Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Tình hình nghiên cứu trong nước
Sau khi H Fujimoto (1985) giới thiệu khái niệm số khuyết không lấy tích phân và phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler đầy M, T V Tan và V V Truong (2012) đã chứng minh định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát Tuy nhiên, các kết quả này vẫn chưa thực sự mở rộng cho kết quả của M.
Ru và S Sogome đã đạt được những kết quả đáng chú ý trong nghiên cứu của họ Năm 2017, S D Quang cùng với N T Q Phuong và N T Nhung đã chứng minh rằng kết quả của M Ru và S Sogome thực sự có thể được mở rộng Gần đây, D D Thai và S cũng đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này.
D Quang (2019) đã tổng quát được quan hệ số khuyết này cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahlerM vào đa tạp con xạ ảnh trongP n (C) Tuy nhiên trong kết quả này, bội chặn của số khuyết chưa được ước lượng cụ thể.
Tình hình nghiên cứu ngoài nước
Các bài toán ánh xạ phân hình trên đa tạp K¨ahler M được mở rộng từ các bài toán trên C m, nhưng các kỹ thuật truyền thống như hàm đếm và hàm đặc trưng không áp dụng được Năm 1985, H Fujimoto đã giới thiệu khái niệm số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler đầy M có phủ song chỉnh hình với hình cầu trong C m vào không gian xạ ảnh phức P n (C) với một họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
H Fujimoto, M Ru và S Sogome (2012) đã mở rộng kết quả về mối quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với các siêu mặt ở vị trí tổng quát Gần đây, Q Yan (2013) cũng đã tổng quát các kết quả trên đối với siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát Tuy nhiên, kết quả của
Q Yan cũng chưa phải là kết quả mở rộng thực sự của H Fujimoto cũng như của M Ru và S Sogome.
Các nghiên cứu trước đây, cả trong nước và quốc tế, đã dẫn đến câu hỏi về mối quan hệ giữa số khuyết không lấy tích phân của các ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp con xạ ảnh V.
Chúng tôi sẽ tổng hợp kết quả nghiên cứu của S D Quang, N T Q Phuong, N T Nhung và D D Thai để ước lượng bội chặn của số khuyết Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ nhắc lại một số ký hiệu và định nghĩa cần thiết.
Kết quả nghiên cứu chính
Định nghĩa 1.1 ChoN, n, qlà các số nguyên dương thỏa mãnN ≥n, q ≥N+1 và họ siờu phẳngH 1 ,ã ã ã , H q trongP n (C) Khi đú cỏc siờu phẳngH 1 ,ã ã ã , H q được gọi là ở vị trí N-dưới tổng quát nếu
Khi N =n thỡ ta núi H 1 ,ã ã ã , H q ở vị trớ tổng quỏt.
Cho M là đa tạp K¨ahler đầy có chiều m Giả sử f : M → P n (C) là ánh xạ phân hình, Ω f là kéo lùi bởi f của dạng Fubini-Study Ω trong P n (C) Trên M với dạng K¨ahler ω√−1 2
P i,jh ij dz i ∧dz j , ta định nghĩa:
Định nghĩa 1.2: Với ρ ≥ 0, hàm f được coi là thỏa mãn điều kiện (Cρ) nếu tồn tại một hàm thực h khác không, liên tục và bị chặn trên M, sao cho ρΩ f + dd c logh 2 ≥ Ricω, trong đó d = ∂ + ∂ và dc = √−1 4π ∂ + ∂.
. Định nghĩa 1.3 Cho M là đa tạp K¨ahler đầy m chiều với dạng K¨ahler ω và f : M → P n (C) là ỏnh xạ phõn hỡnh Với mỗi số nguyờn dương à 0 và siờu mặt
D bậc d trong P n (C) thỏa mãn f(M)6⊂D, ký hiệu ν f (D)(p) là bội giao của ảnh của f và D tại f(p) Số khuyết không lấy tích phân của f đối với siêu mặt D chặn bội bởi 0, ký hiệu là δ [à f 0 ] (D), được định nghĩa là δ f [à 0 ] (D) := 1−inf{η≥0 : η thỏa mãn điều kiện (∗)} Điều kiện (∗) có nghĩa là tồn tại hàm không âm liên tục, bị chặn trên.
M và cú bội khụng điểm khụng nhỏ hơnmin{ν f (D), à 0 }, sao cho dηΩ f +
√−1 2π ∂∂logh 2 ≥[min{ν f (D), à 0 }], với [ν] là ký hiệu của dòng kiểu(1,1)sinh bởi divisor ν.
Năm 1985, H Fujimoto đã thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát thông qua một định lý quan trọng Định lý A khẳng định rằng, với M là đa tạp Kähler đầy có chiều m, nếu phủ phổ dụng của M song chỉnh hình với một hình cầu trong C^m và f: M → P^n(C) là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính thỏa mãn điều kiện (C_ρ) với ρ ≥ 0, thì khi đó các siêu phẳng H_1, H_2, , H_q của P^n(C) ở vị trí tổng quát sẽ tồn tại.
Năm 2012, M Ru và S Sogome đã mở rộng Định lý A cho trường hợp ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát Định lý B tuyên bố rằng, cho M là đa tạp Kähler đầy có chiều m và có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong C^m, nếu f: M → P^n(C) là ánh xạ phân hình không suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0, thì với các siêu mặt Q1, , Qql trong P^n(C) có bậc di và ở vị trí tổng quát, ta có thể xác định dN N{d1, , dq} cho mỗi q.
X i=1 δ f [u−1] (Q i )≤n+ 1 ++ρu(u−1) d , ở đây u≤2 n 2 +4n e n d 2n (nI( −1 )) n và I(x) := min{k ∈N:k > x} với x là số thực dương.
Bằng một cách khác, năm 2012, T V Tan và V V Truong cũng chứng minh được định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ
M giao với họ siêu mặt nằm ở vị trí dưới tổng quát, nhưng khái niệm “dưới tổng quát” này có sự đặc biệt khi đưa ra điều kiện về giao của thành phần bất khả quy Năm 2013, Q Yan đã mở rộng kết quả này.
M Ru và S Sogome bằng cách xem xét họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát theo nghĩa thông thường của khái niệm này. Định lý C Cho M là đa tạp K¨ahler đầy có chiều m và có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong C m Giả sử f : M → P n (C) là ánh xạ phân hỡnh khụng suy biến đại số và thỏa món điều kiện(Cρ)với ρ≥0 ChoQ1,ã ã ã , Qq là các siêu mặt trong P n (C) có bậc d i và ở vị trí N-dưới tổng quát Đặt d BCN N{d 1 ,ã ã ã , d q } thỡ với mỗi ta cú: q
Kết quả của Q Yan trong Định lý C chưa hoàn toàn tổng quát như kết quả của H Fujimoto, M Ru và S Sogome Khi họ xem xét trường hợp tổng quát với N = n, số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức liên quan đến số khuyết là n(n+ 1), lớn hơn n + 1.
Năm 2017, S D Quang và N T Q Phuong và N T Nhung đã thiết lập được quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler
M vào không gian xạ ảnh phức P^n(C) với họ siêu mặt ở vị trí N-dưới tổng quát Định lý D cho biết rằng nếu M là đa tạp Kähler đầy có chiều m và có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong C^m, thì ánh xạ f: M → P^n(C) là phân hỡnh khụng suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (C_ρ) với ρ ≥ 0 Ngoài ra, với các siêu mặt Q_1, Q_2, , Q_q trong P^n(C) có bậc d_i và ở vị trí N-dưới tổng quát, ta có thể xác định d_BCN{d_1, , d_q} cho mỗi trường hợp.
Trong Định lý D, khi xét mặt Q 1, dễ nhận thấy rằng tại vị trí tổng quát, số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ số khuyết là n + 1, tương tự như kết quả mà M Ru và S Sogome đã đạt được.
Năm 2019, D D Thai và S D Quang đã tiếp tục phát triển và đưa ra đánh giá dựa trên kết quả của S D Quang, N T Q Phuong và N T Nhung Định nghĩa 1.4 nêu rõ rằng V là đa tạp con xạ ảnh của P n (C) với số chiều k lớn hơn 0.
N ≥n vàq≥N+ 1, Q 1 , , Q q là các siêu mặt củaP n (C).Họ siêu mặtQ 1 , , Q q được gọi là ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với V nếu
Khi N =n thì ta nói Q 1 , , Q q ở vị trí tổng quát tương ứng với V.
Khi V =P n (C) thì đơn giản ta nói Q 1 , , Q q ở vị trí tổng quát. Định lý E Cho V là đa tạp con xạ ảnh phức của P n (C) có chiều k (k ≤ n). Cho Q 1 , , Q q là các siêu mặt của P n (C) có bậc d j , ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với V và đặt d N N{d 1 , , d q } Cho M là đa tạp K¨ahler đầy có chiều m và có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trongC m Giả sử f :M →P n (C) là ánh xạ phân hình không suy biến đại số từ M vào đa tạp con xạ ảnh k chiều V trong P n (C) và thỏa mãn mãn điều kiện (C ρ ) với ρ ≥ 0 Khi đó, ta có: q
X i=1 δ [H f V (d)−1] (Q i )≤ (2N −k+ 1)H V (d) k+ 1 +ρH V (d)(H V (d)−1) d , ở đây HV(d) là hàm Hilbert của V và bị chặn.
Mục đích của nghiên cứu này là cải thiện kết quả của Định lý E thông qua việc ước lượng bội chặn của số khuyết, đồng thời tổng quát hóa Định lý D Cụ thể, chúng tôi đạt được kết quả như sau: Định lý 1.1 nêu rằng, cho M là một đa tạp Kähler đầy đủ m chiều và ω là dạng Kähler trên M Giả sử phủ phổ dụng của M là song chỉnh hình với một hình cầu trong C m Nếu f là ánh xạ phân hình không suy biến đại số từ M vào một đa tạp con xạ ảnh k chiều.
Trong không gian P n (C), với V và hàm f thỏa mãn điều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0, giả sử có các siêu mặt Q1, , Qq có bậc dj tương ứng với vị trí N-dưới tổng quát của V Đặt dN là tập hợp {d1, , dq}, ta có thể khẳng định rằng với mỗi ε > 0, tồn tại q.
Chú ý rằng [x] là kí hiệu phần nguyên của x, nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực x.
Chứng minh: Chứng minh Định lý 1.1 được trình bày trong Chương 4
Từ kết quả trên, nếu họ siêu mặt ở vị trí tổng quát (tức là N = n) và
Khi V = P^n (C) (với k = n), số hạng đầu tiên của vế phải trong Định lý 1.1 là n + 1 Kết quả của Định lý 1.1 tổng quát hóa các kết quả trước đó và cung cấp ước lượng cụ thể cho bội chặn của số khuyết Thêm vào đó, điều kiện (n−k+ 1)(k+ 1) ≤ n cũng được thỏa mãn.
2 + 12 với mỗi 1≤ k ≤n, chọn ε = 1 +ε 0 với ε 0 >0 và cho ε 0 −→ 0 thì từ Định lý 1.1 ta đạt được Hệ quả như sau.
Hệ quả 1.1 Cho f : M → P n (C) là ánh xạ phân hình và {Q i } q i=1 là các siêu mặt trong P n (C) có bậc d i , ở vị trí tổng quát Khi đó, ta có q
Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình
Một số toán tử vi phân
Choφlà một hàm số trênCnhận giá trị phức Có thể coiφ=φ(x, y) :R 2 →C và giả sử φ = u+iv với u, v : R 2 → R Ta nói φ khả vi tại z = x+iy nếu u, v khả vi tại x và y.
Ta định nghĩa các toán tử đạo hàm riêng
Với dz =dx+idy và dz =dx−idy, ta định nghĩa các toán tử sau:
Trong hệ tọa độ cực z =r.e iθ , z =r.e −iθ , ta có r 2 =z.z =x 2 +y 2 , rcosθ =x, rsinθ =y, nên ∂r
Công thức Jensen
Cho φ :C→R∪ {−∞; +∞} là một hàm sao cho tập hợp
Tập hợp Z = {z : φ(z) ∈ {−∞; +∞}} là một tập rời rạc, có thể chứa hữu hạn phần tử Giả sử hàm φ thuộc lớp C² trên C \ Z, và tại mỗi điểm a_v ∈ Z, tồn tại một hàm C² ψ_v trên một lân cận của a_v cùng với một số thực λ_v, thỏa mãn điều kiện φ(z) = λ_v log|z−a_v| + ψ_v(z).
Vậy ta có thể thác triển liên tục ∂∂φ¯ tới các điểma v ∈Z bằng cách đặt
Định lý 2.1, được gọi là công thức Jensen, khẳng định rằng với hàm φ trên C nhận giá trị thực thỏa mãn điều kiện cụ thể, nếu 0 ≤ s < r và φ(0) khác ±∞, thì trong trường hợp 0 < s < r, ta có thể áp dụng kết quả này cho các trường hợp tùy ý.
Định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai
Một hàm f được xác định trên một tập con mở U ⊂ C được gọi là hàm phân hình nếu với mọi điểm a ∈ U, tồn tại một lân cận mở liên thông V ⊂ U và có các hàm chỉnh hình g, h trên V với h khác 0, sao cho f có thể được biểu diễn dưới dạng f = g h trên V.
Giả sử f 6= 0 là hàm phân hình trên U Khi đó với mỗi a∈U ta có biểu diễn địa phương f(z) = (z−a) m g(z), m∈Z trong đó g(z) là hàm chỉnh hình trên U và g(a)6= 0.
Nếu m >0ta nói a là một không điểm bậc m (bội m) của f.
Nếu m 0) và
−à v (à v 0 hoặc +∞ ta định nghĩa hàm đếm của D chặn bội đến bậc k như sau
Ta cũng có thể kí hiệuN [k] (r, r 0 , D)làN D [k] (r, r 0 )và sử dụng các kí hiệun(t, D) vàN D (r, r 0 )thay chon+∞(t, D)vàN D [+∞] (r, r 0 )(hàm đếm với bội không bị chặn) và ta có
|z v | ã ã ã > e r Khi đú, trọng Chow của X tương ứng với c được định nghĩa bởi e X (c) :=e 0
Với mỗi tập con J ={j 0 , , j k } của {0, , n} mà j 0 < j 1 \Delta \) là số nguyên và \( c = (c_0, \ldots, c_n) \in R^{n+1} \) với \( c_i \geq 0 \), thì có những kết luận quan trọng về cấu trúc của đa tạp này.
Bổ đề sau được đưa ra bởi J Evertse and R Ferretti (2008) cho trường hợp trường Q p và được chứng minh lại bởi M Ru (2009) cho trường hợp trườngC.
Bổ đề 4.3 (M Ru, 2009; Bổ đề 3.2) đề cập đến một đa tạp con Y của P q−1 (C) với chiều k và bậc ∆ Giả sử c = (c 1 , , c q) là một bộ các số thực dương, và {i 0 , , i k} là một tập con của {1, , q}.
Chúng tôi nhắc lại bổ đề quan trọng rằng từ một họ siêu mặt bất kỳ ở vị trí dưới tổng quát tương ứng với đa tạp xạ ảnh V, có thể xây dựng một họ siêu mặt ở vị trí tổng quát tương ứng.
Kỹ thuật "thay thế siêu mặt" cho phép biểu diễn tuyến tính qua các siêu mặt trong một họ nhất định, tạo ra các kết quả mới trong việc xây dựng quan hệ số khuyết mà không cần tích phân cho ánh xạ phân hình.
Bổ đề 4.4 (S D Quang (2019), Bổ đề 3.1) Cho V là đa tạp con xạ ảnh của P n (C) có chiều k Giả sử Q 1 , , Q N+1 là các siêu mặt trong P n (C) có cùng bậc d≥1, sao cho
Khi đó tồn tại k siêu mặt P 2 , , P k+1 có dạng
Mối quan hệ số khuyết không lấy tích phân
Định lý 1.1 khẳng định rằng, với M là đa tạp Kähler đầy đủ chiều m và ω là dạng Kähler trên M, nếu M có phủ phổ dụng song chỉnh hình với một hình cầu trong C m, thì tồn tại một ánh xạ phân hình không suy biến đại số f từ M vào một đa tạp con xạ ảnh k chiều.
Trong không gian P n (C), giả sử V và f thỏa mãn điều kiện (C ρ ) với ρ ≥ 0 Các siêu mặt Q 1 , , Q q của P n (C) có bậc d j, tương ứng với vị trí N-dưới tổng quát của V Đặt dN là tập hợp {d 1 , , d q }, và với mỗi ε >0, ta có q.
Chứng minh: VìM có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầuB(R 0 )trong
C m nờn ta cú thể giả sửM =B(R 0 ) Bằng cỏch thay Q i bởi Q d/d i j (j = 1,ã ã ã, q) nếu cần thiết, ta có thể giả sử tất cả các siêu mặt Q i (1≤i≤q) có cùng bậcd.
Kí hiệu I đại diện cho tập hợp tất cả các hoán vị của {1, , q}, với n 0 là số phần tử của tập hợp I, được tính bằng n 0 = q! Tập hợp I có thể được viết dưới dạng I = {I 1, , I n 0}, trong đó mỗi I i (I i (1), , I i (q)) thuộc N q và các phần tử I 1, I 2, , I q được sắp xếp theo thứ tự từ điển.
Với mỗi chỉ số I i ∈ I, các siêu mặt P i,1 , , P i,k+1 được xác định theo Bổ đề 4.4 tương ứng với các siêu mặt Q I i (1) , , Q I i (N +1) Có thể nhận thấy rằng tồn tại một hằng số dương B ≥1 không phụ thuộc vào I i ∈ I.
1≤j≤N−k+t|Q I i (j) (ω)|, với mọi 1≤ t≤ k+ 1và với mọi ω = (ω 0 , , ω n )∈ C n+1 Xét biểu diễn rút gọn f˜= (f 0 , , f n ) :B(R 0 )→C n+1 của f Cố định phần tử I i ∈ I Ta kí hiệu S(i) là tập tất cả các điểm z ∈B(R 0 )\Sq i=1Q i ( ˜f) −1 ({0})sao cho
Vì Q 1 , , Q q ở vị trí N− dưới tổng quát trong V nên theo Bổ đề 4.1, tồn tại một hằng số dương A không phụ thuộc vào I i ∈ I sao cho
Khi đó, với z ∈S(i) ta có q
Qk+1 j=1|P i,j ( ˜f)(z)| N−k+1 , ở đây C là hằng số dương không phụ thuộc vàoI i ∈ I thỏa mãn
Từ bất đẳng thức trên, ta suy ra log q
Xét ánh xạ Φ từ không gian V vào đa tạp P l−1 (C) với l = n 0 (k + 1), ánh xạ này biến điểm x ∈ V thành điểm Φ(x) ∈ P l−1 (C) thông qua công thức Φ(x) = (P 1,1 (x) : : P 1,k+1 (x) : P 2,1 (x) : : P 2,k+1 (x) : : P n 0 ,1 (x) : : P n 0 ,k+1 (x)) Đặt Y = Φ(V), do V ∩ TN+1 j=1 P1,j = ∅ nên Φ là cấu xạ hữu hạn trên V, và Y là đa tạp con xạ ảnh phức của P l−1 (C) với chiều dimY = k và bậc ∆ := degY ≤ d k degV.
Với mỗi a= (a1,1, , a1,k+1, a2,1 , a2,k+1, , an 0 ,1, , an 0 ,k+1)∈Z l ≥0 và y= (y1,1, , y1,k+1, y2,1 , y2,k+1, , yn 0 ,1, , yn 0 ,k+1) kí hiệu y a =y 1,1 a 1,1 y 1,k+1 a 1,k+1 y n a n 0 ,1 0 ,1 y n a n 0 ,k+1
0 ,k+1 Cho ulà số nguyên dương, đặt n u :=H Y (u)−1, l u :l+u−1 u
Y u =C[y 1 , , y l ] u /(I Y ) u , thì Y u là không gian vectơn u + 1 chiều Cố định cơ sở{v 0 , , v n u }của Y u và xét ánh xạ phân hình F với biểu diễn rút gọn
Khi đó, vìf không suy biến đại số nên F không suy biến tuyến tính.
Do đú tồn tại tập chấp nhận được α = (α 0 ,ã ã ã , α n u )∈(Z m +) n u +1 sao cho
Bây giờ cố định chỉ số i∈ {1, , n0} và điểmz ∈S(i) Ta định nghĩa cz = (c1,1,z, , c1,k+1,z, c2,1,z, , c2,k+1,z, , cn 0 ,1,z, , cn 0 ,k+1,z)∈Z l , với c i,j,z := log||f˜(z)|| d ||Pi,j||
Rõ ràng rằng ci,j,z ≥ 0 với mọi i và j Theo định nghĩa của trọng Hilbert, tồn tại các hệ số a1,z, ,a H Y (u),z thuộc N l với ai,z = (ai,1,1,z, , ai,1,k+1,z, , ai,n 0 ,1,z, , ai,n 0 ,k+1,z) Các giá trị ai,j,s,z nằm trong tập {1, , l u }, đảm bảo rằng lớp đồng dư phần dư theo modulo(I Y ) u của y a 1,z , ,y a HY (u),z tạo thành một cơ sở cho không gian C[y 1 , , y l ] u /(I Y ) u.
Do y a i,z ∈Y u (modulo (I Y ) u ) nên có thể viết y a i,z =Li,z(v0, , vn u), trong đó L i,z (1≤i≤H Y (u))là các dạng độc lập tuyến tính.
Theo Định lý 4.2 ta có
Chọn chỉ số i0 sao cho z∈S(i0), ta thấy ngay
|P i 0 ,j ( ˜f)(z)| +O(1), ở đây số hạng O(1) không phụ thuộc vàp z vài 0
Kết hợp (4.2), (4.3) và nhận xét trên ta được
Vì P i 0 ,1 , P i 0 ,k+1 ở vị trí tổng quát tương ứng với Y nên theo Bổ đề 4.3, ta có e Y (c z )≥(c i 0 ,1,z +ã ã ã+c i 0 ,k+1,z )ã∆ = X
Khi đó, từ (4.1), (4.4) và (4.5) ta được
(4.6) trong đó số hạng O(1) không phụ thuộc vào z. Đặt p=N−k+ 1, m 0 = (2k+ 1)(k+ 1)∆ vàb= k+ 1 uHY(u), từ bất đẳng thức trên suy ra log ||f(z)||˜ 1 p dq−d(k+1)− dm u 0 l |W α ( ˜F(z))| b
Lưu ý rằng L i,z phụ thuộc vào ivà z, nhưng số lượng các dạng tuyến tính này là hữu hạn Chúng ta ký hiệu L là tập hợp tất cả các L i,z xuất hiện trong các bất đẳng thức đã nêu.
Khi đó tồn tại K 0 sao cho
L∈J |L( ˜F(z))| với J ⊂ L mà #J =H Y (u) sao cho {L ∈ J } độc lập tuyến tính.
Chúng ta tiến hành ước lượng ν W( ˜ F ) (r) với điểm z ∈ B(R 0 ) nằm ngoài tập không xác định của f Ta nhận thấy rằng ν Q 0 i (f)(z) = 0 với mọi i ≥ N + 1, vì {Q 1 , , Q q } ở vị trí N-dưới tổng quát trong V Đặt c i,j = max{0, ν P 0 i,j(z)−n u } và c = (c 1,1 , , c 1,k+1 , , c n 0 ,1 , , c n 0 ,k+1 ) ∈ Z l ≥0 Từ đó, ta có a i = (a i,1,1 , , a i,1,k+1 , , a i,n 0 ,1 , , a i,n 0 ,k+1 ), trong đó a i,j,s ∈ {1, , l u }, đảm bảo rằng y a 1 , , y a HY (u) là cơ sở của Y u.
Tương tự như trên, ta viết y a i =L i (v 1 , , v H Y (u) ), trong đó L 1 , , L H Y (u) là các dạng tuyến tính độc lập theo các biến y i,j (1≤i≤ n 0 ,1≤j ≤ k+ 1) Theo tính chất tổng quát của Wronskian, ta có
W( ˜F) = cW(L 1 ( ˜F), , L H Y (u) ( ˜F)), với c là hằng số khác không Từ đó suy ra ν W( ˜ 0 F ) (z) =ν W(L 0
X i=1 a i,j,s c j,s =a i ãc. Điều này kéo theo ν W 0 ( ˜ F ) (z)≥
Vì P 1,1 , , P 1,k+1 ở vị trí tổng quát nên theo Bổ đề 4.3 ta được eY(c)≥∆ã k+1
Mặt khác, theo Định lý 4.2 ta nhận được
Kết hợp bất đẳng thức này và (4.8), ta có k+ 1 duH Y (u)ν W 0 ( ˜ F ) (z)≥1 d k+1
N−k+j ( ˜ f)(z) với mọi 2 ≤ j ≤ k+ 1 Do đó ta được
Kết hợp bất đẳng thức này và (4.9), ta thu được
Khi đó, với mỗi j ∈ {1, , q}, tồn tại các hằng số η j > 0 và hàm đa điều hòa dưới liên tục u˜ j sao cho e u ˜ j |ϕ j | ≤ ||f˜|| dη j , trong đó ϕ j là hàm chỉnh hình với ν ϕ j = min{n u , f ∗ Q j } và q− q
X j=1 η j > p(k+ 1) + pm 0 l u + ρεpH Y (u)(H Y (u)−1) d Đặt u j = ˜u j + log|ϕ j | thì u j là hàm đa điều hòa dưới và e u j ≤ ||f||˜ dη j , j = 1, , q. Đặt v(z) = log
Khi đó, ta có bất đẳng thức sau
[ν P i,j ( ˜ f)(z)]≥0. Điều này suy ra v là hàm đa điều hòa dưới trên B(R 0 ).
Mặt khác, do f thỏa mãn điều kiện (C ρ ) nên tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ω 6≡ ∞trên B(R 0 ) sao cho e ω dV ≤ ||f||˜ 2ρ v m Đặt t= 2ρ
1 pd q−p(k+ 1)− pm 0 l u −Pq j=1η j >0, và λ(z) = (z α 0 +ããã+α nu ) b
Ta chọn u là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ε − pm 0 l u > 0 và u < pm 0 lε −1 + 1.
= 1, và hàm ζ =ω+tv là đa điều hòa dưới trên đa tạp K¨ahler M Chọn số dương δ sao cho 0< H Y (u)(H Y (u)−1)b
2 t < δ