1139 một số vấn đề về hàm số học luận văn tốt nghiệp

Mðđau Các hàm so hoc đã được các nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu tronghơn400nămqua.Cáchàmsohockhôngchỉđóngm®tvaitròquantrongtronglýthuyet so, chúng còn có nhieu áng dụng trong các lĩnh

MËTSOVANĐEVE HÀMSOHOC

Chuyênngành :

ĐạisovàlíthuyetsoMãso

Ngưíihưîngdȁn:T S TRANĐÌNHLƯƠNG

Mnclnc

1.1 M®tsokienthácchuȁnbị 3

1.2 TíchchªpDirichlet 5

1.3 Hàmnhân 10

1.4 CôngthácnghịchđảoM¨obius 15

1.5 Hàmnhânhoàntoàn 17

1.6 Đatháctrênvànhcáchàmsohoc 22

2 Mët sohàm so hoc cơ bản 25 2.1 Hàmτ,hàmσ 25

2.2 HàmEuler 29

2.3 HàmLiouvilleλ,hàmMangoldtΛ 34

2.4 SomũcủasonguyêntovàcôngthácLegendre 37

2.5 Ướclượngcáchàmsohoc 40

Mðđau

Các hàm so hoc đã được các nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu tronghơn400nămqua.Cáchàmsohockhôngchỉđóngm®tvaitròquantrongtronglýthuyet so, chúng còn có nhieu áng dụng trong các lĩnh vực khác nhaucủatoánhocnhư:tőhợp,lýthuyetxácsuat,lýthuyetmªtmã,

Mục đích của luªn văn này là h» thong m®t so van đe liên quan đencáctính chat chung của các hàm so hoc và tªp trung vào vi»c khảo sát m®tsohàmsohocđ°cbi»t.Luªnvăntrìnhbàym®tsovanđeliênquanđenvànhcáchàmsohocđoivớitíchchªpDirichletnhưphépbienđőiM¨obius,cáccôngthácl i ê n

h » , b i e u d i e n c á c h à m s o h o c L u ª n v ă n c ũ n g t r ì n h b à y t í n h c h a t m®tsohàmsohoccơbảnnhư:hàmđemsocácước,tőngcácước,hàmEuler,hàmM¨obius,hàmL

Chương2:M ët s o h àm so h o c cơ b ản

Luªn văn được hoàn thành nhờ sự hướng dan và giúp đơ tªn tìnhcủaTS.TranĐìnhLương,TrườngĐạihocQuyNhơn.Nhândịpnàychúngtôixin bày tỏ

sự kính trong và lòng biet ơn sâu sac đen thay Chúng tôicũngxingảilờicảmơnđenquýBanlãnhđạoTrườngĐạihocQuyNhơn,PhòngĐàotạosauĐạihoc,KhoaToánvàThongkêcùngquýthaycôgiáogiảngdạycáclớpCaohocToánkhóa23đãtạomoiđieuki»nthuªnlợichochúngtôitrongquátrìnhhoctªpvàthựchi»nđetài.Nhânđâychúngtôicũngxinchânthànhcảmơngiađình,bạnbèđãluônđ®ngviênđetôihoànthànhtotluªnvănnày

M°c dù luªn văn được thực hi»n với sự no lực và co gang của bảnthânnhưng do đieu ki»n thời gian có hạn, trình đ® kien thác và kinh nghi»mnghiêncáu còn hạn che nên luªn văn khó tránh khỏi nhǎng thieu sót Chúngtôi ratmong nhªn được nhǎng góp ý của quý thay cô đe luªn văn được hoànthi»nhơn

QuyNhơn,ngày29tháng07năm2022

Hocviênthfichi»nđetài

NguyenKieuOanh

HàmsohocvàtíchchªpDiric hlet

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so van đe liên quan đenvànhcác hàm so hoc đoi với tích chªp Dirichlet: hàm nhân, công thác nghịchđảoM¨obius,hàmn hânh oàntoànvàđatháctrênvànhc á c hàmso hoc.C húngtôicũng trình bày m®t so kien thác chuȁn bị ve so hoc được dùng trongluªnvăn.Cácketquảtrongchươngnàyđượcthamkhảotàcáctàili»u[1],[2],[4],[5],[6],[7]

Cho hai so nguyêna, bPZ, b‰0 So nguyênađược goi làchia het cho

songuyênbneutontạic P Zsaochoa “ bc.Thaychovi»cnóiachiahetchob

(ii) a | avớimoia P Z,a ‰ 0.

(iii) Neua | bvàb | cthìa | cvớimoi a, b,c P Z,a,b ‰ 0.

(iv) Neua | bthì|a|ď|b|vớimoia,b P Z,a,b ‰ 0.

(ii) So nguyênm‰0 được goi là m®t b®i chung nhỏ nhat của

cáca i neumlàb®ichungcủacáca i vàmchiahetmoib®ichungkháccủacáca i.Tadùngkí

h i » ura1,a2, ,a nsđec hỉ b ® i c h un g n h ỏ n ha t dư ơ n g c ủ a a1,a2, ,a n

M®t so tự nhiênpą1 không có ước so dương nào khác ngoài 1 và chínhnó

được goi làso nguyên to So tự nhiênpą1 có ước so dương khác 1

vàchínhnóđượcgoilàhợpso.

Địnhlý1.1.2(Định lý cơ bản của so hoc).Moi so tự nhiên lớn hơn1đeuphân

tích được thành m®t tích hũu hạn các thùa so nguyên to và sự phân tíchnàylàduynhatneukhôngkeđenthútựcủacácnhântủ.

vớimoisonguyêndươngn.

Hơn nǎa ta có ket quả sau.

M»nh đe 1.2.6.T¾p hợpAcác hàm so hoc cùng với phép toán c®ng và

tíchch¾pDirichlettạothànhm®tmiennguyên.

Chúngminh.T a c h á n g m i n h r a n g t r o n g A k h ô n g c ó ư ớ c c ủ a 0 , n g h

ĩ a l à neuf , g P A v à f , g ‰ 0 t h ì f˚g ‰ 0 Đ ° t M “ nPN|fpnq

‰0(vàN “ n PN|gpnq‰0(.RõràngkhiđóM ‰H vàN ‰H

M»nhđ e 1 3 3 N e u fl à m®thàmnhânthìf p1q“1.

nqlanl ư ợ t l à b ® i chungnhónhatvàướcchung lớnnhatcủamvàn.

Chúngminh.Giả sảp1, p2, , p r là các ước nguyên to củamvà củan

Khiđótacóphântích

r

k i

i i“

1

r

l i

i i“

i i“1 i i“1 i

f p dqgˆ n ˙`f p1qgpnq`f p nqgp1q“0.

Đieunàydanđenmâuthuan,vìtheogiảthietfvàgnhªngiátrịdương.Vªytacóđieuphải

chángminh

Chúng minh.Thªt vªy,chomvànlàhaison g u y ê n t o cùngn h a u , t a phảicháng

minh rangµpmnq“µpmqµpnq.Neum“n“1thìđȁngthác trênhiennhiênđúng

Bâygiờ, giảsảrang mvànchiahetchobìnhphươngcủam®tsonguyên t o.Rõràngkhiđóµpmnq“0“µpmqµpnq.Trongtrườnghợpcònlạigiảsảm“p1p2 .

p k vàn“q1q2 q t Vìpm, nq“1 nên không có ước nguyên

tochungtrongphântíchchínhtaccủamvàn.Dođó

µpmq“p´1qs ,µpnq“p´1qt ,µpmnq“p´1qs `t

Vªytacóđieuphảichángminh

M»nhđe1.4.2.NghàchđảoDrichletcủahàmMo¨biusµlàhàmhangu.

Chúngminh.Tachángminhµ ˚u“I Vìuvàµlàcáchàmnhânchonênµ˚ulà m®t hàm

nhân theo M»nh đe1.3.7.VìIc ũ n g l à m ® t h à m n h â n

c h o nên,theoH»quả1.3.5,tachỉcanchángminh

pµ ˚ uqpp αq“Ipp αq

vớiplàm®tsonguyênto,αlàm®tsonguyênkhôngâmbatkì.

đieunàytươngđươngvới g ˚µ“f˚I“ f Viet tường min hcôn gthácnày tacóđi

euphảichángminh

ĐoivớihàmM¨obiuschúngtacótínhchatsau

“

Địnhnghĩa1.5.1.Hàm so hocf‰0 được goi là m®t hàm nhân hoàn toànneu

f ˚ f “ f τtrongđóτlàhàmđemsocácướccủam®tsonguyêndương.

M»nhđe1.5.5.Choflàm®t hàmnhân Khi đóflà m®thàm

nhânhoàntoànkhivàchíkhi

f p p αq“fp pq α vớimoisonguyêntopvàsonguyêndươngα.

1

r

β i

i i“

i i“1

dăn Chon “p k ,k ě1 vàplàm®tsonguyêntobatkì.Khiđótađược

$’f p1q neun “ 1,

làtíchcủaksonguyêntophânbi»t,

’0 neunchiahetchop·¨¨p 2vớipnguyênto.

1.6 Đathfíctrênvànhcáchàmsohoc

Trongm ụ c n à y c h ú n g t ô i t r ì n h b à y v a n đ e v e n g h i » m c ủ a đ a t h á c t r ê nvànhAcáchàmsohoc.Đoivớiđathácbªcnhattacóketquảsau

M»nhđe1.6.1.C ho f0,f1PAvớif1khảnghàch.Khiđóđathúc

F p xq“f0`f1˚x PArxs

cónghi»mduynhat.

Chúng minh.Vìf1là khả nghịch nên ton tại duy nhat hàm so hoc

nghịchđảof1´1.Đ°tg “´ f0˚f1´1.RõràngkhiđóF p gq“0.Ngoàira,nghi»mnàylà

duy nhat vì bat kỳ nghi»mgnào củaFphải thỏa mãn´f0˚f1´1“g,

n “1 Neutađịnhnghĩag1p1qlàcănbªchaidươngcủaf p1qvàg2p1qlàcănbªchaiâ

Cuoic ùn gtax ét trường h ợp tő ngq u á t Ch ođ a th ác F p xq“f0`f1x

`¨¨¨`f n x n PArxstrongđóf0,f1, ,f n P A.ĐatháccơsởcủaF,kíhi»ulàP F p xq,đượcxácđịnhnhưsau

Chương2

Mëtsohàmsohoccơbản

Trongchươngnàychúngtôikhảosátcáctínhchatcủam®tsohàmsohoccơbảnnhư:hàmđemsocácước,tőngcácước,hàmEuler,hàmM¨obius,hàmLiouville, hàmMangoldt, công thác Legendre, và moi liên h» giǎa chúng.Cácket quả trongchương nàyđược tham khảo tà các tàili»u[3],[4],[6],[8]

làhàmtőngcácước

M»nhđe2 1 1 H à m σ s v ớ i s P Clàm®thàmnhân.

Chúng minh.Rõ ràngσ s “ N s ˚ utrong đóulà hàm đong nhat,N s

được xácđịnhbởicôngthácN spnq“n s

vớimoin ě 1.MàN s

vàulàcáchàmnhânchonên,t

heoM»nhđe1.3.7,σ s làm®thàmnhân.Vªytacóđieuphảichángminh.

ěÿ

Vớinlàm®tsonguyêndươngbatkì,socácsonguyênkvới1 ďkďn

nguyên to cùng nhau vớinđược kí hi»u làϕpnq Hàmϕđược goi là hàmEuler.

M»nhđ e2 2 1 H à m Eulerlàm®thàmnhân.

Chúngminh.Rõ ràngϕp1q“1 Neum“1 ho°cn“1 thì hien

nhiêntacóϕpmnq“ϕpmqϕpnq Giả sảmą1, ną1, vàpm, nq“1.Ta viettatcả các

sotà1đenmnthànhbảngnhưsau.

k

Ta thaycác so nguyêntocùng nhau vớinlà các so nam ở c®tivới 1ďiďnsao

chopi, nq“1 Moi c®t là m®t h»thăngdư đay đủ theo môđunmcho nêntrong moi c®t cóϕpmqso nguyêntocùng nhau vớim Do đó so các so nguyêntocùngnhauvớicảmvànlàϕpmqϕpnq

M°tk h á c t a l ạ i c ó ϕpmnqlàs o c á c s o t ự n h i ê n kv ớ i 1ďk ď ms a o c h opk,m

nq“1 Bởi vìpk, mnq“1 khi và chỉ khipk, mq“pk, nq“1, cho nênϕpmnqchính là

so các so nguyên dương không vượt quámn, nguyên to cùngnhauđong thời với cảmvàn Do đóϕpmnq“ϕpmqϕpnq, vàtacó đieu phảichángminh

M»nhđe2.2.2.Neusonguyênn ą 1cóphântíchchínhtacn “ p α1

p α2¨¨¨p α s

trongđ ó p1,p2, ,p s l à c á c s o n g u y ê n t o p h â n b i » t v à α1,α2, ,α s l à c á c songuyêndươngthì

l à m®tl ũy th àa củ a so ng uy ên to pvới

αě1 M®t so nguyên dương nguyên to cùng nhau vớip α

khi và chỉ khinón g u y ê n t o v ớ i p V ì t r o n g d ã y 0 ,1, ,p α c h ỉ c ó p α

?

Vªytacóđieuphảichángminh

Ket quảsau đây cho tacông thác tínhnghịch đảoDirichlet của hàm Euler

M»nhđ e 2 2 4 ϕ´1“u˚ pµNqtrong đóulà hàm hang,Nl à h à m

HàmL i o u v i l l e λ là hà m s o hoc đ ượ c xá c đị nh bở i c ông th á c

λpnq“$

’&1neun “ 1,

TàđịnhnghĩatathayngayranghàmLiouvilleλlàm®thàmnhânhoàntoàn.

bi»t vàα1, α2, , α k là các so nguyên dương Vìλvàulà các hàm nhân

chonên,theoM»nhđe1 3 7 , λ ˚u c ũn g l à m®t h à m n h â n Do đ ó, t h eo M » n

hđe1.3.4,tacó

k

α

i i i“1

Neunlà so chính phương thì cácα i là các so ch n với ȁn với i“1,2, , k Do

đópλ˚ uqpnq“ 1.T r á i l ạ i n e u n k h ô n g c h í n h p h ư ơ n g t h ìpλ ˚ uqpnq“0.V ª y t acóđieuphảichángminh

n ]¸.

p

Chúngmin h G i ả sản “ a0`a1p `¨¨¨` a k p k t r o n g đó0ďa i ď p ´1vớimoi

i “ 0,1, ,kvàa k ‰0.Với0ďrď ktacó

p ´1Vªytacóđieuphảichángminh

Choh ai h àm so f,g: RÑRv ớ ign h ª n giátrịdương Neutontạim®t

hangsodươngCs a o cho|f p xq|ďCgpxqvớix ě x0th ìtaviet

• Đeướctínhkíchcơcủam®thàmnhânf p nqtrướctiênướclượngf p p rq

đoivớilũythàacácsonguyênto,vàsauđókethợpthôngtinnhªnđượcvớikienthácvephânphoicácsonguyênto

• Đeướctínhkíchcơtrungbìnhcủam®thàmsohoctacótheápdụngcôngthácnghịchđảoM¨obiusvàsảdụngketquảsau

1“1ďdďx f p dqYx

1ďdďx

1ď ÿdď x

“

µpdq

Trongluªnvănnàychúngtôiđãthựchi»ncáccôngvi»csauđây

1) Trìnhbàym®tcáchchitietvàcóh»thongcácvanđeliênquanđencáchàmsohocvàtíchchªpDirichlet

• VànhcáchàmsohocđoivớitíchchªpDirichlet(M»nhđe1.2.5,M»nhđe1.2.6),

• Đieuki»ncanvàđủđem®thàmsohoccónghịchđảoDirichlet(M»nhđe1.2.7),

[1] NgôThúcLanh(1985),Đạis o và S o h o c T ¾ p 1 v à 2 ,NXBGiáodục [2] LạiĐácThịnh(1977),GiáotrìnhSohoc,NXBGiáodục.