Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 6 tôn quang toại

Định nghĩa Rừng Forest: Rừng là đồ thị không có chu trìnhKhái niệm cây • Nhận xét: Rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó là một cây... Các mệnh đề̀ sau tương đương:1 G là 1

CHƯƠNG 6

Tôn Quang Toại

Khoa CNTT, Đại học Ngoại ngữ ‐ Tin học TP.HCM

Định nghĩa Rừng (Forest):  Rừng là đồ thị không có chu trình

Khái niệm cây

• Nhận xét: Rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó là một cây.

C

Định lý: Cho đồ̀ thị vô hướng G=(V, E) có n đỉnh. Các mệnh đề̀  sau tương đương:

(1) G là 1 cây (2) G không chứa chu trình và có n-1 cạnh (3) G liên thông và có n-1 cạnh

(4) G liên thông và mỗi cạnh của nó điều là cầu (5) Giữa hai đỉnh bất kỳ của G được nối với nhau bởi đúng một đường đi duy nhất

(6) G không chứa chu trình nhưng khi thêm vào một cạnh ta thu được đúng một chu trình

Các tính chất cơ bản của Cây

Sơ đồ chứng minh:

Các tính chất cơ bản của Cây

Chứng minh

Các tính chất cơ bản của Cây

Chứng minh

Các tính chất cơ bản của Cây

Chứng minh

Các tính chất cơ bản của Cây

Chứng minh

Các tính chất cơ bản của Cây

Chứng minh

Các tính chất cơ bản của Cây

Định nghĩa Cây khung (spanning tree)  của đồ̀  thị: Một  cây T  gọi là cây khung (cây bao trùm)  của đồ thị G=(V, E) nếu 

n=4, số cây khung là: 4 16

Ví dụ: abc, bcd, cda, dab abf, acf, bdf, 

e

a

b c

f d

n=5, Số cây khung là: 5 125

Bài toán: Cho G là đồ thị vô hướng, liên thông, hãy tìm 1 cây khung của đồ thị

Lời giải

Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu (DFS)Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng (BFS)

Cây khung của đồ thị

Tìm cây khung theo DFS

Cây khung của đồ thị

void SpanningTree_DFS(int u)

{

1 Đánh dấu u đã viếng thăm

2 Xét mọi đỉnh v chưa được viếng thăm và kề u, với từng đỉnh v đó

{

T = T  {(u, v)}

DFS(v);

} }

Tìm cây khung theo BFS

Cây khung của đồ thị

void SpanningTree_BFS()

{

<1 Khởi tạo>

- Đánh dấu mọi đỉnh chưa viếng thăm

- Đánh dấu u=0 đã viếng thăm

- q.Enqueue(u)

<2 Lặp>

while (q!=) {

}

}

𝑤 𝑇 𝑤 𝑢, 𝑣

, ∈

Thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất

Có nhiều thuật toán xây dựng cây khung nhỏ nhất:

• Thuật toán Boruvka

• Thuật toán Kruskal

• Thuật toán Jarnik – Prim

Thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất

Thuật toán Kruskal: 

Cây khung nhỏ nhất

Input: G=(V, E) Output: Danh sách cạnh cay[]

Bước 1 (Sắp xếp) Sắp xếp các cạnh có trọng số tang dần

Bước 2 (Chọn n‐1 cạnh) Xét các cạnh theo thứ tự đã sắp xếp (cạnh nhỏ chọn trước) Chọn (n-1) cạnh theo quy tắc:

• Cạnh được chọn và cùng các cạnh đã chọn trước đó

không tạo thành chu trình

Cây khung nhỏ nhất

Ví dụ: Dùng thuật toán Kruskal để  m cây  khung nhỏ nhất của đồ thị sau:

Cây khung nhỏ nhất

A

C B

8

1

9 3

Vấn đề: Chúng ta phải cập nhật bảng connected[][] này như thế nào?

Lúc u và v chưa nối thì {x} và {y} chưa liên thông

Nếu nối u với v thì phải cập nhật các đỉnh {x} liên thông với các đỉnh {y}

Bước 1 (Sắp xếp)Sắp xếp các cạnh theo thứ tự tăng dần về trọng số

Bước 2: Lặp (n‐1) lầnXét các cạnh theo thứ tự đã sắp xếp (cạnh nhỏ xét trước)

• [Tìm cạnh] : Tìm cạnh (u, v) không liên thông đưa vào T

• [Cập nhật] : Cập nhật 2 miền liên thông chứa đỉnh {u} và  {v} tương ứng thành 1 miền

Cây khung nhỏ nhất

void Kruskal() {

}

Một số cách kiểm tra 2 đỉnh có liên thông hay  không:

Dùng mảng 2 chiều: int connected[][];

connected[i][j] = true nếu i liên thông j (=0 ngược lại)

Dùng mảng 1 chiều: int connected[];

connected[i] = connected[j] thì i liên thông jDùng Union‐Find set

Cây khung nhỏ nhất

• Đánh dấu y

Cây khung nhỏ nhất

Bước 1: Chọn đỉnh x0 bất kỳ và và đưa vào cây (đánh dấu x0)

Bước 2: Lần lượt nạp (n-1) đỉnh còn lại (tương ứng n‐1 cạnh ) vào cây bằng cách: 

• Chọn cạnh (x, y) thỏa điều kiện:

– x thuộc cây (x đã đánh dấu) – y chưa thuộc cây (y chưa đánh dấu) – Độ dài cạnh (x, y) nhỏ nhất

• Đánh dấu y

Cây khung nhỏ nhất

Ví dụ: Dùng thuật toán Prim để  m cây khung  nhỏ nhất của đồ thị sau:

Cây khung nhỏ nhất

A

C B

8

1

9 3

void Jarnik_Prim()

{

}

Cây khung nhỏ nhất

Tóm tắt chương 6