1090 nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một luận văn tốt nghiệp

Vi»csảdụngcácphépbienđőiM¨obiustrìnhbàytrongcácbàibáo[22,23]có thechỉ ra m®t lớp các phương trình vi phân đại so cap m®tkhông autonomnhưng có the bien đői m®t cách tương đương ve phươngt

BìnhĐ ị n h - 2 0 2 2

QuyNhơn,ngày14tháng01năm2022

Luªná n đ ư ợ c h o à n t h à n h t r o n g q u á t r ì n h h o c t ª p v à n g h i ê n c á

u t ạ i Khoa Toán và Thong kê, Trường Đại hoc Quy Nhơn, dưới sự hướng dancủa TS Ngô LâmXuân Châu và TS Lê Thanh Hieu Các thay đã chỉ bảotªntình và hướngdan tôitànhǎng bước đau làm nghiên cáu Cácthayhướngd a n n g h i ê m t ú c v à l u ô n t ạ o m ® t t ì n h c ả m t h â n t h i » n t r o

n g s u o t thời gian hoctªp.Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biet ơn sâu sac đenTS.NgôLâmXuânChâuvàTS.LêThanhHieu

Tôi xin gải lời cảm ơn chân thành đen Lãnh đạo Trường Đại hocQuyNhơn,P h ò n g Đ à o t ạ o s a u đ ạ i h o c đ ã t ạ o đ i e u k i » n t o t n h a t đ e t

ô i h o c tªp.Đ°cbi»t,tôixingảilờicảmơnđenLãnhđạoKhoaToánvàThongkê cùng các thay cô giáo trong Khoa đã luôn ủng h®, đ®ng viên tôitrongsuotthờigianthamgiahoctªptạitrường

Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, cácđongnghi»p và bạn bè đã ủng h®, đ®ng viên và tạo đieu ki»n tot nhat đetôithamgiahoctªp

Trântrong

1.1 Kientháccơsởveđạiso 8

1.1.1 Mởr®ngtrường 8

1.1.2 Kett h á c 10

1.2 Đạis o v i p h â n 13

1.2.1 Trườngviphân 14

1.2.2 Nghi»mcủađathácviphân 19

1.3 Đườngcongđạisohǎut 24

2 Phépb i e n đ o i t ư ơ n g đ ư ơ n g t r ê n c á c p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n đạis o c a p m ë t 27 2.1 Phépbienđőitươngđương 27

2.2 PhépbienđőiM¨obius 32

3 Nghi»mđạisocủaphươngtrìnhviphânđạisocapmët 40 3.1 Nghi»mđạiso 40

3.2 M®ts o t í n h c h a t b ả o t o à n c ủ a n g h i » m 44

3.3 M®tch°nbªcchonghi»mtőngquátđạiso 47

4 Sfi tươngđươngcủacácphương trình vi phân đại so capmëtt h a m s o h ó a h f i u t đ ư ñ c 52 4.1 Phươngt r ìn h v i p h â n đ a t h á c 53

4.1.1 Batbienviphânquaphépbienđőiy=z+b 53

4.1.2 Batbienviphânquaphépbienđőiz=aw 59

4.1.3 Batbienviphânquaphépbienđőiy=aw+b 60

4.2 PhươngtrìnhviphânRiccati 66

4.3 PhươngtrìnhviphânAbel 69

4.4 Phươngtrìnhviphânđạisocapm®tthamsohóahǎut được 74

4.5 Nghi»mtőngquátđạisocủaphươngtrìnhthamsohóahǎu tđượcthu®clớpautonom 80

DanhmnccáccôngtrìnhcủatácgiảliênquanđenLuªnán 92

(1 )

disc(f) bi»tthác củađathácm®tbienf

MÐĐAU

M®tphươngtrìnhviphânđ ạ i s o c a p m ® t c ó d ạ n g F(y,y′) = 0,trongđó F∈C(x)[y, y′]và F có cháa bien đạo hàm y′ Neu F∈C[y, y′]thìtanói phương trìnhF(y,y′) = 0làautonom(tác là moi h» so của F đeu

làhangso)

Vi»cnghiêncáucácphươngtrìnhviphânđạisocapm®tbatđautàcuoithek19vàđauthek20vớicáccôngtrìnhtiêubieucủaL.Fuchs[14],

= 0có nghi»m tőng quátđại so hay không và đưa ra m®t thuªt toán tínhtoán tường minh m®tnghi»mtőngquátđạisonhưvªylàm®tvanđekhó

Cho đen nay, van đe tìmnghi»m tőng quát đại socủa m®t

phươngtrìnhviphâncapm®tmớichỉgiảiquyetm®tcáchcóh»thongchotrườnghợp

phương trình vi phân autonom Trong trường hợp này sự ton tại m®tnghi»m đại so không tam

thườngquyet định sự ton tại nghi»m tőngquátđạiso.Câuhỏitựnhiênđ°tralàli»ucócònnhǎnglớpphươngtrìnhnào

Van đe tương tự cho các phương trình vi phân cap m®tkhông

autonom(non-autonomous)m ớ i c h ỉ g i ả i q u y e t c h o m ® t s o t r ư ờ n g h ợ p đ ° c b i » t ; các lớp

nghi»m hình thác của phương trìnhF(y,y′) = 0được quan tâmnghiên cáu lànghi»m

hũu ty, nghi»m đại so, nghi»m liouville, Hi»n naycác thuªt toán hǎu hi»u đe tìm kiem

các dạng nghi»m nói trên chỉ giới hạnđoi với các phương trình vi phân đ°c bi»t (ho°c cóbªc thap như phươngtrình vi phân tuyen tính, phương trình Clairaut,phương trình Riccati,phươngtrìnhAbel)

Vi»csảdụngcácphépbienđőiM¨obiustrìnhbàytrongcácbàibáo[22,23]có thechỉ ra m®t lớp các phương trình vi phân đại so cap m®tkhông autonomnhưng có the bien đői m®t cách tương đương ve phươngtrình autonom và

có nghi»m tőng quát đại so Như vªy chúng ta cannhǎngnghiêncáulýthuyetchovanđenày

Bên cạnh đó, dựa vào m®t ch°n bªc cho các nghi»m đại so khôngtamthường của m®t phương trình vi phân đại so cap m®t autonom, ta cóthesuy ra m®t ch°n bªc cho nghi»m tőng quát đại so Van đe này đượcmởr®ng như the nào cho các phương trình vi phân cap m®t khôngautonomcũnglàm®tcâuhỏimởcanđượcnghiêncáu

M®tnghi»mcủaphươngtrìnhviphânđạisoc a p m ® t F(y,y′)= 0 trong

m®ttrường mớ r®ng vi phânK củaC(x)là m®t phan tả η∈K saochoF(η,η

′) = 0, trong đó “′”là phép đạo hàm trên Km ở r ® n g p h é p đ ạ o hàmthông thường trênC(x) Neu F là đa thác bªc m®t theo y′thì

phương trìnhviphântươngángđượcvietdướidạnghǎutyng ′= P(z,y)/Q(z,y),

trong đó P và Q là các đa thác 2 bien không có nhân tả chung Bàitoántìmm®tch°nbªcchocácnghi»mđạisocủaphươngtrìnhviphândạngnàyđượcbiet

ngtrìnhautonom,đượcmởr®ngcholớpcácphươngtrìnhkhôngautonomth

amsohóađượctrongcácbàibáocủaL.X.C.NgovàF.Winkler[25,26,22].C

ácvanđenàyđượcnghiêncáuđayđủhơntrongluªnántiensĩcủaN.T.Vo[3

4]vớicácthuªttoán mớiđe tìm nghi»m hǎu tc ủ a c á c phương trình như vªy

Bên cạnh van đe giải tàng phương trình vi phân đại so cap m®t, vanđexác định sự tương đương giǎa các phương trình vi phân đại so cũngđượcđ°tra.Trongcácbàibáo[23,24,21],cáctácgiảđãđưaracácquanh»

tương đương khác nhau trên các phương trình vi phân đại so cap m®t.Tàđó van đe giải m®t phương trình vi phân đại so có the đưa ve vi»cgiảim®tphươngtrìnhtronglớptươngđươngvàsựphânloạicácphươngtrìnhtheoquanh»tươngđươngđó.

Mục đích của đe tài nham tìm kiem m®t so lớp phương trình viphânđạisocapm®tcóthexácđịnhđượcsựtontạihaykhôngm®tnghi»mtőngquát đại so,

và trong trường hợp xác định được, chúng tôi đưa ra các thuªttoán tính tường minh m®t nghi»m

t¾ptrungnghiêncúuvanđevesựtontạivàtínhtoánnghi»mtőngquátđạ iso của các phương trình vi phân đại so cap m®t tương đương với phươngtrình autonom và phương trình vi phân đại so cap m®t tham so hóa hũu tyđược.Tàđóđưaracácthuªttoánhǎuhi»uđetìmnghi»mtőngquátđại so

củacácphươngtrìnhđó

Luªnán ,n g o àip h an Mở đ au , K et luªn, Bả ng cá c kýhi »u , D an h mụ

c cáccôngtrìnhkhoahoccủatácgiả,Tàili»uthamkhảo,đượcbocụctrong4chương:

Chương 1 trình bày nhǎng khái ni»m và ket quả cơ bản được sảdụngtrong luªn án bao gom kien thác cơ sở ve đại so, đại so vi phân, vàđườngcongđạisohǎut

CácđónggópcủatácgiảnamtrongcácchươngsaucủaLuªnán

Trong Chương 2 chúng tôi trình bày tőng quan ve các phép bienđőitươngđ ư ơ n g t r ê n c á c p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n đ ạ i s o c a p m ® t v à

n g h i ê n cáuphépbienđőitươngđươngtươngángvớim®tphépbienđőiM¨obius.Chúngtôiđưaram®ttínhchatbatbienvebªctőngtheviphâncủacác

M(u)=a u +b ,v ớ i a , b,c,d∈ K c h o t r ư ớ c s a o c h o a d −bc 0.Cụthehơn,haiphươngtrìnhviphânđạisocapm®tF= 0vàG=0trêntrường

Ðđây,M−1kýhi»uánhxạngượccủaMv à δF làbªctőngtheviphâncủaF,tá

clàkhiF(y,y′)=A0y′m +A1y′m−1+···+Am−1y′+Am,m∈N∗,

Ai ∈K[y],i =0, ,m,A0/=0,th ì

δF :=max{2(m−i)+deg yAi |i=0, ,m}.

Quan h» tương đương trên đây phân hoạch tªp các phương trình viphânđạisocapm®tthànhcáclớptươngđương,trongđócócáclớptươngđươngcháa m®tphương trình autonom mà trong luªn án này ta nói gon là lớpautonom M®t ket quả quan trong

làtínhbatbienthehi»ntrongĐịnhlý2.11nhưsau:

Địnhl j 2 1 1 (Châu-Thi[6])Giảs ủF(y,y′)=A0y′m +···+A m−1y′+

Am ∈K[y,y′],A0/=0v à G=Φ M •F,t ro n g đó Φ M ∈ G Giảsủδ F l à b¾ctőngtheviphâncủaF.Khiđó

(1) degy ′ G =degy ′ F; (2) deg yG≤δF; (3)δG=δF.

K K

Các bat bien trong Định lý2.11,ket hợp với m®t ch°n bªc chocácphương trình vi phân đại so cap m®t autonom trong[2,13]giúp chúngtađưa ra m®t so ch°n bªc khác cho các phương trình vi phân đại so capm®tthu®cm®tlớpautonomnàođó

Chương 3 đưa ra m®t so tính chat bảo toàn nghi»m của cácphươngtrình vi phân đại so cap m®t thu®c m®t lớp tương đương dướitác

đ®ngcủacácphépbienđőiM¨obius.Đ°cbi»t,cácnghi»mtőngquátđạisođượcbảotoàn:

thuªttoánkhácđetínhnghi»mtőngquátđạisocủacácphươngtrìnhviphân đại socap m®t tham so hóa hǎu tđược và thu®c m®t lớp tươngđươngautonom.

Kienthfícchuanbị

Chúng tôi trình bày nhǎng khái ni»m và ket quả cơ bản được sảdụngtrong luªn án bao gom kien thác cơ sở ve đại so, đại so vi phân, vàđườngcongđạisohǎut

Ta có the xem L như là m®t không gian véctơ trên trườngK.Ta nói Llà

m®tmớ r®ng hũu hạncủa K neu chieu của L trên K là hǎu hạn.

Kýhi»u[L:K]là chieu của không gian véctơ L trên K vàgoi[L:K]làb¾ccủamởr®ngLtrênK

∈

Địnhnghĩa 1.2.Cho L là m®t mở r®ng của trườngK.Phan tả α∈Lđược

goi là m®tphan tủ đại sotrên K neu có m®t đa thác m®t bien kháckhông

trong K[x]nhªn αlàm nghi»m; ngược lại, αđược goi làphan

tủsiêuvi»tt r ê n K.

Víd n 1 3 P h a n t ả √2∈ R l à đ ạ i s o t r ê n Q v ì đ a t h á c x2−2∈ Q [x]nhªn√2làm®tnghi»m

M»nhđe 1.4.Choα∈Llà m®t phan tủ đại so trênK.Khi đó có duynhat

m®t đa thúc m®t bien bat khả quy trênKcó b¾c bé nhat và có h» socaonhatbang 1nh¾nαlàmnghi»m.

Định nghĩa

1.8.Mởr®ngLcủaKđượcgoilàhũuhạnsinhtrênKneutontạicácphantảα1, ,αn ∈LsaochoL=K(α1, ,αn)

M»nhđe 1.9.ChoLlà m®t mớ r®ng hũu hạn củaK.Khi đóLlà

hũuhạnsinhtrênK.

M»nh đe 1.10.ChoL=K(α1, , αn )là m®t mớ r®ng hũu hạn

sinhtrênK.Neuα1, , αn là đại so trênKthìL=K(α1, , αn )là

b) Tac ód i mQQ(√

p)= 2 v ớ i m ® t c ơ s ở l à { 1,√

p};d i mRC= 2 v ớ im®tc ơ sở l à{1,i},i2= −1;Rlàm®tkhônggianvéctơvôhạnchieutrênQ

c) TªpQtatcảcácsophácđạisotrênQlªpthànhm®ttrườngvàlàbaođóngđạisocủaQ.Mởr®ngQkhônglàm®tmởr®nghǎuhạncủaQ

1.1.2 Ketthfíc

Cáckháini»mvàketquảtrongphannàyđượctrìnhbàydựatheotàili»u[8]

.2 1

1 a k ho¾c b l tri»ttiêutại(c2, ,cn ),ho¾c

2 tontạic1∈Csaochofv à gt r i » t tiêutại(c1,c2, ,cn)∈Cn

Địnhnghĩa1.19.Bi»tthúc(discriminant)củađathác1bienf∈K[x]

bªcm,kýhi»udisc(f),đượcxácđịnhbởi

disc(f)=

m ( m 1 )

0 2a a

1

=−27a2a2−4a0a3−4a3a3+a2a2+18a0a1a2a3.Đ°c bi»t, đoi với đa thác bªc ba dạng khuyet f(x) =x3+px+q,bi»ttháccủađathácnàylàdisc(f)=−4p3−27q2

M»nhđ e 1 2 1 Đathú cf ∈ K[x]cónhântủb®i(tú clàfc h i a hetchoh2

vớih∈K[x]cób¾cdương) khi và chí khidisc(f) = 0 Trên trường sophúc, m®tđa thúccó nghi»mb®ikhivà chíkhi bi»tthúc củanóbang 0.

Trong phan này chúng tôi trình bày m®t so kien thác cơ sở ve vànhviphân, trường vi phân và iđêan vi phân Nhǎng khái ni»m này được sảdụnglàm ngôn ngǎ đại so đe xây dựng khái ni»m nghi»m tőng quát, nghi»m kỳdị của các phươngtrình vi phân N®i dung của phan này được tham khảotà các tàili»u[30,16,3].Xuyên suot luªn án, các vành đeu là vànhgiaohoán,cóđơnvịvàcáctrườngđeucóđ°csokhông

Víd n 1 2 4 M ® t v à n h b a t k ỳ l à m ® t v à n h v i p h â n v ớ i p h é p đ ạ o h à

m không,táclàđạohàmcủamoiphantảđeubang0

Víd n 1 2 5 Và nh c á c đ a t h á c m ® t b i e n C[x]l à m ® t v à n h v i p h â n v ớ i

dphépđạohàmthôngthường xácđịnhnhưsau:

dphépđ ạ o h à m t h ô n g t h ư ờ n

Tàđịnhnghĩatasuyranhǎngtínhchatđơngiảnsaucủaphépđạohàm

M»nh đe 1.27.Cho(R,′)là m®t vành vi phân Khi

2.Tachángminhquynạptheonnguyêndương.Đȁngthácluônđúngvớin=1.Giảsảđȁngthácđúngvớin=k−1,táclà

(ak−1)′= (k−1)ak−2a′

Σ

(an)′= (a−1)−n′

=−n(a−1)′(a−1)−n−1.Suyra

thác

d P ( x ) dx

,(α)

trongđó

dxv à κ D làcácphépđạohàmđượcđànhnghĩatrongVídự1.25 vàVídự1.26.

Víd n 1 3 3 Giả sảαlàm®tnghi»mcủađathácY2−x∈C(x)[Y],táclàαbieudienhàm √

x.Khiđócóduynhatm®tphépđạohàmd m ở

dxr®ngphépđạohàm d

dxtrênC(x)đeC(x)(α)làm®tmởr®ngviphâncủaC(x)vàd α=1

M»nh đe 1.34.Giả sủ(K, D)làm®t trường vi phân vàtlà siêu vi»t

trênK.Khi đó với mőiw ∈K(t)ton tại duy nhat m®t phép đạo

hàm ∆trênK(t)saocho∆t=wv à (K(t),∆)làm®tmớr®ng viphâncủa(

K,D)

dÁpd ụ ng m» n h đ e t rênc h o C(x),ta suyrarang

dc

làph épđạo hà m

dxdxduynhattrênC(x)saocho

dx= 0vớimoic∈Cvà

=1

dx

M»nhđ e 1 3 5 G i ả s ủ ( L,∆)là m ® t m ớ r ® n g v i p h â n c ủa m ® t t rư ờn g v i phân(K,D).Khiđó

1 Neuc ∈Ll à đ ạ i s o t r ê n t r ư ờ n g h a n g C c ủ a K t h ì c l à h a n g

2 Neuc ∈L l à h a n g v à c đ ạ i s o t r ê n K t h ì c đ ạ i s o t r ê n t r ư ờ n g h a n g

Cc ủ a K.

Chúngminh.1.GiảsảP(X)làđathácđơncựctieucủactrênC.ĐạohàmđȁngthácP(c)=0tasuyra

0=∆(P(c))=(κDP)(c)+

dP

dP(c)∆c

(Dan−1)cn−1+···+(Da1)c+Da0=0

DotínhcựctieucủaP(X)nênđieunàyxảyrakhimoih»soDan−1, ,Da1,

Da0đeubang0.Vìvªyan−1, ,a1,a0làcáchangcủaK

o K là m®t trường vi phân và y là m®tbien vi

phân(differentialindeterminate) trênK.Xét dãy các ký hi»u y=y0, y1,

Moi phan tả của K{y}được goi là m®tđa thúc vi phân Ta định

nghĩacapcủa m®t đa thác vi phân là cap của đạo hàm cao nhat xuat hi»n

trongđathácviphânđó.M®tđathácviphânF∈ K{y}ca p pcódạng

F= amym +a m−1ym−1+···+a1yp +a0, (1.3)trongđóa0,a1, ,am ∈K{y}l à cácđathácviphâncócapkhôngvượtquáp−

1vàyp làđạohàmcappcủay.

1

Đathácviphânam trong(1.3)đượcgoilàh»so đa u( i n i t i a l ) củaF,

∂Fkýhi»ulài n(F).ĐathácviphânS=

Chȁnghạn, đa thácvi p hâ n

F: = (2xy+3x)y2+3y1−2y−3x∈C(x){y}

trong đó Qi ∈K{y}với moi i= 0, , k, với moi k∈N Đạo hàm

củam®tđathácviphâncódạngnàycũngcódạngnhưvªy.Nóicáchkhác,tªphợptat cả các đa thác vi phân có dạng này là đóng đoi với phépđạohàmcủacácđathácviphân

Địnhnghĩa1.40.Cho(R,′)làm®tvànhviphân.M®tiđêanIc ủa R

đó

d x c óbªcn−1,dođó

dfdx/ ∈⟨ f⟩.Suyra⟨f⟩k h ô n g làm®tiđêanviphân

Trong trường hợp R=K{y}là vành các đa thác vi phân vàΣ

={F}gom ch m®t đa thác vi phân, ta cũng ký hi»uỉ m®t đa thác vi phân, ta cũng ký hi»u {F}đe chỉiđêan vi phâncăn sinh bởi tªp m®t phan tả{F}.Định lý sau, được biet đen r®ngrãitrongđạisoviphân,cho tam®tphântíchcủaiđêanviphâncăn{F}

Địnhlj1.46([30 ]).ChoF ∈ K{y}là m®tđathúcviphânbatkhảquy.Khi

Địnhnghĩa1.49.M®tnghi»mchungcủaFv à Sđượcgoilàm®tnghi»mkỳdà( s

i n g u l a r solution)củaphươngtrìnhviphânF= 0

Định nghĩa 1.50.Cho ℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vành là m®t iđêan vi phân nguyên to của vành

K{y}.M®tnghi»mtőng

quát(genericzero)của làm®tphantảη℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vành củam®tmởr®ng trường vi phân của K sao cho

K{y}làm®tphantảcủa℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vànhneuvàchỉneuđathácđótri»ttiêutạiη

M»nhđe 1.51.Moi iđêan vi phân nguyên to℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vànhcủa vànhK{y}đeu

cóm®tnghi»mtőngquát.

Chúng minh.Goi L là trường các thương của mien nguyên K{y}/ ℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vành

KhiđóLlàm®tmởr®ngviphâncủaKq u a cácđongcau

K‹→K{y}→K{y}/℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vành‹→L

Đ°t η là ảnh của phan tả y trong L Khi đó η là m®t nghi»m tőng

quátcủa ℘ là m®t iđêan vi phân nguyên to của vành

Địnhn g h ĩ a 1 5 2 M ® t n g h i » m t ő n g q u á t c ủ a i đ ê a n v i p h â n n g u y ê n t o

{F}:Sđượcgoilàm®tnghi»mtőngquát( g e n e r a l solution)củaF= 0.

Giả sả η là m®t nghi»m tőng quát của F= 0 Khi đó, với moi

P∈K{y},P(η)= 0khi và chỉ khi P∈{F}:S Sả dụng khái ni»mphép

giảchiaviphân(differentialpseudodivision)vàgiảdưviphân(differentialpse

udo remainder) ta có the kiem tra khi nào P∈{F}:S Ký hi»uprem(P,F)(prem là viet tat

phépchiađathácviphânPc h o đathácviphânF

M»nhđe1.53([30]).P∈ {F}:Sn e u vàchíneuprem(P,F)=0.

2 vớihauhet(x0,y0)∈C(F)tràm®tsohǎuhạnđiem,tontạit0∈Csaocho

Địnhnghĩa1.57.Giảsảx(t)=x n(t)

xd(t) ∈C(t)códạngtoigiản.Khiđó,bªccủahàmx(t),kýhi»udegx(t),đượcđịnhnghĩanhưsau

degx(t)=max{degxn(t),degxd(t)}

sohǎutđ ư ợ c thamsohóahǎutb ở i(x(t),y(t))= trà

t2+1,t2+1 ∈C

xn(t) 3t2+t+2001Chȁnghạn,chox(t)= =

xd(t)

5t4+t3−9 ∈C(t).Tacódegxn(t)=2,degxd(t)=4,suyradegx(t)=max{degxn(t),degxd(t)}=4

Địnhnghĩa 1.58.ChoP(t)= (x(t), y(t))là m®t phép tham so hóa củam®t

đường cong hǎu t K h i đ ó t a g o imax{degx(t),degy(t)}l à b ª c

c aủa P(t),kýhi»ulàdeg(P(t))

2

t t2−1 2phépthamsohóacủađườngtròn cóphươngtrìnhx2+y2= 1.Tacóx(t)

Định nghĩa 1.59.Phép tham so hóa hǎu t(x(t), y(t))của đường congđại

soF(x,y) = 0được goi làthực sự(proper) neu với hau het(x0,

y0)thu®cđườngcongnàytràm®tsohǎuhạnđiem,tontạiduynhatt0∈Csaocho(x(t0),y(t0))=(x0,y0)

(x2(t),y2(t))=(x1(R(t)),y1(R(t))).

F(x,y)=−4x2+y−5=0vàcác phép tham so hóa hǎu t

P(t)=(x(t),y(t))= 1

,2t

2 Thuªt toán tìm m®t phép tham so hóa hǎu tthực sự của đườngconghǎut

3 Neu phép tham so hóa hǎutl à k h ô n g t h ự c s ự t h ì t a c ó

t h e t h a m s o hóalạiđeđượcm®tphépthamsohóathựcsự

Phépbienđoitươngđươngtrêncácp hươngtrìnhviphânđạisocapmët

Trong chương này, chúng tôi trình bày tőng quan ve các phép bienđőitương đương trên các phương trình vi phân đại so cap m®t; và tªptrungnghiên cáu phép bien đői tương đương tương áng với m®t phép bienđőiM¨obius.Chúngtôiđưaram®ttínhchatbatbienvebªctőngtheviphân.Đâylàm®tb atbienqu antrongmàchúng tôisả dụngởchương sauđe đưa ram®t ch°n bªc mới cho nghi»m tőng quát đại so của phương trìnhviphânđạisocapm®tthu®clớpautonom.M®tsoketquảcủachươngnàyđượctácgiảđăngtrongbàibáo[6]

Khi nghiên cáu các phương trình vi phân, đieu cot lõi là ta muonbietli»uhaiphươngtrìnhđãchocóthebienđőiqualạibangm®tkieuphép

đői bien thích hợp Trong trường hợp có m®t phép bien đői như vªy tanóihaiphươngtrìnhlàtươngđươngquakieuphépbienđőiđó.

Thôngthườngtaxétm®ttªpcácphépbienđőitươngđươngsaochochúng lªpthành m®t nhóm đoi với phép hợp thành các ánh xạ Khi đó, tácđ®ng của nhóm các phép bien đői tương đươngnày tạo ra m®t phép phânhoạch tªp tat cả các phương trình vi phân thành các lớp tương đương.Vi»c giảim®t phương trình riêng lẻ trong lớp tương đương có the đượctőng quáthóa đe giải toàn b® các phươngtrình trong lớp tương đương đó

Cụthe,taxétcácphépbienđőiđiem( p o i n t transformation)códạng

x=φ(t,u), y=ψ(t,u),trongđ ó φ , ψl à c á c h à m k h ả v i K h i đ ó p h ư ơ n g t r ì n h F(x,y,y

′)= 0 ,vớicácbienđ®clªpvàbienphụthu®ctươngánglàx,y,đượcbienđőithànhphương trình G(t, u, u′) = 0với các bien đ®c lªp và bien phụ thu®cmới là t, u.Van đe đ°t ra là với m®t tªp nào đó các phương trình vi phânF(x,y, y′) =

0, các phép bien đői điem có the xét có dạng như the nàođephươngtrìnhbienđőivanthu®ctªphợpđó?

Khi đe cªp đen các van đe này, F Schwarz đã trình bày các định

nghĩavenhóm bat bien cau trúc, bat bien tuy»t đoi, dạng chuȁn tac hũu

tytrongtài li»u[31]cho các phương trình vi phân với cap tùy ý, chúng tôi

trìnhbàylạicácvanđeđóchocácphươngtrìnhviphânđạisocapm®t

M»nhđe2.1.T¾pcácphươngtrìnhRiccati

y′=a2(x)y2+a1(x)y+a0(x),

a˜2 = 1 (a2a2+a1ac+a0c2+(ac′

Neu ta chỉ xét tªp hợp các phương trình Abel loại m®t, tác làcácphương trình dạng y′=a3y3+a2y2+a1y+a0, thì tªp hợp này là őnđịnhquacácphépbienđőidạngx=t,y =a(t)u+b(t).

Tőngquáthơn,tacóthexéttªpcácphươngtrìnhviphânđạisocap

m®ttựatuyentính(quasilinear)dạng

y′= R(x,y),trongđ ó R(x,y)l à m ® t h à m h ǎ u t t h e o y v ớ i c á c h » s o p h ụ t h u ® c v à o

x Trongtªphợp này chúng ta đã hạn che đieu ki»n ve bªc của đạo hàmluônbang 1 M®ttªphợp khác lớn hơn bao gom các phương trình viphânđạis o c a p m ® t F(y,y

′)= 0 t r ê n C (x)s a o c h o đ ư ờ n g c o n g đ ạ i s o t ư ơ n g ángF(y,w)= 0 c

ó g i o n g b a n g 0 , t á c l à đ ư ờ n g c o n g h ǎ u t T r o n g t ª p hợp này chúng ta khônghạn che lên bªc của đạo hàm mà hạn che lêntínhchatthamsohóahǎutđ ư ợ c củađườngcongđạisotươngáng

Trongluªnánnày,chúngtôixétcácphươngtrìnhviphânthườngđạiso(

algebraic ordinary differential equations-AODEs) cap m®tF(y,y′) = 0trênm®t trường vi phânK,với K là m®t mở r®ng hǎu hạn củaC(x);vànghiênc á u c á c n g h i » m ( t ő n g q u á t ) đ ạ i s o c ủ a c h ú n g , t à đ ó đ ư a r

a c á c thuªtt o á n đ e t í n h t o á n t ư ờ n g m i n h m ® t n g h i » m n h ư t h e M o

i p h ư ơ n g trình như vªy được liên ket với đường cong đại so xác định bởi phươngtrìnhF(y,w) = 0,tác là phương trình nhªn được tà phương trình viphânbanđaubangcáchxembienhàmvàbienđạohàmlàđ®clªpvớinhau.Do đó, chúng tôi xét các phép bien đői giǎa các phương trình vi phân saocho chúng bảo toàn capcủa phương trình, bảo toàn lũy thàa cao nhatcủađạohàm,bảotoàntínhchatcónghi»mđạiso(tőngquát),bảotoàngiong