất của bài toán đẳngchu, trước hết chúng ta phát biểu bài toán dưới hai dạng tương đương

1 Dạng phát biểu gốc

Chứng minh rằng trong tất cả các hình phẳng với chu vi đã cho,hình tròn có diện tích lớn nhất

2 Dạng phát biểu tương đương

Chứng minh rằng trong tất cả các hình phẳng với diện tích đã cho,hình tròn có chu vi nhỏ nhất

3 Chứng minh sự tuơng đương của hai phát biểu trên

Định lý 2.1 Hai phát biểu trên tương đương

Chứng minh:

Để tiện, ta ký hiệu phát biểu gốc là T1, phát biểu còn lại là T2

phải đúng Tức làT1 kéo theo T2 Khẳng định ngược lại rằng T2 kéo theoT1

Bài toán đẳng chu liên quan mật thiết với bất đẳng thức đẳngchu trong mặt phẳng mà chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh dưới đây

Nếu bất đẳng thức đẳng chu đã được chứng minh thì hệ quả hiển nhiêncủa nó là bài toán đẳng chu được giải quyết Ngược lại, nếu bài toán đẳngchu đã được chứng minh thì lập tức suy ra ngay bất đẳng thức đẳng chu.

2.1.2 Định lý bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng

2.1.3 Vài phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trên mặt

phẳng

1 Phép chứng minh sơ cấp của Steiner

a Bao lồi và lý do tại sao bất đẳng thức đẳng chu chỉ cần phảichứng minh trong trường hợp miền lồi

Nếu Ω lồi thì Ω = Ωb

b

ΩΩ

Hình 2.1

chứng minh bất đẳng thức đẳng chu đối với các miền lồi Điều này đượcchứng minh bởi bổ đề dưới đây.

(i) SΩb ≥ S (Ω)

(ii) L∂Ωb ≤ L (∂ (Ω))

Chứng minh:

S (K) = S (Ω) +X

i

S (Oi) > S (Ω)

Bây giờ ta cắt biên Ω thành hai phần tại Yi, Zi Đặt Γi là phần của

∂Ω từ Yi đến Zi dọc ∂Oi Đặt Λi = ∂Oi− Γi là đoạn thẳng từ Yi đến Zi Khi đó L (Λi) < L (Γi)

i

Oi

!

i

(L (Λi) − L (Γi)) ≤ L (∂Ω) 

Giả sử P Q là một dây cung chia hình phẳng A thành hai phần

nhưng diện tích lớn hơn Nói cách khác, hình tròn có diện tích lớn nhấttrong tất cả các hình phẳng có cùng chu vi

b Chứng minh của Steiner

cho \P V Q 6= 90◦ Gọi B1, B2 là hai hình giới hạn bởi (C) và hai dây cung

giác vuông P0V0Q0 có P V = P0V0, QV = Q0 V0 nhưng diện tích lớn hơn

phẳng(C0) gồm hợp của S và ảnh đối xứng S0 của nó qua P0Q0 sẽ lớn hơn

Từ chứng minh này, suy ra hệ quả là bất đẳng thức đẳng chu

Nhận xét 2.1 Trên đây là cách chứng minh của Steiner được công bốvào năm 1841 Cách chứng minh này hoàn toàn sơ cấp và dễ hiểu Tuynhiên nhược điểm cơ bản của nó là đã thừa nhận một điều không hề hiểnnhiên rằng bài toán đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng có lời giải để từ

đó suy ra lời giải là đường tròn Nói cách khác Steiner mới chỉ chứng minhđược rằng: nếu trong các hình phẳng có cùng chu vi tồn tại hình có diệntích lớn nhất thì hình đó phải là hình tròn Để chứng minh của Steiner trởnên chặt chẽ, ta cần phải chứng minh sự tồn tại của hình phẳng có diệntích lớn nhất trong các hình phẳng có cùng chu vi

2 Phép Chứng Minh Cao Cấp

ngược chiều kim đồng hồ) xác định bởi phương trình tham số

và có các đạo hàm riêng liên tục Theo công thức Green

Chứng minh:

= (x(s); y(s)) ; s ∈ [0, L],

chứng minh của Hadwiger Vì khuôn khổ của bản luận văn có hạn nênchúng tôi không giới thiệu các chứng minh đó ở đây Đọc giả nào quantâm xin tham khảo tài liệu [4] Chỉ xin nhấn mạnh lại rằng, việc có rấtnhiều nhà Toán học từ cổ chí kim quan tâm đến bài toán và bất đẳng thứcđẳng chu đã chứng tỏ rằng bài toán đẳng chu có một lịch sử hấp dẫn biếtnhường nào.

2.2 Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian.

2.2.1 Bài toán đẳng chu tổng quát trong không gian thông

thường

1 Dạng phát biểu gốc

Chứng minh rằng trong tất cả các vật thể của không gian với diệntích xung quanh đã cho, hình cầu có thể tích lớn nhất

2 Dạng phát biểu tương đương

Chứng minh rằng trong tất cả các vật thể của không gian với thểtích đã cho, hình cầu có diện tích xung quanh nhỏ nhất

Định lý sau đây được chứng minh tương tự như trường hợp phẳng

Định lý 2.4 Hai phát biểu về bài toán đẳng chu trong không gian nhưtrên là tương đương

2.2.2 Định lý bất đẳng thức đẳng chu trong không gian

2.2.3 Phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong không

gian

Phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu trong không gian khi

giải tích nhiều chiều, tôpô và hình học vi phân hiện đại Do khuôn khổ hạnchế của bản luận văn, chúng tôi sẽ chỉ giới thiệu phép chứng minh đối

cho trường hợp tổng quát

tham số hoá bởi r (u, v) = (x (u, v) ; y (u, v) ; z (u, v)) , (u, v) ∈ D ⊂ R2;

V = 12

yu0 zu0

yv0 zv0

zu0 x0u

zv0 x0v