134 đề hsg toán 7 huyện hoằng hóa 2016 2017

6,0 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC .Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của.. Chứng minh rằng AMN  đều d Chứ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2017 Câu 1 (4,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức

A     

b) Tính giá trị của biểu thức B2x2  3x với 1

1 2

x 

c) Tìm 3 số , ,x y z biết rằng: 3 7 2; 5

và x y z  110

Câu 2 (4,5 điểm)

a) Tìm tập hợp các số nguyên ,x biết rằng:

4 : 2 7 3 : 3,2 4,5.1 : 21

b) Tìm ,x biết:

c) Tính giá trị của biểu thức C 2x5 5y32015tại ,x y thỏa mãn:

 20

Câu 3 (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của

nó tỉ lệ theo 1: 2 : 3

b) Tìm tất cả các số tự nhiên ,a b sao cho:2a 37 b 45  b 45

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC .Vẽ về phía ngoài tam giác

ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của

AB và DC.

a) Chứng minh rằng : ADC ABE

b) Chứng minh rằng: DIB 600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng

AMN

 đều

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE

Câu 5 (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác 0: a a a1, , , ,2 3 a20có các tính chất sau:

* a1là số dương

*Tổng của ba số viết liền nhau bất kỳ là một số dương.

*Tổng của 20 số đó là số âm

Chứng minh rằng: a a1 14 a a14 12 a a1 12

ĐÁP ÁN Câu 1.

: 0 : 0

a A       

b) Vì

Với

1

2

x 

thì

2

 

Với

1

2

x 

thì

2

A      

Vậy A  với 0

1 2

x 

và A  với 3

1 2

x 

c) Từ 3 7 6 14 2; 5 14 35 6 14 35

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

110

2

6 14 35 6 14 35 55

2.6 12; 2.14 28; 2.35 70

 

Vậy x12,y28,z70

Câu 2.

a)Ta có:

9 18 9 41    Lại có:

Do đó

2 5

5

  

mà x x  4; 3; 2; 1    b) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0  11x 0 x0 Với x  ta có:0

1 1 1 1 1

1 10

11 11

Vậy

10

11

x 

c) Do x 1 0; y220  0 x 1y220  với mọi ,x y0

Kết hợp

20

20

2

y y







Giá trị của biểu thức C2x5  5y3 2015tại x1,y  là:2

 3 5

2.1 5 2 2015 2057

Vậy C 2057

Câu 3.

a) Gọi , ,a b c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm Không mất tính tổng

quát, giả sử a b c   , ta có: 19    a b c 27

Mặt khác do số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9

Do đó a b c   9 a b c  18 a b c  27

Theo đề bài ta có: 1 2 3 6

  

Như vậy a b c  chia hết cho 6, nên a b c  18

Từ đó suy ra a 3,b6,c9

Do đó số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn

Vậy hai số cần tìm là 396,936

b) Nhận xét : với x  thì 0 x  x 2x

Với x  thì 0 x   Do đó x x x 0.  luôn là số chẵn với b

Suy ra 2a 37 là số chẵn  2alẻ  a 0

Khi đó b 45  b 45 38

Nếu b 45, ta có:  b 45  b 45 38  0 38( ktm)

Nếu b 45, ta có: 2b 45 38 b64( )tm

Vậy a b ,  0;64

Câu 4.

M

K

I

E

D

A

B

C

a) Ta có: AD AB DAC BAE ,  và AC AE  ADC ABE c g c( )

b) Từ ADC ABE ABE ADC mà BKI AKD(đối đỉnh)

Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK 60 (0 dfcm)

c) Từ ADC ABE CM EN ACM, AEN

( )

     và CAM EAN

  60 0

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ IB BIJđều BJ BIvà

JBI DBA  IBA JBD kết hợp BA BD

      mà BID  600

 60 0

DIA

  Từ đó suy ra IA là phân giác của DIE

Câu 5.

Ta có:

       

1 2 3 4 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a

Cũng như vậy:

 1 2 3  10 11 12 13 14  15 16 17  18 19 20

13 14

0

a a a a a a a a a a a a a a

a a

Mặt khác, a12 a13 a14  0 a12 0

Từ các điều kiện a1 0;a12 0;a14  0 a a1 14 a a14 12 a a dfcm1 12( )